怎么说呢，其实关于罗素悖论实际上已经被证明是不存在集合论里了，而不是把它变得公理化。以下是定理 Cantor's Theorem：If A is any set, then there is no surjection of A onto the set P(A) (power set of A) of all subset of A. Proof: Suppose contrary that f: A-> P(A) is a surjection. Since f(a) is a subset of A, either a belong to f(a) or it does not belong to this set. Let D = {a in A: a not in f(a)}. Since D is a subset of A, if f is a surjection, then D = f(a_0) for some a_0 in A. We must have either a_0 in D or a_0 not in D. If a_0 in D, then since D = f(a), we must have a_0 in f(a_0), contrary to the definition of D. Similarly, if a_0 not in D, then a_0 not in f(a_0) so that a_0 in D, which is also a contradiction. Therefore, f cannot be a surjection. 然后哥德尔不完备定理不是说的是哥德巴赫猜想，黎曼猜想不可证，而是说不可能用有限公理去证明所有的数学命题。毕竟人类能发现的公理都是有限的，无论数学发展得多高，总存在某些命题不可证。黎曼猜想，哥德巴赫猜想可能十几百年后因为有新的公理和工具所以得到证明，但是也会因为新公理的诞生导致还是会存在某些命题不可证。换句话说数学是永远发展不完的，所以直接破灭了希尔伯特的理想。我再举个例子吧，300多年前，许多数学家也是认为费马猜想是不可证的，但是现在还是得到了证明，就因为我们拥有了非常多的新公理和数学工具，伽罗瓦理论，椭圆曲线，代数几何，模函数，Hecke algebra，类域论等等使得费马猜想变成定理
以下是胡言亂語 空集合是所有集合的子集，那空集合包含空集合嗎 ? 如果包含，那空集合不就是沒有任何元素的集合嗎 ? 如果不包含，那為什麼空集合會是所有集合的子集呢 ? 如果觀測 S 集合，那便可以確定集合內的所有元素，但無法確定是否包含 S 集合本身 如果觀測 s 元素，那便可以辨認 s 元素是不是 S 集合 不觀測的時候，兩個狀態同時存在；觀測時又只能確定其中一種
本身讀物理系，真的越讀越覺得自己什麼都不會，雖然已經會解各種方程組，用數學敘述各種物理模型
但是就是會發現更多無法處理的東西
真的是這樣的~
那是因為你都在手扶梯=1000
因為正常人讀完物理只是會用。由無開始建立出這些東西的人理懂上能繼續解決發現出的新問題, 問題是他們活得不夠久。
什么是真理？逻辑就是真理，数学就是表达逻辑的形式。这个世界的终极问题就是，我们这个世界到底是一个逻辑存在，还是一个概率存在，还是逻辑和概率的叠加态。。。。
不是物理系，只听过贝索斯大学时放弃物理方向的原因，需要达到全球top50才能做出点成就。
说的挺夸张，应该也是不错的吧，毕竟物理已经好多年没听说有什么发展了。。。
怎么说呢，其实关于罗素悖论实际上已经被证明是不存在集合论里了，而不是把它变得公理化。以下是定理
Cantor's Theorem：If A is any set, then there is no surjection of A onto the set P(A) (power set of A) of all subset of A.
Proof: Suppose contrary that f: A-> P(A) is a surjection. Since f(a) is a subset of A, either a belong to f(a) or it does not belong to this set. Let D = {a in A: a not in f(a)}. Since D is a subset of A, if f is a surjection, then D = f(a_0) for some a_0 in A. We must have either a_0 in D or a_0 not in D. If a_0 in D, then since D = f(a), we must have a_0 in f(a_0), contrary to the definition of D. Similarly, if a_0 not in D, then a_0 not in f(a_0) so that a_0 in D, which is also a contradiction. Therefore, f cannot be a surjection.
然后哥德尔不完备定理不是说的是哥德巴赫猜想，黎曼猜想不可证，而是说不可能用有限公理去证明所有的数学命题。毕竟人类能发现的公理都是有限的，无论数学发展得多高，总存在某些命题不可证。黎曼猜想，哥德巴赫猜想可能十几百年后因为有新的公理和工具所以得到证明，但是也会因为新公理的诞生导致还是会存在某些命题不可证。换句话说数学是永远发展不完的，所以直接破灭了希尔伯特的理想。我再举个例子吧，300多年前，许多数学家也是认为费马猜想是不可证的，但是现在还是得到了证明，就因为我们拥有了非常多的新公理和数学工具，伽罗瓦理论，椭圆曲线，代数几何，模函数，Hecke algebra，类域论等等使得费马猜想变成定理
受教
哥德爾不完備定理也不是這麼解釋，應該說是哥德爾證明在任何公理體系裡，只要包括自然數（皮亞諾公設），那麼我們總是能構造出一句「是真的、但我們無法證明它是真的」的句子，這和駁論那種「既是真的、又是假的」那種矛盾不同，也和哥猜之類還沒被研究出怎麼證明的猜想不同，不是數學工具或公理的完善問題，而是題目從一開始就沒辦法被證明，或者說我們能證明它不可被證明⋯⋯好繞。
FromAI：
不，这段话描述的是康托尔定理的证明，与罗素悖论无直接关联。康托尔定理是集合论的一个基本结果，而罗素悖论则是涉及集合论中自指的悖论。
罗素悖论是由哲学家和逻辑学家贝特兰德·罗素提出的，它涉及到一个关于自己是否包含在自己中的集合的问题。具体来说，罗素提出了一个集合：包含所有不包含自己的集合的集合。然而，这个集合既不能包含自己，也不能不包含自己，导致了悖论的出现。
康托尔定理和罗素悖论是两个不同的概念。康托尔定理说明了在集合论中，不存在一种满射将集合 A 映射到其幂集 P(A) 上，而罗素悖论是一个关于自指的悖论，涉及到包含所有不包含自己的集合的集合。
