Bravo ! Quelle clarté et quelle simplicité. Merci de nous avoir présenté cette démonstration en bon français avec une élocution claire et directe, surtout dépourvue des innombrables agaçants tics de langage à répétition et autres formules vulgaires si caractéristiques de beaucoup des habituels prétentieux et cafouilleux de ce TH-cam, tels que : "en fête", "on va dire", "on a", "un petit peu", voilà, etc.,
Super intéressant, j'avais déjà vue une démonstration de cette formule en anglais, mais là, c'était beaucoup plus détaillé, et par conséquent, j'ai mieux compris le pourquoi du comment
Bonjour. tres bon effort et demonstration facile et élégante.juste avavt j'avais suivi la demonstration de la meme formule avec une limite mais pas tres bien reussi mais la tienne Bravo
Oui, bien. Clair, limpide et tout, merci ! Mais on s’est épargné d’expliquer pourquoi l’écriture en module + argument est équivalente à partie réelle + imaginaire, alors que c’est *là* le noeud du tour de passe passe ;-)
Bonjour, je suis en terminale et je fais mon sujet de grand oral sur cette formule. J’ai déjà bien avancé et grâce a toi j’ai compris comment la démontrer, mais est ce que tu aurait une façon plus littérale pour la démontrer ? J’en ai vu plusieurs notamment avec la méthode de Taylor et avec les équations diff mais je n’ai pas trop compris la démonstration .. J’aimerai bien expliquer comme toi tu l’as expliqué mais je n’ai que 5 min, ca va être chaud… Tu aurais une maniere plus rapide de le faire ? Notamment avec cos et sin ?
Salut, merci pour ton message ! 🙂 Effectivement, tu peux passer par la forme trigonométrique, et utiliser ce que l'on appelle les développements limités (ou développement en série entière). C'est très simple à expliquer (ce sont des façons d'approcher des fonctions en un point à l'aide de fonctions polynômiales), donc parfaitement faisable en 5 minutes si tu ne rentres pas trop dans les détails techniques. En calculant ainsi les développements du cosinus et du sinus, on peut ainsi facilement montrer l'identité d'Euler (ou même avec le développement de l'exponentielle, qui demanderait même encore moins d'étapes de calcul). On peut en parler sur Discord ou par mail si tu veux (liens dans la description).
Cette formule n'est pas vraiment utilisée en tant que telle, sauf dans des cas très spécifiques où l'on veut multiplier par -1. Mais elle permet de comprendre la forme exponentielle de n'importe quelle nombre complexe, qui est utile pour calculer plein de choses (comme les puissances complexes, les racines, etc...)
Je rejoins l'avis de quelques autres, ce qui me dérange beaucoup cest la formule à 7:47 qui tombe du ciel. Si je la connaissais moi aussi j'aurais pu prouver l'identité d'Euler... Mais justement je ne sais toujours pas comment on y arrive car on se base sur une autre formule non prouvée dans la vidéo...
C'est vrai, mais je voulais vraiment me concentrer sur la formule d'Euler en introduisant simplement la forme exponentielle, sans rentrer les détails, car cette vidéo doit pouvoir s'adresser à tout le monde ! 😉 Je rajoute tout de même ça à ma liste de potentielles futures vidéos !
@@medematiques la façon la plus simple de le prouver reste d’utiliser Taylor c’est ultra intuitif et assez intéressant je te conseille de faire une vidéo dessus
@@lekiwi_4145 Il y a aussi la démonstration par les équations différentielles : Prend @(x) la fonction qui donne cos(x) + i*sin(x) On constate que @ vérifie les conditions suivantes : - Solution de y' = i*y - @(0) = 1 Or, il a été prouvé que seule la fonction e^ix la vérifie. Ceci signifie que cos(x) + i*sin(x) = @(x) = e^ix
@@lekiwi_4145 Oui je vois ce que tu veux dire. C'est une histoire d'intuition. En fait, je pense que cela dépend ce que l'on connaît : si tu sais faire l'expansion de Taylor, tu sauras faire la démonstration avec le dev' de sinx, cosx et e^x. Mais si tu maîtrises les équations différentielles, tu sauras faire celle que j'ai montrée (en effet, tu sauras que e^ax est l'unique solution de y'=ay)
T’as remarqué pour le nombre complexe que les expressions forment le mot « aber » qui se traduit par mais en allemand Même ces nombres ne comprennent pas leur fonctionnement
Je trouve que le problème de cette présentation est l’écriture soudaine de z=|z|e^(iargz), sans aucune justification. Cela semble tout à fait artificiel. On pourrait aussi écrire directement que par définition pour tout réel t on décide de noter e^(it)=cost+isint. En prenant t=pi on obtient directement l’égalité voulue. Mais on peut bien sûr justifier pourquoi on définit ainsi e^(it). Si ce n’est pas connu, on montre d’abord que z=|z|×(cost+isint) avec t=arg(z). On pose alors f(t)=cost +isint. C’est une fonction complexe de variable réelle, mais si on utilise les règles de dérivation classiques on obtient f ’(t)=-sint+icost c’est à dire f ’(t)=if(t), avec f(0)=cos0+isin0=1. Par analogie avec la fonction réelle définie par f(x)=e^(kx), avec k réel qui est la seule solution de l’éq. dif. f’(x)=kf(x) avec f(0)=1, on décide de poser par définition f(t)=e^(it) c’est à dire e^(it)=cost+isint. L’égalité cherchée s’obtient alors en prenant t=pi. En bonus on a l’écriture z=|z|e^(it) avec t =arg(z). (On peut aussi vérifier avec les formules de trigo que par exemple e^(it)×e^(iu)=e^(it+iu).
