【見落としがちな解】2024東工大 [5]【整数？複素数？】

[@p-1math38]

条件より、2解の絶対値はともに1となるから2解の積の絶対値も1になるため、b=±1
b=-1のとき、方程式は異符号の解をもつので解はx=±1すなわちa=0
b=1のとき、方程式が異なる2つの実数解をもつならば同符号の解だから少なくとも一方(実は両方)は絶対値が1とならないので判別式D=a^2-4≦0
よって、a=0,±1,±2
a=0のとき、(α^2+1)(α^2-1)=α^4-1=0
a=±1のとき、(α^2+α+1)(α-1)(α^2-α+1)(α+1)=α^6-1=0
a=±2のとき、(α^2+2α+1)(α^2-2α+1)=(α^2-1)^2=0
より条件を満たす。
よって、(a,b)=(0,±1)(±1,1)(±2,1)
と解きました。

[@tekkinoho]

bの値で場合分けですか！
確かにそっちの方が共役な複素数と異なる2つの実数ということでスッキリするかも...

[@マリル-t5q]

自分もそれでやりました、とりあえず使えるものを探して使った感じ…

[@tekkinoho]

仲間！図を描いたりしてるうちに知ってる問題だと気付くタイプですよね。

[@ur6112]

問題文より |α|＝1、2つの解は共役であることは自明として…
解と係数の関係より、Re(α)＝cosθ＝a/2
aが整数ということを考慮すると、
cosθ=0, ±1/2, ±1と決まる。（a=0, ±1, ±2）
おのずとsinθ＝±1、±√3/2、0（複合任意）
あとは、2cosθ=a、cos^2+sin^2=bで求められました。少し泥臭い方法ですが。

[@tekkinoho]

いえいえ、スマートで良い方法だと思います！

[@北澤健生]

複素数のとても良い問題ですね。
東工大にしては優しめですかね😅
いつもながら分かり易いご説明と綺麗な文字（板書）、ありがとうございました😭

[@tekkinoho]

ありがとうございます！
取り組みやすいし類題も出やすそうということで重要問題ですね。

[@jalmar40298]

問題文が二通りに解釈できるのは良くない　∀α∃nか∃n∀αどちらだ
結局どちらの解釈でも同じことではあるが、解く前に無駄に考えてしまう

[@みふゆもあ]

解けました〜🎉👍
円周等分方程式に出てくるすべての2次の因数らしいので、解は暗記レベル…。
実数解を持つときは省略。
虚解のときは実際に方程式x^2+ax+b=0を解いて出てきた答えの絶対値が1であることと虚数解の条件とa,bが整数であることから
(a,b)=(0,1),(1,1),(-1,1)
と出ますので、代入した
x^+1=0
x^2+x+1=0
x^2-x+1=0
の解が確かに題意を満たすことを確認しました。
解説ありがとうございました😊

[@tekkinoho]

円周等分方程式って言うんですね。名前初めて知りました。
毎回解いてくださってる方には楽勝でしたね！

[@jalmar40298]

@@tekkinoho円分多項式だよ