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所以 0.99999….. = 0
雅桑真的擁有把學問用哲學方式表達的能力與魅力！我真的很怕數學，我42歲了，可是我看到你的解析，我真的覺得如果我當時能遇到像您一樣的數學老師，我就不會只是個平凡的developer了…
過譽了~
已经很好了，我数学可以，却没学软件
「問你個問題。1塊蛋糕切成等大小的3份，一份是1/3塊沒錯吧？」「沒錯啊。」「1/3相當於0.333……3，這也沒錯吧？」「是啊。」「那麼3份蛋糕合計就是0.999……9塊蛋糕，那剩下的那0.000…01塊蛋糕去哪裡了呢？」「你看你的刀子上是不是沾了些奶油？」「！！！謝謝，我懂了。」
@Anderson Kinloch 仔细看的话奶油里夹杂了一丢丢蛋糕屑，拿电子显微镜也许能看到切蛋糕那把刀的分子残留在蛋糕上。
所以0.3333...*3 不等於0.99999...這邏輯定義有問題。
@Anderson Kinloch 为什么要算？
不用吵了，遇事不決，量子力學。可有可無的存在～
我認為，無限循環是我們人類十進制的一個次元盲區，其實我們人類的數學本身建立在十進制的基礎上(因為人類十根手指頭)，導致很多數學家被困在十進制的一些數學難題裡，明明我們人類發明的電腦是運用2進制去運算，那麼，當遇到無限循環除不盡的狀況時，如果改用其他進制為基底去運算，你會發現原本除不盡的，變成整數了，我舉例 1/3=0.333333(循環) ， 如果大家試著用12進制去算就是1/3=0.4(12進制) ，當等式兩邊各乘以3 就回到1=1，不會有那個除不盡的問題，如果人類想進入宇宙變成更高等文明，就必須擺脫十進制的約束
那對於無理數, 可以改用什麼進制為基底去運算成整數呢?
位數不同你老師看到都自盡了
我好像能理解 循環小數其實只是表達方式的問題 正如你說的用12進制看1/3 三分之一是能以非分數的方式表達出來 如你所說 理論上來說每個循環小數都應該有能夠表達出來的方式（或者叫進制） 我突然想到圓周率 圓週率正在使用十進制計算 算出3.1415926535897………………………… 是還沒算盡的 那如果使用其他進制 會不會能表達出來呢
@JC_Cheungoldsix不能
我一直在想，人类采用π进制会有什么结果，是不是所有难题都不存在了
雅桑總能把我怎麼也想不明白的事說清楚，只是我要看透徹這個清楚還需要99.999......次
看來我還得繼續努力讓你1次就看透徹啊
@@雅桑了嗎 我看了0.99999.........次
昏了
1÷3=0.333333333.....
@@雅桑了嗎 cute me to death
利申，我並不是數學家，我這段內容基本都是消化了相關論證後再以自己的語言說出來，外加些少灰諧。所以有多少不乎合數學上的用詞標準或者有人覺得是冷笑話請見諒。話說在前頭，我是認同0.999…=1的那一派。要說「無窮小量」這個問題，我的理解是把微積分及離散數學一起來看就行了。微積分的下這個世界的「小」並沒存在下限，所以要解釋無窮小就要把思路逆轉過來，理解為無窮大的倒數，即「在概念上的所謂最小值」。言而這個字宙是有最小值的，這乎合離散數學的概念，「無窮小量」也就是就等於這個最小值了。簡單點來講，「無窮小量」有多小就視乎系統允許的最小值有多「小」﹐還有系統允許的誤差值(這個很重要)。首先說說微積分。因為「小」並沒有下限，任何一個非0值都可以被分割出更小的非0值，所以無窮小並沒有一個實值，只是一個概念，即是「沒有最小，只有更小」，只要一日未割至0仍然要割下去，但現有規側跟本不會讓你割剩0，只能繼續割，一直割，割到宇宙熱寂﹐但不代表這就成功割完，只是沒功夫繼續割，放棄不割了，也就出現所謂的餘值，不過這餘值基本上等同「無」。至於「無窮小」跟「無」之間的恩怨我就不用多說了。微積分的核心是「極值」，指有些情況下將某實值代入某公式並沒有答案(例如除以零)，但如果代入的並不完全等於該實值而是「有足夠靠近」那麼答案也會有足夠趨近某一個數值，其核心就是無窮小。有聰明的朋友也許會再提出這個「漏洞」：0.999…9跟1.000…0相差了0.000…1呀，怎會沒有實值？不能割不代表不存在吧。但我要說這些聰明的朋友搞錯了一個好關鍵的重點，就是0.999…首先有無限個9，然後才…抱歉「沒有然後」了。硬要找0.999…後面的東西﹐有都只會是繼續無限個9而不會只有一個，所以0.000…後面也頂多再來無限個0，這個「最後的1」的而且確不存在而非不能割(有得割不割罪大惡極阿朋友)。說到尾，也就回歸問題原點，變成了「遞歸」(recurrsion)的問題了。其實這個0.999…的問題不就雷同物理學四大神獸之一的芝諾烏龜的那個悖論﹐之不過將1/2(二進制0.111…)改為9/10(10進制)罷了，同樣用微積分就能破解了。好，在離散數學下，那麼0.999…跟1的差別就的確有可能會是這個不可割的「系統允許的最小值」(但其實更有可能是0﹐真相只有一個﹐case closed，完結撒花，皆大歡喜…最後會提及原因)，但離散數學有一個很尷尬的難題﹐就是小數點後的位數總有個終點(那怕會有很多個，但總之就是會數完)，「無限循環小數」並不存在﹐更別說無理數，超越數等等並沒有規則可言的無窮小數了，也就是說1/3 =/= 0.333…、像無窮數列等等這些建基於無限循環小數的理論通通不能成立，圓周率及歐拉數等等也有絶對確值了(應該是「不被允許存在確值只能有約數」…但貌似反而是好事？)，但這明顥有違常理(雖然在微觀上反而是對的)。要解決這一尷尬難題，首先要承認絕大部份宏觀系統都存在「可接受誤差值」的。舉個例子，我要你將769毫升水精準分成167等份(為何要769及167我待會再說明)。你會說，有多難？每份769/167即約4.60479041916毫升就是了。但我要提醒你「769毫升」「大概」有幾多個水分子…根據維基百科，標準情形下的水分子的摩爾數是約18.01528(g/mol)所以769毫升水有約42.6859865625摩爾(即約 257*10^23個)水分子﹐你真的打算要在精準到分子數的層面來分等份嗎？而且你能保證這個「約42.6859865625摩爾」能被19整除？不能整除的話何分成等份？再說在日常生活中要拿完全精確分子數的任何物質一個不差幾近不可能吧，別甭說視乎溫度壓力甚至同位數這個「約42.6859865625摩爾」根本就是一個浮動數值(所以這些數值前面全部有個「約」字)。所以系統需要有一個可接受誤差程度﹐不能少於這個浮動範圍，例如我會跟你說，「將769毫升水分成167等份，誤差值為1微升」，那麼你別理會水分子數的問題，也不用擔心769不能被167整除，總之將它分為167份介乎4.6047至4.6048毫升這個範圍就可以了(這誤差甚至明顯低於一微升)。好了﹐我選769和167的原因是因為剛好都是質數，能高機率出現不能整除的情況(除非摩爾剛好能被167整除)但又不會把問題搞得太複雜，雖然後來發現關係不太大…。我就知道有人會質疑，數學就是要講求準確，在可行的情況下都要將誤差降到最低…「我現在就是要玩到對誤差零容忍，你奈我什麼何？」在離散數學下因為有明確的最小值，所以當然能做到表面上的零誤差，但也就等於先前的尷尬難題無法解決，這可是個更深層次的誤差處理，叫做「量化」。而且數學還講求「用於表達萬物」，明明現實世界就是充斥著誤差，更甚這些誤差大多明顯高於最小值，而你卻偏要把誤差的存在抹除掉，這還算是數學嗎？完善的數學理論是要將誤差考慮在內的。這裡跟大家說說一個小知識：我們身處的這個宇宙估算一共有約10的78至82次方個原子。是很多沒錯，但掉轉頭看1/(10^82)跟「無窮小」明顯有能夠理解的差距。單單是圓周率就已經被算出了小數點後上百萬個位或更多，可不是百萬分之幾喔…像我們的宇宙這一個概念上無限的實質有限集合，但在無窮小下都顯得何等渺小，「相比之下更加有限」的系統更就更甚，最簡單例子就是你跟我都在使用中的數字電腦中的浮點數(IEEE 754)，都有對應最小及誤差值的方針。有興趣的朋友可以去看看。這裡說個題外話：因為現今的宇宙正直青年，充滿著核反應，而且幾乎都是核融合，所以雖然幅度很少但這個原子數量是在持續滅少中。總結，當一數值無可避免必需變得小於系統容許的非0最小值時﹐也就只能夠「歸邊」，要麼「塌縮」清零，要麼「擴散」成最小值，沒有中間可選，四捨五入的概念下是0的機會理應是大多數(因為怎想它也會比較接近0)，而這兩邊都同樣無可避免涉量化誤差的問題。所以到頭來歸那一邊最終其實沒分別。在微積分下0.999…毫無疑問=1，離散數學的話在允許「可接受誤差值」的絕大多數情況下等於基本上=1，不接受的話嘛…也絕對可以，但請先提出這個最小值不能被忽略的理由﹐而這個已經是純粹數學的範籌﹐玩味多於實用了…後話，其實0.999…=1是在常理下(也就是0.999…的情況下了)被公認的事實。但數學就是這麼既有趣又煩人，可以在無限接近完全肯定的情況下提出那無窮小的否定的可能性來討論…
其实0.99999.。。。就是等于1的，我个人的直觉是0.99999.。。。。。这个数是不存在的，因为
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
無窮小量只是一個函數f，而且有f(0)=0,f在x=0連續（連續性以epsilon-delta定義）
這個問題倒不如說「怎麼得到0.9999….」其實「正常」的除法根本就得不到這東西你可以1/1的時候故意不除好得出來的就是0.99999…..我覺得很多人都太把這個問題想的太哲學了無限小為什麼等於零？無限又是什麼？其實都早有柯西所給出的極限嚴格定義所以說穿了不過是個根據定義所推論出來的東西罷了每次想到這點總會有點對「無限」帶來的神秘感到破滅
確實 扯到無限.無窮等等爭議就很多 畢竟只是一個定義
給任意不為0的整數n複數(0.6 + 0.8•i)的n次方與複數平面上(1,0)這點的距離永遠不會等於0 但 也永遠找不到最小值
當然哪，因為任一整數n都是有限次~
這跟影片講的有關係嗎這只能說cosa⁰=3/5時角度是無禮數跟極限沒有什麼關連
教授A：59.9 = 60教授B：59.9 = 59看來我是遇到了不同派系的數學家
不知道你是什么学历，都是数学规则就是59.9是等于60的
Depends on round off, up, or down to the nearest integer.
