ネイピア数「e」って何?πに並ぶ数学の重要な定数の解説
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- เผยแพร่เมื่อ 5 ต.ค. 2024
- ネイピア数という数学の定数の解説です。
eという記号で表され
e=2.7182818......と不規則に無限に続いていく無理数です。
ただし、単なる無理数ではありません。
例えば√2は無理数ですが、x^2-2=0という方程式の解になります。
しかし、ネイピア数はこのような代数方程式の解になりません。
このような特別な数を『超越数』といいます。ちなみに円周率もこのグループに属します。
数Ⅲでeの定義をさらっと習うかと思いますが、あまり深いところまでは教科書では触れていないので、いまいちイメージがつかみづらい定数であると思います。
今回の動画では、eが日常のどの部分で活用されているのかを解説しました。
★ご連絡はこちら
noutore_123@yahoo.co.jp
#数学#ネイピア数
【補足】
ボールの確率がeの逆数になるってさらっと説明してしまいましたので簡単に補足します。
n個のボールの場合、全て外れる確率は
｛(n-1)/n｝^n
です。極限は
lim(n→∞) ｛(n-1)/n｝^n
分子を分けると
lim(n→∞) ｛1-1/n｝^n
eの定義式の形と似ていますが()の中身が-になっていますので、変数を-nと見ると
［lim(n→∞) ｛1+1/(-n)｝^(-n)］^(-1)
となり同じ形になりました。
［］の中身はeに収束するので外側の-1乗して、1/eです。
数学Ⅰとか、しとけば良かったな。先生は評価したがりだったので、嫌いだったのよね😫
なぁるほど
超越数って方程式で編み出せない数なんだったら10n倍(小数点以下切り捨て)していったらコラッツ予想の反例として挙げられるのかなぁと感じたことがあるんですがどうなんでしょうか
@@福田英人-v2w ネイピア数が出てくるのは数3です。
？
日常会話から本題への展開が共通テストより自然で草
テストの会話ってすっごい無理やり感あるよね
ガチガチな受験生の緊張を解いてくれる粋なジョークやぞ
共テは分かりやすい方がいい
まじで見習って欲しいな
そら動画使えんし導入に10分も使えんからな
ネイピア数は最初は意味も使い道もわからなかったけど、数学を少しでも勉強するとどんどん便利で愛おしく感じてくるから不思議。
数学系だとこの人が一番分かりやすい
分かります。
自分が数学好きになったのも
このチャンネルが理由です。
それな、初めて見た時ひよこだからって舐めてました
ほんとこの鳥わかりやすいですよね
人じゃなくて鳥な🦆
分かりやすくて大好きです😘
@@リモコンの電池左 それな
どこぞのピヨピーヨみたいに
身近な話題から導入してくれるから聞きやすいし解説がめちゃくちゃ分かりやすいの凄いと思った
懐かしい。自分で勉強するとこんな感じで楽しくなるけど、高校や大学で話しを聞くだけだとこんな風に面白さを感じられないんだよな。
楽しく伝えられるうp主さんはすごいね。
大学の教授は教えるプロじゃ無いから仕方ない
茶番から本番へ話を持って行くのがうま過ぎて衝撃です、、、
学校でもこれみたいな話がeの導入だったから結構有名な教え方かも？
気がついたら本番に入っている
二項定理が分かりやすくて感動
数Ⅲを学ぶ前までは全く意味が分からなかったが、数Ⅲを学んでからeに感謝しまくっている
数三習う前から知ってたんだね
eって数列の極限で定義されるから数Bあたりで習うはず
計算技術検定でe出てきたから高一やけど存在だけは知ってた
eは大学数学でもう一度感謝することになる
@@MT-vj6cc
数Bでは扱わず、数Ⅲで log の微分を考える際に、ネイピア数 e が導入されます。
何となくで流してたけど、説明聞いてスッキリした
オープニングからどうやってeの話につなぐのかな、と思いましたがとてもなめらかに主題に入ってて素晴らしいと思いました。
突然わけもわからず当然のように出て来たeの意味が20年越しになんとなく分かってありがたいです。
プレイリスト見たんですが是非数学系のばっかり集めたのをお願いしたいです。
eについて知りたかったけど大抵定義とかlogの底とかしかなかったから助かります！
×低○底なので記述の時気をつけてくださいね
@@user-paipai ほんとだ！ご指摘ありがとうございます直しておきます
試験問題でも「自然対数の底」という呼び方がされてて、ネイピア数という呼び方ではなかった
@@マイドリップ ネイピア数を底として取った対数を自然対数と呼んでる。大学入試でネイピア数の定義が必要になるのは数3の極限に関する問題で、「nを∞とか0に近づける時にeの定義の形をしてるからこの部分は無理数eになる」っていう問題がある。数3やらない人はe^xを微分するとe^xになるとか使わない。eは自然対数の底として世界共通で使われることが多く、10を底としてとった対数を常用対数と呼ぶってことくらいで良いと思われ
