Dommage... vous commencez par illustrer la diagonalisation de Cantor avec des images génériques sans intérêt. De plus il faut attendre plus de la moitié de la vidéo pour enfin entrer dans le vif du sujet.... Qu'est-ce qui distingue les entiers naturels des nombres réels? La question intéressante est de savoir pourquoi on passe de la notion d'infini à celle de dénombrement. Et au fait... qu'est-ce qui légitime le notion de bijection pour caractériser des ensembles? Autre chose : pour comparer des ensembles on range les nombres par ordre croissant... mais est-ce qu'il n'existerait pas une autre façon de ranger les nombres pour comparer des ensembles? 1 est le successeur de 0, 2 est le successeur 1, etc... oui, c'est une façon de voir les choses... mais qui pose des contraintes, des limites ! Bref, voilà juste quelques réflexions comme ça...
Waw, mon cerveaux chauffe pas mal à la fin 🤯. Vraiment super vidéo! Je trouve juste dommage que cette série se termine 😅, car il aurait été possible de faire un épisode dédié au ordinaux transfini (ε0, η0 etc...).
@@JamesWebb83100 merci beaucoup ! J'y ai pensé, mais je n'ai clairement pas le niveau. Déjà là je ne me sentais pas hyper légitime à parler de tout ça, alors les ordinaux je laisse le relai à Axel Arno ou un autre qui fera mieux que moi🙃
hum, alors petit problème. L'hôtel de Hilbert sert a montré les propriété des cardinaux, sauf que juste après tu décrit les ordinaux. Je dit pas que ça correspond pas, juste que ça peut donner une mauvaise idée de ce que c'est. par exemple, tu dit "rajoutons un étage et on obtiens 2 omégas", sauf que tu dis avant que ajouté cet infini à lui même ne change pas d'infini, ce qui se contredis et pourrais perdre ceux qui ne connaissent rien à ce sujet. 2eme point problèmatique: Aleph1=C est l'hypothèse du continue, qui est indécidable en ZFC, et puis même si c'est vulgarisé, la définition que tu fais de Aleph 1 juste après est un peu bancale, c'est pas "l'ensemble de tout les ensembles d'ordinaux", car cela mènerai (via l'axiome de réunion) à l'éxistence de l'ensemble des ordinaux qui n'existe pas, les ordinaux forment une classe propre. Aleph1 c'est la taille de l'ensemble des ordinaux dénombrable, c'est à dire que si on regroupe dans un même ensemble tout les ordinaux de la taille d'Aleph 0, on obtiendra un ensemble d'une taille supérieur. Qu'en à C (le cardinal du continue), c'est aussi le cardinal de l'ensemble des ensembles de nombre entier. Bon, après ça reste une bonne vidéo.
Bonjour ! Je trouve votre vidéo intéressante mais peu précise (vous confondez cardinaux et ordinaux) Je tiens à préciser qu'il y a deux sortes de nombres transfinis (au delà du fini) : Les cardinaux, qui mesurent en quelque sorte la taille des ensembles. C'est là qu'on y trouve Aleph0, cardinal des nombres entiers et plus petit cardinal transfini Le cardinal des nombres réels est 2^Aleph0, c'est aussi le cardinal de l'ensemble des ensembles d'entiers (P(N)), mais on ne peut pas dire que c'est Aleph1. Les travaux sur l'hypothèse du continu disent : il peut exister des cardinaux intermédiaires à Aleph0 et à 2^Aleph0, comme il peut ne pas en exister. Autrement dit on en croisera pas de si tôt, mais on ne peut pas conclure pour autant sur la valeur de Aleph1 Et les ordinaux, qui ne sont pas directement comparables avec les cardinaux. Ceux-ci mesurent le nombre de manière d'ordonner les différents ensembles. Omega est le plus petit ordinal transfini, c'est l'ordinal des nombres entiers Quant au lemniscate (le 8 couché), il ne s'agit pas d'un infini actuel comme les précédents, mais d'un infini potentiel. À comprendre que cela ne définit pas un infini en tant qu'objet, mais dénote seulement un comportement lorsque des valeurs (finies) augmentent indéfiniment D'ailleurs si des personnes savent comment sont définis +inf et -inf que l'on adjoint parfois à R pour obtenir R barre, ça m'intéresse bien, merci !