Tu forces une forme exponentielle pour calculer un réelle à une puissance complexe. Prenons l'exemple de 4^i. 4 correspond à exp(ln4) Donc 4^i = exp(iln4). On sait que exp(ix) = cos x + isin x De fait, 4^i = cos(ln4) + isin(ln4)
Quand tu parles de constante d'Euler, tu parles du "e" ? e est un nombre irrationnel, à la manière de pi. Il vaut environ 2.72. C'est un nombre fondamental en mathématiques car il permet de définir la fonction exponentielle. exp(x) = e^x (e puissance x). Cette fonction a une propriété remarquable. Sa dérivée est elle-même. Autrement dit, la fonction qui donne l'évolution du coefficient directeur de la tangente de exp en chacun de ses point est la fonction exp elle-même. Exemple : je souhaite déterminer le coeff directeur de la tangente de la fonction exp en 3. Et bien, d'après la propriété du dessus, je sais que ledit coeff vaut exp(3) = e^3 (environ 20,12). Alors attention, là nous sommes dans l'ensemble des nombres réels. Dans la vidéo, il parle de l'exponentielle complexe définit ainsi : exp(z) = e^z où z est un complexe. La page wikipédia sur l'exponentielle complexe t'expliquera mieux que moi. Concernant le module d'un complexe, il s'agit simplement de la distance entre l'origine O(0;0) et le nombre complexe représentée par un point sur le plan. Le module du nombre 2+2i noté |2+2i| est 2sqrt(2). Le module est toujours un réel positif, c'est une distance. Il se calcule grâce au théorème de Pythagore. sqrt(x^2+y^2) avec x la partie réelle et y la partie imaginaire. Dans le cas du module de 1+i, notre partie réelle est 2 et notre partie imaginaire est également 2 (attention, ce n'est pas 2i !!). On obtient alors sqrt(4+4) = sqrt(8) = 2sqrt(2).
Il n'y a aucune démonstration dans cette vidéo 1) parachutage de la forme exponentielle 2) Application numérique avec Z = -1 Ce qui serait intéressant ça serait de démontrer qu' un complexe a+ib peut s'écrire sous forme exponentielle, (c'est probablement ce qu'Euler a fait )
Un nombre complexe z peut s'écrire a + ib avec a et b réels et i le nombre imaginaire tel que i carré vaut -1. | z| exp (i arg(z)) est une autre notation d'un nombre complexe z pas une égalité avec z. Passer z de l'autre côté d'un signe égal avec cette notation et en déduire l'identité d'Euler me semble être un tour de passe-passe. Je pense que la démonstration est incorrecte.
Belle démo mais avec un tout petit manque : on amène à 7:45 le nombre e dans la forme exponentielle d'un complexe comme ça, sans autre explication justifiant le fait que c'est e et pas un autre nombre.
Oui effectivement, le e n'est qu'une notation dans ce cas (j'imagine que, puisque les propriétés étaient les mêmes que celles des puissances, donc on a choisi "e", qui correspond à l'exponentiel, et qui, a priori, ne peut être utilisé de manière évidente dans le monde des complexes)
Utiliser, dans une "formule", un nombre imaginaire qui ne correspond à aucune valeur, ca sent un peu le foutage de gueule, non ?! Attendez, bougez pas, moi aussi je vais vous en pondre une fabuleuse formule : 6 tomates + i = - 17,5 lapins. Pas mal, non ? Vivement la médaille Fields...