需要注意的是，罗素悖论的存在对集合论提出了一定的挑战，并促使数学家们对集合论的基础进行严格的公理化和修正，以避免类似的悖论。康托尔定理本身并不直接解决罗素悖论，但它是集合论的一个重要结果，有助于我们理解集合的性质和限制。
CW大大基本上說得太好了。小弟讀研究所的時候剛好對這個主題做過研究。弗雷嘉的研究還是很有價值, 為集合論打下了重要的基礎, 羅素悖論只是指出了他致命的漏洞, 並不是否定了他理論的價值。公理化的集合論是研究現代數學最重要的工具(之一?), 研究所以上的代數, 分析學, 拓樸學等等, 都用集合論來教導和學習, 而集合論是建立在公理系統之上的。康托和傅雷嘉的集合論發展到最後被羅素悖論敲懵了, 修復的方法是去檢視當下集合論建立的公理體系需不需要補強。解決羅素悖論的方法, 就是在集合這個概念之上, 另外建立一個可以不被羅素悖論困住的概念, 叫做 class。在這個新概念之下, 又可以建立一個 "馮諾曼宇宙" 的概念。我的研究只到這裡, 沒時間再往下探討, 但我直覺馮諾曼宇宙可能是類似向量空間(矢量空間)和希爾伯特空間的概念。
CW大大對歌德爾不完備定理的解釋非常到位。小弟再多費唇舌解釋一下。哥德爾的定理的確是針對公理體系的本質的。公理體系本身不能有內在矛盾, 必須是自洽的, 但與這個本質同時存在的是不完備性。就是說在這個"自洽的"公理體系下, 必定有無法證明為真的真實陳述。但如果擴大這個公理系統, 例如把ZF公理系統加上一個選擇公理(Axiom of Choice), 擴大了這個公理系統為ZFC公理系統, 就可以修補ZF公理系統原先無法證明為真的真實陳述。另外, 也可以建立新的公理系統, 把困擾舊公理系統的問題在新公理系統之內給"解決"了。印象中羅素悖論應該就是在逢諾曼新建立的公理系統之下解決了。附帶一提, 不論是擴大公理系統還是另建公理系統, 幾乎一定會另外定義一些新詞。數學公理系統就靠不須證明的基本定義和幾條公理, 去證明定理, 再以定義, 公理, 定理去證明新的定理, 如此這般展開整個體系。
到目前為止, 現代數學的演進, 應該就是在公理系統的擴大和建立之下不斷進展。第三次危機已經解決了, 下一次危機是什麼, 目前還沒遇到吧。
@@user-em8rg2be2s 問題是，如果有一個「是真的、但我們無法證明它是真的」的句子，但因為我們知道他是真的，不就代表我們已經證明他是真的了嗎?也就是說其中有一個假設，而我們無法證明這個假設才能達成，而這個假設應該是「不可能存在矛盾」，因此數學的一致性只有兩種可能1.錯的2.無法證明的
然後我們選擇相信他是無法證明的
以故事敘述是很多大師很愛用的手法（類比式思考），如此一來可以讓多數人都聽懂。雅桑有抓到我們觀眾要的口味XD
學過集合的人應該聽得懂，這是我聽過最好懂的解說，關於這支影片，我認為原本就懂的人能看到最後，沒學過的人......找我老婆來看看
您過譽了
老婆說:
我只給沒零用錢的老公零用錢，給老公零用錢以後老公就有錢了，那我就不能給老公零用錢。如果我不給老公零用錢，那老公就沒有零用錢了，那麼我就應該給我老公零用錢........
然後引爆了家庭危機
@@user-vu6hn4um6x 那老婆應該給老公錢 然後老公花完錢後變回沒有零用錢的人 那老婆就能再給老公零用錢了
@@user-vu6hn4um6x 老婆說: 我不記得什麼時候給過老公錢了, 既然老公有錢了, 那我就不用給老公錢了。
沒學過的人表示還是不太懂
之前我也聽過一個很類似的故事
有個媽媽的小孩被鱷魚咬走了，媽媽跑去跟鱷魚商量不要吃她小孩，鱷魚說只要答對問題就不吃她孩子，打錯今天就有晚餐了，鱷魚說：「猜猜看我會不會吃了你的孩子」，媽媽說會，但鱷魚就混亂了，假如媽媽答對了，鱷魚就會吃掉他的孩子，但又不會，假如媽媽打錯了，鱷魚不會吃掉孩子但他又會
有时候解题反倒不高明，留点量子叠加态才更符合宇宙真相，所谓谈玄就是如此，在于契合真理和不契合真理之间，非得求个结果反落俗套。
谁能打破这样不能自洽的逻辑呢？这是一个薛定谔，在没决定之前都是不确定的
我是鱷魚就吃一半。
有点儿像那只薛定谔的猫，倒死不活的猫 chillwdogchillwdogchillwdog 什么是真理？逻辑就是真理，数学就是表达逻辑的形式。这个世界的终极问题就是，我们这个世界到底是一个逻辑存在，还是一个概率存在，还是逻辑和概率的叠加态。。。。chillwdog
@@jackzeng3788 有点儿像那只薛定谔的猫，倒死不活的猫 chillwdogchillwdogchillwdog 什么是真理？逻辑就是真理，数学就是表达逻辑的形式。这个世界的终极问题就是，我们这个世界到底是一个逻辑存在，还是一个概率存在，还是逻辑和概率的叠加态。。。。chillwdog
這個問題最大的問題就是球員兼裁判。如果他是裁判，那麼他就不應該歸屬在球員上。如果他是球員，那麼他就不應該歸屬在裁判上。
就是观察者和被观察对象在一个坐标系的缘故。
您把一個不好說明的悖論講得相當有趣👍
這期我真的怕很難講好。
@@雅桑了嗎
講到超好的
我看懂的一瞬間還飆了聲髒話
還飆了一聲髒話？你這個厲害了！哈哈
@@雅桑了嗎 一直都覺得數學讓人很頭疼;不過您的講解有化繁為簡,很有深度卻也很好吸收.還有數學的盡頭是哲學無誤🤣
理髮師要明白自我是什麼
當他是理髮師的時候就不能幫自己刮臉
當他不是理髮師的時候就能幫自己刮臉
取決他在上班還是下班的時候
話說刮別人鬍子前
還是先要把自己的鬍子刮乾淨
這次真的看的一知半解…
但我還是想試著回答下提問
我覺得人知道的越多，自己所理解的未知也會越多。對自己「無知」的感覺其實不是自己「知道」多少而是「不知道」多少。
就像那個圓一樣，黑暗是未知，圓內是已知，而對對未知的感受來自於周長。所觸及的黑暗越多，就越能感受到黑暗…
我學習的途中對此深有體會…
我以前的老师说和你一样的话。
@@jackzeng3788 我覺得你的老師是個很好的老師！！你的老師可比我厲害多了👍
@@morino981 过奖了，虽然我还不太理解，但让我回忆到了过去，我的初中老师说过。挺好的。
是的~~窮舉到最後就成柏拉圖的一句話...."我不知道"~這句話是很深奧的
不過別活得太累，用亞里斯多德的哲學就可以解決大部分實際的事
不在可感知經驗中的事物，無從證偽，亦無法證明為真，無須為此爭論
你永遠無法將不在對方經驗中的事物描述出來給對方了解
只要知道，知識永無止境，即可
把矛盾的條件隱藏在表面說得通順的句子裡，就可製造“邏輯矛盾”。
理髮師提出的條件在合約法中叫 ambiguity. 沒說明細節，在現實世界便不可執行。
等於我們不能找全能的神造一塊舉不起的石頭。
學完集合論後的感想︰不同事物總是互相包含或干涉著對方，以讓自己能更接近第三方觀察者所謂的真實。其實只有事物自己，才能證明的了自己是否接近真實，但接近真實的的事物卻又覺得不須證明就是真實了。
最後一句有夠實在的，以一個IT相關工作的我與對系統邏輯一知半解的甲方在交談，對方總會提出邏輯矛盾的統計規則，要求我們產出數據....
