Grazie Diego, di cuore. È il miglior gradimento che possa mai desiderare di ricevere. La mia "scommessa" è di riuscire a divulgare in maniera dettagliata e rigorosa.
Questo interessante argomento mi ricorda un problemino di parecchi anni fa, credo incluso da Martin Gardner nella sua rubrica su Scientific American: dimostrare, senza fare calcoli espliciti, che e^π > π^e.
Avevo letto di questo problema in un libricino della Zanichelli (era stato posto in una qualche competizione matematica di parecchi anni prima),ma nel comparto delle soluzioni,non veniva data... 😂😂😂 L'ho risolto anni dopo,con lo studio della funzione,appunto, ln(x)/x , (ri)trovando la soluzione 2⁴ = 4². In generale (con : a,n interi e : a < n) : aⁿ > nª Con le eccezioni : a = 1 n > 1 1ⁿ < n¹ a = 2 n = 3 2³ < 3² a = 2 n = 4 2⁴ = 4²
La funzione 1/x ln x ha un massimo per x=e, quindi gli unici valori interi positivi possibili per a sono 1 e 2. Per a=1 ovviamente non ci sono soluzioni, quindi l'unica possibità è a=2 (e b=4)
Molto interessante. Complimenti!! Ma….che tipo di ragionamento ha seguito Bernoulli per arrivare a definire A e B in funzione di N per dimostrare che esistono soluzioni infinite? Ma poi nella sua soluzione chi ci garantisce che per ogni N esistono un A e un B tali da soddisfare l’equazione di partenza? Grazie
a e b esistono per ogni n, in quanto sono definiti in funzione di n. Per verificare che a e b soddisfano l'equazione basta far vedere che a^b e b^a sono uguali (sostituendo al posto di a e b le espressioni di bernoulli). In sostanza basta generalizzare gli esempi numerici del video, i passaggi sono abbastanza facili ma è troppo scomodo riportarli in un commento testuale
@@GaetanoDiCaprio a perfetto grazie ora si ho capito!!…Sarebbe interessante capire quale tipo di ragionamento PUÓ aver seguito per costruire A e B con variabile N in modo che soddisfacessero la domanda iniziale
@@GaetanoDiCaprioBuongiorno Gaetano, potresti per favore sviluppare l’equazione di Bernoulli in termini generali, quella in cui ha sostituito a e b con numeri in variabile N oppure linkarmi dove posso trovarne lo sviluppo per verificarne l’uguaglianza? Ho provato da solo ma purtroppo non ci riesco e mi piacerebbe vedere come si sviluppa algebricamente. Grazie
Ottima osservazione. Si può dimostrare che non esistono altre soluzioni negli interi, ho scelto di non riportare quella dimostrazione. Puoi trovare una traccia su Wikipedia
@@GaetanoDiCaprio L'interpretazione grafica finale è molto utile in tal senso: ogni coppia di numeri che soddisfa l'equazione è formata da un primo numero compreso tra 1 (1 escluso) ed "e", a cui corrisponde un secondo maggiore di "e". C'è un solo numero intero maggiore di 1 e minore di "e" ed è il 2. PS. Complimenti per il video. Mi sono subito iscritto al canale
È possibile avere 3 numeri a,b,c distinti tali che a^b=b^a, a^c=c^a, b^c=c^b? Il problema è che, come è stato evidente nel video, non posso richiedere che siano tutti positivi. Quindi per farla semplice poniamo c negativo e le potenze che otteniamo sono comunque "buone" cioè con esponente razionale e di numeratore pari [ tipo: (-1)^(2/3)=1 ] Di conseguenza: Esiste una tripla di razionali distinti a,b,c con # c
Video interessante che svela il legame tra a e b. Tuttavia, da quel che vedo, qui non viene dimostrato che la coppia (4;2) e la simmetrica (2;4) sono le uniche possibili coppie di interi, né si dimostra se esistono o no coppie in cui uno solo tra a e b è intero.