![[일품 심화] 공통수학1 - unit35 (부등식 - 실전마무리)](http://i.ytimg.com/vi/fUxXLdLDY6o/mqdefault.jpg)
C'est tellement satisfaisant les maths. Surtout quand c'est bien expliqué, merci beaucoup
Bravo ! Quelle clarté et quelle simplicité. Merci de nous avoir présenté cette démonstration en bon français avec une élocution claire et directe, surtout dépourvue des innombrables agaçants tics de langage à répétition et autres formules vulgaires si caractéristiques de beaucoup des habituels prétentieux et cafouilleux de ce TH-cam, tels que : "en fête", "on va dire", "on a", "un petit peu", voilà, etc.,
C'est la meilleur démonstration de cette formule qui m'ai été faite. J'ai enfin compris ! Merci !
Avec plaisir ! 😊👍
super vidéo qui a le mérite de n'oublier aucune des bases nécessaires pour comprendre !
Super intéressant, j'avais déjà vue une démonstration de cette formule en anglais, mais là, c'était beaucoup plus détaillé, et par conséquent, j'ai mieux compris le pourquoi du comment
Merci ! 😁 Content que tu aies compris !
Merci beaucoup professeur pour ces vidéos très bénéfiques. Je vous suis depuis Alger.
Merci beaucoup d'avoir prit le temps pour cette explication détaillée
Merci beaucoup
Excellent, t'expliques trop bien, merci !!!
BRAVO!Excellent.
Bonjour. tres bon effort et demonstration facile et élégante.juste avavt j'avais suivi la demonstration de la meme formule avec une limite mais pas tres bien reussi mais la tienne Bravo
Merci, content d'avoir été clair ! 😊👍
Oui, bien. Clair, limpide et tout, merci !
Mais on s’est épargné d’expliquer pourquoi l’écriture en module + argument est équivalente à partie réelle + imaginaire, alors que c’est
*là* le noeud du tour de passe passe ;-)
Tout à fait, mais là c'est d'un tout autre niveau 😉 il faudrait que j'évoque les développements en série entière...
Exactement, en prenant ça comme acquis, il n'y a plus de démonstration. C'est ça le coeur de la démonstration de la formule
7:55 Pouvez-vous démontrer cette formule ?
29/12/2023.
BRAVO !
Super merci
Merci pour la vidéo.
Pour ma part, ma formule préféré est la somme des 1/n² valant pi²/6. Je la trouve jolie, inattendue et passionnante 🙃
Oui c'est vrai que le problème de Bâle est magnifique ! 😍
@@medematiques c’est juste zeta de 2 non? Je connaissais pas le nom que tu lui donne
C'est très gentil
Bonjour, super vidéo, magnifique ! Pensez vous que cette vidéo peut faire l'objet d'un sujet du grand oral ?
Bonjour, merci ! 😀 Oui totalement !
Bonjour, ce sujet est celui aussi de mon grand oral, as tu déjà ton plan la dessus ?
Super vidéo, j'ai juste plusieurs questions :
1) d'ou sort la formule à 7:56 ?
2) quelles sont les applications de cette formule?
vous me faite rêver 🤣🤣🤣🤣🤣
Une magnifique entourloupe.
Je suis du même avis.
Bonjour, je suis en terminale et je fais mon sujet de grand oral sur cette formule. J’ai déjà bien avancé et grâce a toi j’ai compris comment la démontrer, mais est ce que tu aurait une façon plus littérale pour la démontrer ? J’en ai vu plusieurs notamment avec la méthode de Taylor et avec les équations diff mais je n’ai pas trop compris la démonstration .. J’aimerai bien expliquer comme toi tu l’as expliqué mais je n’ai que 5 min, ca va être chaud… Tu aurais une maniere plus rapide de le faire ? Notamment avec cos et sin ?
Salut, merci pour ton message ! 🙂
Effectivement, tu peux passer par la forme trigonométrique, et utiliser ce que l'on appelle les développements limités (ou développement en série entière). C'est très simple à expliquer (ce sont des façons d'approcher des fonctions en un point à l'aide de fonctions polynômiales), donc parfaitement faisable en 5 minutes si tu ne rentres pas trop dans les détails techniques.
En calculant ainsi les développements du cosinus et du sinus, on peut ainsi facilement montrer l'identité d'Euler (ou même avec le développement de l'exponentielle, qui demanderait même encore moins d'étapes de calcul).
