Отношение эквивалентности. Формальный подход + решение задач.
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 6 ก.ค. 2024
- #ОснованияМатематики #ОтношениеЭквивалентности
В одном из видео на канале уже обсуждалось понятие отношения эквивалености с точки зрения разбиения на подмножества:
• Отношение эквивалентно...
В данном видео обсуждается формальное определение отношения эквивалентности, встречающееся, например, в учебниках по абстрактной алгебре.
00:00 - введение
01:07 - план изложения
01:19 - прямое произведение
01:48 - бинарное отношение
03:53 - отношение эквивалентности
09:06 - решение задач; упражнение 0.2* из учебника Калинина, Терёшина по геометрии
13:26 - решение задач; упражнение 0.3* из учебника Калинина, Терёшина по геометрии
15:53 - решение задач; упражнение 0.4* из учебника Калинина, Терёшина по геометрии
17:29 - заключение
![Совершенно иной подход к математике [Veritasium]](/img/n.gif)
Короче пока гуглил и искал уточняющие моменты по транзитивности уже сам разобрался. Это пушка контент конечно
Спасибо большое, автор ролика! За такое и лайка не жалко. Для тех, кто пришел сюда после упоминания про отношения эквивалентности в контексте изоморфизма в линале, приведу краткий конспектик:
Можно воспринимать (a1, a2) как f: a1 -> a2. По факту
1ое условие - множество подобно/эквивалентно/изоморфно само себе.
2ое условие - можно перейти обратно от a2 к a1 (то есть существует f-1)
3ье условие - работает композиция, т.е. преобразования можно склеивать в результирующее и применять уже его:
В общем случае f можно воспринимать как действие. Например: объект a1 является подмножеством a2. f - являться подмножеством. Если a1 - подмножество a2, то для них существует f, а значит в нашем отношении есть такая пара (a1, a2).
Великолепное видео!
Спасибо за отзыв! Рад что понравилось.
Спасибо вам
Виктор, спасибо за видео, я все понял. Только есть вопрос, я смотрю на определения отношения эквивалентноси и отношения частичного порядка, и мне кажется, что они отличаются только вторым свойством (симметричность и антисимметричность). Так ли это, что отн. эквивалентности и отн. строго порядка являются как бы частными случаями отношения частичного порядка ? Или я глупости придумываю
Ваше наблюдение, касающееся различия между отношением эквивалентности и отношением порядка верно. А со вторым согласиться не могу. Если бы отношение эквивалентности являлось частным случаем отношения порядка, то первое удовлетворяло бы свойству антисимметричности. Но это не так: из того факта, что a эквивалентно b (значит и b эквивалентно a) не следует, что a=b.
Ню транзитивно. Спасибо большое за прекрасное видео! Возник вопрос из этого же учебника на стр 45 1-ая задача. Доказал, используя следствие о пресечении прямых и аксиому плоскости, но посмотрел ответы, и там советуют использовать мат индукцию. Недавно прошел эту тему, вроде понятно, как доказывать какие-нибудь алгебраические утверждения(если, так можно выразиться, имея ввиду: неравенства, тождества и тд), но как этот метод использовать при решении геометрических задач, не совсем понятно. Было бы прекрасно, если бы вы сняли видео на эту тему)
Да, на счет отношения ню Вы правы. Супер!
Спасибо за комментарий и за идею для видео. Давно в голове витают мысли о сюжете с мат. индукцией, но все не мог собраться, а Вы меня подтолкнули.
Видео про мат. индукцию уже опубликовано: th-cam.com/video/NL-zaMSpZko/w-d-xo.html
Получилось немного длинным, но в описании к видео добавлены тайм-коды.
Здравствуйте. Правильно ли я понимаю: элементами множества А, на котором определено бинарное отношение, являются ЛЮБЫЕ множества, способные участвовать в этом отношении? Т.е. в случае с включением множеств, а именно в пункте с симметричностью, a1 и a2 - это множества, участвующие в отношении, а А - это семейство таких множеств?
Здравствуйте. Бинарное отношение может быть определено на любом множестве. В примере с включением множеств, a_1 и a_2 это подмножества некоторого заранее фиксированного множества. А само бинарное отношение определено на всех подмножествах этого фиксированного множества.
@@ViktorMath спасибо за объяснение
Не могу понять одну вещь, вот предположим множество {(1, 1), (1, 2), (3, 3)} будет ли оно рефлексивно? С единицами и тройкими все ясно, но двойка не рефлексивна ведь...
Чтобы подмножество прямого произведения множества на себя было рефлексивным бинарным отношением, по определению, нужно чтобы для ЛЮБОГО элемента x из множества, пара (x, x) входила в бинарное отношение. Раз пара (2, 2) не входит в отношение, то последнее не является рефлексивным.
@@ViktorMath благодарю) Теперь то все ясно, спасибо ещё раз огромное)
Отлично! Рад был помочь.
Выходит, что ню транзитивно
Да, совершенно верно. Отличная работа.
Профессор, получается отношением эквивалентности может быть только набор Р на множестве {1,2,3} ?. Я правильно понимаю, что отношение эквивалентности это множество пар, состоящих из одинаковых элементов данного множества ? И если мы говорим, что пара (x, y) принадлежит отношению эквивалентности, то это значит, что x = y всегда ?
Не совсем так. Пара (x, x) обязана принадлежать отношению эквивалентности. Но Ваше утверждение не обязано выполняться. Т.е. если пара (x, y) принадлежит отношению эквивалентности, то отсюда не следует, что x = y. Даже в случае множества {1,2,3}. Например, отношение "иметь одинаковую четность" является отношением эквивалентности и состоит из пар (1,1), (2,2), (3,3), (1,3) и (3,1).
Спасибо за комментарий, вопрос и... за профессора :)
@@ViktorMath большое спасибо за Ваш ответ. Выходит равенство это частный случай отношения эквивалентности, то есть мы говорим что x=y если (x,y) принадлежит P = {все пары (a, b) где a
@@alex6161 да, всё верно. Отношение равенства - частный случай отношения эквивалентности. Что касается второй части, то формалист внутри меня хочет возразить и начать спорить, но человеческая сущность :) понимает, что идею Вы уловили верно.
0.4.
1) Рефлексивность. Теннисист сам у себя выиграть никак не может, ведь тогда он самому себе проиграет, а одновременность этих состояний невозможна.
2) Симметричность. Если теннисист А выиграл у теннисиста В, то теннисист В проиграл теннисисту А и не более того - выиграть у А он никак не мог.
3) Транзитивность. Если А выиграл у В, а В выиграл у С, то это ещё не значит, что С проиграет А - может быть, С лодыжку подвернул, когда с В играл, а вот А он в сухую уделал.
Вооот так как-то