Ciao, grazie per l'osservazione, è vero, nel video non è dimostrato, ma si dimostra facilmente. Se cerchi nei commenti c'è un altro utente che mi ha fatto un'osservazione simile e ho risposto con la traccia della dimostrazione
La funzione 1/x ln x ha un massimo per x=e, quindi gli unici valori interi positivi possibili per a sono 1 e 2. Per a=1 ovviamente non ci sono soluzioni, quindi l'unica possibità è a=2 (e b=4)
Da ignorante direi che l'affermazione è vera perchè le coppie sono si infinite che soddisfano l'uguaglianza, ma l'uguaglianza non è valida per tutte le coppie.
Io avevo trovato la soluzione a=radice di 3 e b=radice di 27 facendo questo tentativo bruto: visto che so che esiste la soluzione a=2 e b=4, ho cercato prima un'altra coppia tale che rispettasse la condizione b=a^2, quindi ho che deve essere a^(a^2)=(a^2)^a, quindi a^2=2a da cui a=2 unica soluzione accettabile. Allora poi ho cercato b=a^3, da cui a^(a^3)=(a^3)^a, ovvero a=radice di 3. Continuando alla stessa maniera, a=radice n-sima di n+1 sono tutte soluzioni, con b=a^(n+1). Che poi mi sa che è la stessa risposta di Goldbach solo che io l'ho pensata solo per n naturale e con un approccio leggermente diverso
Questo video è bellissimo. Complimenti. Un chiaro esempio di quanto sia bella la Matematica.
Grazie!
L'approccio che passa per la visualizzazione grafica della funzione logaritmica è molto elegante. Ottimo video.
Grazie!
ottimo spunto didattico: il tipo di esercizio di spessore non meramente tecnico che i testi scolastici evitano come la peste
Grazie per il commento! Sulla inutile (se non dannosa) tecnicità dei testi scolastici sono COMPLETAMENTE D'ACCORDO!! 👍👍😉
Grazie Gaetano,mi sono divertito molto a risolvere il problema;la via dei logaritmi era la piu ovvia ed elegante.
Grazie Gaetano. La matematica è meravigliosa.
È rigorosa, ma anche piacevole grazie ai tuoi video sui generis.
Grazie Diego, di cuore. È il miglior gradimento che possa mai desiderare di ricevere. La mia "scommessa" è di riuscire a divulgare in maniera dettagliata e rigorosa.
@@GaetanoDiCaprio Fino ad ora la stai vincendo😉
@@drdiegocolombo magari!
@@GaetanoDiCaprio Hai ancora pochi iscritti, ma sei anche "nuovo" del tubo.
Complimenti.. molto bella la dimostrazione ed il video ben strutturato..👏
Grazie!
Spiegazione chiara per problema interessamte
Grazie!
Figo. E' interessante anche vedere che c'è solo 1 punto in cui i valori sono uguali e per il resto avremo sempre a < b.
Sì
Semplice ma sorprendente, non ci avevo mai pensato !
Già!
Bellissimo! Soprattutto l'interpretazione geometrica l'ho trovata molto elegante!
Grazie!
Video stupendo. Comprensibilissimo per profani.
Grazie!
Molto interessante, anche per il riferimento storico.
Grazie
Questo interessante argomento mi ricorda un problemino di parecchi anni fa, credo incluso da Martin Gardner nella sua rubrica su Scientific American:
dimostrare, senza fare calcoli espliciti, che e^π > π^e.
Grazie dello spunto
Avevo letto di questo problema in un libricino della Zanichelli (era stato posto in una qualche competizione matematica di parecchi anni prima),ma nel comparto delle soluzioni,non veniva data... 😂😂😂
L'ho risolto anni dopo,con lo studio della funzione,appunto, ln(x)/x , (ri)trovando la soluzione 2⁴ = 4².