@@user-paipai それは別にいいんだけどね
ネイピア数という言葉を使わずにその数を説明するのに自然対数の定義があれば十分だったわけで
当時すごくイビツな印象を受けた記憶があるってだけ
マジで「それが何を表しているのか」「それで何が出来るのか」をもっと教えるべき
本当にそう思います。
数学で三角関数が最初に出てきたときにつまづきました。何のために？そんな概念があるのかわからずに学ぶ意欲も湧きませんでした。
学習要領を大幅に変えてでも
始まりに時間をかけたほうがいいです。
後で爆発的に伸びる子が増えるはずです。
まずその必要性や汎用性を、具体例を持って説くべき。
長旅のストーリーになるかもしれないけど、その方があとあと数学物理好き、得意な子が増えると思います。電気電子電機系の仕事に就くなら大体必要になります。。そして営業職や資材部とかになったとしても、ある程度知識を知らなければ、振り回されるだけの苦しい仕事になるかもしれません。。
@中華ソビエト共和国
sinは、単位円(半径1の円)をもっと大々的に取り上げるべきなんです。単位円上をある一定の速度で運動する点のx座標,y座標が大事なんです(それがcos,sin)
対辺だの斜辺だの、実務で使うだけで、本質はそこじゃないですよね…？(自信なさげ)
単位円をなぜ考える…円運動をなぜ考える…それは万物の理や、交流電気を利用している、などの理由からです。
学校のやり方に文句言うのって、その人自身が今のやり方でできてるのかできてないのかで意味合いがだいぶ変わるよね。
それはそうなんだろうけど時間が足りないんだろうね。高校の学習のゴールは大学受験なわけだからそれらを教えてる暇はないし、教えなくても理解できる人はいる。時間がないならやり方だけ教えるほうが効率的だし、それ以上を学びたいなら大学数学でやれってことなんだろう。
アンパンマンのマーチに見えた。
……ごめんなんも関係ない
ここまで分かりやすくネイピア数を説明してくれたのはありがたい。
別チャンネルの虚数に関する動画でオイラーの公式が出てきたので、そもそもネイピア数って何だっけと思い調べ始めてこの動画見つけました。ちょうど疑問に思った時期がこの動画の公開時期の3,4か月後だったので見つけられたと思うと良かった。
ネイピア数に関連する次の動画が2つあるようなので、それも見ます。チャンネル登録も。
高校で数3をやらなかったのでネイピア数に縁がありませんでした。最近数学系TH-camチャンネル見てるのでやたらネイピア数が身近になっています。ここでもついに取り上げて頂きましたね。
大学受験前の時期はeとかlimとか∑とか普通に解いてたなあ…
今ではさっぱり覚えてないや、あの頃が人生で一番左脳が賢かった頃だった
共通テスト作問者も見習って欲しいほど自然な導入
使える時間と情報量(動画)が共通テストにはまったくない定期
ネイピアの定義忘れた時はいつもくじ引きの話を再現してました！1/eがでることだけ覚えておけば無駄に暗記する必要もないので便利です！
ほぼ1の∞乗って覚えてる。
いきなり極限の授業でこの式(あとlim(x→0)(1＋x)^1/xも)がオイラー数(ネイピア数よりオイラー派です)になるって言ってなぜこれだけ特別なのかな？って思ったけどπと肩を並べるぐらい重要な数字なんですね(e^xの微分が綺麗にe^xになるためだけの数字だと思ってました😅)
物理学では減衰を支配する超重要な概念やな。ちなみにπは振動。宇宙の支配法則としてこれがないといろいろやばいよな
すごい、やはり本当にわかっている人が、語る数学の話は、実に面白いし、分かりやすい。
このチャンネル見てから数学めちゃくちゃ興味持ったんで、もっとたくさん動画見たいです！
実数の領域でもこれだけ話が作れるのだから、複素数領域になると…オイラーの公式が目立ちすぎる。
ネイピア数のマクローリン展開って二項定理で説明できたんだ…初めて知った！
eとは直接関係ないけど、lim(n→∞) 1/n=0とするのが数学の中で一番好きですｗ
あんなにきっちりはっきり答えを出していたはずの数学が、１をいっぱいで割ったら『だいたい』ゼロだろ？って急にだいたいになるのがねｗ
既に知ってたらごめんだけど大学生になるとイプシロンエヌ論法って言う”だいたい”を不等式とかを使って定義しちゃうから楽しみにしてて
だいたいって言うか0になるやん
@@あああ-m3v6c でもそれだと0.06÷無限は0で(1+0)の無限乗でネイピア数が1になってまうで
@@視聴者B-l8r 面白そう
これを酷くしたのがトポロジーだからね仕方ないね
サラッとマクローリン展開にもっていってる。すごい
まーったくネイピア数について知らなかったけど、この動画で一発で理解出来た
神すぎる
ネイピア数eはπと同じ無理数で、その中でも超越数と言われる特別な定数。金利と確率という一見関わりがなさそうなところから導き出されるeはとても面白いなぁと感じました
個人的にはe^xを微分しても積分してもe^xだから覚えやすくてありがたい...
