Bonita questão, muito boa solução. Gostaria de compartilhar minha solução que fiz sem o uso do teorema de ptolomeu. Para minha solução usei a propriedade das cordas que se o ponto médio da corda é unido ao centro da circunferência o segmento formado forma um angulo reto com a corda e vice versa "se uma reta que passa pelo centro da circunferência encontra a corda formando um angulo reto com esta, então este pondo de encontro é o ponto médio da corda". Parti da informação dada PR = PQ + PS, marquei o ponto T sobre o segmento PR tal que PT = PQ e TR = PS. Uni o ponto T ao ponto Q e formei o triangulo TPQ, este triangulo é isosceles pois PT=PQ com base TQ, como é isosceles os angulos da base são iguais vamos chama-los de A. Agora vamos analisar os segmentos PS e TR, eles são iguais, mas como podemos relaciona-los geometricamente na figura? Traçando por S uma corda paralela à corda PR, vemos que esta nova corda encontra a circunferência num ponto que vamos chamar de U, unimos o ponto U a R, não é difícil perceber que o segmento UR = a TR ( por simetria, mas também por outras coisas que tentarei explicar ao final para não atrapalhar o racíocino aqui). Unindo o ponto U ao ponto T temos um novo triangulo isosceles TRU que também é isosceles pois UR = TR com base UT e novamente usamos aqui o fato que os angulos da base são iguais, e ainda mais eles são iguais a A, por que? Resposta o angulo entre os segmentos UR e TR (também por simetria ou mais sobre isto depois) também é X, comparando os dois triangulos isosceles TPQ e TRU ambos tem o angulo X e portanto os angulos da base tem que ser iguais, neste caso eu os chamei de A. Isto é muito importante para a resolução do exercício. O vertice T é o mesmo nos dois triangulos e nos dois triangulos os angulos correspondentes a este vertice são iguais a A, o que significa que os pontos Q T U estão alinhados, pertencem a uma mesma reta o que significa que o lado QT do triangulo TPQ e o lado TU do triangulo TRU estão na mesma reta, isto também é muito importante, vejamos: O angulo correspondente ao vertice U no triangulo TRU é igual a A e o angulo correspondente ao vertice Q no triangulo TPQ também é igual a A e como Q T U é uma reta significa que as cordas PQ e UR são paralelas (os angulos U e Q são alternos internos). Com isto concluímos que os pontos P Q T R U formam uma figura de dois triangulos justapostos, lembrando a figura de uma ampulheta só que não com as duas partes iguais, um triangulo é menor que o outro. Aqui vou falar outra coisa que explico melhor depois que concluir o racíocinio. Como as cordas PQ e UR são paralelas os triangulos TPQ e TRU são mais que isosceles, eles são equilateros, todos os seus angulos são iguais, ou ainda podemos dizer que X = A. Ora se os triangulos são equilateros, os angulos são todos iguais, então X = 60. Este é o raciocínio. Agora vamos tentar explicar alguns fatos. A se pegarmos o ponto médio da corda PQ e unirmos ao centro da circunferência teremos um segmento que forma um angulo reto com a corda, se fizermos a mesma coisa com a corda UR, ou seja unirmos seu ponto médio ao centro da circunferência, este outro segmento também formará um angulo reto com a corda, como as duas cordas em questão são paralelas, estes dois segmentos estão alinhado "pertencem a uma mesma reta" esta reta é simultaneamente mediatriz dos dois seguimentos. Sabemos agora que se pegamos qualquer ponto de uma mediatriz de um segmento, este ponto é equidistante das extremidade do seguimento. Assim qualquer ponto sobre esta reta é equidistante de P e Q, e os angulos P e Q tem que ser iguais e portanto X = A, o mesmo raciocínio se aplica aos angulos U e R. Acredito explica a última parte para explicação porque os triangulos são equilateros. Agora por que o segmento PS e UR são iguais e porque o angulo R é igual a X como no ponto P? Como a corda SU é paralela à corda PR, se traçarmos uma reta pelo meio da corda SU passando pelo centro da circunferência ela formará um angulo reto com a corda e esta mesma reta passara pelo ponto médio da corda PT e formará um angulo reto também com esta corda, assim não é difícil ver que o quadrilátero PSUQ é dividido em dois que são simétricos, tem várias maneiras de perceber isto e não vou me alongar aqui e assim podemos concluir que PS = UR e o angulo P é igual ao angulo R que é igual a X. Desculpe a falta de desenhos, mas não sei como colocar aqui. Espero que esteja claro. Obrigado
Famoso (porém, não muito conhecido) Teorema de Chadú. Para quem já o conhece, descobre de cara a existência do triângulo equilátero quando uma das diagonais é a soma dos lados do quadrilátero que a delimita. Excelente questão, mestre! 😎
Boa noite Nobre professor. Gostaria de saber qual o público que gostaria de atingir com esse conteúdo maravilhoso que não se ensina nas escolas de hoje mais. Caso o senhor tenha dúvidas disso sou professor a 20 anos em escolas municipais e um raciocínio desse jamais dá pra desenvolver em uma sala de aula com 40 alunos gritando e xingando na sala de aula.suas aulas são para preparatórios específicos de provas conteudistas ou para professores que desejam atingir mestrado e doutorado?