有沒有想過教授B跟你有仇
我曾經把一個59.4的學生當掉，好爽~
@@nnwslswu 果然是惡魔
談到無窮小量, 令我想起當年網遊的RO內的"零偷"理論一樣, 系統數位有限, 但存在發生的概率有可能發生的話, 系統會自動進位, 從而令概率增加成為事實. 而現實中會存在嗎? 物理存在很多最少的, 不可分割量. 這應該是個很好的議題.
弦理論，理論上可以無限分割，是物理嗎？實際存在嗎？待證
@@evanlu8996 好像有說時間及長度這些物理量是有最少值, 不能再被分割. 弦理論就不知.
@@evanlu8996 這正好是弦理論的瓶頸
弦理論认为小到弦尺度便无法分割，但数学上是可以的。
其实我感觉 我们对数字的定义太狭隘了，可以把0.99循环 看成是一个动数，一个在数轴上运动的数。而1是一个静态数，在数轴上不运动。这样比较0.99循环 和 1就不应该比较。没有意义。 动数比较动数更有意义。
要看你咋定义了，非标准分析里无穷小是实体
啊 我喜歡這個說法！就是會無限接近1的意思！
其實現實中可能存在1這個數，或者2.3.4 那真實存在0.9999....9這個數嗎？比如一個宇宙 一個蛋糕 一個分子 原子 之類的?
@@wanchan6593 这个问题 可以看成 圆是否是真的存在。世界是否有尽头。
7:24 戴德金分割不是講過了嗎？ 5/3 的「一個數字竟會引起一場數學血案？直接爆發了第一次數學危機 | 雅桑了嗎」 11:04 的地方（傳送門： th-cam.com/video/xZL5qDyAeWE/w-d-xo.html ）突然發現 5/9 的「由芝諾的烏龜引出無窮小量等於0嗎？給牛頓擦屁股的第二次數學危機 | 雅桑了嗎」 0:49 的地方好像有先挖了畢氏學派 1 > 0.999... 的坑（ th-cam.com/video/Ox3ow_xMhCY/w-d-xo.html ）
分割Q（有理數）得到兩個區域A|B及C|DB左邊端點對應的數=0.9循環，D則為1則A{X|X屬於Q,且X
戴德金分割，應該是最沒爭議的證明
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999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999=1
錯！你打了有限個9，所以不相等😂😂😂（我在抬槓）
數學就是根據一些公理建立的框架，如果公理變了，那麼框架自然就變了，用框架得出的結論自然也就可能改變
非歐幾何是一個非常好的例子~
我們教授曾說過一句話:「我們這些做數學研究的，就是把不該放進去的東西給強硬的塞進去，大家說1+1=2，數學家會思考三角形加正方形等於什麼」
三角形加方形可以理解为a+b等于c 你们教授说的不见得对 要是汽车前面的灯光加上车速）公里每小时 并不等于光速加车速 而是光速不变 A+B=A 1+1=1在马是动物这个抽象 在进行抽象才是才是纯粹理想 纯逻辑不知道怎么对接这个世界而已 别把不该放进去的放进去除非你能客观理解 什么是时间，空间 能量
三角形加正方形會等於1個房子：）🏠
簡單來說，數學家就是來〝搞事〞，只要不戳破大家過得好好的，但偏偏就有人要去搞事情～
@@Wind_of_Night 科技來自於數學，數學家只是在發明數學工具或是讓數學工具更完備，而其他領域的科學家，會在需要用到數學的時候，在成堆的數學理論尋找可用的數學工具...
@@hnh1808 科技來自數學，我覺得邏輯上有點怪怪的，因該源自於物理，數學只是類似於〝語言一樣〞科學的共通語言～數學本身無意義，因為數學家只管搞〝技術〞不管搞應用，搞應用就是物理學家的事情～物理學家又不搞哲學，哲學家對物理學家說，不懂哲學還發展理論，那理論很可能有誤～而且是嚴重錯誤～看過鋼之鍊金術師，知識樹狀圖(真理之門上的圖案)，對應現實的科學領域發展莖的部分是物理，根的部分是〝哲學〞。
覺得用dx 當最小分割量的數學比較適合現在觀察到的宇宙現實。。在自然數中dx 就是1任何小數點以下的數都是無意義的
無窮小量是宇宙最基礎核心，所以不能被發現但存在。它可以是物質，也只是可以是維度。但它不能被忽略，因為它是構成所有可見不可見的基礎。
宇宙最小尺度也有類似的感覺，物理上可能有那個最小的尺度，但數學可能沒有
確實感覺是如此
@@張秉森-f9q +1
數學可以天馬行空亂想，物理就必須拉回現實~
不是可能没有，是可以没有。
繞來繞去其實有很多的數學方程是為了某個區域內的模式設計的，不是全部適用，所以0.999..絕對不等於1！
坚持住鸭嗓，认真做数学视频的就是好鸭嗓，我支持你，么么哒😘😘
這應該解釋成10進位表示方式的小小bug，其實不影響計算結果。
我有一個解決÷0的方法就是把零變成一個數軸一條線而不是一個點簡單來說就是讓0×1不等於0×2讓0×1等於0讓0×2等於2零且有 負零 i零 -i零 √2零0.1零 無限大零 無線小零 不過他們的加法減法都和+0-0相同 且0-0等於0零他加減乘除例如 0零+1=1 0零-1=10零成1=1 0零/1=1
你现在只是把0当成1来进行乘除罢了
@@bryansiew9707 有没有可能你说的这个0和无穷的意思差不多
@@bryansiew9707 你這說法有個謬誤，因為每個數都是這樣乘除的
0軸的0對標正負軸的1和i軸的i
@@Rexfccvfhcbv 我是理解成多維的形式，類似x=0 yz非0為面，xy=0 z非0為線
其實爭論的應該是0.999無限循環 是不是一個合法且嚴謹表達方式
“無限”根本就沒有定義，所以問題當然可以發散解釋。
等於比零大的最小數，居然在數學上等於零。本來就是違反表達邏輯。
你的敘述中，最小的正數是哪一個？這個正數是不能進行除2運算的嗎？存在不能進行除2的數？如果存在又可以除2，那除2後的數竟然比最小數還小？
@@whymetvtv所以以古典分析學的角度根本沒有「最小正數」他是可以一直小下去的對所有的x,x>0總可以不斷找到y使得y
@@瞎貓-g3d episoln-delta定義？看你的「無限」指的是什麼早就都定義好了
無限循環是計算產生的無理數，是不得已才拿來當答案的，正確解答應該是，該數學式無法計算沒有解答，但你又想有個接近答案，才搞出這有誤差的答案，這是有誤差，已經無法補償還原的數字。你拿他來計算答案絕對是錯誤的。例如10÷3是不能計算的，但你硬要給3.333……當答案。然後3.333……×3是9.999……。除乘逆算已經還原不回10了。這已經違反算數能逆算原則了。問題在你第一次答案就錯了，你是把錯的答案當對的答案，拿錯的答案繼續計算，只是繼續錯下去而已。無理數是有問題的東西，你拿來當接近答案，已經是很不好的事。你再拿來繼續計算，那根本是在自欺欺人。……是定義，是解不出題，賴皮搞出來的東西，你除法除不盡就定義ㄧ個以前沒有的符號……，你知道是什麼意思？就是無解當有解除理。
当x= 0.9循环时，10x的确是等于9.9循环的，但是问题是10x-x=9x 他不等于0.9循环啊，这一步就错了。他利用了数理有限数字无限的bug了。论证过程：假定a等于（近似于0.9循环3位数），即a=0.999，则此时10a=9.99,10a-a=9a=9.99-0.999=8.991，则推导出此时a=0.999循环，符合一开始的假设。同理可以推导出b等于近似于0.9循环5位数符合假设，以此推广任意位数的0.9循环的假定都能前后符合，则自然不可能等于1了。
無限接近光速並不等於光速所以數學驗證不等於事實
软件工程师告诉你：的确是1大
這問題之前數學老師就在課堂上提過，無窮小量存不存在？例如所有的面積由線構成，而線是由無數個點構成，那點的面積如何求？因為點的面積可以是無窮小量，若點的面積是0.000無限小數之1而我們視作為0，則線不存在，因此0.000無限小數之1不可以等於0，意即我們不能忽略掉無窮小量的存在
π = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1 + 1 = 2And T/π = 2T = 2π = 2 * 2 = 4In 黎曼的球面幾何學：
這真的超級適合我寫小論文的
在數學上0.99循環實際不等於1.小於1.在生活以及科技應用上.無論多少萬年後0.99循環還是等於1.