11:50 の無限に続いてる式をxで微分すると…
@@user-ib5cr3zl5o
へーこの式見たこと無かったけどそういうことだったのか、そりゃ同じになるわけだ
1/nの確率で起こる事象をn回試行した際に少なくとも1回起こる確率が
1 - 1/e ≒ 63.2%
に収束するというのは覚えておいて損ないですね
確率0.5%のガチャ200回まわして爆死した時でも三回に一回くらいはそうなるんだと自分を慰めることができるの…(´；ω；`)
316/1の確率を316回連続で外す確率もそれくらいあると知れば
魚群外しまくっても熱くならずにすむと
この確率がだいたい当てはまるのはnの範囲がどのくらいのときか分かりますか？
つまり目当ての１枚を狙って100連して爆死する確率は1/3ちょい、というわけですね
なんか凄く絶妙なバランスを感じる……
@@やちよ-g7e @やちよ。 60%くらいになるってのを知りたかったんじゃない？例えばn=2なら、1-(1/2)²=3/4=75% と差があるよ.
やっぱりヒヨコイかわいい~~😻ヒヨコイとオヤドリさんがいると、嫌いな数学がなんか好きになってくる~~
文系だから高校の時はちょろっとしかやらなかったけど、大学でめちゃくちゃ使うからタイムリーで助かる。
文系なのに数3とってるの！？？
@@短絡的思考女42 うちの高校は一部の生徒はちょっとだけ数3やってました。
@@短絡的思考女42 統計学だっけ？数Ⅲの微積を使うらしい。
10:18 超源RUSHなら2分の1を4回、超旋風RUSHなら4分の1を8回以内ってなると、このまま分母と回数が増えたら継続率は1-1/e^2に近づきますね
ちなみにx
俺もこの話出てきた時に真っ先にパチンコを思い出してしまいました…
@@user-UC3000 パチンカーだと体感的に知っている風だよね
数3で今やってるからまじで神
小さい頃考えてた事なんだけど、
「距離10m進んで、進み終わったら今度は半分の5m進んで、着いたらまた半分の2.5m進んで…を繰り返したらめっちゃ短い距離でも無限に進む事ができるけど、無限に進めるからといって、始めたところから50mくらい先の所に行けるかで考えたら行けないよなぁ…
無限に値が増え続けるのに、増えるのに限度があるの不思議」
て考えてたけどネイピア数知って時これと似てるやんてなってビビッた。
最近、πの動画をみてeについても知りたかったです。
情報工学で何進数が一番効率が良いかという講義があったのですが、答えはe進数が効率が良いということになります。
整数だと3進数(1,0,-1)とか2進数(1,0)が効率良いという事になります。
めっちゃ面白そう
コンピュータが3進数ならなぁとか考えてました
eがいつでも私達の身近にあるという話題でサービス終了するインターネットエクスプローラーを弔うんですね。素晴らしい弔い方だと思います！
微分しても形が変わらないのありがてえ
部分積分！部分積分！きえええええ！！！
@@user-vv2mh6xi5x そのまま積分、マイナスインテグラル、微分、積分、dx
雑巾を一定量の水で洗う時、水を小分けにして使った方がきれいになるけど、この時もeが現れます。
年寄りな自分にはネイピア数と言う言い方が新鮮に感じた。
高校で習った時は自然対数の底って教えてもらった。
自然対数の底って何やねん？と言う単語に疑問もあったが、
まあそういうもんだとスルーすることにした。
あまりお近づきになりたくない数字だがよく出てくるんだなこれが。
なんでだろ？ホント不思議。鮒一鉢二鉢一鉢二鉢...