這就是公司文化常見的操作了～不見怪不見怪～老闆就是搞事，挑戰你的能力～
公司就是這樣，行銷部要預算才能做好行銷～會計部門要節約預算砍行銷部預算～結果兩部門吵起來～上到管理者層面(公司經營人身上)，經營人也不想搞事～說你們兩橋好就好～(兩個都是為了公司好拿捏好分寸很困難的～)
矛盾就是現實存在的問題吧！
我一般的回复是“不管您有什么新奇的想法或提案，只要时间够长事情总能解决，就是不知道您能不能接受那条时间线的长度。。。。。。”
畫邏輯集合圈圈比較具像....他們還是有機會懂的
话说这还是我第一次在讲数学的视频下留言呢。
我觉得吧，一个人知道的越多，越想把自己的观点和知识变的无懈可击，越想“证明”自己的就是对的，但这也越难，因为证明就是找出为什么这个东西管用。
但是当一个人知道的越少，越容易把一切的东西给“公理”化，这也越容易，毕竟管用就行，管它为什么管用干嘛呢。
就好比天空为什么是蓝的：
前者（可以是个科学家）会说因为太阳光遭到折射，以及别的原因，而这一切都是通过科学手段“证明”的。
后者（可以是个小孩）可能会说爸妈告诉他天空的蓝色是反射了大海的蓝色。
后者长大以后可能会思考为什么就只有天空会反射，而且只会得到蓝色，毕竟在内陆里可没大海啊。而这时后者就会慢慢的向前者而靠拢，最后成为前者。
哈哈，看來是引起您的共鳴了
有点儿像那只薛定谔的猫，倒死不活的猫 chillwdogchillwdogchillwdog 什么是真理？逻辑就是真理，数学就是表达逻辑的形式。这个世界的终极问题就是，我们这个世界到底是一个逻辑存在，还是一个概率存在，还是逻辑和概率的叠加态。。。。chillwdog
如果村裡的首富是百萬富翁, 他沒進過城, 所以一直以為自己很有錢; 有一天進城了, 才發現城裡的一般人都是百萬富翁, 他才知道原來貧窮限制了他的想像. 他開始後悔為什麼沒事要進城了.
哥德爾不完備定理有兩個 第一不完備定理常見的版本是關於自然數系的一階邏輯算術(包含加法與乘法)公理系統的四個理想性質不能同時成立 這四個理想性質分別是 1. 無矛盾性(或稱自恰性) consistency, 即此公理系統無法證明出矛盾句 2.完備性 completeness, 即此系統能夠證明所有關於自然數系的一階邏輯算術真理 3. 可判定性 decidableness, 即給定任意一個一階算術句子 能夠判定該句子是否為公理 (自然數系的公理系統應該要包含無限多條公理) 4. 豐富的表達力 expressive power, 即所有自然數系上的可計算函數(也就是Turing machine)都能夠在此系統下以一階邏輯算術句子表達
滿足上述1, 3, 4這三個條件就能夠寫出能夠判斷一個一階邏輯算術句子是否為該公理系統下的定理的一個句子(且其本身也是一階邏輯算術句子) 如此便能構造自然數系滿足的「我是真理若且唯若我不是定理」的一個真理句子 如此2便不成立
關於這個話題更詳盡的探討 我推薦 H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas等人所著的Mathematical Logic, 2e (第十章)
刮脸的问题被我小学二年级的儿子瞬间秒解，他说刮脸完成前他是不给自己刮脸的人，所以完全可以给自己刮脸，刮完之后就不能给自己刮了，因为那时他是给自己刮过脸的人。我想了一下逻辑很正确，举个简单的编程逻辑分支if else处理，以JavaScript为例：let i=0;if(i==0){dosomething();i++;}else{doAnotherthing();} 这段代码不会同时进入if和else statement，即便在if statement中i变为了1，程序也不会进入else statement。
無知的人通常自己有錯誤了，還不知道，還會覺得自己甚麼都會只是因為自己太無知了
學越多才會知道自己多無知是有先見之明會持續成長
片尾提問讓我想到
莊子·內篇·養生主第三:吾生也有涯，而知也無涯。以有涯隨無涯，殆已！已而為知者，殆而已矣！
結論:知足常樂
嗯？結論是知足常樂嗎哈哈，我覺得是 Stay hungry, stay foolish. 用謙遜的心態努力學習。
個人認為，數學=用科學解釋+用哲學理解+用藝術表現
雅桑 你的說法很好 集合論真的是基礎 沒他 沒有二分樹理論 沒數據庫標準化 沒有steam基礎 沒有密碼學 也沒有電腦 人工智能 大數據 等等東西出現 數學是產生電腦學科目 終於有人說我的想法
滿喜歡數學的，希望以後拍更多關於數學影片。
安排
耶和華是全知全能的神
那他能不能創造出一顆
“自己搬不起來的石頭”
如果可以創造出來
那他就無法搬起這顆石頭
那他就不是全能的
所以他應該要能搬起這塊石頭
但是這樣一來
他就不能創造出
自己搬不起來的石頭
可是因為耶和華是全能的
所以他可以創造出
自己搬不起來的石頭
哈，很有趣的文字悖論
定義一個自己搬不起來的石頭if only if 將自己的全知全能自願削弱，不知道你懂不懂我的意思
我不相信神是全能的，但這個論證不完善。以下是我的反駁：
1.上帝是全能的
2.因為1.，所以上帝可以做出違反邏輯的事