所謂無限就是這個宇宙都塞不下，所以那些說0.999…無限循環等於1的人，我都建議你們把這個問題丟給電腦它幫你算是否等於，前提是不要給電腦輸入現有的數學算法，而是單純給電腦「無限」這個概念，我敢說哪怕量子計算機都算不出來，因為0.999…無限循環等於1這種算法就是人自己創出來的，客觀數學多少就是多少，哪怕你無限的某個數一樣就是無限，不會讓你進位，敢進位就不要說它是無限
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1說是1的都腦癱
黎曼的球面幾何學。1 = 0.999...1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 + 1 = 1 + 0.999... = 2 =π在宇宙上，地球及太陽等行星及恆星都係球體。π = 2 俗稱的整數。
4:30 等式右邊沒有同除x
其實永遠不會有真相，只有模型，看各個模型能近似到什麼程度、能有多接近「真相」。
呃，其实可以理解为0.999... - 1是有方向的0（-0？）也就是说这个无穷小量的意义在于它可以决定它的方向，是大小为0但有方向的一个矢量。（可参照导数部分知识）
其實之前我看老師講解0.9循環=1時 我問了老師 那為什麼10的指數圖形不會碰到0 他就當機了
恩恩
@@陳品澔-t5p 喔喔
我可以很取巧地幫他回答: 你有辦法畫到無窮遠的地方，他就會碰到~
但是距離是無限靠近，你隨便說個數，當作他們之間的差距，都會產生矛盾，所以差距不是你說的那個數，必須再縮小，無論你怎麼縮小那個數，最後都是矛盾，按照邏輯，他們只能相等。
因為你找不到x = ∞這條線
如果我排队时和前面的人紧靠着，那我就是他，这就是戴德金分割
為了避免無窮小量被當作0放在分母不成立，看來只能在這裡胡亂創造一個「ﾚ=(1-0.9999....999),且ﾚ不等於0」的概念了，然後再胡亂編個ﾚ是計算過程中的消耗值。
别争论了。争论的人是没了解数学的本质。数学不是现实存在的科学。数学是人类基于自己的能力和开始思考时的起始点，发明的一种语言，用以描述这个世界。这种语言在相当程度上是有效的，但不容否认，数学有一定的自洽性问题，比如几次“数学危机”，再比如我们要去证明许多数学问题，这正说明了这种语言自身的问题。这个具体的问题形成争议的原因就是由这种语言与现实的差异和语言自身表达上的问题引起的。
所以諾貝爾獎沒有數學獎
@@whymetvtv 我記得好像是諾貝爾討厭的人是當時最受歡迎的數學家，所以為了不讓他得獎，諾貝爾才不成立這個獎
先說明，我個人是支持0.9999循環=1的。因為0.999循環是一個有理數，它是m/n，m=n。循環小數本身只是無法整除的比例要取得接近值的工具，倒果為因硬凹去比較其實很白痴。而且即使在觀感上有差距，在運算上它還是相當完備的。代數，極限，無窮級數等等的大量各種方法都能算出它們相等。但是我覺得如果是無理數就值得討論了。比如1/2+1/4+1/8+1/16........這個數列是否等於1？？即使它的9達到無窮，亦沒法否定它最後必定是5，它是一個無理數...曾經我以為上面這個數列是1的，但是後來又遇上另一個問題如下.(2+√3)^n，這個數也是一個無理數，但隨著n增大，它會愈來愈接近“整數”。它大概是這個樣子的整數.99999xxxxx......分為3個部份，整數+小數點後是一串9後面接不循環的小數串。n愈大，那串9愈長。請問當n增加至無限，這個數是否一個整數？yes or no??大家怎麼看？？
我發現1÷1用直式寫，如果開頭寫0，就可以除出0.9999……
商和余 分的清吗？开头写0只是商一样 一个0.999···有余数 一个0.999···没有余数
@@笨来无一悟-v1k 你在說啥？
直式除法不允許餘數大於除數，所以這不成立，而且按照這方法，2÷1或1÷0之類的式子也能等於0.999...
@@Hi-lm7gw 他應該是想說0.999...和他說直式除法除出來的0.999...不一樣，一個是0.999...，一個是0.999...還有餘數
@@dying4682 那第一句「商和餘分得清嗎？」我還是不懂什麼意思
其實所有有理數就是一個數的無限循環，例如1=0.9999...1.5=1.4999...2 = 1.999... 原因就是「無限」是指沒有盡頭，當你讓0.999...最後加多一個9就停的話，那就不是無限循環，那是一個有限的數。0.999...9+0.000...1 = 1 (你要讓這條式成立的話，那你一定要知道0.999...9和0.000...1有多少個位，那這兩個數必然是有限的，而不是無限)
我 記得我小學時有一個的老師教（外聘的）
很哲學的數學😇
請教0.999...是有理數還是無理數？是如何證明的呢？
定義那有證明？
也就是說站的立場不一樣，結果也不一樣
之前跟數學老師說那新增一個無限小的符號來修好數學的這個問題怎麼樣，他說我肯定去吸了強力膠
不用新增，就ε~
@@nnwslswu 原來我是對的嗎XD所以強力膠會讓人聰明(X
@@阝千翎 😆
中华传统文化讲，一善解百灾。施人与善，广种福田，施人与恶，报应连连。所以，以善心处世为人，他会发大爱无疆，善会在他的生命和事业当中蔓延，所以，他的事业会顺利，他的身体会健康。--仅分享善言，不针对任何人和事，感恩宽容！
比較感興趣，如何理解反比例函數與兩個數軸之間的距離的問題。如果能夠理解的話，以上的內容應該有新的看法也說不定。
太麻煩了啦，給數學家一張紙跟一枝筆，用完了我可以再給他新的讓數學家寫0.999999無限寫下去，看這張紙開頭會不會變成1就行了
你有想法
世界上是有些事是存在但永遠找不到的，比如女朋友
好了新問題今天的 0.3333...等於明天的 0.3333...嗎？
不等於，要考慮通貨膨脹
雖然我不是數學家，但聽起來很不錯對吧~
它們相差0.無限個0然後才1既然都無限個0了，也就是說1永遠不會出現🤔
標準答案~
支持你的論點
根本沒那麼繞，數學就是工具，是工具就有誤差，有誤差就要彌補完善，在範圍內自洽即可。微積分其目的也就是要跳過極限的運算漏洞罷了，被省略的部分真的就是0? 在計算上只是趨近0而小到不計而已，但如果遇到「無限大*無限小」這種奇怪的無解問題，又要被拿出來槓了。
戴德金分割的一个假设是，如果两个数之间相差一个无穷小量，则这两个数之间是无缝隙的，所以定义这两个数相等。这实际上是加（减）性相等，或者可以叫它算数相等。也就是说lim a_n和lim b_n是两个无穷小量，则lim (a_n - b_n)也是一个无穷小量，我们认为他们在加减运算中是"没有贡献"的。但是这个显然是不全的，因为除了加性，我们还可以由积性。所以我们定义了无穷小量的阶，从这个意义上来说，两个无穷小量是不相等的，或者说是几何不等。回过头来看这里的问题，0.9999...实际上是1-(1/10^n)的等比级数的方式趋近于1的。而1本身就是自己了，或者不太严谨的说，它是"绝对最快"趋近于1。从这个意义上讲，我们显然找到一个比0.999..更快收敛到1的方式，这个就是1和0.9999之间的几何缝隙。从这个意义上说，1就不等于0.999....了。
反证法:设0.9999……不等于1，也就是这两个数之间有一个无穷小的数。若此无穷小的数为0.00000…………1，则矛盾出现了，既然这个0.00000…………1有尽头，则(1 - 0.00000…………1)同样有尽头，也就是0.9999……有尽头而不再是无限循环数(矛盾)＞＞所以0.9999…………等于1 !!! 它们之间不能出现一个有尽 头的数，换言之，它们之间 根本就不能有任何数出现。
我以國中生的看法，雅桑說用切的，但切到1.616252×10−35 米不就不能再切了嗎？
那就不是無窮小量了
數學和物理存在差異，物理上的長度極限普朗克長度與無窮小量相比仍然不夠小。
把物理拿出來 看你也是有病
其實由1/3=0.333...早已由前人設定出來，都是由"人類的腦"去想出來的，當中有bug也不出奇吧0.999... =1 這說法沒有錯，因為只是"人類"暫時沒法子再數學層面上把無盡餘數理解得了，數學上把1除成3份是沒有少到的，仍然存在，只是人類理解不了只能看作成無盡的餘數拿計算機來理解是少了，可是從另一個層面去思考是沒有少過，0.999.... =1是要從另一個層面去理解
十六進制：
在實數線上的關係不一定要去找0.999...和1之間的x只要去證明他們是隔壁的數就好了中間那條縫aka無窮小量x根本沒有必要存在1+1=2，0.999...+0.999...=1.999...8這兩個數完全就不相等
無限小數不能使用四則運算哦 如果你要嚴謹的證明0.999…+0.999…要用極限的方法去運算
我們在算極限的時候 lim x->2 (x+2)(x-2)/(x-2) 這個x雖然可以帶入2 (先進行約分)但是實際上x是不可以等於2 只是趨近於2其實這中間也是有個無限小量同理 我們可以用 極限算出 0.99999 = 1 其實0.999999 也只是趨近於1 而非等於1這中間還是回到了無窮小量的問題
其實limit 如果用delta epsilon 來定義可以不涉及無窮小量...