Boa noite! Minha intenção aqui é de deixar registrado um determinado conhecimento para quem deseja adquirir. Sei das dificuldades de sala de aula e realmente são desanimadoras. É lamentável!
Questão muito bonita e a maneira como você desenvolveu a resolução foi incrível, muito didático. Obrigado por compartilhar conosco esses conteúdos de geometria.
As questões atualmente são ligadas a textos enormes que os alunos se quer conseguem retirar seus pontos importantes. São os que eles dizem contextualização da matemática.
Chamei a medida de PQ de a de PR de b e de PS de c. Como os ângulos são congruentes as cordas que eles inscrevem também o são. a^2+b^2-2ab*cos x= b^2+c^2-2bc*cos x a^2-c^2=2b*cos x*(a-c) (a+c)(a-c)=2b*cos x *(a-c). Pelo enunciado a+c=b corta corta. 2cos x=1... cos x =1/2 x=60 graus.
"roubando", PR sendo o diâmetro, PQ e PS ficam sendo raio. Fatalmente, x = 60°. Tá certo q a questão não falou q PR era o diâmetro, mas tbm não falou q não era! 😃😃
Boa noite! Acho que matei. Depois vou assistir ao vídeo. QR é congruente a RS pela lei dos senos. Como o quadrilátero é cíclico. PR*QS=PQ*QR+PS*QR, pois QR=RS. PR*QS= QR(PQ+PS), como PQ+PS=PR QS=QR=RS então QRS=60 o Como os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico somam 180 o. 2x= 120 e x=60 o. Não é que acertei. Estou melhorando!
Lindo demais, Mestre, a resolução e parabéns. Vz ou outra o assisto e propago seu canal.
Muitíssimo obrigado
muito bom rever suas aulas Mestre Marcell.Deus o abençoe.
Todos nós
Que sacada genial...
Obrigado
Caramba!!!! 👏👏👏
Tmj
Que questão pik... Show
Muito obrigado!!
Muito legal
👍👍
top
Parabéns professor
Muito obrigado!!!
obrigadíssimo!!
O QUE VALE É A SIMPLICIDADE PARABÉNS !!!!!
Obrigado
Muito boa questão, obg.
TMJ!!!!
Legal!
Obrigado
Só questão topp!! Boaaa, cristiano! Posta mais questão casca grossa de plana 🙏
Vou postar
vídeo maravilho !!!
Obrigado
Brabo!
Obrigado
Valeu mestre
Disponha!
Gostei !
Obrigado !!
TMJ
Lindas questão!!
Muito obrigado
Questão top de maiiiiiiiiiiiiiiisss...
Obrigado, mestre
Obrigado
essa questao por congruencia de triangulos fica muito linda.