3.所以上帝可以創造出「自己搬不起來的石頭」並搬起這塊「搬不起來的石頭」，雖然石頭一被搬起就已成為「可搬起的石頭」，但上帝可以違反邏輯的方式（即我們無法理解的方式）強迫該石頭的本質依然為「搬不起來的石頭」
這麼愛玩文字遊戲, 神並不會被你難倒, 因為我只是人卻想到了完美解決這問題的方法, 神可以造出另一個自己(代號02), 本尊先造出一個自己搬不起來的石頭, 01的自己確實搬不起來, 但代號02卻可以搬起來
我想問一個問題，還望諸君指教：
假設上帝創造出與其同等的分身，並命令其搬運本尊不能搬運的石頭，我自己認為會衍生出兩個解，即：
1)分身能夠搬動石頭，但這會引發矛盾：上帝的分身理應與自己享有同等的全知全能。若分身能夠搬運石頭，那麼是否代表著創造石頭的上帝本尊並不擁有全知全能？與其同等的分身又是否擁有全知全能？
2)分身不能搬運石頭，但這也會衍生矛盾：上帝同等之分身不能搬運石頭，那麼上帝本尊是否擁有全知全能？上帝的分身又是否擁有全知全能？
最后那个问题，我觉得蛮好解释的。本质上是个效费比的问题。
因为人们总是在用完备且自洽的形式，来阐述其实是各方妥协、但够用且运作良好的结论。说得太详细了，不是专业人士听不懂（投入成本太高），而且与给出够用的结论的结果也相差不大（效用低）。
而从听众一方来说，多数时候也不是真的为了知道真相，而是为了求个心安。所以，很多时候哪怕只是一个完全没有实质内容的纯粹形式上的解释，很多人也会接受。这一点，宗教就是典型。人怎么来的？别问，问就是上帝造的。人死了会怎么样？别问，问就是天国地狱。这也是一种消费比的体现。有一个形式上说得过去的说法（成本低），就足够解决心理上的不安了（满足基本效用），你给我更精细化的解释（高成本），最多也不过是让我更踏实一丢丢（边际效用趋近于零），而且要是碰上个数学危机这类把解释体系都要搞崩了的问题，反而会造成更大恐慌（边际效用变为负值）。
人类的认知进步难度就在于此，不求甚解的差不多主义其实就是当下效费比最高的选择，或者说人话就是思想的舒适区。超出思想认知的舒适区不止是个困难事，而且实话实讲也是个反人性的事。
思考的越多，知道的也越多，所以知道自己有的知識相對少。反之亦然。比如說：人類在哈伯望遠鏡發明之前，只能看到肉眼可見的星星，知識相對有限，到了地理大發現、哈伯望遠鏡發明後，人們雖然更進一步瞭解地球，但也知道地球相對宇宙而已，只是一個點
數學就是為了量化 一支筆等於一支筆 1=1 但是微觀尺度下其原子數量一定不相等 所以想用同一套數學統一各尺度很難做到吧
有点儿像那只薛定谔的猫，倒死不活的猫 chillwdogchillwdogchillwdog 什么是真理？逻辑就是真理，数学就是表达逻辑的形式。这个世界的终极问题就是，我们这个世界到底是一个逻辑存在，还是一个概率存在，还是逻辑和概率的叠加态。。。。chillwdog
我們必須知道數學工具裡面是沒有文字敘述的
文字敘述只是數學工具的使用時機跟使用方式的輔助
所以給自己刮臉的這個問題本質上是文字跟哲學的問題
我們必須知道給自己刮臉這故事裡文字的意思
裡面的這個"不"是甚麼意思呢?
如果理髮師給"從不"自己刮臉的人刮臉
那他就必然不能給自己刮臉
但是如果他是給不自己刮臉的人
顯然他可以刮自己的臉
然後刮完了之後自己才算是一個給自己刮臉的人
當然你也可以說他本"可以"給自己刮臉
但是他"不可以"給刮自己的臉的人刮臉
所以他不可以刮到自己的臉
所以他可以刮臉但是他不能刮臉
你可以解釋成他可以刮，但是他刮不下去
當然以此就會有很多解法而不至於矛盾
其實大部分的矛盾都是屬於語文學跟哲學邏輯的矛盾
而不是真正的物理上的矛盾
這種矛盾屬於文字與邏輯的破缺
而不是真實的衝突
根本上就是源自於提出問題跟被問題困惑的人自身的學識跟處理能力
以上屬於矛盾問題的暴力破解方法
即是直接在矛盾上上升一個維度來準確定義文字的意義
數學上也是如此
弦理論跟其他延伸理論即是如此
物理上各種高能對撞跟分學也是如此
如果你覺得你很會了數學跟物理
卻無法在日常生活解釋各種東西
很明顯你缺少的是哲學跟邏輯
反過來講
就算你不是真的了解數學跟物理
縱然你半個方成都解不出來
你也可以解釋一件事物的大概全貌
因為對於人來說定義問題以及讓人能了解問題的根本
是哲學而非數學
因為根本上我們就是在使用一套有缺陷的語言系統在認知世界跟交流
而不是直接用文字在表達一件事情的真理
我們辦不到我們也沒在這樣做
但是從來我們都在這樣想
非A 則 B的基礎去討論邏輯 本身就有思維盲點 因為我們會漏掉了其他可能性
公理的創造 看起來的確是暫時的解決了這個BUG
結論就是不知道、不好說、不可說。哥德爾好樣的，當別人在還疑人生時，直接躺平了
從哲理上並沒錯，直接站在不敗的至高點
我覺得這部影片久違的激起我對數學的熱情，也讓我對集合有更多的了解，我很喜歡！講得很棒，謝謝您，辛苦了～
您過譽了
有点儿像那只薛定谔的猫，倒死不活的猫 chillwdogchillwdogchillwdog 什么是真理？逻辑就是真理，数学就是表达逻辑的形式。这个世界的终极问题就是，我们这个世界到底是一个逻辑存在，还是一个概率存在，还是逻辑和概率的叠加态。。。。chillwdog
嘿嘿，沒錯啦，懂得越多的人就像擁有越大的莊園農夫，他所面對的圍籬也越大!!