@@alexatg1820 所以實數的定義使用epsilon delta 把無窮小量避掉了啊但是如果我們不避開這個問題還是要面臨無窮小量是什麼這個問題
你把球極限當成是求上下界，就沒有這個困擾了。你看呦，求左極限，數列的上界是2；求右極限，數列的下界還是2。那麼，我們說這個極限是2，當然沒有問題~
大家是否有注意到是避開無窮小量x就是不可以等於2否則原式分母就為0了
目前完備化的實數體系並沒有無窮小量的容身之處
当数学家告诉我∞+1=∞，我就已经看穿了一切，我玩不过他们。
數學家會告訴你，無限是不能運算的因為無限減無限還是無限。
@@whymetvtv 你不是運算了嗎😂
@@hnh1808 這是一個定義概念，不是運算
@@whymetvtv 不能運算的東西，你用運算來定義結果😂😂你在哪裡看到過無限大-無限大=無限🤔
超現實數be like:
精彩👍👍👍
温馨提醒:视频的最后找到了无穷小量
正確答案很難有完整說法，至少我知道1不小於0.9bar就好
很多大神都做了自己的方程去證明0.999...跟1的關係，覺得很厲害。數字畢竟是人類創造定義的，所以我覺得看你用甚麼觀點去詮釋兩著之間的關係，都有道理。另外想問一下無論0.999跟1是哪種關係，會影響到人類的進步、宇航火箭的製造或多元宇宙的發現嗎^^ 純發問
這個問題事實上是數學史上的第二次危機的另一種問法，解決這個問題的根本是建立在用正整數的個數取代無窮大，用elision delta方法取代無窮小，此後微積分才算完備，高等微積分也同樣建立於同樣的根基。從牛頓之後，所有物理學的前進，都是先有了完備的數學體系，再將物理發現放入，然後再推導出新問題，然後才知道要研究什麼，至於研究清楚是否有用，那可能是幾十年後的事情。比如當初研究原子結構，那些科學家不會知道將對人類社會有多少貢獻，但今天先進的醫療儀器CT,MRI,都是研究原子結構時的應用。比如宇航火箭來說，控制如何精準飛行的方法，都是150年前研究微積分時創造的方法，再寫成程式，那些數學家沒ㄧ個想過他的研究要讓人類飛上太空。
理論跟實作太遠,當初質數跟自然數論也不知道有什麼用,過了好幾百年在密碼學和電腦科學有大用處,同樣虛數也是早早被發現,也是在幾百年後才得以應用在太空工程等等,更不要說現在的數論了,但鑑於目前的發展進度,應該是不至於花到百年,而這邊的理論應該偏向微積分的定義,至於你說有什麼關聯那就真的太抽象了,不光是理論,這僅僅是理論中的一個小趣問
其實這都是定義問題 看你用哪種數學工具表示 火箭的話這問題很有意義 主要是誤差值問題 在電腦計算上多少的0.99會被認定是1 會決定你行徑的偏差
當初發明電的人也沒想到電會被人類用成現在這個樣子
錯了 數學不是發明 是發現 是客觀存在！他這個只能證明混屯理論，任何在小的因素都不會成為同一個結果，
在無窮，佛，道的世界觀，無所大，無所小，萬物皆空。
總覺得已經變成哲學問題了
1和0.999...就看個位數就好了根本不需要追究
其实数学就是人类的一套逻辑工具, 这套逻辑工具从古人的实际应用需求而来, 本身存在先天的逻辑缺陷, 并不是完整严谨的体系, 后人做不到另起炉灶, 只能缝缝补补, 所以纠缠不清, 烦恼多多
说了这么多 这个无限小量存在的说法 感觉可以的。
非得把事情搞得那麼複雜~哈
1-0.999循环=lim0.1^x x趋向于正无穷 这么解释可以吗？
5:04 的式子是不是多了一個 summation
（一）我認為0.9999.....,,的表式無意義，它不是一個數😮如果它是一個數，那兩個 0.9999.....如何進行加法運算呢 🤔我不會加😢（二）n = 1 0.9 ;n = 2 0.99 ;...n = N 0.99......9 共N個9；當 N 不斷增大時，它的「極限」等於 1 😃換個方式説：當 N 「趨近無窮大」時，它「趨近 1」😃...
我想買魚上面價格標了“100”我電子錢包裡面只有99.999…怎樣刷都無法結帳我突然悟了什麼叫現實
1個蛋糕大，還是0.99999999……個蛋糕大？就這麼簡單。
其實不等於對你說得很對
在十進位的規則下0.9999無限循環等於1
是的。二進制三進制都不一樣
@@雅桑了嗎 0.9999999等于或者不等于1打个官司就知道等不等于1了
@@雅桑了嗎 1 > 或 = 0.9999...
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1實際0.9..不是1
想要戴德金分析證明！
其實不等於喔 上面三分之一等於0.333無限循環是錯的是大約等於這個就差很多了
無窮代表沒有極限所以只是個代數實際上是不可能加到無窮的
算不出來不代表不存在 不然能證明它不存在嗎
那個平行宇宙好好玩
如果反轉想，將無限小量乘以無限，可不可以變成1呢？為什麼等於1不等於0.1呢？ 我覺得應該問題會不會是因為我們首先定義了0.999999...=0.11111x9 ，而0.1111...已經定義為1/9所以0.999...在此定義下必然等於1? (0.111...的唯一意義是由1除9後的小數表示形式)。所以只要有用分數去計0.99...和1之間有沒有數字就永遠不能跳出相同的概念。所以無論是1/9和2/18, 在定義中都已經是相同的0.111....。所以唯一方法就是要找出一個0.999...在另一個非分數方法去表達形式，才會發現0.9999...不等於1。
不是说最小的数是普朗克常数么🤣🤣🤣🤣，普朗克常数是有大小的，所以不存在无穷小量🤣🤣🤣
如果是3的倍数进制呢？数学十进位本来就不合理
我覺得戴德金分割法那個證明是有問題的，關鍵在於這步 1 - 1/10^n = 0.999...9 < 0.99999....這裡並沒有證明 n 不會趨近於無窮大，事實上直覺來說，n 會趨於無窮大。這樣一來，就會變成 1 - 1/10^n = 0.999...9 = 0.99999....問題來了，既然 1 - 1/10^n = 0.99999....那麼 1 = 0.99999.... + 1/10^n因為 1/10^n 不等於零，故得證 0.99999... 不等於 1因此戴德金分割法反而是證明 0.99999... 不等於 1
或者我們可以這麼說，當 n 趨於無窮大時，1 - 1/10^n 有沒有小於 0.99999....?戴德金分割法並沒有證明。結果是掉入了循環論證。令一個沒有證明的式子成立，去證明原式。這種證明是不對的。
戴德金分割在證明這個沒用到極限，這裡的1-1/10^n的n只是表達對於任一數而言皆成立，沒有趨近誰的問題
Because n->infinity , the number n does not exist.
我覺得根本的問題就是定義1/3=循環0.333… 在直覺上0.33333跟1/3不是一個東西 如果把1除以3 不管怎麼除都會剩下一個餘數 而這個餘數在0.333循環小數裡面是默認存在的 但大多數人不會發現這件事情 所以才會出現0.999…循環小數
這個議題就是個定義問題
這個1等於0.9999999...小學四年級的時候老師就講過了 但沒有深入講 只有淺談
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1老師什麼的又不是神 還是要自己定義的
歐拉是狀聲詞 承太郎攻擊時會一直歐拉歐拉叫
數學真的很誠實，不會就是不會..
數學不好可以去學〝量子力學〞因為你可以說你不知道XD沒人懂量子學，如果說懂了那他一定不懂量子學。(反正就是無中生有，有中生無)
朋友可能背叛你 但是數學不會不會就是不會
@@超兄貴大叔 那你可能數學讀的不夠多，數學可能整你的～三角內角和不是180度，因為這是另一種三角形球面的三角。黎曼幾何～
@@Wind_of_Night 就只是一個梗 數學不會背叛你的意思不是數學永遠是對的是指你不會數學的時候就是不會是說梗還要特別解說就跟還要特地解釋冷笑話一樣讓人尷尬...
如果這樣是對的話 10就等於3點3循環
x三
1和0.999...在個位數永遠都是比他大的，不可能會是對於
我信我錢包裡的錢不是我的
設X = 0.999....那麼10X = 9.999999.....10X-X = 9X 即是說 9.9999....-0.9999.... , 無盡的9刪掉所以9X = 9X = 1但在現實上, 很多時都做不到無限小數, 比如切出3份完整的 1/3 蛋糕
@@林琪琪-d7l 說得好, 那12進制的5/12 要怎算?
我想問問「物理学家」怎麼回答還有文科的教授怎麼解釋最近還有量子學
我認為，無限循環是我們人類十進制的一個次元盲區，其實我們人類的數學本身建立在十進制的基礎上(因為人類十根手指頭)，導致很多數學家被困在十進制的一些數學難題裡，明明我們人類發明的電腦是運用2進制去運算，那麼，當遇到無限循環除不盡的狀況時，如果改用其他進制為基底去運算，你會發現原本除不盡的，變成整數了，我舉例 1/3=0.333333(循環) ， 如果大家試著用12進制去算就是1/3=0.4(12進制) ，當等式兩邊各乘以3 就回到1=1，不會有那個除不盡的問題，如果人類想進入宇宙變成更高等文明，就必須擺脫十進制的約束.....結論:數學上會有除不盡就是10進制本身的BUG~這時候改用其他進制就可以除盡得到整數
个人是理论数学工作者，这个视频的结论是错的。数学家已经证明了，在实数体系下0.999...=1，在这个体系下才可以做我们大学里学的微积分。但同时也可以独立构造一套别的“数”的公理体系让他们不相等，只是没有任何意义，无非是个超越的域扩张，如果你学过基础的抽象代数的话。这是一个完全解决了的问题，不存在视频里说的任何的模糊地带还没发现。
請問在超現實數中能定義0.9bar嗎？
@@ckroll2298 其实这里有点language abusing，当你写下0.9循环的时候你已经默认在实数系统里了。这里应该理解为一种极限（增长）过程，0.9，0.99，0.999...你只要明确一个这样的过程，超现实数中都能有定义。而且这个定义出的新的数并不会等于实数里取极限。对于一般非数学工作者只要理解，这个在数学里是公理化的东西，它不依赖于自然规律。这个视频作者的错误在于不是大家有没有“发现”超现实数，而是数学家已经定义了超现实数。这和复数类似。（复数不在超现实数里，超现实数关心大小关系，而复数没有大小关系）
@@twistarlight8403 我的理解是超現實數是實數的一個體（域）擴張，我想問的是0.9、0.99、0.999⋯⋯這個序列會跟實數一樣嗎？因為我只讀到環論跟很少的超現實數，我也覺得影片的人有問題，只是單純好奇。
太可愛1：22
4：16我就是用那個方式算的不過我小學
下載99%不再繼續=死機
所以 0.99999….. = 0
雅桑真的擁有把學問用哲學方式表達的能力與魅力！我真的很怕數學，我42歲了，可是我看到你的解析，我真的覺得如果我當時能遇到像您一樣的數學老師，我就不會只是個平凡的developer了…
過譽了~
已经很好了，我数学可以，却没学软件
「問你個問題。1塊蛋糕切成等大小的3份，一份是1/3塊沒錯吧？」
「沒錯啊。」
「1/3相當於0.333……3，這也沒錯吧？」
「是啊。」
「那麼3份蛋糕合計就是0.999……9塊蛋糕，那剩下的那0.000…01塊蛋糕去哪裡了呢？」
「你看你的刀子上是不是沾了些奶油？」
「！！！謝謝，我懂了。」
@Anderson Kinloch 仔细看的话奶油里夹杂了一丢丢蛋糕屑，拿电子显微镜也许能看到切蛋糕那把刀的分子残留在蛋糕上。
所以0.3333...*3 不等於0.99999...