In generale (con : a,n interi e : a < n) :
aⁿ > nª
Con le eccezioni :
a = 1 n > 1 1ⁿ < n¹
a = 2 n = 3 2³ < 3²
a = 2 n = 4 2⁴ = 4²
👍
Potrebbe spiegare perché non esistono altre soluzioni intere oltre a 2 e 4?
La funzione 1/x ln x ha un massimo per x=e, quindi gli unici valori interi positivi possibili per a sono 1 e 2. Per a=1 ovviamente non ci sono soluzioni, quindi l'unica possibità è a=2 (e b=4)
Video interessante e ben fatto!
Grazie
Bellissimo
Bellissimo video complimenti
Grazie
molto bello
Grazie
Ma come si dimostra che non ci sono infinite soluzioni intere?
Ciao, se cerchi tra i commenti ho già risposto
Molto interessante. Complimenti!! Ma….che tipo di ragionamento ha seguito Bernoulli per arrivare a definire A e B in funzione di N per dimostrare che esistono soluzioni infinite? Ma poi nella sua soluzione chi ci garantisce che per ogni N esistono un A e un B tali da soddisfare l’equazione di partenza? Grazie
a e b esistono per ogni n, in quanto sono definiti in funzione di n. Per verificare che a e b soddisfano l'equazione basta far vedere che a^b e b^a sono uguali (sostituendo al posto di a e b le espressioni di bernoulli). In sostanza basta generalizzare gli esempi numerici del video, i passaggi sono abbastanza facili ma è troppo scomodo riportarli in un commento testuale
@@GaetanoDiCaprio a perfetto grazie ora si ho capito!!…Sarebbe interessante capire quale tipo di ragionamento PUÓ aver seguito per costruire A e B con variabile N in modo che soddisfacessero la domanda iniziale
@@and10101 sì sarebbe molto interessante
@@GaetanoDiCaprioBuongiorno Gaetano, potresti per favore sviluppare l’equazione di Bernoulli in termini generali, quella in cui ha sostituito a e b con numeri in variabile N oppure linkarmi dove posso trovarne lo sviluppo per verificarne l’uguaglianza? Ho provato da solo ma purtroppo non ci riesco e mi piacerebbe vedere come si sviluppa algebricamente. Grazie
@@and10101 La metto giù, la fotografo e la metto in un post. Appena riesco
Bravissimo.
Grazie
come si chiama il software che hai usato per far vedere le due soluzioni ? Grazie
GeoGebra
forse sfugge a me, ma perchè Bernoulli esclude altre soluzioni con gli interi?
Ottima osservazione. Si può dimostrare che non esistono altre soluzioni negli interi, ho scelto di non riportare quella dimostrazione. Puoi trovare una traccia su Wikipedia
@@GaetanoDiCaprio L'interpretazione grafica finale è molto utile in tal senso: ogni coppia di numeri che soddisfa l'equazione è formata da un primo numero compreso tra 1 (1 escluso) ed "e", a cui corrisponde un secondo maggiore di "e". C'è un solo numero intero maggiore di 1 e minore di "e" ed è il 2.
PS. Complimenti per il video. Mi sono subito iscritto al canale
@@alessandrolocatelli assolutamente corretto! Grazie
Ma sbaglio o v non è necessariamente un naturale ?
Non ti sbagli. Nel video mostro solo qualche esempio in cui v è naturale ma non è necessario che lo sia.
Ottimo video grazie! Sai per caso come ha fatto Bernoulli a trovare quelle soluzioni con la successione il cui limite definisce il numero e?
Ciao, grazie, no purtroppo no
(1+1/n)^n non è forse questa la successione ?@@GaetanoDiCaprio
Mi sembra che dire, in un testo di esercizio, "infinite coppie" sia un po' ambiguo: che tipo di infinità si ha in mente?
Nel contesto di questo quesito (non "esercizio") se si tratti di infinità numerabile o meno è totalmente irrilevante.