数学并不是一种经验科学。数学是人类基于人类自身的理解能力，发明的一种语言。这种语言在一定程度上可以用于和应对，人类，在其接触范畴内，对许多事物的描述。但它在自洽性方面有相当大的问题。我们需要去解的每一道数学题都是这种自洽性问题的体现。换而言之，如果数学是完美的，我们就不需要去解这些问题，正因为这种语言存在这种问题，所以它不够完美。但还是要回到人类自身的能力上，人类还没有其他更好的方法。尽管如此，世界决不是基于数学建立的，只是人类用这种语言在一定程度上描述了它。
做這種主題真的很不容易
您向數學致敬，我向您致敬
想請教一個問題，關於理髮師悖論
A = {給自己刮臉的人}
B = {不給自己刮臉的人} = {給別人刮、不刮、...、其他}
既然理髮師只給不給自己刮臉的人刮臉，自然不屬於A
那麼就至少屬於B不是嗎?
1. 他可以給別人刮，畢竟自己不是別人，合理
2. 他也可以不刮
3. 理髮師只給不給自己刮臉的人刮臉，但沒有說不給自己刮臉的人一定要給理髮師刮啊
這樣哪有悖論呢?
1.人的知識好比是圓圈，圓圈裡面是已知的 圓圈外面是未知的，你知道得越多 圓圈越大，你不知道的圓圈就越多。
2.那麼你知道位什麼一個人有了一定的知識之後阿，思考的知識越多，卻會越覺得自己的知識月真相月可爸越可怕; 相反的一個人缺乏知識阿，發現和思考問題能力低 卻覺得甚麼都懂呢?
感觸鰻深的
法律系快畢業的我居然聽懂了一些。。。
但還是沒有完全解開我的疑惑，社會科學的基礎理論是什麼？
社會科學的邏輯推理本質上與數學的邏輯推理，其差異為何？
法律是純粹的社科，但完全使用邏輯推理，可能就會走向極端，所以才需要法官個案審查/學說見解加以調整，這與數學領域在某個板塊必須使用公理化，不曉得能不能類比。
某些社科研究早在上世紀七零年代，即開始使用數學作為研究工具，例如政治學、經濟學，
法律經濟學也勉強擦上邊，不曉得這些運用數學工具作為實證研究的社會科學，有沒有可能讓理科、社科最終出現大一統。
韓德大法官與霍姆斯都說過法律的本質非邏輯而是經驗，但我隱約覺得社科其實是兼具邏輯與心理學的高深學問，兩者架構了任何一種社會科學的基礎，而”經驗“本身其實僅是邏輯推理中的歸納推理罷了，因此有沒有可能讓心理學邏輯化，或許就是讓社會科學體系邏輯化的關鍵因素。
想讓社會科學公理化應該挺困難的，因為若想以演繹法推導出嚴格普遍的社會科學體系，則必須確保基本前提必定正確。但這些基本前提（即公理）儘管再怎麼不證自明，都是經驗的產物。
數學體系之所以擁有嚴格普遍性，是因為數學的公理絕大部分抽離了經驗，所以不受經驗的不確定性影響
今天的內容真的是我最喜歡的一次，也是我聽過把羅素悖論（以前聽都叫理髮師悖論）講得最通俗易懂的一支影片～
過譽了~
爱因斯坦的相对论不是解决了这一个问题吗？选择的参照物不同，就会有不同情况。A集合选择包含A自己，B集合选择不包含自己，A集合是相对于集合A来说，另外一个集合是B集合。而B集合不包含集合B，是相对于集合B来说的，因选择“自己”的参照物不同，而产生悖论。
這樣聽起來感覺每個公理在數學史上都曾經是個危機
那我倒是好奇了 傳說中的選擇公理當初是多大的災難
一般都認為超我可以駕馭本我；但是在進入本我過程中卻無法體會超我，因此本我必須否定超我存在；而超我想證明本我存在來解釋超我；而本我如果擁有超我的界；那本我會變成不純的本我，但是本我與超我如果能相互運用；人對於人事物就可以解決問題.但是融合了超我與本我又是一樣的問題！怎麼辦？
我的小孩目前國中一年級，他說聽的懂這部影片。我覺得你很厲害
謝謝你做這一步科普影片，我也做過一段時間計算理論的研究，對哥德爾的不完備定律有些了解。基本上可以從兩個方面解釋，如果從計算能力的方面解釋，就是有些定理他的證明程序無法計算完成。
如果從描述能力的角度去解釋，就是任何複雜系統，都有些定理沒有辦法用有限的axioms完備，描述出來。
因此你講的那個黎曼定理等等重大挑戰，有可能是因為我們永遠找不出要用來證明他的公設
存在给自己刮脸的人和不给自己挂脸的人的2种可能，这2种可能加起来等于100%,这很正常呀！没有矛盾呀！关于后面的是动作和前面的集合没有关系，我可以说给自己刮脸的人吃饭，不给自己刮脸的人既可以吃面也可以吃饭。集合和后面具体的选择的动作没有关系呀！可以说不给自己刮脸的可以求助别人刮脸，也可以永远不刮脸，也可以说给自己刮脸的人可以给别人刮脸也可以自己有钱心情好让别人刮，这个没有矛盾呀！只是理发师绝对化的说“我只给不给自己刮脸的人刮脸”,这句话原本在逻辑上就是错的，他没有规定时间，去年我自己刮脸了，但是今年我没有刮脸，那么顾客算是有没有给自己挂脸呢？如果，理发师碰到一个1年没有刮脸的顾客，就对顾客说：”你去年刮过脸了，我理发师之给不给自己刮脸的人刮脸，因此，请你出去，我不做生意，不给你刮脸”,这不是神经病吗？类似厨师说”我只给自己不烧饭的人做饭”,那么厨师就自己饿死了吗？医生说”我只给不懂医术的人看病”,那么医生得病就死了吗？这些话本身就是错的，本身就是违反现实中基本事实。我是理发师，我为了赚钱，我给不自己刮脸的人刮脸，我也给挂过脸的人刮脸，只要顾客付钱而已，我是厨师我给自己会做饭的顾客做饭，也给不会做饭的做饭，只要有钱赚只是没有关系的。具体的事物可以分为A和非A，是客观的，在数学上没有任何问题的。对于如何处理A，和非A的行为，不是对立的，不是非此即彼，是由人的意识主观产生的，是一个概率的问题。理发师的错误在于，对于客观的对象，他遗落了其他的主观可能性了。这他妈根本不是数学问题，这是文字游戏。考的语文，不是考的数学。
如果說數學是邏輯，那不同邏輯之間不相容有矛盾也是正常的
不正常的是那些想把全部邏輯統一成一個邏輯的人
