Можно опустить из верхнего угла высоту h, и достроить равнобедренный треугольник, отразив левую сторону исходного треугольника относительно h влево. Половину его основания обозначим как е. Теперь, если обозначить верхнюю сторону исходного треугольника как с, половину его нижней стороны как a, то h=a+e (как стороны прямоугольного равнобедренного треугольника), с=2h (напротив угла в 30 гр)=2a+2e. То есть, получаем, что большой треугольник (исходный плюс достроенный) - равнобедренный с углом при вершине 30 гр, и сторонами с. Тогда его углы при основании - 75 гр, и такие же углы при основании 2е у маленького достроенного треугольника, а угол при его вершине - тоже 30 гр. Тогда искомый угол равен 75 - 30 -15=30 гр.
Можно решить через теорему синусов. Никаких доп построений будет не нужно, но потребуется много тригонометрических преобразований. Т.е. это скорее алгебраическое решение будет. Из двух маленьких треугольников и из теоремы синусов получаем: sin(135-x)/sin(x) = sin30/sin15. Далее, раскрываем синус разности и отдельно вычисляем sin15 (по-моему даже на этом канале это было) и получаем: ctgx = √3. Отсюда х = 30
Тут самый главный вопрос, на который нет ответа: Как можно догадаться соединить этим отрезком две стороны? Методом тыка? Или всё-таки я как-то должен был увидеть, что этот ход будет правильным? Может поделитесь, как можно дойти до такой мысли?
Именно, что методом тыка. Ведь если в условии углы будут отличаться от заданных, то равносторонний треугольник не получится и все решение посыплется. Я решил через тангенсы в общем виде. Решение получилось весьма простое для 10 класса, явно не олимпиадное.
Невозможно догадаться, просто применяем метод "если то", хотя и это бывает не помогает, некоторые дети, говорят правильный ответ, но не могут объяснить...
Для метода тыка существует несколько лайфхаков. Один из них - построить в фигуре равнобедренный или равносторонний или прямоугольный треугольник, где размер углов заранее известен. Или там высоту или биссектрису применить. Что нибудь да вырисуется.
Решение автора - самое простое и естественное. Нашли правый угол в 30 град., сразу вспомнили, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против такого угла, в два раза меньше гипотенузы. А тут кстати и сторона, поделённая пополам. Чтобы сделать из неё гипотенузу, нужно из левого нижнего угла опустить высоту на противоположную сторону. Соединили основание проведённой высоты с серединой нижней стороны, и сразу возникает равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине 60 град., т.е. равносторонний. Пометили все равные отрезки, посчитали образовавшиеся углы и нашли ещё один равнобедренный треугольник. Всё просто и логично, если помнить простейшие теоремы геометрии.
Немного не так сделал. Первый шаг - найти 30 градусов нижний правый угол. Второй - отложить 15 градусов от угла 45 по часовой Третий - посчитать тупой угол равнобедренного треугольника 180-15-15=150 Четвертый-показать что и второй треугольник равнобедренный, поскольку 180-150=30, выходит что отложенный на 15 градусов от 45 отрезок равен отрезкам, которые идут от него же по горизонтали Пятый шаг и дальнейшие совпадает с показанным.
Единственно, хочу заметить, что левый угол большога треугольника находится проще через внешний угол: величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних, не смежных с ним. Тогда если внешний угол 45°, то сумма двух внутренних не смежных с ним тоже 45°, и если один из них равен 15°, то другой 45°-15° = 30°! Это пишется долго и много, так как хотел, чтобы поняли *все* , а на деле соображается моментально!
Аналитически можно решить без построений. Теоремы синусов для простоты, применив. A(-a;0),B(x,y),C(a,0), O(0;0). y=-x Векторы AB|(x+a;-x), OB|(x;y),CB|(x-a;-x), OA|(-a;0): AB|*OB|=-ax=a*OB*cos(45) OB|*CB|=x(x-a)+x^2=OB*BC*cos(15), где BC по теореме синусов через ОВ. AB|*OB|=x(x+a)+x^2=OB*AB*cos(p), где АВ по теореме синусов через АО(а). Система вида выходит: x(x-a)+x^2=-x*sqrt(2)*d*(-x*sqrt(2))*2*sqrt(2)/2 x(x+a)+x^2=-x*sqrt(2)*a*ctg(p)*(sqrt(2)/2) d=cos(15)=sqrt(2)(1+sqrt(3))/4 Там x сокращается, получаются линейные уравнения. На выходе p=30 градусов через ctg(p). Ответ: угол АВО = 30 градусам.