pour R barre, c'est une définition assez simple, on considère que R barre c'est l'union de R avec + inf et - inf où + inf est défini comme la borne supérieure de R barre, et - inf comme la borne inférieure de R barre. Il s'agit bien de borne sup et borne inf car ce sont des élements de R barre, ce qui en fait ne les définit pas vraiment, puisque leur existence supposée fait partie de leur définition. Mais cela permet des les utiliser. Il est clair au vu de leur construction que ce ne sont pas des nombres réels, bien qu'il puisse sembler que si, puisqu'il existe des suites de rationnels qui convergent dans R barre vers + inf et - inf. Mais bon la notion de convergence dans R barre est elle aussi un peu foireuse. (pour cause de cafouillage avec l'idée de norme dans R barre).
@@Claire8081 Ils ne sont donc pas construits formellement ? Qu'est-ce qui pose un problème pour la norme ? Le fait que +inf + -inf ne soit pas défini ?
@@ceytixg2508 Pour la norme le hic c'est qu'une norme c'est une application qui est à valeurs dans R +. Donc pas d'infini possible, sinon ce n'est plus une norme et donc une norme dans R barre à part la norme discrete je vois pas. & avec la norme discrete on ne fait pas grand chose. On voit bien quand on apprend les mathématiques que ce sont des objets dont on se sert sans qu'ils soient vraiment définis (on dit qu'un suite tend vers + inf quand elle n'a pas de majorant, mais c'est quand meme une suite divergente, qui a une limite, ce qui est assez bizarre)
18:50 : il dit à la fin qu'il n'a pas été des plus rigoureux. Et en effet, lorsque l'on calcule en utilisant ces symboles, la rigueur mathématique fait la magie des résultats.
Plusieurs infinies !? Personnellement je ne comprends que deux types, le premier c'est les infinis de type de l'infini des entiers, le second est les infinis de type de tous les nombres entre 0 et 1. ❤❤❤
Merci, je suis en première et ma passion c'est juste d'apprendre des maths, avec cette video, tu me fais entré dans un autre monde que je veux exploré.
🤯 mais part contre pour le dernier l’infini absolu j’ai du mal à comprendre en quoi il est plus grand que les autre vue que le concept de grandeur n’a aucun sens quand on parle d’infini pour parler de grandeur il faut un concept fini jsuis perdu complet la je connais rien en math en plus 🤯🤯🤯😭😭😭
En fait, le 19eme siècle a vu l'émergence d'une notion de grandeur des ensembles infinis : on dit qu'un infini est plus petit qu'un autre, si en faisant correspondre un à un les éléments des deux ensembles, il reste toujours des éléments du deuxième ensemble qui ne sont pas associés. C'est par exemple le cas des entiers naturels, qui sont "trop petits" pour être mis en correspondance avec les nombres réels Quant à l'infini absolu en fin de vidéo, il ne s'agit pas d'une définition mathématique
donnez moi vos suggestions pour de prochaines vidéos dans les coms. ;)
sur lasuite des compléxités des entiers (integer complexity)
Dommage... vous commencez par illustrer la diagonalisation de Cantor avec des images génériques sans intérêt. De plus il faut attendre plus de la moitié de la vidéo pour enfin entrer dans le vif du sujet.... Qu'est-ce qui distingue les entiers naturels des nombres réels? La question intéressante est de savoir pourquoi on passe de la notion d'infini à celle de dénombrement. Et au fait... qu'est-ce qui légitime le notion de bijection pour caractériser des ensembles? Autre chose : pour comparer des ensembles on range les nombres par ordre croissant... mais est-ce qu'il n'existerait pas une autre façon de ranger les nombres pour comparer des ensembles? 1 est le successeur de 0, 2 est le successeur 1, etc... oui, c'est une façon de voir les choses... mais qui pose des contraintes, des limites !
Bref, voilà juste quelques réflexions comme ça...
Avoir un lien vers la première vidéo d'une suite serait bien.
PTDR je regardais la vidéo et je vois ma tête spawn, j'avais oublié ma présence dans la vidéo... 🤣🤣🤣
Waw, mon cerveaux chauffe pas mal à la fin 🤯. Vraiment super vidéo! Je trouve juste dommage que cette série se termine 😅, car il aurait été possible de faire un épisode dédié au ordinaux transfini (ε0, η0 etc...).