這邏輯定義有問題。
@Anderson Kinloch 为什么要算？
不用吵了，遇事不決，量子力學。可有可無的存在～
@Anderson Kinloch 为什么要算？
我認為，無限循環是我們人類十進制的一個次元盲區，其實我們人類的數學本身建立在十進制的基礎上(因為人類十根手指頭)，導致很多數學家被困在十進制的一些數學難題裡，明明我們人類發明的電腦是運用2進制去運算，那麼，當遇到無限循環除不盡的狀況時，如果改用其他進制為基底去運算，你會發現原本除不盡的，變成整數了，我舉例 1/3=0.333333(循環) ， 如果大家試著用12進制去算就是1/3=0.4(12進制) ，當等式兩邊各乘以3 就回到1=1，不會有那個除不盡的問題，如果人類想進入宇宙變成更高等文明，就必須擺脫十進制的約束
那對於無理數, 可以改用什麼進制為基底去運算成整數呢?
位數不同你老師看到都自盡了
我好像能理解 循環小數其實只是表達方式的問題 正如你說的用12進制看1/3 三分之一是能以非分數的方式表達出來 如你所說 理論上來說每個循環小數都應該有能夠表達出來的方式（或者叫進制）
我突然想到圓周率 圓週率正在使用十進制計算 算出3.1415926535897………………………… 是還沒算盡的 那如果使用其他進制 會不會能表達出來呢
@JC_Cheungoldsix不能
我一直在想，人类采用π进制会有什么结果，是不是所有难题都不存在了
雅桑總能把我怎麼也想不明白的事說清楚，只是我要看透徹這個清楚還需要99.999......次
看來我還得繼續努力讓你1次就看透徹啊
@@雅桑了嗎 我看了0.99999.........次
昏了
1÷3=0.333333333.....
@@雅桑了嗎 cute me to death
利申，我並不是數學家，我這段內容基本都是消化了相關論證後再以自己的語言說出來，外加些少灰諧。所以有多少不乎合數學上的用詞標準或者有人覺得是冷笑話請見諒。
話說在前頭，我是認同0.999…=1的那一派。
要說「無窮小量」這個問題，我的理解是把微積分及離散數學一起來看就行了。微積分的下這個世界的「小」並沒存在下限，所以要解釋無窮小就要把思路逆轉過來，理解為無窮大的倒數，即「在概念上的所謂最小值」。言而這個字宙是有最小值的，這乎合離散數學的概念，「無窮小量」也就是就等於這個最小值了。
簡單點來講，「無窮小量」有多小就視乎系統允許的最小值有多「小」﹐還有系統允許的誤差值(這個很重要)。
首先說說微積分。因為「小」並沒有下限，任何一個非0值都可以被分割出更小的非0值，所以無窮小並沒有一個實值，只是一個概念，即是「沒有最小，只有更小」，只要一日未割至0仍然要割下去，但現有規側跟本不會讓你割剩0，只能繼續割，一直割，割到宇宙熱寂﹐但不代表這就成功割完，只是沒功夫繼續割，放棄不割了，也就出現所謂的餘值，不過這餘值基本上等同「無」。至於「無窮小」跟「無」之間的恩怨我就不用多說了。微積分的核心是「極值」，指有些情況下將某實值代入某公式並沒有答案(例如除以零)，但如果代入的並不完全等於該實值而是「有足夠靠近」那麼答案也會有足夠趨近某一個數值，其核心就是無窮小。有聰明的朋友也許會再提出這個「漏洞」：0.999…9跟1.000…0相差了0.000…1呀，怎會沒有實值？不能割不代表不存在吧。但我要說這些聰明的朋友搞錯了一個好關鍵的重點，就是0.999…首先有無限個9，然後才…抱歉「沒有然後」了。硬要找0.999…後面的東西﹐有都只會是繼續無限個9而不會只有一個，所以0.000…後面也頂多再來無限個0，這個「最後的1」的而且確不存在而非不能割(有得割不割罪大惡極阿朋友)。說到尾，也就回歸問題原點，變成了「遞歸」(recurrsion)的問題了。其實這個0.999…的問題不就雷同物理學四大神獸之一的芝諾烏龜的那個悖論﹐之不過將1/2(二進制0.111…)改為9/10(10進制)罷了，同樣用微積分就能破解了。
好，在離散數學下，那麼0.999…跟1的差別就的確有可能會是這個不可割的「系統允許的最小值」(但其實更有可能是0﹐真相只有一個﹐case closed，完結撒花，皆大歡喜…最後會提及原因)，但離散數學有一個很尷尬的難題﹐就是小數點後的位數總有個終點(那怕會有很多個，但總之就是會數完)，「無限循環小數」並不存在﹐更別說無理數，超越數等等並沒有規則可言的無窮小數了，也就是說1/3 =/= 0.333…、像無窮數列等等這些建基於無限循環小數的理論通通不能成立，圓周率及歐拉數等等也有絶對確值了(應該是「不被允許存在確值只能有約數」…但貌似反而是好事？)，但這明顥有違常理(雖然在微觀上反而是對的)。
要解決這一尷尬難題，首先要承認絕大部份宏觀系統都存在「可接受誤差值」的。舉個例子，我要你將769毫升水精準分成167等份(為何要769及167我待會再說明)。你會說，有多難？每份769/167即約4.60479041916毫升就是了。但我要提醒你「769毫升」「大概」有幾多個水分子…根據維基百科，標準情形下的水分子的摩爾數是約18.01528(g/mol)所以769毫升水有約42.6859865625摩爾(即約 257*10^23個)水分子﹐你真的打算要在精準到分子數的層面來分等份嗎？而且你能保證這個「約42.6859865625摩爾」能被19整除？不能整除的話何分成等份？再說在日常生活中要拿完全精確分子數的任何物質一個不差幾近不可能吧，別甭說視乎溫度壓力甚至同位數這個「約42.6859865625摩爾」根本就是一個浮動數值(所以這些數值前面全部有個「約」字)。所以系統需要有一個可接受誤差程度﹐不能少於這個浮動範圍，例如我會跟你說，「將769毫升水分成167等份，誤差值為1微升」，那麼你別理會水分子數的問題，也不用擔心769不能被167整除，總之將它分為167份介乎4.6047至4.6048毫升這個範圍就可以了(這誤差甚至明顯低於一微升)。好了﹐我選769和167的原因是因為剛好都是質數，能高機率出現不能整除的情況(除非摩爾剛好能被167整除)但又不會把問題搞得太複雜，雖然後來發現關係不太大…。
我就知道有人會質疑，數學就是要講求準確，在可行的情況下都要將誤差降到最低…「我現在就是要玩到對誤差零容忍，你奈我什麼何？」在離散數學下因為有明確的最小值，所以當然能做到表面上的零誤差，但也就等於先前的尷尬難題無法解決，這可是個更深層次的誤差處理，叫做「量化」。而且數學還講求「用於表達萬物」，明明現實世界就是充斥著誤差，更甚這些誤差大多明顯高於最小值，而你卻偏要把誤差的存在抹除掉，這還算是數學嗎？完善的數學理論是要將誤差考慮在內的。這裡跟大家說說一個小知識：我們身處的這個宇宙估算一共有約10的78至82次方個原子。是很多沒錯，但掉轉頭看1/(10^82)跟「無窮小」明顯有能夠理解的差距。單單是圓周率就已經被算出了小數點後上百萬個位或更多，可不是百萬分之幾喔…像我們的宇宙這一個概念上無限的實質有限集合，但在無窮小下都顯得何等渺小，「相比之下更加有限」的系統更就更甚，最簡單例子就是你跟我都在使用中的數字電腦中的浮點數(IEEE 754)，都有對應最小及誤差值的方針。有興趣的朋友可以去看看。這裡說個題外話：因為現今的宇宙正直青年，充滿著核反應，而且幾乎都是核融合，所以雖然幅度很少但這個原子數量是在持續滅少中。
總結，當一數值無可避免必需變得小於系統容許的非0最小值時﹐也就只能夠「歸邊」，要麼「塌縮」清零，要麼「擴散」成最小值，沒有中間可選，四捨五入的概念下是0的機會理應是大多數(因為怎想它也會比較接近0)，而這兩邊都同樣無可避免涉量化誤差的問題。所以到頭來歸那一邊最終其實沒分別。在微積分下0.999…毫無疑問=1，離散數學的話在允許「可接受誤差值」的絕大多數情況下等於基本上=1，不接受的話嘛…也絕對可以，但請先提出這個最小值不能被忽略的理由﹐而這個已經是純粹數學的範籌﹐玩味多於實用了…
後話，其實0.999…=1是在常理下(也就是0.999…的情況下了)被公認的事實。但數學就是這麼既有趣又煩人，可以在無限接近完全肯定的情況下提出那無窮小的否定的可能性來討論…
其实0.99999.。。。就是等于1的，我个人的直觉是0.99999.。。。。。这个数是不存在的，因为
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
無窮小量只是一個函數f，而且有f(0)=0,f在x=0連續（連續性以epsilon-delta定義）
這個問題
倒不如說「怎麼得到0.9999….」
其實「正常」的除法根本就得不到這東西
你可以1/1的時候故意不除好
得出來的就是0.99999…..
我覺得很多人都太把這個問題想的太哲學了
無限小為什麼等於零？無限又是什麼？
其實都早有柯西所給出的極限嚴格定義
所以說穿了
不過是個根據定義所推論出來的東西罷了
每次想到這點總會有點對「無限」帶來的神秘感到破滅
我認為，無限循環是我們人類十進制的一個次元盲區，其實我們人類的數學本身建立在十進制的基礎上(因為人類十根手指頭)，導致很多數學家被困在十進制的一些數學難題裡，明明我們人類發明的電腦是運用2進制去運算，那麼，當遇到無限循環除不盡的狀況時，如果改用其他進制為基底去運算，你會發現原本除不盡的，變成整數了，我舉例 1/3=0.333333(循環) ， 如果大家試著用12進制去算就是1/3=0.4(12進制) ，當等式兩邊各乘以3 就回到1=1，不會有那個除不盡的問題，如果人類想進入宇宙變成更高等文明，就必須擺脫十進制的約束
確實 扯到無限.無窮等等爭議就很多 畢竟只是一個定義
給任意不為0的整數n
複數(0.6 + 0.8•i)的n次方
與
複數平面上(1,0)這點的距離
永遠不會等於0 但 也永遠找不到最小值
當然哪，因為任一整數n都是有限次~
這跟影片講的有關係嗎
這只能說cosa⁰=3/5時角度是無禮數
跟極限沒有什麼關連
教授A：59.9 = 60
教授B：59.9 = 59
看來我是遇到了不同派系的數學家
不知道你是什么学历，都是数学规则就是59.9是等于60的
Depends on round off, up, or down to the nearest integer.