On peut en parler sur Discord ou par mail si tu veux (liens dans la description).
Très bonne vidéo mais j'aimerais savoir une chose, dans quel cas cette formule est utilisé?
Cette formule n'est pas vraiment utilisée en tant que telle, sauf dans des cas très spécifiques où l'on veut multiplier par -1. Mais elle permet de comprendre la forme exponentielle de n'importe quelle nombre complexe, qui est utile pour calculer plein de choses (comme les puissances complexes, les racines, etc...)
Cette formule est utilisée comme analogie au formule trigonométrique
Je rejoins l'avis de quelques autres, ce qui me dérange beaucoup cest la formule à 7:47 qui tombe du ciel. Si je la connaissais moi aussi j'aurais pu prouver l'identité d'Euler... Mais justement je ne sais toujours pas comment on y arrive car on se base sur une autre formule non prouvée dans la vidéo...
vous n avez pas montré pourquoi e(ix) = cos x + isinx
C'est vrai, mais je voulais vraiment me concentrer sur la formule d'Euler en introduisant simplement la forme exponentielle, sans rentrer les détails, car cette vidéo doit pouvoir s'adresser à tout le monde ! 😉
Je rajoute tout de même ça à ma liste de potentielles futures vidéos !
@@medematiques la façon la plus simple de le prouver reste d’utiliser Taylor c’est ultra intuitif et assez intéressant je te conseille de faire une vidéo dessus
@@lekiwi_4145 Il y a aussi la démonstration par les équations différentielles :
Prend @(x) la fonction qui donne cos(x) + i*sin(x)
On constate que @ vérifie les conditions suivantes :
- Solution de y' = i*y
- @(0) = 1
Or, il a été prouvé que seule la fonction e^ix la vérifie. Ceci signifie que cos(x) + i*sin(x) = @(x) = e^ix
@@vat1n456 ouai mais le problème c’est que tu « trouves » pas la formule c’est comme quand tu fais une récurrence
@@lekiwi_4145 Oui je vois ce que tu veux dire. C'est une histoire d'intuition. En fait, je pense que cela dépend ce que l'on connaît : si tu sais faire l'expansion de Taylor, tu sauras faire la démonstration avec le dev' de sinx, cosx et e^x. Mais si tu maîtrises les équations différentielles, tu sauras faire celle que j'ai montrée (en effet, tu sauras que e^ax est l'unique solution de y'=ay)
Bravo!!! Mais je voudrai savoir si on peux resoudre la formule a v e c les logaritme .( Merci si vous vouler repondre).
Merci 😊 qu'est-ce que tu appelles "résoudre la formule" ?
@@medematiques (ho capito che non si può fare!Merci!)
alors c'est pas possible car ln0 n'est pas défini sur R et ln--1 également
Signalons aussi l'égalité (equation, base de l'algèbre )
Mais en fait, d'où vient la formule Z=|Z|e.arg(Z) ?
T’as remarqué pour le nombre complexe que les expressions forment le mot « aber » qui se traduit par mais en allemand
Même ces nombres ne comprennent pas leur fonctionnement
Je trouve que le problème de cette présentation est l’écriture soudaine de z=|z|e^(iargz), sans aucune justification. Cela semble tout à fait artificiel.
On pourrait aussi écrire directement que par définition pour tout réel t on décide de noter e^(it)=cost+isint. En prenant t=pi on obtient directement l’égalité voulue.
Mais on peut bien sûr justifier pourquoi on définit ainsi e^(it). Si ce n’est pas connu, on montre d’abord que z=|z|×(cost+isint) avec t=arg(z). On pose alors f(t)=cost +isint. C’est une fonction complexe de variable réelle, mais si on utilise les règles de dérivation classiques on obtient f ’(t)=-sint+icost c’est à dire f ’(t)=if(t), avec f(0)=cos0+isin0=1.
Par analogie avec la fonction réelle définie par f(x)=e^(kx), avec k réel qui est la seule solution de l’éq. dif. f’(x)=kf(x) avec f(0)=1, on décide de poser par définition f(t)=e^(it) c’est à dire e^(it)=cost+isint. L’égalité cherchée s’obtient alors en prenant t=pi. En bonus on a l’écriture z=|z|e^(it) avec t =arg(z).
(On peut aussi vérifier avec les formules de trigo que par exemple e^(it)×e^(iu)=e^(it+iu).
Comment calculer une puissance avec un exposant complexe
Tu forces une forme exponentielle pour calculer un réelle à une puissance complexe.