你最后的问题我也想过 答案不难 很简单 天朝从小不教哲学 只教政治 导致天朝人普遍没有自己的哲学观 到现在还在信唯物主义是对的 实践是检验真理的唯一标准 这种病句都能奉为圭臬。但凡学学西哲 了解了解不可知论 读读贝克莱 康德 休谟 都不至于
貝克萊和休謨不是英國經驗主義的嗎，他們應該支持「實踐是檢驗真理的唯一方法」吧？
當然康德是不會這樣啦⋯⋯
@@edmond7759 你也说了啊 唯一方法 麻烦你再读读我的原文 我指的是 实践是个动词 他无法成为检测真理的标准 实践的结果才是 难道不是么？或者是 我没有理解 您还有何高见？
@@edmond7759 哦对了 贝克莱怎么样 我保留观点 不过像休谟这种纯粹的不可知论者 我觉得他只会知道你不知道什么才是真理 🤣 至于我们的康教主 我觉得那已经不是哲学了是宗教 是信仰
@@zzhang5527 是我沒說清楚，我的確認同實踐並不是檢驗真理的唯一方法
不過，既然實踐的結果可以作為檢驗真理的標準，那實踐本身不也是檢驗真理的方法之一嗎？
@@zzhang5527 休謨的懷疑徹底得無可救藥，這點我也同意。
我不太熟悉貝克萊啦，關於他的學說我還得請教您的看法呢⋯⋯
只是⋯⋯說康德的理論昇華為宗教是不是有點太誇張了？
只懂得「不完備定理」是指「樣貌、身材、脾氣、年輕、力氣、家產、學識、社會地位……」總不會同一時間出現在同一個人身上……
講得真好，準備真用心
哎呀，被你發現了
因為當我們獲取知識時，是一點一滴慢慢積累的，然後就會有種是不是還有什麼是自己不知道的 ; 而那些不去獲取知識的人就會認為，知識就只有圈內的這些。
反正規矩是理髮師自己訂的，他只要再訂說: 「以上原則我自己不適用」， 即可。
以下是胡言亂語
空集合是所有集合的子集，那空集合包含空集合嗎 ?
如果包含，那空集合不就是沒有任何元素的集合嗎 ?
如果不包含，那為什麼空集合會是所有集合的子集呢 ?
如果觀測 S 集合，那便可以確定集合內的所有元素，但無法確定是否包含 S 集合本身
如果觀測 s 元素，那便可以辨認 s 元素是不是 S 集合
不觀測的時候，兩個狀態同時存在；觀測時又只能確定其中一種
前面的問題, 建議你搜尋"真子集''
A「包含」B集合指的是B集合裡的所有元素均在A集合中，所以空集合包含自己。
另外，「集合」和「元素」是不同的東西。
为什么数学不是发明？因为啊，发明的东西，你有解释权，而发现的东西，大家都有解释权，所以就没有标准答案了。
哈哈，你這個解釋我喜歡
發現的東西為什麼沒有標準答案？
数学之所以需要严谨的态度，是因为设定的规则，考虑越周详才能越接近完善。纯数学是符合万物统一的规律。在应用数学，则要考虑个体的应用或某领域的需要，并考虑周围环境和情况的制约以及想达到的目标，而设立适当的制约条件与目标函数的方程式。
我是有一個很害怕是真的猜想
先説好我認為這個猜想思考一下就好
一個人在做一個幾何學（ps:不一定是幾何）的數學研究，他發現在要用到的證明公式上好像有問題，所以就找了一個幾何學也很好但修別方面的數學分支的朋友，朋友發現他要用到的證明公式有問題，所以朋友找了他的朋友……在幾乎現代數學所有分支的人都一起來做研究時，發現在所有基礎上有問題是不同分支可以解決的。人有不同的工具後（公式等）就可以去做原本做不了（解不了/證明不了）事情了（矛盾）。是不是因為基礎邏輯出現了問題所以才會有後來的不同問題
我倒是津津有味地看到了最后😉, 有点对雅桑刮目相看, 第一回看雅桑抛却以往视频隐约含有的一点玩世不恭,将一个枯燥的领域试着梳理一下. 雅桑勇气可嘉,值得点赞：数学的视频很难做,全是逻辑分析, 不象物理有宇宙观测和爱因斯坦、霍金等大咖博人眼球, 也不象生物学有大量纪录片展现生命实体. 李永乐老师注重所以然,直接高中教室黑板上给你列公式推导,即使理科出身也绝对吓跑...😄 雅桑是唯一让我将一个数学哲学题目轻松快乐地领悟和思考的！倒是要把雅桑的数学视频这个周末全部看完 ！这一集视频有点让人细思极恐：数学是科学之母, 是科学研究的基石,现在雅桑让我们明白,数学本身是不能自恰的,有先天缺陷,那么我们人类千百年来以数学为基石的科学理论,物理学,化学,生物学, 尤其是今天进入到人们日常的计算机科学都是从根儿上就有问题？或许是一套“伪”理论？ 鸡生蛋,蛋生鸡的问题原本是数学界没有解决的难题？我们对世界的认知从根本上就值得疑问？？这不是数学危机了,这是科学危机,甚至人类文明危机了啊....😱
你的影片讓我學到很多，希望你可以繼續做影片，加油喔~🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰
数学实在太复杂。人们发现了各种计算方法。公式，定理很多我都不明白。但对计算数字我是知道的。今天我想讲一下数字在方格中填空的问题。大家都知道九宫格是将从1至到9这九个数字单独填入到3乘以3的正方形方格中。就能得到它的每一行。每一列。和两条对角线上三格数字分别相加都等于15。这个15数字也就是这组数1到9全部相加的总和再三等分得到的数字。简称为定数。同样道理4格乘以4格等于16格。我们将数字从1到16数字单独填入这16个方格中也一样能得到它们每四格数字相加等于34的定数。如果我们把它顺序从左而右，从上而下填入这组方格中两条对角线上四格数字分别相加已经等于34。我们称之为天生定数。但是其它各行，列相加还不相等。我们经过调整数字在方格中的位就能使它完全相等。简称叫先天不足，后天来补。
我怎么觉得这个数学矛盾是出在了集合的定义上了呢？因为世界上不可能存在一个理发师，他”必须给且仅给‘不给自己刮脸的人刮脸’“。也就是说这个理发师声明了一个集合，在此集合定义下，其中的元素必然是零个。换句话说，理发师定义了一个不存在有效元素的集合。对吧？他只是错误地以为自己属于这个集合。这相当于假设“有一个数A满足 A=1 且 A=0”。