È possibile avere 3 numeri a,b,c distinti tali che a^b=b^a, a^c=c^a, b^c=c^b?
Il problema è che, come è stato evidente nel video, non posso richiedere che siano tutti positivi. Quindi per farla semplice poniamo c negativo e le potenze che otteniamo sono comunque "buone" cioè con esponente razionale e di numeratore pari [ tipo: (-1)^(2/3)=1 ]
Di conseguenza:
Esiste una tripla di razionali distinti a,b,c con
# c
Cerca di ricordare... 😉
Video molto interessante… ho provato a risolverlo prima di vedere la soluzione 😉
Tosto eh?
@@GaetanoDiCaprio siiii! infatti dopo un po’ ci ho rinunciato. Però ero senza carta e penna
Però la domanda originaria era posta negli interi
Cosa intendi per "originaria"? La lettera di Bernoulli?
Video interessante che svela il legame tra a e b. Tuttavia, da quel che vedo, qui non viene dimostrato che la coppia (4;2) e la simmetrica (2;4) sono le uniche possibili coppie di interi, né si dimostra se esistono o no coppie in cui uno solo tra a e b è intero.
Ciao, grazie per l'osservazione, è vero, nel video non è dimostrato, ma si dimostra facilmente. Se cerchi nei commenti c'è un altro utente che mi ha fatto un'osservazione simile e ho risposto con la traccia della dimostrazione
a,b cosa? Reali? Razionali? interi?
Scusi se fa la differenza.
È una copertina, le pesa così tanto guardare il video prima di lasciare un commento?
Ah ah ah, io pensavo ci fosse una sola coppia (quella con 2 e 4). Grazie!
È l'unica coppia di interi in effetti 😉
ci vorrebbe una dimostrazione dell'impossibilità con altri a e b interi.
La funzione 1/x ln x ha un massimo per x=e, quindi gli unici valori interi positivi possibili per a sono 1 e 2. Per a=1 ovviamente non ci sono soluzioni, quindi l'unica possibità è a=2 (e b=4)
Grazie! Fantastico.
Grazie a te!
E se a, b ∈ ℂ?
Bella domanda!
Non va bene l'interoretazione grafica, se a minore di uno c'è un solo punto di intersezione
Il fatto che ci sia una sola intersezione per x
In R, i logaritmo avente argomento negativo o avente valore 0 non sono definiti, ergo e'corretto quello che dice il professore
La domanda si riduce a: «due curve esponenziali si incontrano in un punto?». La risposta è sì, e ne esistono infinite.
Purtroppo la tua sintesi è una semplificazione che NON corrisponde al problema: le due curve non sono qualsiasi, c'è una forte relazione tra le due
2 alla terza non è uguale a 3alla seconda
Vero
Da ignorante direi che l'affermazione è vera perchè le coppie sono si infinite che soddisfano l'uguaglianza, ma l'uguaglianza non è valida per tutte le coppie.
Sì certo
Io avevo trovato la soluzione a=radice di 3 e b=radice di 27 facendo questo tentativo bruto: visto che so che esiste la soluzione a=2 e b=4, ho cercato prima un'altra coppia tale che rispettasse la condizione b=a^2, quindi ho che deve essere a^(a^2)=(a^2)^a, quindi a^2=2a da cui a=2 unica soluzione accettabile. Allora poi ho cercato b=a^3, da cui a^(a^3)=(a^3)^a, ovvero a=radice di 3. Continuando alla stessa maniera, a=radice n-sima di n+1 sono tutte soluzioni, con b=a^(n+1). Che poi mi sa che è la stessa risposta di Goldbach solo che io l'ho pensata solo per n naturale e con un approccio leggermente diverso
Bellissimo ragionamento
Che rabbia: avevo inteso il problema solo per i numeri interi e mi ero convinto per il falso. Bella dimostrazione
Grazie