CURVA FUNICOLARE DI UN CARICO DISTRIBUITO UNIFORME

CURVA FUNICOLARE DI UN CARICO DISTRIBUITO UNIFORME
Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Curva funicolare di un carico distribuito uniforme. Praticamente è un esercizio perché gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati nella lezione precedente. L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori. Ma veniamo al dunque, l’equazione del carico distribuito uniforme è q(x)=q, l’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H. Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H.
Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico costante, quindi l’espressione dell’equazione si scriverà così f’’(x)=-q/H. Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x), f’(x)=INTEGRALE[(-q/H)dx]. Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo f(x)=INTEGRALE[INTEGRALE[(-q/H)dx]]dx. Da qui si applicano le regole degli integrali definiti pervenendo all’espressione di f(x) in funzione delle costanti di integrazione C1 e C2. L’espressione è la seguente f(x)=-(q.x^2)/2H+C1.x+C2. Non resta quindi che calcolare le costanti d’integrazione C1 e C2. Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito uniforme. Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0. Analogamente ponendo f(L)=0 avremo C1=qL/2H. Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito uniforme è f(x)=(-q.x^2)/2H+q.L.x/2H. Operando gli opportuni passaggi avremo l’espressione definitiva f(x)= (q/2H).(-x^2+L.x). Il che ci porta a concludere che la funzione è quella di una parabola ad asse verticale. In conclusione è opportuno fare una importante considerazione. Se poniamo la distanza polare H pari a 1 l’equazione funicolare sarà f(x)= (q/2).(-x^2+L.x). In più, ci interessa l’ascissa alla quale la funzione esprime il suo valore massimo. Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può essere dove la derivata della funzione è nulla. Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento. L’espressione della derivata prima di f(x) è f’(x)=(q/2)(-2x+L)=-q.x+q.L/2. Ponendola uguale a zero avremo 0=q.x+q.L/2 da cui x=L/2. Quindi in corrispondenza di x=L/2 avremo il massimo valore di f(x). Passando al calcolo avremo fmax=(q.L^2)/8. Ebbene, questo valore è importantissimo e lo ritroverete molto spesso nel prosieguo degli studi, quindi non dimenticatelo. Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile. Buon studio.