ちょうど気になっていたので嬉しいです！
数学クソ苦手で動画見ても何も理解できないけど
とりまひよこいと親鳥さんが可愛いから見てる文系勢がどれくらいいるのか気になる
私はまさにこれ
ひよこいの髪型がいつの間にか変わってた
やはりナゾトキラボさんの解説はワカリヤスイ!!
ちなみに、y=e^xの(0,1)における接線の傾きは1です。
あれっ？と思っていたらあっという間に解が解けていた。主、天才過ぎ。大手予備校の講師とかもいけるんじゃね？すごいわー
超越数は唯一無二じゃなかった
唯二無三だった
二項展開をめっちゃわかりやす言ってるのんすげー
あの柔らかいティッシュだよね
それはネピアや
なんとなくΣ(n→∞)1/n!を計算していた時に割とすぐにそれっぽい値が出てきてびっくりした思い出
利息の話は、切り上げ計算しちゃうと細かくする分だけ最低1円のお金増えるので、10億円でも5000兆円でも得られる計算になっちゃう。。実際、昔の郵便貯金は切り上げだったので1ヶ月1000円定期をいっぱい作って1.2%、しかも非課税の利息を得る話がありましたね。
微分積分の超大事な定数と思えば円周率と同じく自然で大事な数とわかる。
これが複素数の世界で指数関数と三角関数を繋げるという凄いことが起きてるが、これは物理学などで非常に重宝する。
計算が楽になるからだ。
双対数(二重数)についての動画まってます！
自動微分とか 解が無限個になるやつです！
もうその動画投稿されていますよ！
@@nowar3607
双対数の動画はなにやら問題があったようで今は見られなくなってるそうです…(ヽ´ω`)
@@山田太郎-u7r7z
ほんとだ…検索しても出てきませんね
調べずに適当なこと言ってしまいすみませんでした💦
3:25 商品説明では半年複利とは一切謳ってないので、実は単利である可能性もある。
それから、利子所得に対する税金が源泉徴収される口座であれば、複利であっても利子の受け取り回数は少ないほうが殖える場合が多い。
ただただ、微分積分が楽だからいいやつという印象しかない(当方数弱)
導入が綺麗すぎて泣いた
e=2.71828...は学生の頃、布団の中で一発二発！で覚えてました...
しょうがくいちねんせいからずっときになっていたのでたすかりましたぁ。
すごい、、鳥肌立ちました！ありがとうございます！
ネイピア数を知った時 電卓でデカい計算した時出てくるあれか！ってなった思い出がある
デカい数を掛け算すると必ず2.718...の倍数が出てくるのかと思った
博士の愛した数式に出てきたから気になってた
めちゃくちゃ身近な所にある数字なんですね
配信お疲れ様です。
細かい事を言うと、借りて付くのが利息、預けて付くのは利子。
郵便局が貯金、銀行は預金。（この辺は最近は曖昧？）
この動画を見ると、指数関数と三角関数を繋げるオイラーの公式に納得が行く。
当選確実がX %のくじをX回引いて最低1回は当たる確率って65％くらいって知識だけはあった。(多くの人は一回は当たるだろうと錯覚する。)これがネイピア数と関係あるのか。面白い。
0:32
他の動画でも使われてますが、こちらのBGMはフリー素材ですか？
作業用BGMとしてループ再生したいのですが見つかりません！
助けて下さい！
覚書しときます
指数関数の微分を考える
(a^x)'
=lim_{h→0}frac{a^(x+h)-a^x}{h}
=lim_{h→0}a^x*frac{a^h-1}{h}
ここでh→0のときにfrac{a^h-1}{h}=1となるようにaを調節してみる
a^h=1+h
a=(1+h)^frac{1}{h}...①
これをe(ネイピア数)とする
すると、(e^x)'=e^x
後は普通に計算すると、
(a^x)'=(e^{x*In a})'
=a^x*In a
①の定義はh→∞にして辻褄を合わせてやると、
lim_{h→∞}(1+frac{1}{h})^h=e
とでき、動画の定義となる
3:53
ここ好き
めっちゃ分かりやすいけど将来的にはこんな感じで数学を日常に持ち込んで数学屋じゃない人にも分かりやすく教えれるようになりたい
今回のってアクチュアリーとかがやるんかな
オイラーの等式のeだけでもこれだけの奥の深さ！
くじ引きが外れたらまた戻して引く、なんてことを考えない限り、こういう数は導きだせないというわけですね。一見不合理なことを発想することで、新たな発見があるという好例ですね。
金利やくじ引きからあんな長くて不規則な同じ定数が出てくるってすごいなあ