@@JamesWebb83100 merci beaucoup ! J'y ai pensé, mais je n'ai clairement pas le niveau. Déjà là je ne me sentais pas hyper légitime à parler de tout ça, alors les ordinaux je laisse le relai à Axel Arno ou un autre qui fera mieux que moi🙃
@@smartsciences Si tu connais un youtubeur qui s'y connais, tu pourrais faire une collab avec.
@@JamesWebb83100 ordinaux transfini, il y aura jamais de limite. Déjà ici ça chauffe bien, j'imagine même pas avec ça x)
@@Fabio-t4j
Tu connais Elj c'est une bonne chaîne 🗿
On dirait le power scalling d'un shonen 😂😂😂😂😂 tellement c'est abusé
hum, alors petit problème. L'hôtel de Hilbert sert a montré les propriété des cardinaux, sauf que juste après tu décrit les ordinaux. Je dit pas que ça correspond pas, juste que ça peut donner une mauvaise idée de ce que c'est. par exemple, tu dit "rajoutons un étage et on obtiens 2 omégas", sauf que tu dis avant que ajouté cet infini à lui même ne change pas d'infini, ce qui se contredis et pourrais perdre ceux qui ne connaissent rien à ce sujet.
2eme point problèmatique: Aleph1=C est l'hypothèse du continue, qui est indécidable en ZFC, et puis même si c'est vulgarisé, la définition que tu fais de Aleph 1 juste après est un peu bancale, c'est pas "l'ensemble de tout les ensembles d'ordinaux", car cela mènerai (via l'axiome de réunion) à l'éxistence de l'ensemble des ordinaux qui n'existe pas, les ordinaux forment une classe propre. Aleph1 c'est la taille de l'ensemble des ordinaux dénombrable, c'est à dire que si on regroupe dans un même ensemble tout les ordinaux de la taille d'Aleph 0, on obtiendra un ensemble d'une taille supérieur.
Qu'en à C (le cardinal du continue), c'est aussi le cardinal de l'ensemble des ensembles de nombre entier.
Bon, après ça reste une bonne vidéo.
J'attendais cette vidéo avec impatience !
@@liambossis7589 🧙🏼♂️
Bonjour, ça parle de moi ici ?
@@omegasirius2809 moi aussi ducoup 😂
Je l'attendais, bon visionnage !
Pas le temps de voir la vidéo la tt de suite mais j'enregistre direct parce que je sais que ça va être un banger
Le plus grand nombre intéressant est un bon sujet de vidéo
@@Picpic131 je retiens, ça pourrait faire l'objet d'une futur vidéo !
@@smartsciences le plus petit ayant été un sujet moultement débatu. Merci continuez ce que vous faites
On l'attendait tous cette vidéo
Bonjour !
Je trouve votre vidéo intéressante mais peu précise (vous confondez cardinaux et ordinaux)
Je tiens à préciser qu'il y a deux sortes de nombres transfinis (au delà du fini) :
Les cardinaux, qui mesurent en quelque sorte la taille des ensembles. C'est là qu'on y trouve Aleph0, cardinal des nombres entiers et plus petit cardinal transfini
Le cardinal des nombres réels est 2^Aleph0, c'est aussi le cardinal de l'ensemble des ensembles d'entiers (P(N)), mais on ne peut pas dire que c'est Aleph1. Les travaux sur l'hypothèse du continu disent : il peut exister des cardinaux intermédiaires à Aleph0 et à 2^Aleph0, comme il peut ne pas en exister. Autrement dit on en croisera pas de si tôt, mais on ne peut pas conclure pour autant sur la valeur de Aleph1
Et les ordinaux, qui ne sont pas directement comparables avec les cardinaux. Ceux-ci mesurent le nombre de manière d'ordonner les différents ensembles. Omega est le plus petit ordinal transfini, c'est l'ordinal des nombres entiers
Quant au lemniscate (le 8 couché), il ne s'agit pas d'un infini actuel comme les précédents, mais d'un infini potentiel. À comprendre que cela ne définit pas un infini en tant qu'objet, mais dénote seulement un comportement lorsque des valeurs (finies) augmentent indéfiniment
D'ailleurs si des personnes savent comment sont définis +inf et -inf que l'on adjoint parfois à R pour obtenir R barre, ça m'intéresse bien, merci !