同理，罗素悖论其实只是他提出了一个他以为成立的集合，定义是：“包含【所有】不包含自己的集合的集合”。而实际上这样的集合是无法构建的。（我可以随便举例，比如，假定集合S，其中包含所有大于零且小于零的整数。 在数学家这里叫“数学危机”；而我做数学题那会儿老师把这叫“不及格”）
知識是有延伸的，多的知識有更多的根，而人的眼界不足以支撐，所以覺得知識匱乏，相反當知識少了，眼界看到的只有幾條延伸，自然以為自己聰明
♦️科學的盡頭還是科學
♦️神學=哲學「包裝」故事=迷信
神學就是會跟你講
世界是6千歲.日動說.地平論.等謬論
因爲認識到自身的渺小，能力有其極限，即使暫時擁有，也終將失去這些（看看老人，看看失智症，看看死人）雖如此卻也還是要往前嘗試能否跨越自身，總還要學習成長，也還要承擔點，也許走到盡頭是一場空，也許是目前的我也還無法理解的狀態，也許走到後來又繞回原點
前言裡的老爺爺是說「村裡的人」所以只要他一離開村子就能給自己刮臉了 0:34
智商低的时候，想象力占据80%
智商高的时候，想象力也占据80%
智商低的时候，想象力让他/她认为自己学的知识占99.9%
智商高的时候，想象力会让他/她认为已经学了很多，但只是占了0.1%的知识
但其实，知识是无穷无尽的
認同
雅桑 你的視頻非常有趣 高質。 建議換支好一點的mic 會聽的舒服點。 謝謝。
好的
看了您的節目，很感恩您的付出。
真知只能從內部被憶起，當憶起他的瞬間，猶光驅散黑暗，瞬間明白且寂止，因為在光裡面並沒有外部需求。而知識，始終透漏著人的外部需求，求知識過程本身這個求，就是愈來愈欲求。
另外我第一次聽到刮鬍子理髮師的時候的直覺.........這理髮師應該是女的 XD
羅素悖論 S(S,s) s(A,B,C)
s是否屬於S 是啊
因為S(S,s(A,B,C)) ABC一切不屬於自身集合成s s是屬於S
所以一切不屬於自身組成s 也是屬於自身S里面
ignorance is bliss
無知就是快活
真理呀！
某程度上，我們不應該反宗教？讓他們活在自己的快活世界裡？
但那些自為是的人要向你傳教時，又如何應對？你我或許還懂事的，他們要是向孩子們下手呢？問題總是要面對的，別老是裝作自己挺包容的而去放任那些不理智的言論教壞我們的一下代。
那的提问很好我只能说，当你是原始人的时候跟你是现代人的时候你觉得哪个人思考的复杂程度越高，一个为了生存去思考问题一个为了生活去思考问题（知道这话说奇怪怪怪的但是我的能力也只能说成这样）我没办法用很漂亮的一句话去解释这个事情只能用这种最笨的方式来说而且可能还说错，但是说出来比没说出来好
学佛人要了解人间八个“不”，一定会看破放下：
七、不辜负今生为人。尊重人是一种崇高，理解人是一种豁达，原谅别人是一种美德，帮助别人是一种快乐。月圆是诗，月缺是花，昂首是春，俯首是秋。
--仅分享善言，不针对任何人和事，感恩宽容！
良作大推，數學不好的我都被你給講出興趣來了XD
終於等到了！感謝您的努力！！（跪下）
多謝支持~這期影片確實不容易講好
不用刮，用剪刀就可以
然後他不一定要刮不給自己刮的人
我觉得博主可以多讲点有趣的事 ，比如像讲数学各种理论 数论 什么群论 什么泛函 拓扑什么的里面一些核心概念，虽然不是要全说明白， 但是可以挑几点核心基础几条概念挑个三到四条， 科普下论证下。让我们张张知识。
我要蹲雅桑的佛学视频！感觉你发现了能让人顿悟的方法😌~~
沒有沒有，只是知道的越多，越發現不知道什麽是真實，什麽是虛幻
刮臉的矛盾，應該有個解決方案，先定義刮臉就是把臉刮乾淨，那麼只要他刮自己的臉不刮乾淨，他就介於刮與沒刮之間
還有一個解法，用別人的手抓著他的手去刮他的臉，這樣他就處於不確定是誰在刮他的臉的疊加狀態
我總覺得數學哲學把邏輯的不完整性給誇大了，事實上沒什麼大厦傾倒的危險，更精準的說應該是邏輯網不如我們想像的那樣綿密，某種意義上還是相當寬鬆：不管怎麼補（用嚴格理性有定義的極限來補）都是補不齊的，但這不代表前人的洞見是錯誤的，因為數學邏輯和集合論關心的是更抽象的東西，是關於證明的本質，而一般常見的分支如幾何代數分析云云則是更清晰可見的應用，以邏輯來說可以抽象的看成應用，也就是這樣而已，用影片的比擬來說假如物理的基本粒子推翻了標準模型，我說假設啊，不代表上上層的遺傳分子學就必須整個推倒重來，大致上是這樣理解才對。我覺得什麼什麼危機某種程度都是話術，在現代的世界裡，誰不需要一點話事權，好確立自己的存在，但也不到什麼世界末日的程度～
演繹法的過程(邏輯推理)無比嚴密，出錯的是前提。畢竟從人類的角度實在很難分辨「常見的經驗」和「不證自明的公理」
我剛好今天在臉書上講這個議題，今天就出相關影片了。
一个是包含自己的集合，一个是不包含自己的集合，为啥没有一个可能包含自己或者可能不包含自己的集合呢？
那不就是一切事物的集合了嗎
第一個問題我覺得沒有很難。
我的想法簡單，但不見得是錯的。
一個是檢驗，一個是執行。
如果程序{非a則b，非b則a}檢驗時遇到【a，b】，那麼就會無限自我檢驗。
但如果是遇到【a】然後馬上執行就會變成【b】，之後再次檢驗並『執行』後才會變成【a】。
所以如果沒有執行，那麼就不會變成另一種狀況。
關鍵可以說是在於有些檢驗──並無法『同時』執行兩種狀況。
以上為個人看法。
我是很想畫圖，但yt只能打字。
電腦程序上或許是這樣跑，因為是按照時間去執行程式碼
但是今天的邏輯是同步的感覺（建構起來馬上發生，例如你推一個東西，他的力、加速度馬上被建立起來，沒有先後順序的邏輯）
你就會出現悖論
你可以去查看看圖靈測驗，很類似這種檢驗邏輯的方式
認同這個想法，用集合論講
沒有包含自己的集合裡面包含還未包含自己的集合
已包含自己的集合裡面包含已經包含自己的集合
用白話講
理髮師可以給還沒幫自己刮鬍子的自己刮鬍子
但理髮師不可以給已經幫自己刮鬍子的自己刮鬍子
用程序講...