有沒有想過教授B跟你有仇
我曾經把一個59.4的學生當掉，好爽~
@@nnwslswu 果然是惡魔
談到無窮小量, 令我想起當年網遊的RO內的"零偷"理論一樣, 系統數位有限, 但存在發生的概率有可能發生的話, 系統會自動進位, 從而令概率增加成為事實. 而現實中會存在嗎? 物理存在很多最少的, 不可分割量. 這應該是個很好的議題.
弦理論，理論上可以無限分割，是物理嗎？實際存在嗎？待證
@@evanlu8996 好像有說時間及長度這些物理量是有最少值, 不能再被分割. 弦理論就不知.
@@evanlu8996 這正好是弦理論的瓶頸
弦理論认为小到弦尺度便无法分割，但数学上是可以的。
其实我感觉 我们对数字的定义太狭隘了，可以把0.99循环 看成是一个动数，一个在数轴上运动的数。而1是一个静态数，在数轴上不运动。这样比较0.99循环 和 1就不应该比较。没有意义。 动数比较动数更有意义。
要看你咋定义了，非标准分析里无穷小是实体
啊 我喜歡這個說法！
就是會無限接近1的意思！
其實現實中可能存在1這個數，或者2.3.4 那真實存在0.9999....9這個數嗎？
比如一個宇宙 一個蛋糕 一個分子 原子 之類的?
@@wanchan6593 这个问题 可以看成 圆是否是真的存在。世界是否有尽头。
7:24 戴德金分割不是講過了嗎？ 5/3 的「一個數字竟會引起一場數學血案？直接爆發了第一次數學危機 | 雅桑了嗎」 11:04 的地方（傳送門： th-cam.com/video/xZL5qDyAeWE/w-d-xo.html ）
突然發現 5/9 的「由芝諾的烏龜引出無窮小量等於0嗎？給牛頓擦屁股的第二次數學危機 | 雅桑了嗎」 0:49 的地方好像有先挖了畢氏學派 1 > 0.999... 的坑
（ th-cam.com/video/Ox3ow_xMhCY/w-d-xo.html ）
分割Q（有理數）得到兩個區域
A|B及C|D
B左邊端點對應的數=0.9循環，D則為1
則A{X|X屬於Q,且X
戴德金分割，應該是最沒爭議的證明
如果相信我們的手機
請輸入
1÷3+1÷3+1÷3=
我的手機告訴我是1
所以0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999=1
錯！你打了有限個9，所以不相等😂😂😂（我在抬槓）
數學就是根據一些公理建立的框架，如果公理變了，那麼框架自然就變了，用框架得出的結論自然也就可能改變
非歐幾何是一個非常好的例子~
我們教授曾說過一句話:「我們這些做數學研究的，就是把不該放進去的東西給強硬的塞進去，大家說1+1=2，數學家會思考三角形加正方形等於什麼」
三角形加方形可以理解为a+b等于c 你们教授说的不见得对 要是汽车前面的灯光加上车速）公里每小时 并不等于光速加车速 而是光速不变 A+B=A 1+1=1在马是动物这个抽象 在进行抽象才是才是纯粹理想 纯逻辑不知道怎么对接这个世界而已 别把不该放进去的放进去除非你能客观理解 什么是时间，空间 能量
三角形加正方形會等於1個房子：）🏠
簡單來說，數學家就是來〝搞事〞，只要不戳破大家過得好好的，但偏偏就有人要去搞事情～
@@Wind_of_Night 科技來自於數學，數學家只是在發明數學工具或是讓數學工具更完備，而其他領域的科學家，會在需要用到數學的時候，在成堆的數學理論尋找可用的數學工具...
@@hnh1808 科技來自數學，我覺得邏輯上有點怪怪的，因該源自於物理，數學只是類似於〝語言一樣〞科學的共通語言～數學本身無意義，因為數學家只管搞〝技術〞不管搞應用，搞應用就是物理學家的事情～物理學家又不搞哲學，哲學家對物理學家說，不懂哲學還發展理論，那理論很可能有誤～而且是嚴重錯誤～
看過鋼之鍊金術師，知識樹狀圖(真理之門上的圖案)，對應現實的科學領域發展莖的部分是物理，根的部分是〝哲學〞。
覺得用dx 當最小分割量的數學比較適合現在觀察到的宇宙現實。。在自然數中dx 就是1任何小數點以下的數都是無意義的
無窮小量是宇宙最基礎核心，所以不能被發現但存在。
它可以是物質，也只是可以是維度。但它不能被忽略，因為它是構成所有可見不可見的基礎。
宇宙最小尺度也有類似的感覺，物理上可能有那個最小的尺度，但數學可能沒有
確實感覺是如此
@@張秉森-f9q +1
數學可以天馬行空亂想，物理就必須拉回現實~
不是可能没有，是可以没有。
繞來繞去其實有很多的數學方程是為了某個區域內的模式設計的，不是全部適用，所以0.999..絕對不等於1！
坚持住鸭嗓，认真做数学视频的就是好鸭嗓，我支持你，么么哒😘😘
這應該解釋成10進位表示方式的小小bug，其實不影響計算結果。
我有一個解決÷0的方法就是把零變成一個數軸一條線而不是一個點簡單來說就是讓0×1不等於0×2讓0×1等於0讓0×2等於2零且有 負零 i零 -i零
√2零0.1零 無限大零 無線小零 不過他們的加法減法都和+0-0相同 且0-0等於0零他加減乘除例如 0零+1=1 0零-1=1
0零成1=1 0零/1=1
你现在只是把0当成1来进行乘除罢了
@@bryansiew9707 有没有可能你说的这个0和无穷的意思差不多
@@bryansiew9707 你這說法有個謬誤，因為每個數都是這樣乘除的
0軸的0對標正負軸的1和i軸的i
@@Rexfccvfhcbv 我是理解成多維的形式，類似x=0 yz非0為面，xy=0 z非0為線
其實爭論的應該是0.999無限循環 是不是一個合法且嚴謹表達方式
“無限”根本就沒有定義，所以問題當然可以發散解釋。
等於比零大的最小數，居然在數學上等於零。
本來就是違反表達邏輯。
你的敘述中，最小的正數是哪一個？這個正數是不能進行除2運算的嗎？存在不能進行除2的數？如果存在又可以除2，那除2後的數竟然比最小數還小？
@@whymetvtv
所以以古典分析學的角度
根本沒有「最小正數」
他是可以一直小下去的
對所有的x,x>0
總可以不斷找到y使得y
@@瞎貓-g3d
episoln-delta定義？
看你的「無限」指的是什麼
早就都定義好了
無限循環是計算產生的無理數，是不得已才拿來當答案的，正確解答應該是，該數學式無法計算沒有解答，但你又想有個接近答案，才搞出這有誤差的答案，這是有誤差，已經無法補償還原的數字。你拿他來計算答案絕對是錯誤的。例如10÷3是不能計算的，但你硬要給3.333……當答案。然後3.333……×3是9.999……。除乘逆算已經還原不回10了。這已經違反算數能逆算原則了。問題在你第一次答案就錯了，你是把錯的答案當對的答案，拿錯的答案繼續計算，只是繼續錯下去而已。無理數是有問題的東西，你拿來當接近答案，已經是很不好的事。你再拿來繼續計算，那根本是在自欺欺人。……是定義，是解不出題，賴皮搞出來的東西，你除法除不盡就定義ㄧ個以前沒有的符號……，你知道是什麼意思？就是無解當有解除理。
当x= 0.9循环时，10x的确是等于9.9循环的，但是问题是10x-x=9x 他不等于0.9循环啊，这一步就错了。他利用了数理有限数字无限的bug了。论证过程：假定a等于（近似于0.9循环3位数），即a=0.999，则此时10a=9.99,10a-a=9a=9.99-0.999=8.991，则推导出此时a=0.999循环，符合一开始的假设。同理可以推导出b等于近似于0.9循环5位数符合假设，以此推广任意位数的0.9循环的假定都能前后符合，则自然不可能等于1了。
無限接近光速並不等於光速
所以數學驗證不等於事實
软件工程师告诉你：的确是1大
這問題之前數學老師就在課堂上提過，無窮小量存不存在？
例如所有的面積由線構成，而線是由無數個點構成，那點的面積如何求？
因為點的面積可以是無窮小量，若點的面積是0.000無限小數之1而我們視作為0，則線不存在，因此0.000無限小數之1不可以等於0，意即我們不能忽略掉無窮小量的存在
π = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1 + 1 = 2
And T/π = 2
T = 2π = 2 * 2 = 4
In 黎曼的球面幾何學：
這真的超級適合我寫小論文的
在數學上0.99循環實際不等於1.小於1.
在生活以及科技應用上.無論多少萬年後0.99循環還是等於1.
所謂無限就是這個宇宙都塞不下，所以那些說0.999…無限循環等於1的人，我都建議你們把這個問題丟給電腦它幫你算是否等於，前提是不要給電腦輸入現有的數學算法，而是單純給電腦「無限」這個概念，我敢說哪怕量子計算機都算不出來，因為0.999…無限循環等於1這種算法就是人自己創出來的，客觀數學多少就是多少，哪怕你無限的某個數一樣就是無限，不會讓你進位，敢進位就不要說它是無限
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
說是1的都腦癱
黎曼的球面幾何學。
1 = 0.999...