11:08前後で
x=-1と書く事ができるので、「はずれの確率＝e^-1」つまりネイピア数の逆数になる、と一言付け加えて欲しかった。
オイラーの等式、e^iΠ+1=0を満たす数って覚えてたけど
超越数同士で虚数をかますとこんな関係あるんだなって思った
次回が楽しみ。
金利をｎ分割してｎ回繰り返すとか、同条件のガチャを100回引くとか、「同じことを繰り返す現象」では必ず「ネイピア数 e」が出てくると考えていいのかな？（指数の底の変換をするだけか）
自然現象や経済現象で「ネイピア数 e」がよく出てくるということは、自然現象や経済現象には「同じことを繰り返す現象」が多い、ということかな？
エクスポネンシャルていうやつですか？電卓についてるあれ
Xのx 乗根の極大値は、
X=e のときである！
コレを証明願いたい！
何故、eとの相関関係が生じるのかご教示願いたい❗️
f(x)＝x^(1/x)(x＞0)として、
①両辺正だからlogをとる
∴logf(x)＝logx/x
②両辺をxで微分
f’(x)/f(x)＝(1-logx)/x^2
∴f’(x)＝(1-logx)x^(x-2)
③f’(x)＝0のときlogx＝1、
∴x＝e
④増減表を描けばx＝eで極大をとることが分かる
いつから解説になってんだ………自然すぎて分からなかった
年利100%をしれっと求めるヒヨコイ…えげつないわ(笑)
「ネイピア数」って名前をこの動画で初めて知ったが、これは自然対数の底と同じものだろうか？使用文字や序盤の値「2.718・・・」見て咄嗟に自然対数ってキーワードが思い浮かんだ。
1828の循環かと思いきや不規則になってるツンデレ感が好き
銀行の利息はバブル期よりももっと昔の方がかなり高かったと思う。
eはオイラーが対数関数を微分したら結果の式の中に定数部分を発見した。それをｅと名付けて底をｅにしたら一気に多くの式が簡単になることに気がついた。これがｅの意味
定義から説明したってなんの意味もない
ネイピア数と言われるが発見者はオイラー
ネイピアは対数函数の偉大な数学者
オイラーの式と呼ばれて広まっているのは実は系である。
福利計算と結び付けるの天才
当方的には、自然数nに対してn→∞とするときΣ(1/n!)の各項の足し合わせ順序をどんなに変更してもすべて同じ値に近づいていくことが、未だに謎のままです。
無限級数Σ(1/n!)は絶対収束するから任意に並び替えた級数も収束し、その値は元の級数の収束値と一致する。ってのが事実の羅列。絶対収束することを確認するためにはダランベールの判定法を用いればよい。
任意に並び替えた級数が同じ値に収束するっていうのを無条件収束って言いますが、上に出てきた用語は（多分）全てwikiに項目があるから検索検索ぅ〜
f(x)=a^xにおいてa=eを代入して
f(x)=e^xとしたとき、
f'(0)=1となる
卑近な例では、パチンコ(いわゆるセブン機)の、大当り確率(1/ｘ)の分母ｘまで回した(抽選をｘ回繰返した)時、大当りしない確率(割合)に使われますね。
クッソわかりやすい。
学生時代にこれがあれば…
これってe^xのマクローリン展開ってことですか?
分かりやすすぎて震えが止まらない
数学好きの頭が弱い人種なので助かる
対数が関わっている物理法則でよく見るなぁ…
マジでわかりやすかった！！
数3スムーズにいけそう！
まぁ数3はこれ分からなくてもできるけどね
銀行預金の利率と関係しているというのは
Newtonにも載ってました
面白かったです。次回の動画楽しみにしてます！
小学生には式が意味わからないのに面白く感じるのすごい
社会人になるとある程度の数字は覚えるもの。例えば2や10の三乗根は1.26、2.1544だと覚えておくと良い。おいら荷無いや荷は厭荷は横で2.71828182845と覚えられてしまう
大変分かり易い解説ありがとうございます。ボールの例題で補足説明で理解できましたが、動画中の「ボールの数を増やす」と同時に「試行回数もその分増やさ」なければe には近づかない。。ということですね。
簿記や複利計算は数学に詳しくなくても、年金原価係数等でできるようになっている。
これを一般化・発展させたものがファイナンス論で、複利の極限はeの指数に、
二項分布の期待値の極限は正規分布の積分式になっていく…まぁあくまで理論上ですけど。
最後のボールの例え…
パチンコでどハマりした時に、どれぐらいの確率の不運を引いたのか電卓で弾いた時を思い出す…
最近習ったのでありがとうございます!