Curva funicolare di un carico distribuito lineare triangolare crescente

CURVA FUNICOLARE DI UN CARICO DISTRIBUITO LINEARE TRIANGOLARE CRESCENTE
Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Curva funicolare di un carico distribuito lineare triangolare crescente. Praticamente è un esercizio perché gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati nella lezione precedente che troverai qui • Equazione della curva ...
L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori. Ma veniamo al dunque, l’equazione del carico distribuito uniforme è q(x)=q.x/L, l’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H. Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H. Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico q(x)=q.x/L, quindi l’espressione dell’equazione si scriverà così f’’(x)=-(q.x)/(L.H).
Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x), f’(x)=INTEGRALE[(-q.x/L.H)dx]. Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo f(x)=INTEGRALE[INTEGRALE[(-q.x/L.H)dx]]dx. Da qui si applicano le regole degli integrali definiti pervenendo all’espressione di f(x) in funzione delle costanti di integrazione C1 e C2. L’espressione è la seguente f(x)=-(q.x^3)/(6.L.H)+C1.x+C2.
Non resta quindi che calcolare le costanti d’integrazione C1 e C2. Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito uniforme. Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0. Analogamente ponendo f(L)=0 avremo C1=qL/6H. Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito lineare triangolare crescente è f(x)=(-q.x^3)/(6.L.H)+q.L.x/6H. Operando gli opportuni passaggi avremo l’espressione definitiva f(x)= (q/6LH).(-x^3+L^2.x).
Il che ci porta a concludere che la funzione è del terzo ordine. E’ ora opportuno fare una importante considerazione. Se poniamo la distanza polare H pari a 1 l’equazione funicolare sarà f(x)= (q/6L).(-x^3+L^2.x). In più, ci interessa l’ascissa alla quale la funzione esprime il suo valore massimo. Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può esistere dove la derivata della funzione è nulla.
Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento. L’espressione della derivata prima di f(x) è f’(x)=(q/6L)(-3x^2+L^2). Ponendola uguale a zero avremo (q/6L)(-3x^2+L^2)=0 da cui x=L/3^0,5. Quindi in corrispondenza di x=L/3^0,5 avremo il massimo valore di f(x). Passando al calcolo avremo fmax=(q.L^2)/9.3^0,5. Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile. Buon studio.