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 + 1 = 1 + 0.999... = 2 =π
在宇宙上，地球及太陽等行星及恆星都係球體。
π = 2 俗稱的整數。
4:30 等式右邊沒有同除x
其實永遠不會有真相，只有模型，看各個模型能近似到什麼程度、能有多接近「真相」。
呃，其实可以理解为0.999... - 1是有方向的0（-0？）
也就是说这个无穷小量的意义在于它可以决定它的方向，是大小为0但有方向的一个矢量。（可参照导数部分知识）
其實之前我看老師講解0.9循環=1時 我問了老師 那為什麼10的指數圖形不會碰到0 他就當機了
恩恩
@@陳品澔-t5p 喔喔
我可以很取巧地幫他回答: 你有辦法畫到無窮遠的地方，他就會碰到~
但是距離是無限靠近，你隨便說個數，當作他們之間的差距，都會產生矛盾，所以差距不是你說的那個數，必須再縮小，無論你怎麼縮小那個數，最後都是矛盾，按照邏輯，他們只能相等。
因為你找不到x = ∞這條線
如果我排队时和前面的人紧靠着，那我就是他，这就是戴德金分割
為了避免無窮小量被當作0放在分母不成立，看來只能在這裡胡亂創造一個「ﾚ=(1-0.9999....999),且ﾚ不等於0」的概念了，然後再胡亂編個ﾚ是計算過程中的消耗值。
别争论了。争论的人是没了解数学的本质。数学不是现实存在的科学。数学是人类基于自己的能力和开始思考时的起始点，发明的一种语言，用以描述这个世界。这种语言在相当程度上是有效的，但不容否认，数学有一定的自洽性问题，比如几次“数学危机”，再比如我们要去证明许多数学问题，这正说明了这种语言自身的问题。这个具体的问题形成争议的原因就是由这种语言与现实的差异和语言自身表达上的问题引起的。
所以諾貝爾獎沒有數學獎
@@whymetvtv 我記得好像是諾貝爾討厭的人是當時最受歡迎的數學家，所以為了不讓他得獎，諾貝爾才不成立這個獎
先說明，我個人是支持0.9999循環=1的。因為0.999循環是一個有理數，它是m/n，m=n。
循環小數本身只是無法整除的比例要取得接近值的工具，倒果為因硬凹去比較其實很白痴。
而且即使在觀感上有差距，在運算上它還是相當完備的。代數，極限，無窮級數等等的大量各種方法都能算出它們相等。
但是我覺得如果是無理數就值得討論了。
比如1/2+1/4+1/8+1/16........這個數列是否等於1？？即使它的9達到無窮，亦沒法否定它最後必定是5，它是一個無理數...
曾經我以為上面這個數列是1的，但是後來又遇上另一個問題如下.
(2+√3)^n，這個數也是一個無理數，但隨著n增大，它會愈來愈接近“整數”。它大概是這個樣子的
整數.99999xxxxx......
分為3個部份，整數+小數點後是一串9後面接不循環的小數串。n愈大，那串9愈長。
請問當n增加至無限，這個數是否一個整數？yes or no??
大家怎麼看？？
我發現1÷1用直式寫，如果開頭寫0，就可以除出0.9999……
商和余 分的清吗？开头写0只是商一样 一个0.999···有余数 一个0.999···没有余数
@@笨来无一悟-v1k 你在說啥？
直式除法不允許餘數大於除數，所以這不成立，而且按照這方法，2÷1或1÷0之類的式子也能等於0.999...
@@Hi-lm7gw 他應該是想說0.999...和他說直式除法除出來的0.999...不一樣，一個是0.999...，一個是0.999...還有餘數
@@dying4682 那第一句「商和餘分得清嗎？」我還是不懂什麼意思
其實所有有理數就是一個數的無限循環，
例如
1=0.9999...
1.5=1.4999...
2 = 1.999...
原因就是「無限」是指沒有盡頭，當你讓0.999...最後加多一個9就停的話，那就不是無限循環，那是一個有限的數。
0.999...9+0.000...1 = 1 (你要讓這條式成立的話，那你一定要知道0.999...9和0.000...1有多少個位，那這兩個數必然是有限的，而不是無限)
我 記得我小學時有一個的老師教（外聘的）
很哲學的數學😇
請教0.999...是有理數還是無理數？是如何證明的呢？
定義那有證明？
也就是說站的立場不一樣，結果也不一樣
之前跟數學老師說那新增一個無限小的符號來修好數學的這個問題怎麼樣，他說我肯定去吸了強力膠
不用新增，就ε~
@@nnwslswu 原來我是對的嗎XD
所以強力膠會讓人聰明(X
@@阝千翎 😆
中华传统文化讲，一善解百灾。施人与善，广种福田，施人与恶，报应连连。所以，以善心处世为人，他会发大爱无疆，善会在他的生命和事业当中蔓延，所以，他的事业会顺利，他的身体会健康。
--仅分享善言，不针对任何人和事，感恩宽容！
比較感興趣，如何理解反比例函數與兩個數軸之間的距離的問題。如果能夠理解的話，以上的內容應該有新的看法也說不定。
太麻煩了啦，給數學家一張紙跟一枝筆，用完了我可以再給他新的
讓數學家寫0.999999無限寫下去，看這張紙開頭會不會變成1就行了
你有想法
世界上是有些事是存在但永遠找不到的，比如女朋友
好了新問題
今天的 0.3333...
等於
明天的 0.3333...
嗎？
不等於，要考慮通貨膨脹
雖然我不是數學家，但聽起來很不錯對吧~
它們相差0.無限個0然後才1
既然都無限個0了，也就是說1永遠不會出現🤔
標準答案~
支持你的論點
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
根本沒那麼繞，數學就是工具，是工具就有誤差，有誤差就要彌補完善，在範圍內自洽即可。微積分其目的也就是要跳過極限的運算漏洞罷了，被省略的部分真的就是0? 在計算上只是趨近0而小到不計而已，但如果遇到「無限大*無限小」這種奇怪的無解問題，又要被拿出來槓了。
戴德金分割的一个假设是，如果两个数之间相差一个无穷小量，则这两个数之间是无缝隙的，所以定义这两个数相等。这实际上是加（减）性相等，或者可以叫它算数相等。也就是说lim a_n和lim b_n是两个无穷小量，则lim (a_n - b_n)也是一个无穷小量，我们认为他们在加减运算中是"没有贡献"的。但是这个显然是不全的，因为除了加性，我们还可以由积性。所以我们定义了无穷小量的阶，从这个意义上来说，两个无穷小量是不相等的，或者说是几何不等。回过头来看这里的问题，0.9999...实际上是1-(1/10^n)的等比级数的方式趋近于1的。而1本身就是自己了，或者不太严谨的说，它是"绝对最快"趋近于1。从这个意义上讲，我们显然找到一个比0.999..更快收敛到1的方式，这个就是1和0.9999之间的几何缝隙。从这个意义上说，1就不等于0.999....了。
反证法:
设0.9999……不等于1，也就是这两个数之间有一个无穷小的数。若此无穷小的数为
0.00000…………1，则矛盾出现了，既然这个0.00000…………1有尽头，则(1 - 0.00000…………1)同样有尽头，也就是0.9999……有尽头而不再是无限循环数(矛盾)
＞＞所以0.9999…………等于1 !!!
它们之间不能出现一个有尽
头的数，换言之，它们之间
根本就不能有任何数出现。
我以國中生的看法，雅桑說用切的，但切到1.616252×10−35 米
不就不能再切了嗎？
那就不是無窮小量了
數學和物理存在差異，物理上的長度極限普朗克長度與無窮小量相比仍然不夠小。
把物理拿出來 看你也是有病
其實由1/3=0.333...早已由前人設定出來，都是由"人類的腦"去想出來的，當中有bug也不出奇吧
0.999... =1 這說法沒有錯，因為只是"人類"暫時沒法子再數學層面上把無盡餘數理解得了，數學上把1除成3份是沒有少到的，仍然存在，只是人類理解不了只能看作成無盡的餘數
拿計算機來理解是少了，可是從另一個層面去思考是沒有少過，0.999.... =1是要從另一個層面去理解
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
十六進制：
在實數線上的關係不一定要去找0.999...和1之間的x
只要去證明他們是隔壁的數就好了
中間那條縫aka無窮小量x根本沒有必要存在
1+1=2，
0.999...+0.999...=1.999...8
這兩個數完全就不相等
無限小數不能使用四則運算哦 如果你要嚴謹的證明0.999…+0.999…要用極限的方法去運算
我們在算極限的時候 lim x->2 (x+2)(x-2)/(x-2)
這個x雖然可以帶入2 (先進行約分)
但是實際上x是不可以等於2 只是趨近於2
其實這中間也是有個無限小量
同理 我們可以用 極限算出 0.99999 = 1
其實0.999999 也只是趨近於1 而非等於1
這中間還是回到了無窮小量的問題
其實limit 如果用delta epsilon 來定義可以不涉及無窮小量...
@@alexatg1820 所以實數的定義使用epsilon delta 把無窮小量避掉了啊
但是如果我們不避開這個問題還是要面臨無窮小量是什麼這個問題
你把球極限當成是求上下界，就沒有這個困擾了。你看呦，求左極限，數列的上界是2；求右極限，數列的下界還是2。那麼，我們說這個極限是2，當然沒有問題~
大家是否有注意到
是避開無窮小量
x就是不可以等於2
否則原式分母就為0了
目前完備化的實數體系並沒有無窮小量的容身之處
当数学家告诉我∞+1=∞，我就已经看穿了一切，我玩不过他们。
數學家會告訴你，無限是不能運算的
因為無限減無限還是無限。
@@whymetvtv 你不是運算了嗎😂
@@hnh1808 這是一個定義概念，不是運算
@@whymetvtv 不能運算的東西，你用運算來定義結果😂😂你在哪裡看到過無限大-無限大=無限🤔
超現實數be like:
精彩👍👍👍
温馨提醒:视频的最后找到了无穷小量
正確答案很難有完整說法，至少我知道1不小於0.9bar就好
很多大神都做了自己的方程去證明0.999...跟1的關係，覺得很厲害。數字畢竟是人類創造定義的，所以我覺得看你用甚麼觀點去詮釋兩著之間的關係，都有道理。
另外想問一下無論0.999跟1是哪種關係，會影響到人類的進步、宇航火箭的製造或多元宇宙的發現嗎^^ 純發問
這個問題事實上是數學史上的第二次危機的另一種問法，解決這個問題的根本是建立在用正整數的個數取代無窮大，用elision delta方法取代無窮小，此後微積分才算完備，高等微積分也同樣建立於同樣的根基。從牛頓之後，所有物理學的前進，都是先有了完備的數學體系，再將物理發現放入，然後再推導出新問題，然後才知道要研究什麼，至於研究清楚是否有用，那可能是幾十年後的事情。比如當初研究原子結構，那些科學家不會知道將對人類社會有多少貢獻，但今天先進的醫療儀器CT,MRI,都是研究原子結構時的應用。比如宇航火箭來說，控制如何精準飛行的方法，都是150年前研究微積分時創造的方法，再寫成程式，那些數學家沒ㄧ個想過他的研究要讓人類飛上太空。
理論跟實作太遠,當初質數跟自然數論也不知道有什麼用,過了好幾百年在密碼學和電腦科學有大用處,同樣虛數也是早早被發現,也是在幾百年後才得以應用在太空工程等等,更不要說現在的數論了,但鑑於目前的發展進度,應該是不至於花到百年,而這邊的理論應該偏向微積分的定義,至於你說有什麼關聯那就真的太抽象了,不光是理論,這僅僅是理論中的一個小趣問
其實這都是定義問題 看你用哪種數學工具表示 火箭的話這問題很有意義 主要是誤差值問題 在電腦計算上多少的0.99會被認定是1 會決定你行徑的偏差
當初發明電的人也沒想到電會被人類用成現在這個樣子
錯了 數學不是發明 是發現 是客觀存在！他這個只能證明混屯理論，任何在小的因素都不會成為同一個結果，
在無窮，佛，道的世界
觀，無所大，無所小，萬物皆空。
總覺得已經變成哲學問題了
1和0.999...就看個位數就好了
根本不需要追究
其实数学就是人类的一套逻辑工具, 这套逻辑工具从古人的实际应用需求而来, 本身存在先天的逻辑缺陷, 并不是完整严谨的体系, 后人做不到另起炉灶, 只能缝缝补补, 所以纠缠不清, 烦恼多多
说了这么多 这个无限小量存在的说法 感觉可以的。
非得把事情搞得那麼複雜~哈
1-0.999循环=lim0.1^x x趋向于正无穷 这么解释可以吗？
5:04 的式子是不是多了一個 summation
（一）
我認為0.9999.....,,的表式無意義，它不是一個數😮
如果它是一個數，那
兩個 0.9999.....