pour R barre, c'est une définition assez simple, on considère que R barre c'est l'union de R avec + inf et - inf où + inf est défini comme la borne supérieure de R barre, et - inf comme la borne inférieure de R barre. Il s'agit bien de borne sup et borne inf car ce sont des élements de R barre, ce qui en fait ne les définit pas vraiment, puisque leur existence supposée fait partie de leur définition. Mais cela permet des les utiliser. Il est clair au vu de leur construction que ce ne sont pas des nombres réels, bien qu'il puisse sembler que si, puisqu'il existe des suites de rationnels qui convergent dans R barre vers + inf et - inf. Mais bon la notion de convergence dans R barre est elle aussi un peu foireuse. (pour cause de cafouillage avec l'idée de norme dans R barre).
@@Claire8081 Ils ne sont donc pas construits formellement ?
Qu'est-ce qui pose un problème pour la norme ? Le fait que +inf + -inf ne soit pas défini ?
@@ceytixg2508 Pour la norme le hic c'est qu'une norme c'est une application qui est à valeurs dans R +. Donc pas d'infini possible, sinon ce n'est plus une norme et donc une norme dans R barre à part la norme discrete je vois pas. & avec la norme discrete on ne fait pas grand chose.
On voit bien quand on apprend les mathématiques que ce sont des objets dont on se sert sans qu'ils soient vraiment définis (on dit qu'un suite tend vers + inf quand elle n'a pas de majorant, mais c'est quand meme une suite divergente, qui a une limite, ce qui est assez bizarre)
Oui ok, j'avais effectivement des réserves vis-à-vis de R barre, qu'on m'avait présenté en classe il y a quelques années. Merci pour cette réponse
18:50 : il dit à la fin qu'il n'a pas été des plus rigoureux. Et en effet, lorsque l'on calcule en utilisant ces symboles, la rigueur mathématique fait la magie des résultats.
Enfin la vidéo
@@Jamel373 désolé pour l'attente, mais pas d'inquiétude, pendant cette année scolaire, il y aura au MINIMUM une vidéo par mois
Super vidéo ❤ mais mon serveau vas exploser là 💀les maths c'est vraiment un multivers apart
Plusieurs infinies !?
Personnellement je ne comprends que deux types, le premier c'est les infinis de type de l'infini des entiers, le second est les infinis de type de tous les nombres entre 0 et 1.
❤❤❤
Montage farfelu, j'adore
@@LorenzoGreco1 😁🧙🏼♂️
@@smartsciences j'ai kiffé la vidéo ceci dit
Merci, je suis en première et ma passion c'est juste d'apprendre des maths, avec cette video, tu me fais entré dans un autre monde que je veux exploré.
@@iKyia génial, c'était exactement le but recherché, j'espère que tes recherches se passeront bien🙃
le goat de retour
@@Nanojuju-_- 🗿
J'adore les mathématiques. Logique mais aucun sens 😅
14:08 Pourquoi est ce que tu confond l'infini des Réel et Aleph 1 alors qu'il est impossible de prouver qu'ils ont oa même taille.
C'es comme dire qu'un rouge et plus rouge qu'un autre rouge... C'a fait pas trop de sens. 🤷♂️
first ?
oui
🤯 mais part contre pour le dernier l’infini absolu j’ai du mal à comprendre en quoi il est plus grand que les autre vue que le concept de grandeur n’a aucun sens quand on parle d’infini pour parler de grandeur il faut un concept fini jsuis perdu complet la je connais rien en math en plus 🤯🤯🤯😭😭😭
En fait, le 19eme siècle a vu l'émergence d'une notion de grandeur des ensembles infinis : on dit qu'un infini est plus petit qu'un autre, si en faisant correspondre un à un les éléments des deux ensembles, il reste toujours des éléments du deuxième ensemble qui ne sont pas associés. C'est par exemple le cas des entiers naturels, qui sont "trop petits" pour être mis en correspondance avec les nombres réels
Quant à l'infini absolu en fin de vidéo, il ne s'agit pas d'une définition mathématique
qui est fly ici ?