誰他媽的提出這種鬼需求…
感謝雅桑
講得真好
喜歡就好，哈哈
@yasang, 每次听讨论数理甚至哲学方面的话题都觉得很有意思。支持yasang通俗易懂讲故事的模式！另外请问下，3:05 时刻的这张表哪里可以找到呢？
語文 宗教信仰 哲學 邏輯 數學 科學
都是文明的一部分
集合論本身 我倒是沒多大興趣
但是 集合運算 搭配 布林代數
可有趣了 可以計算的東西可多了
應該也有人研究
只是我不知道
有点儿像那只薛定谔的猫，倒死不活的猫 chillwdogchillwdogchillwdog 什么是真理？逻辑就是真理，数学就是表达逻辑的形式。这个世界的终极问题就是，我们这个世界到底是一个逻辑存在，还是一个概率存在，还是逻辑和概率的叠加态。。。。chillwdog
我也讲个故事，从前一个强盗，抓到了一个客商，抢完了之后告诉客商，你猜我杀不杀你，你猜对了我就放了你。客商说你不会杀我。
这和理发师都是一样的，一样的结果影响先前原因的事情
就跟『我說的是一句謊話』，一個道理
理髮師如果說的是：我只給有付錢的人刮臉
這樣就沒事了，古代人真麻煩
（開個玩笑😅）
所以理髮師給自己刮臉要付錢😆😆😆
理髮師搬到小鎮外就解決了
@@user-my5vs3fo6g 重點不是解決悖論，是理解悖論所指出的系統問題
數學果然是一個有趣且令人著迷的學科
也是一個逼瘋人概率很大的一門學科
如果理发师给不从不刮脸的人刮脸，是给别人刮脸，而不包括自己，换一种说法，假入我从不刮脸，我就给自己刮脸，我一直给自己刮脸，我就不给自己刮脸，这本身就是不符合逻辑的
影片一開始的問題，我目前唯一能想到的解決方法是。。讓他住在村外，這樣他就不會是 “村裏不給自己刮臉的人”了
好，問題來了，如果說故事裏的“人”指的是集合，那“村子”又是什麽呢
-想通這個問題，可能就有資格成爲八代目火影了（X-
然後剛剛洗澡時還想到了一個自暴自棄的解法： -誰説鬍子一定要用刮的，用剪刀剪不行嗎-
你眼前的平原，在衛星地圖上可能是個盆地
应该说：我的工作是给不给自己刮脸的人刮脸。给自己刮脸不属于工作。
可以分三種
羅素的論證只能證明世界上集合不只兩種
第三種可以是能包含也可以不包含自己的集合 也可能有第四種
圖靈測試是一種建立在有限觀點的檢驗法。
隨著科技的進步，人們應該要開始意識到──圖靈測驗已經可以淘汰掉了。
我准备给我即将念中学的小孩看您的所有视频，我相信会让他对数学的兴趣和理解大大加深
那將是我的榮幸
先不要
最後雅桑提問 就是我現在狀況 思考越來越複雜 但是不知道事情越來越多 這個圈無限大 根本學不完
常常在搞笑影片中看到類似的敘述😮但都只覺得好玩，沒想到竟然是那麼大的事件
希望能講解克雷數學研究所七個問題之霍奇跟BSD的應用與難度
此時理髮師感覺自己鬍子已經老長了，但照鏡子看一下，自己竟然刮臉了！不看鏡子卻發現：自己的影子鬍子老長！他再看鏡子自己...又刮臉了！理髮師發現自己在一個既刮臉又留鬍子的狀態，是否刮臉取決於是否照鏡子觀察自己。
思考的越多，越會意識到自己的不足，同時，一些法則也會重複適用於此。我想世間就像是一個自我相似的世界，欲窮其極，總覺功虧一簣，不如欣賞大框架下的情趣。
所有生物都有个性和共性的差异，这是因为基因配对和分解时，造成所有生物都有共性与个性。所以要把所有生物规范在少许类别时，一定会有矛盾的出现。
悖論那麼多，時間是最好的解藥
有点儿像那只薛定谔的猫，倒死不活的猫 chillwdogchillwdogchillwdog 什么是真理？逻辑就是真理，数学就是表达逻辑的形式。这个世界的终极问题就是，我们这个世界到底是一个逻辑存在，还是一个概率存在，还是逻辑和概率的叠加态。。。。chillwdog
從小學到大學，數學都為我帶來不少奬學金和樂趣，直至修讀到集論，反正集論和我天生八字不合，那些邏輯符號看多了都懷疑自己要到精神病院。
我也是對這些符號水土不服
前面的問題不是就在說：理髮師有沒有在要幫那個要被刮的人"之前"有沒有刮過他嗎，如果是這樣如果理髮師之前沒有刮過他自己的鬍子就該刮，如果沒有就不該刮 。因為如果照著影片的理髮師這樣講每個沒刮的人都不能刮了
中間就不太懂了…為什麼說三角形的集合不包括自己？因為是個集合？不是三角形本身？為什麼集合就只能分兩類？不能有第三類？