【オールスターバトル】2024一橋 後期 数学 [2]【3次関数の決定】

[@mathkaleidoscope]

自然数の累乗和の公式を背景に持つ良問ですね。
f(x) の原始関数の一つを F(x) とする。
①の条件の式に、p=1+m から、p=n+m の n 個の数を代入して総和を取ると、自然数の３乗和の公式から、F(n+m+1)-F(m+1)=n²(n+1)²/4。n で微分すると、f(n+m+1)=n(n+0.5)(n+1)。n=x-m-1 を代入すると、f(x)=(x-m-1)(x-m-0.5)(x-m)。あとは、②の条件を利用して、m の値を決定すればよい。以下略。
自然数の累乗和の公式を微積分で導出する方法を知っていれば、自然数の３乗和の公式を n で微分して３で割れば、２乗和の公式になることがわかるので、答が一瞬でわかりますよ(^^)。

[@tekkinoho]

数列の知識を用いる方法ですね！多項式の等式が無数の整数pで成り立つから恒等的に等しい。
自分は最初この方法気づけなくって、何でこんなきれいな形になるんだろう？って悩んでました。

[@p-1math38]

条件式の両辺をpで微分して
f(p+1)-f(p)=3(p-m)^2
これにp=m,m+1,…,m+n-1(n:自然数)を代入したものを足し合わせると、
f(m+n)=f(m)+n(n-1)(2n-1)/2
が(n=0,1のときも含めて)成り立つ。
これにより、f(x+m)-f(m)は最高次の項の係数が1の3次式であり、x=m,m+1,m+2の3数について
f(x+m)-f(m)=x(x-1)(2x-1)/2…①
が成り立つから①は任意の実数xについて成り立つ。
よって、①をxについて微分すると、
f'(x+m)=3x^2-3x+1/2より、
f'(x+m)=0を解くとx=(3±√3)/6より、この2点で極値をもち、どちらかは
-2-m

[@tekkinoho]

詳細な別解ありがとうございます！
最後が平方数の和の形になる理由がよく分かりますね。

[@みふゆもあ]

解けました〜🎉👍
絶対他にいい方法あるはず、と思いつつ、完全に力でねじ伏せました😅
これ、恒等式の条件から得られた式でf(x)をmとxだけの式で表して、f'(x)=0の解を出すとm=-2は決定しますよ〜。「うまい解法」については他の方々のコメントで勉強したいと思います。
ご説明ありがとうございました😊

[@tekkinoho]

自分も最初は答案すごく長くなりました。
素直な答案とスマートな答案、両方楽しめるといいですよね！

[@mips70831]

サムネ。dxとするべきところdtになっています。

[@tekkinoho]

おわわ、修正しました。報告感謝！

[@vacuumcarexpo]

メンドクサイけど、深く考えずに手を動かせば解けるので、一応出来たが、やはりメンドクサイ❗
最後に急にf（x）の因数分解が出てきたけど、アレはどっから出てきたんだ？確かにそうなるけど。

[@tekkinoho]

めんどくさいですよね。自分もホワイトボード1枚に収めるの大変でした。
最後のf(x)の形がキレイになる理由、自分も気になって考えてみたら数列の知識でも解けるみたいです！
動画が長くてそこをカットした名残ですね。最後まで見て頂いてて感謝。