如何進行加法運算呢 🤔
我不會加😢
（二）
n = 1 0.9 ;
n = 2 0.99 ;
.
.
.
n = N
0.99......9
共N個9；
當 N 不斷增大時，它的「極限」等於 1 😃
換個方式説：
當 N 「趨近無窮大」時，它「趨近 1」
😃
.
.
.
我想買魚
上面價格標了“100”
我電子錢包裡面只有99.999…
怎樣刷都無法結帳
我突然悟了什麼叫現實
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
1個蛋糕大，還是0.99999999……個蛋糕大？就這麼簡單。
其實不等於對你說得很對
在十進位的規則下0.9999無限循環等於1
是的。二進制三進制都不一樣
@@雅桑了嗎 0.9999999等于或者不等于1
打个官司就知道等不等于1了
@@雅桑了嗎
1 > 或 = 0.9999...
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
實際0.9..不是1
想要戴德金分析證明！
其實不等於喔 上面三分之一等於0.333無限循環是錯的是大約等於這個就差很多了
無窮代表沒有極限所以只是個代數實際上是不可能加到無窮的
算不出來不代表不存在 不然能證明它不存在嗎
那個平行宇宙好好玩
如果反轉想，將無限小量乘以無限，可不可以變成1呢？為什麼等於1不等於0.1呢？
我覺得應該問題會不會是因為我們首先定義了0.999999...=0.11111x9 ，而0.1111...已經定義為1/9所以0.999...在此定義下必然等於1? (0.111...的唯一意義是由1除9後的小數表示形式)。所以只要有用分數去計0.99...和1之間有沒有數字就永遠不能跳出相同的概念。所以無論是1/9和2/18, 在定義中都已經是相同的0.111....。
所以唯一方法就是要找出一個0.999...在另一個非分數方法去表達形式，才會發現0.9999...不等於1。
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
不是说最小的数是普朗克常数么🤣🤣🤣🤣，普朗克常数是有大小的，所以不存在无穷小量🤣🤣🤣
如果是3的倍数进制呢？数学十进位本来就不合理
我覺得戴德金分割法那個證明是有問題的，關鍵在於這步 1 - 1/10^n = 0.999...9 < 0.99999....
這裡並沒有證明 n 不會趨近於無窮大，事實上直覺來說，n 會趨於無窮大。
這樣一來，就會變成 1 - 1/10^n = 0.999...9 = 0.99999....
問題來了，既然 1 - 1/10^n = 0.99999....
那麼 1 = 0.99999.... + 1/10^n
因為 1/10^n 不等於零，故得證 0.99999... 不等於 1
因此戴德金分割法反而是證明 0.99999... 不等於 1
或者我們可以這麼說，當 n 趨於無窮大時，1 - 1/10^n 有沒有小於 0.99999....?
戴德金分割法並沒有證明。
結果是掉入了循環論證。令一個沒有證明的式子成立，去證明原式。這種證明是不對的。
戴德金分割在證明這個沒用到極限，這裡的1-1/10^n的n只是表達對於任一數而言皆成立，沒有趨近誰的問題
Because n->infinity , the number n does not exist.
我覺得根本的問題就是定義1/3=循環0.333…
在直覺上0.33333跟1/3不是一個東西 如果把1除以3 不管怎麼除都會剩下一個餘數 而這個餘數在0.333循環小數裡面是默認存在的 但大多數人不會發現這件事情 所以才會出現0.999…循環小數
我認為，無限循環是我們人類十進制的一個次元盲區，其實我們人類的數學本身建立在十進制的基礎上(因為人類十根手指頭)，導致很多數學家被困在十進制的一些數學難題裡，明明我們人類發明的電腦是運用2進制去運算，那麼，當遇到無限循環除不盡的狀況時，如果改用其他進制為基底去運算，你會發現原本除不盡的，變成整數了，我舉例 1/3=0.333333(循環) ， 如果大家試著用12進制去算就是1/3=0.4(12進制) ，當等式兩邊各乘以3 就回到1=1，不會有那個除不盡的問題，如果人類想進入宇宙變成更高等文明，就必須擺脫十進制的約束
這個議題就是個定義問題
這個1等於0.9999999...小學四年級的時候老師就講過了 但沒有深入講 只有淺談
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
老師什麼的又不是神 還是要自己定義的
歐拉是狀聲詞 承太郎攻擊時會一直歐拉歐拉叫
數學真的很誠實，不會就是不會..
數學不好可以去學〝量子力學〞因為你可以說你不知道XD
沒人懂量子學，如果說懂了那他一定不懂量子學。(反正就是無中生有，有中生無)
朋友可能背叛你 但是數學不會
不會就是不會
@@超兄貴大叔 那你可能數學讀的不夠多，數學可能整你的～三角內角和不是180度，因為這是另一種三角形球面的三角。黎曼幾何～
@@Wind_of_Night 就只是一個梗
數學不會背叛你的意思不是數學永遠是對的
是指你不會數學的時候就是不會
是說梗還要特別解說就跟還要特地解釋冷笑話一樣讓人尷尬...
如果這樣是對的話 10就等於3點3循環
x三
1和0.999...在個位數永遠都是比他大的，不可能會是對於
我信我錢包裡的錢不是我的
設X = 0.999....
那麼10X = 9.999999.....
10X-X = 9X
即是說 9.9999....-0.9999.... , 無盡的9刪掉
所以9X = 9
X = 1
但在現實上, 很多時都做不到無限小數, 比如切出3份完整的 1/3 蛋糕
我認為，無限循環是我們人類十進制的一個次元盲區，其實我們人類的數學本身建立在十進制的基礎上(因為人類十根手指頭)，導致很多數學家被困在十進制的一些數學難題裡，明明我們人類發明的電腦是運用2進制去運算，那麼，當遇到無限循環除不盡的狀況時，如果改用其他進制為基底去運算，你會發現原本除不盡的，變成整數了，我舉例 1/3=0.333333(循環) ， 如果大家試著用12進制去算就是1/3=0.4(12進制) ，當等式兩邊各乘以3 就回到1=1，不會有那個除不盡的問題，如果人類想進入宇宙變成更高等文明，就必須擺脫十進制的約束
@@林琪琪-d7l 說得好, 那12進制的5/12 要怎算?
我想問問「物理学家」怎麼回答
還有文科的教授怎麼解釋
最近還有量子學
我認為，無限循環是我們人類十進制的一個次元盲區，其實我們人類的數學本身建立在十進制的基礎上(因為人類十根手指頭)，導致很多數學家被困在十進制的一些數學難題裡，明明我們人類發明的電腦是運用2進制去運算，那麼，當遇到無限循環除不盡的狀況時，如果改用其他進制為基底去運算，你會發現原本除不盡的，變成整數了，我舉例 1/3=0.333333(循環) ， 如果大家試著用12進制去算就是1/3=0.4(12進制) ，當等式兩邊各乘以3 就回到1=1，不會有那個除不盡的問題，如果人類想進入宇宙變成更高等文明，就必須擺脫十進制的約束.....結論:數學上會有除不盡就是10進制本身的BUG~這時候改用其他進制就可以除盡得到整數
圓形邊放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它是圓形 所以 0.9... 不是1
个人是理论数学工作者，这个视频的结论是错的。数学家已经证明了，在实数体系下0.999...=1，在这个体系下才可以做我们大学里学的微积分。但同时也可以独立构造一套别的“数”的公理体系让他们不相等，只是没有任何意义，无非是个超越的域扩张，如果你学过基础的抽象代数的话。这是一个完全解决了的问题，不存在视频里说的任何的模糊地带还没发现。
請問在超現實數中能定義0.9bar嗎？
@@ckroll2298 其实这里有点language abusing，当你写下0.9循环的时候你已经默认在实数系统里了。这里应该理解为一种极限（增长）过程，0.9，0.99，0.999...你只要明确一个这样的过程，超现实数中都能有定义。而且这个定义出的新的数并不会等于实数里取极限。对于一般非数学工作者只要理解，这个在数学里是公理化的东西，它不依赖于自然规律。这个视频作者的错误在于不是大家有没有“发现”超现实数，而是数学家已经定义了超现实数。这和复数类似。（复数不在超现实数里，超现实数关心大小关系，而复数没有大小关系）
@@twistarlight8403 我的理解是超現實數是實數的一個體（域）擴張，我想問的是0.9、0.99、0.999⋯⋯這個序列會跟實數一樣嗎？因為我只讀到環論跟很少的超現實數，我也覺得影片的人有問題，只是單純好奇。
太可愛
1：22
4：16我就是用那個方式算的
不過我小學