Matematica - Divergenza del Rotore: Perché è sempre nulla?

Dimostrazione formale e spiegazione intuitiva del perché la divergenza del rotore è sempre nulla.
Per capire bene il video, consigliamo di guardare prima le spiegazioni generali della divergenza e del rotore:
DIVERGENZA: • Matematica - Divergenz...
ROTORE: • Matematica - Rotore - ...

[@lorenzopiglia8671]

Grazie mille, molto utile

[@we-learn6734]

Grazie, son contento di ricevere finalmente feedback su questo video perché sinceramente quando ho capito questa cosa e ho deciso di fare il video mi aspettavo che fosse più apprezzato.

[@lorenzopiglia8671]

@@we-learn6734 Mi dispiace che non abbia ricevuto il feedback che meritava, per me è stato utile soprattutto nella parte 'intuitiva' che ho capito bene ; )

[@andresgagge6977]

@@we-learn6734 Purtroppo penso poche persone siano interessate a Divergenze, Gradienti e Rotori ;)
Però a me che serviva questa spiegazione è stata utilissima, grazie mille!!!

[@we-learn6734]

Si vero, però tra avere tante visualizzazioni o commenti come i vostri mi tengo i commenti. Alla fine gli argomenti sono questi perchè sono gli argomenti su cui avevo fatto anch'io fatica, e quando sono riuscito a capirli ho voluto condividere c'ho che avevo trovato. Comunque sono contento che ti è stato utile anche a te questo video.

[@DaveHelios99]

Se è vera l'uguaglianza delle derivate miste significa anche che il Rotore della funzione e il Rotore del Rotore della funzione sono nulli, corretto?

[@we-learn6734]

Scusa ma non ti seguo, a quale uguaglianza ti rifersci di preciso (minuto?). Se intendi quella al minuto 9:50, è il rotore della divergenza e non il rotore del rotore (da cui verrebbero fuori tutt'altre derivate miste).

[@DaveHelios99]

@@we-learn6734 mi spiego meglio. Se è vera l'uguaglianza delle derivate parziali seconde miste (cioè se è vero che esse sono uguali), allora anche l'operatore che descrive il rotore del rotore di una funzione dovrebbe essere nullo. Poiché il rotore è un prodotto vettoriale le cui componenti sono tutte quante differenze tra derivate parziali miste, allora tutte le sue componenti dovrebbero essere nulle.
Stesso dicasi per il rotore del rotore.

[@we-learn6734]

@@DaveHelios99 continuo a non capire a quale uguaglianza ti riferisci. Per la dimostrazione ho usato il fatto che dF/dxdy = dF/dydx, in pratica sfrutto il fatto che puoi invertire l'ordine con cui derivi (a patto che le derivate siano continue: math.stackexchange.com/questions/740593/changing-order-of-partial-derivatives). Questo non ti dice niente per il rotore di una funzione, in cui derivi una sola volta. Mentre per il rotore del rotore, se chiamiamo G=curl(F) allora la componente x del rotore di G sarà dGz/dy - dGy/dz, ma siccome curl(F)=(dFz/dy-dFy/dz, dFx/dz-dFz/dx, dFy/dx-dFx/dy), allora dGz/dy - dGy/dz = dFy/dydx -dFx/dydy - (dFx/dzdz - dFz/dzdx) che non è uguale a zero. Purtroppo qua nei commenti non è facile scrivere formule, spero si capisca

[@DaveHelios99]

@@we-learn6734 Cerco di spiegarmi ancora meglio, perdonami.
Per la dimostrazione tu hai posto la condizione seguente "Uguaglianza delle derivate miste". 😂 significa una sola cosa, no?
Secondariamente, prendiamo la prima componente del rotore di una funzione f. Essa sarà uguale a dFz/dy-dFy/dz
Ora, se è vero che Fz=df/dz e che Fy=df/dy, allora la componente che ho scritto prima è una derivata seconda.
In pratica, la domanda si riduce semplicemente a: è vero che Fz=df/dz e così via? Perche se è cosi, allora posso invertire l'ordine di derivazione e il rotore di una funzione dovrebbe venire sempre zero

[@we-learn6734]

@@DaveHelios99 se la domanda è: "è vero che Fz=df/dz" allora la risposta è "no, non necessariamente".
Riprendendo il tuo esempio, se abbiamo un campo vettoriale F per cui F:R3->R3, la prima componente del rotore di F sarà dFz/dy - dFy/dz, e fin qui ci siamo. Se poi tu dici che c'è un'altro campo scalare chiamato f per cui f:R3->R tale che Fx=df/dx, Fy=df/dy e Fz=df/dz, allora è vero che il rotore di questo campo vettoriale F sarà nullo, ma non tutti i campi vettoriali li puoi scrivere in quel modo. Un campo vettoriale di quel tipo (cioè Fx=df/dx, Fy=df/dy e Fz=df/dz) è in realtà il gradiente di un campo scalare, e come mostrato in un altro video, il rotore del gradiente è sempre nullo (sempre con la stessa ipotesi di derivate continue etc.).
Esempio banale, il campo vettoriale F(x,y,z) = (y, 0, 0) non lo puoi scrivere come il gradiente di un campo scalare. Verrebbe da dire f(x,y,z) = xy per avere Fx=df/dx=y, ma poi avresti Fy=df/dy=x e non 0.