Legal
showzasso
Obrigado
Bonita questão, muito boa solução. Gostaria de compartilhar minha solução que fiz sem o uso do teorema de ptolomeu. Para minha solução usei a propriedade das cordas que se o ponto médio da corda é unido ao centro da circunferência o segmento formado forma um angulo reto com a corda e vice versa "se uma reta que passa pelo centro da circunferência encontra a corda formando um angulo reto com esta, então este pondo de encontro é o ponto médio da corda". Parti da informação dada PR = PQ + PS, marquei o ponto T sobre o segmento PR tal que PT = PQ e TR = PS. Uni o ponto T ao ponto Q e formei o triangulo TPQ, este triangulo é isosceles pois PT=PQ com base TQ, como é isosceles os angulos da base são iguais vamos chama-los de A. Agora vamos analisar os segmentos PS e TR, eles são iguais, mas como podemos relaciona-los geometricamente na figura? Traçando por S uma corda paralela à corda PR, vemos que esta nova corda encontra a circunferência num ponto que vamos chamar de U, unimos o ponto U a R, não é difícil perceber que o segmento UR = a TR ( por simetria, mas também por outras coisas que tentarei explicar ao final para não atrapalhar o racíocino aqui). Unindo o ponto U ao ponto T temos um novo triangulo isosceles TRU que também é isosceles pois UR = TR com base UT e novamente usamos aqui o fato que os angulos da base são iguais, e ainda mais eles são iguais a A, por que? Resposta o angulo entre os segmentos UR e TR (também por simetria ou mais sobre isto depois) também é X, comparando os dois triangulos isosceles TPQ e TRU ambos tem o angulo X e portanto os angulos da base tem que ser iguais, neste caso eu os chamei de A. Isto é muito importante para a resolução do exercício. O vertice T é o mesmo nos dois triangulos e nos dois triangulos os angulos correspondentes a este vertice são iguais a A, o que significa que os pontos Q T U estão alinhados, pertencem a uma mesma reta o que significa que o lado QT do triangulo TPQ e o lado TU do triangulo TRU estão na mesma reta, isto também é muito importante, vejamos: O angulo correspondente ao vertice U no triangulo TRU é igual a A e o angulo correspondente ao vertice Q no triangulo TPQ também é igual a A e como Q T U é uma reta significa que as cordas PQ e UR são paralelas (os angulos U e Q são alternos internos). Com isto concluímos que os pontos P Q T R U formam uma figura de dois triangulos justapostos, lembrando a figura de uma ampulheta só que não com as duas partes iguais, um triangulo é menor que o outro. Aqui vou falar outra coisa que explico melhor depois que concluir o racíocinio. Como as cordas PQ e UR são paralelas os triangulos TPQ e TRU são mais que isosceles, eles são equilateros, todos os seus angulos são iguais, ou ainda podemos dizer que X = A. Ora se os triangulos são equilateros, os angulos são todos iguais, então X = 60. Este é o raciocínio.
Agora vamos tentar explicar alguns fatos. A se pegarmos o ponto médio da corda PQ e unirmos ao centro da circunferência teremos um segmento que forma um angulo reto com a corda, se fizermos a mesma coisa com a corda UR, ou seja unirmos seu ponto médio ao centro da circunferência, este outro segmento também formará um angulo reto com a corda, como as duas cordas em questão são paralelas, estes dois segmentos estão alinhado "pertencem a uma mesma reta" esta reta é simultaneamente mediatriz dos dois seguimentos. Sabemos agora que se pegamos qualquer ponto de uma mediatriz de um segmento, este ponto é equidistante das extremidade do seguimento. Assim qualquer ponto sobre esta reta é equidistante de P e Q, e os angulos P e Q tem que ser iguais e portanto X = A, o mesmo raciocínio se aplica aos angulos U e R. Acredito explica a última parte para explicação porque os triangulos são equilateros.
Agora por que o segmento PS e UR são iguais e porque o angulo R é igual a X como no ponto P? Como a corda SU é paralela à corda PR, se traçarmos uma reta pelo meio da corda SU passando pelo centro da circunferência ela formará um angulo reto com a corda e esta mesma reta passara pelo ponto médio da corda PT e formará um angulo reto também com esta corda, assim não é difícil ver que o quadrilátero PSUQ é dividido em dois que são simétricos, tem várias maneiras de perceber isto e não vou me alongar aqui e assim podemos concluir que PS = UR e o angulo P é igual ao angulo R que é igual a X.
Desculpe a falta de desenhos, mas não sei como colocar aqui. Espero que esteja claro. Obrigado
Não há como colocar desenhos aqui. Obrigado por compartilhar!