У меня получилось совсем просто - нашла правый угол 30°, опустила перпендикуляр из верхнего левого угла - получился равнобедреный прямоугольный треугольник слева и большой прямоугольный треугольник с верхним углом 60°, дальше совсем просто.
Добрый день! А можно видео со следующей задачей: «в коробке лежат 2017 красных шаров и 2018 белых шаров. Наугад вытаскивают два шара. Если шары одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку белый шар. Если шары разных цветов, то белый шар выкидывают, а красный кладут обратно. Какой шар останется последним?» В решебнике ответ белый. Но не получается белый 😢 как ребенку математически объяснить эту задачу (6 класс). 🙏
В такой формулировке как вы привели в конце может остаться только красный шар. Т.к. красных шаров изначально нечётное количество и какие бы два шара ни вытащили красных шаров останется либо столько же либо на 2 меньше, т.е. опять нечётное количество. Другими словами указанными операциями невозможно обнулить количество красных шаров
@@Alex-z5z спасибо большое! У меня тоже получается красный. 😁Но в ответе стоит белый. Хотя как бы я не старалась, получается красный. Видимо опечатка в ответе. Жалко, что школа не смотрит на эти опечатки 🙁
@@GalaNet85 да, ещё можно предсказать когда в коробке останется 1 шар. Т.к. после каждой операции общее количество шаров уменьшается на 1, то какие бы шары не вынимали ровно через 4034 операции в коробке останется 1 красный шар
линия на основе которой мы ее сторим находится напротив угла 15 градусов, а из точки из которой новая линия строится идет медиана , которая находиться напротив угла 30 градусов. и она помещается в треугольник, поскольку напротив 15 градусов сторона в одном треугольнике будет всегда меньше чем сторона напротив 30 градусов в этом же треугольнике, наша новая линия 100% помещается , как то так
Длинное и нудное решение. Надо просто провести среднюю линию (параллельно правой боковой стороне) и из подобия треугольников сразу отвечаем: x=30 (равен правому углу треугольника)
Странное название видео. Есть же нормальные варианты - Задача, которую решил 1% учеников! Задача от которой падают в обморок! Американские школьники плачут при виде этой задачи!
Есть ХОРОШИЙ ЛАЙФХАК для подобных задач, который автор в упор не видит и продолжает с упорством, достойным лучшего применения, выдумывать построения, до которых додуматься на трезвую голову почти невозможно. Если вы видите два равных отрезка, стройте прямоугольный треугольник и проводите в нем медиану из вершины прямого угла. Как правило, это приводит или прямо к решению, или к хорошим идеям для продолжения. Вот и в этой задаче нужно из вершины тупого угла провести перпендикуляр к правой стороне треугольника. А затем соединить основание перпендикуляра с вершиной угла 45 градусов (то есть провести медиану!). Всё! Дальше просто считаем углы, используя свойство медианы к гипотенузе. В точности то же самое нужно было сделать и в задаче, которую автор охарактеризовал, как почти нерешаемую никем (2%), а он решил! Имеется в виду задача с треугольником и ответом 75 градусов. Таким образом лайфхак есть, но в школе автора не научили, отсюда и название канала. На критику и советы автор не реагирует, видимо считая себя непогрешимым. Не помню ни одного его комментария и какой либо реакции!. Разумеется, тригонометрическое решение ничуть не хуже. У меня сложилось устойчивое мнение, что если есть хорошее тригонометрическое решение, то можно и не искать другое. Разве что для развития творческого мышления. Но на олимпиадах нет времени для "творчества", нужно решить задачу за весьма ограниченное время. P.S. Тем более, что те, кто хорошо учился в школе, именно этот лайфхак и применяют! И чертят красивый чертеж, показывая уважение к подписчикам! th-cam.com/video/i61CJTClAiQ/w-d-xo.html&ab_channel=MathWindow Или так: th-cam.com/video/-9FoeFzebdE/w-d-xo.html&ab_channel=Learncommunolizer. Как оказалось, и "финтите ушами" Вы одинаково!