Prenons l'exemple de 4^i.
4 correspond à exp(ln4) Donc 4^i = exp(iln4).
On sait que exp(ix) = cos x + isin x
De fait, 4^i = cos(ln4) + isin(ln4)
@@alaxgalaxy1550 merci pour votre réponse
Niveau fin de 3ème les 2 seuls choses que je n'ai pas trop compris c'est la constante d'Euler et le module d'un nombre
Quand tu parles de constante d'Euler, tu parles du "e" ?
e est un nombre irrationnel, à la manière de pi. Il vaut environ 2.72. C'est un nombre fondamental en mathématiques car il permet de définir la fonction exponentielle. exp(x) = e^x (e puissance x).
Cette fonction a une propriété remarquable. Sa dérivée est elle-même. Autrement dit, la fonction qui donne l'évolution du coefficient directeur de la tangente de exp en chacun de ses point est la fonction exp elle-même.
Exemple : je souhaite déterminer le coeff directeur de la tangente de la fonction exp en 3. Et bien, d'après la propriété du dessus, je sais que ledit coeff vaut exp(3) = e^3 (environ 20,12).
Alors attention, là nous sommes dans l'ensemble des nombres réels. Dans la vidéo, il parle de l'exponentielle complexe définit ainsi : exp(z) = e^z où z est un complexe. La page wikipédia sur l'exponentielle complexe t'expliquera mieux que moi.
Concernant le module d'un complexe, il s'agit simplement de la distance entre l'origine O(0;0) et le nombre complexe représentée par un point sur le plan.
Le module du nombre 2+2i noté |2+2i| est 2sqrt(2). Le module est toujours un réel positif, c'est une distance. Il se calcule grâce au théorème de Pythagore. sqrt(x^2+y^2) avec x la partie réelle et y la partie imaginaire.
Dans le cas du module de 1+i, notre partie réelle est 2 et notre partie imaginaire est également 2 (attention, ce n'est pas 2i !!).
On obtient alors sqrt(4+4) = sqrt(8) = 2sqrt(2).
[Balance] # -1+1=0
Si je comprend bien i n’a pas de valeur ? C’est juste une unité ?
i n'a pas de valeur réelle. C'est un nombre à part, qui a une valeur à part.
Il n'y a aucune démonstration dans cette vidéo
1) parachutage de la forme exponentielle
2) Application numérique avec Z = -1
Ce qui serait intéressant ça serait de démontrer qu' un complexe a+ib peut s'écrire sous forme exponentielle, (c'est probablement ce qu'Euler a fait )
Justement, je ne prétends pas démontrer quoique ce soit 🫠 je veux juste expliquer et vulgariser...
Un nombre complexe z peut s'écrire a + ib avec a et b réels et i le nombre imaginaire tel que i carré vaut -1.
| z| exp (i arg(z)) est une autre notation d'un nombre complexe z pas une égalité avec z.
Passer z de l'autre côté d'un signe égal avec cette notation et en déduire l'identité d'Euler me semble être un tour de passe-passe.
Je pense que la démonstration est incorrecte.
Et il est impossible d'isoler i dans cette formule afin de lui trouver une valeur réelle........
Excellent !! Ceci étant, un collaborateur (ou mathématicien) pourrait compléter ton propos
th-cam.com/video/icij8EjisiM/w-d-xo.htmlsi=97V4lMP3Bq5UlqEG
Mais … on a deux irrationnels + i et on tombe sur 0, ça m’épate ça m’épate ça m’épate
L'identité d'Euler c'est Euler
Belle démo mais avec un tout petit manque : on amène à 7:45 le nombre e dans la forme exponentielle d'un complexe comme ça, sans autre explication justifiant le fait que c'est e et pas un autre nombre.
Oui effectivement, le e n'est qu'une notation dans ce cas (j'imagine que, puisque les propriétés étaient les mêmes que celles des puissances, donc on a choisi "e", qui correspond à l'exponentiel, et qui, a priori, ne peut être utilisé de manière évidente dans le monde des complexes)
Utiliser, dans une "formule", un nombre imaginaire qui ne correspond à aucune valeur, ca sent un peu le foutage de gueule, non ?! Attendez, bougez pas, moi aussi je vais vous en pondre une fabuleuse formule : 6 tomates + i = - 17,5 lapins. Pas mal, non ? Vivement la médaille Fields...
Et pourtant, c'est bien comme ça que fonctionnent les mathématiques... 🥲