Usei teorema de Chadú
Show. Linda essa solução.
Muito obrigado!!
Excelente questão e a didática primorosa .
Muito obrigado!!
Obrigado...
Tmj
Magic. Tirou um coelho da cartola ... Kkk
Bruxo
@@ProfCristianoMarcell vc tem uma varinha como a do Harry Potter ... Kkkkk
Bela resolução! Parabéns!
Muito obrigado!!!!!
Questão linda! Parabéns Cristiano.
Muito obrigado!!!
Sempre top suas resoluções!
Muitíssimo obrigado!!
Linda questão. Valeu professor. Didática excelente. Show.
Obrigado, José Antônio!!!! Um abraço!!
Valeu nobre professor! 👍🏿
Muito obrigado!!
Famoso (porém, não muito conhecido) Teorema de Chadú. Para quem já o conhece, descobre de cara a existência do triângulo equilátero quando uma das diagonais é a soma dos lados do quadrilátero que a delimita. Excelente questão, mestre! 😎
Justamente!!!!
Top professor, faz sobre a circunferência de Apolônio
Farei futuramente! Um abraço!
Boa noite Nobre professor. Gostaria de saber qual o público que gostaria de atingir com esse conteúdo maravilhoso que não se ensina nas escolas de hoje mais. Caso o senhor tenha dúvidas disso sou professor a 20 anos em escolas municipais e um raciocínio desse jamais dá pra desenvolver em uma sala de aula com 40 alunos gritando e xingando na sala de aula.suas aulas são para preparatórios específicos de provas conteudistas ou para professores que desejam atingir mestrado e doutorado?
Boa noite! Minha intenção aqui é de deixar registrado um determinado conhecimento para quem deseja adquirir. Sei das dificuldades de sala de aula e realmente são desanimadoras. É lamentável!
Violentíssimo
Tmj
Questão muito bonita e a maneira como você desenvolveu a resolução foi incrível, muito didático.
Obrigado por compartilhar conosco esses conteúdos de geometria.
Muitíssimo obrigado pelas palavras! Um forte abraço!!!
O Teorema de Ptolomeu: aquele que você não sabe e nem eu.
kkkkkkkk
As questões atualmente são ligadas a textos enormes que os alunos se quer conseguem retirar seus pontos importantes. São os que eles dizem contextualização da matemática.
Realmente!
Cristiano, você vai fazer um problema de geometria que a resposta seja 2022 para a virada de ano?
Coloquei no meu instagram
Parabéns, professor Cristiano!! Sempre trazendo questões incríveis com uma resolução fenomenal.
Grande abraço.
Muitíssimo obrigado!
Concuseiro que não conhece o canal desse cara está estudando errado 😅
Obrigado
essa questao tbm o enunciado e o desenho dela ja é a identidade do teorema de chadu/pompieu
👊👊👊👏👏
Chamei a medida de PQ de a de PR de b e de PS de c.
Como os ângulos são congruentes as cordas que eles inscrevem também o são.
a^2+b^2-2ab*cos x= b^2+c^2-2bc*cos x
a^2-c^2=2b*cos x*(a-c)
(a+c)(a-c)=2b*cos x *(a-c). Pelo enunciado a+c=b corta corta.
2cos x=1... cos x =1/2 x=60 graus.
Boa
@@ProfCristianoMarcell , agora que vi. Já havia resolvido de outra forma. E flash back.
"roubando", PR sendo o diâmetro, PQ e PS ficam sendo raio. Fatalmente, x = 60°.
Tá certo q a questão não falou q PR era o diâmetro, mas tbm não falou q não era! 😃😃
💪💪
Boa noite! Acho que matei. Depois vou assistir ao vídeo. QR é congruente a RS pela lei dos senos. Como o quadrilátero é cíclico. PR*QS=PQ*QR+PS*QR, pois QR=RS.
PR*QS= QR(PQ+PS), como PQ+PS=PR
QS=QR=RS então QRS=60 o
Como os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico somam 180 o. 2x= 120 e x=60 o.
Não é que acertei. Estou melhorando!
Show!!!!!!
Lindo demais, Mestre, a resolução e parabéns. Vz ou outra o assisto e propago seu canal.
Muitíssimo obrigado