это же не инженерный чертеж , любые рисунки для решения задач по геометрии это просто схема, чтобы легче было решать. все равно обьяснение полностью словами пишешь, пока решение правильное рисуй как хочешь, тут нет законов
Я догадалмя построить из левого нижнего угла высоту и нашел что она равна этим двум отрезкам и все углы рядом с ней, но дальше как понять что она равна той верхней стороне я не допер
Изящное решение! Если не видно красивого решения (как это) - можно попробовать решить в лоб, например, используя тригонометрию: th-cam.com/video/s54J2HEKhIY/w-d-xo.html
@@pe4nik-rus Вы поймите, он объяснения даёт для младших классов, поэтому все объяснения должны быть предельно четкими. А я, великовозрастный, и так пойму, без намеков.
@@pdtpljgfl77 каждый автор выбирает свой формат подачи материала, и каждый зритель тоже выбирает из предложенных вариантов. Я, как тоже великовозрастный, тоже предпочитаю упрощенную подачу. Здесь - довольно "попсово", у Казакова все "академично" и иногда напрягает затянутостью объяснений, но там - действительно для школьников.
Товарищи! Ролик, посвящённый этому геометрическому факту, был выпущен на моём канале ещё три недели назад. Будьте добры, поднимите комментарий, чтобы автор увидел. th-cam.com/video/d_jc0FXmEgE/w-d-xo.html
Можно опустить из верхнего угла высоту h, и достроить равнобедренный треугольник, отразив левую сторону исходного треугольника относительно h влево. Половину его основания обозначим как е. Теперь, если обозначить верхнюю сторону исходного треугольника как с, половину его нижней стороны как a, то h=a+e (как стороны прямоугольного равнобедренного треугольника), с=2h (напротив угла в 30 гр)=2a+2e. То есть, получаем, что большой треугольник (исходный плюс достроенный) - равнобедренный с углом при вершине 30 гр, и сторонами с. Тогда его углы при основании - 75 гр, и такие же углы при основании 2е у маленького достроенного треугольника, а угол при его вершине - тоже 30 гр. Тогда искомый угол равен 75 - 30 -15=30 гр.
Чего-то сегодня день бородатых историй)
Эту задачу решал с полгода-год назад то ли у Волкова, то ли у Щетникова, таким же путём!
Можно решить через теорему синусов. Никаких доп построений будет не нужно, но потребуется много тригонометрических преобразований. Т.е. это скорее алгебраическое решение будет. Из двух маленьких треугольников и из теоремы синусов получаем: sin(135-x)/sin(x) = sin30/sin15. Далее, раскрываем синус разности и отдельно вычисляем sin15 (по-моему даже на этом канале это было) и получаем: ctgx = √3. Отсюда х = 30
Делал тоже через теорему синусов, только брал большой и левый маленький треугольники, еле пробился через корни
аналогично, как только увидел суммы углов хорошие
И что Вас смущает? Хорошее решение. И не так уж много преобразований для тех, кто любит и знает тригонометрию . Ставлю твердый ЛАЙК!
Тут самый главный вопрос, на который нет ответа: Как можно догадаться соединить этим отрезком две стороны?
Методом тыка? Или всё-таки я как-то должен был увидеть, что этот ход будет правильным? Может поделитесь, как можно дойти до такой мысли?
Именно, что методом тыка. Ведь если в условии углы будут отличаться от заданных, то равносторонний треугольник не получится и все решение посыплется. Я решил через тангенсы в общем виде. Решение получилось весьма простое для 10 класса, явно не олимпиадное.
Невозможно догадаться, просто применяем метод "если то", хотя и это бывает не помогает, некоторые дети, говорят правильный ответ, но не могут объяснить...
Какого-то конкретного метода как делать дополнительные построения нет, только методом тыка. Нужно при этом, так скажем, проявлять свою фантазию
Для метода тыка существует несколько лайфхаков. Один из них - построить в фигуре равнобедренный или равносторонний или прямоугольный треугольник, где размер углов заранее известен. Или там высоту или биссектрису применить. Что нибудь да вырисуется.
Ну сказали же, финт ушами. Не методом тыка, а научного поиска тычками
Решение автора - самое простое и естественное. Нашли правый угол в 30 град., сразу вспомнили, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против такого угла, в два раза меньше гипотенузы. А тут кстати и сторона, поделённая пополам. Чтобы сделать из неё гипотенузу, нужно из левого нижнего угла опустить высоту на противоположную сторону. Соединили основание проведённой высоты с серединой нижней стороны, и сразу возникает равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине 60 град., т.е. равносторонний. Пометили все равные отрезки, посчитали образовавшиеся углы и нашли ещё один равнобедренный треугольник. Всё просто и логично, если помнить простейшие теоремы геометрии.
Решал другим способом. Отвлёкся от работы буквально на минуту, а работаю я инженером в AutoCad. Там и решил. 30° получилось 😄
Немного не так сделал.
Первый шаг - найти 30 градусов нижний правый угол.
Второй - отложить 15 градусов от угла 45 по часовой
Третий - посчитать тупой угол равнобедренного треугольника 180-15-15=150
Четвертый-показать что и второй треугольник равнобедренный, поскольку 180-150=30, выходит что отложенный на 15 градусов от 45 отрезок равен отрезкам, которые идут от него же по горизонтали
Пятый шаг и дальнейшие совпадает с показанным.
Супер!!🎉
Трудно увидеть такое решение. По теореме синусов проще. Спасибо.
очень изящное решение!
Я решил его вообще оригинальным способом, но полей не хватило что бы записать! Но вы должны верить!
Единственно, хочу заметить, что левый угол большога треугольника находится проще через внешний угол: величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Тогда если внешний угол 45°, то сумма двух внутренних не смежных с ним тоже 45°, и если один из них равен 15°, то другой 45°-15° = 30°!
Это пишется долго и много, так как хотел, чтобы поняли *все* , а на деле соображается моментально!
Аналитически можно решить без построений. Теоремы синусов для простоты, применив. A(-a;0),B(x,y),C(a,0), O(0;0).
y=-x
Векторы AB|(x+a;-x), OB|(x;y),CB|(x-a;-x), OA|(-a;0):
AB|*OB|=-ax=a*OB*cos(45)
OB|*CB|=x(x-a)+x^2=OB*BC*cos(15), где BC по теореме синусов через ОВ.
AB|*OB|=x(x+a)+x^2=OB*AB*cos(p), где АВ по теореме синусов через АО(а).
Система вида выходит:
x(x-a)+x^2=-x*sqrt(2)*d*(-x*sqrt(2))*2*sqrt(2)/2
x(x+a)+x^2=-x*sqrt(2)*a*ctg(p)*(sqrt(2)/2)
d=cos(15)=sqrt(2)(1+sqrt(3))/4
Там x сокращается, получаются линейные уравнения. На выходе p=30 градусов через ctg(p).
Ответ: угол АВО = 30 градусам.
Задача действительно олимпиадная. Красивая задача.
Задача действительно не олимпиаданая. Через тригонометрию очень просто решается.
У меня получилось совсем просто - нашла правый угол 30°, опустила перпендикуляр из верхнего левого угла - получился равнобедреный прямоугольный треугольник слева и большой прямоугольный треугольник с верхним углом 60°, дальше совсем просто.
А как дальше? Не соображу что-то.
@@Crotify , а дальше совсем не просто, т.к. условие, что нижняя сторона делится пополам, не использовано. А это важное условие.
Ну ещё есть вариант кинуть через тригонометрию.
Добрый день! А можно видео со следующей задачей: «в коробке лежат 2017 красных шаров и 2018 белых шаров. Наугад вытаскивают два шара. Если шары одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку белый шар. Если шары разных цветов, то белый шар выкидывают, а красный кладут обратно. Какой шар останется последним?» В решебнике ответ белый. Но не получается белый 😢 как ребенку математически объяснить эту задачу (6 класс). 🙏
В такой формулировке как вы привели в конце может остаться только красный шар. Т.к. красных шаров изначально нечётное количество и какие бы два шара ни вытащили красных шаров останется либо столько же либо на 2 меньше, т.е. опять нечётное количество. Другими словами указанными операциями невозможно обнулить количество красных шаров
@@Alex-z5z спасибо большое! У меня тоже получается красный. 😁Но в ответе стоит белый. Хотя как бы я не старалась, получается красный. Видимо опечатка в ответе. Жалко, что школа не смотрит на эти опечатки 🙁
@@GalaNet85 да, ещё можно предсказать когда в коробке останется 1 шар. Т.к. после каждой операции общее количество шаров уменьшается на 1, то какие бы шары не вынимали ровно через 4034 операции в коробке останется 1 красный шар
Почему мы решили, что первая постороенная линия хорошо ляжет и не проткнёт бОльшую линию?
линия на основе которой мы ее сторим находится напротив угла 15 градусов, а из точки из которой новая линия строится идет медиана , которая находиться напротив угла 30 градусов. и она помещается в треугольник, поскольку напротив 15 градусов сторона в одном треугольнике будет всегда меньше чем сторона напротив 30 градусов в этом же треугольнике, наша новая линия 100% помещается , как то так
Длинное и нудное решение. Надо просто провести среднюю линию (параллельно правой боковой стороне) и из подобия треугольников сразу отвечаем: x=30 (равен правому углу треугольника)
Как понять какие треугольники надо и по какому признаку?
Я сначала думал что через уравнение, типо 180= 30+15+x+(180-45-x), но потом понял что потеряю икс😂
Да, это бесит😂
Ну так и классно, нет икса - нет проблем))
Как сложно выглядит вначале и как легко вы это решили!
Не услышал доказательства,почему этот треугольник "оказывается" равносторонним???
60° угол
Все эти достроения можно и по другому делать. Метод вполне рабочий, но использоваться может по разному.
Красиво
Странное название видео. Есть же нормальные варианты - Задача, которую решил 1% учеников! Задача от которой падают в обморок! Американские школьники плачут при виде этой задачи!
Благодарю. Задача довольно лёгкая - решил почти сходу в уме. Вышло 30 град. Теперь можно глянуть Ваше решение.
Ещё одно решение. Нужно построить правильный шестиугольник.
Круто
Транспортир в руки.
Есть ХОРОШИЙ ЛАЙФХАК для подобных задач, который автор в упор не видит и продолжает с упорством, достойным лучшего применения, выдумывать построения, до которых додуматься на трезвую голову почти невозможно. Если вы видите два равных отрезка, стройте прямоугольный треугольник и проводите в нем медиану из вершины прямого угла.
Как правило, это приводит или прямо к решению, или к хорошим идеям для продолжения. Вот и в этой задаче нужно из вершины тупого угла провести перпендикуляр к правой стороне треугольника. А затем соединить основание перпендикуляра с вершиной угла 45 градусов (то есть провести медиану!). Всё! Дальше просто считаем углы, используя
свойство медианы к гипотенузе. В точности то же самое нужно было сделать и в задаче, которую автор охарактеризовал, как почти нерешаемую никем (2%), а он решил!
Имеется в виду задача с треугольником и ответом 75 градусов. Таким образом лайфхак есть, но в школе автора не научили, отсюда и название канала.
На критику и советы автор не реагирует, видимо считая себя непогрешимым. Не помню ни одного его комментария и какой либо реакции!.
Разумеется, тригонометрическое решение ничуть не хуже. У меня сложилось устойчивое мнение, что если есть хорошее тригонометрическое решение, то можно и не искать
другое. Разве что для развития творческого мышления. Но на олимпиадах нет времени для "творчества", нужно решить задачу за весьма ограниченное время.
P.S. Тем более, что те, кто хорошо учился в школе, именно этот лайфхак и применяют! И чертят красивый чертеж, показывая уважение к подписчикам!
th-cam.com/video/i61CJTClAiQ/w-d-xo.html&ab_channel=MathWindow
Или так:
th-cam.com/video/-9FoeFzebdE/w-d-xo.html&ab_channel=Learncommunolizer.
Как оказалось, и "финтите ушами" Вы одинаково!
Если только через окружности можно попробовать....
Ну на медиану чаще всего и есть прстроение
Шайтан!
А почему обозначения углов не правильные? У одинаковых углов одинаковые обозначения. Это закон. А здесь - смотришь на чертёж и крышу сносит
это же не инженерный чертеж , любые рисунки для решения задач по геометрии это просто схема, чтобы легче было решать. все равно обьяснение полностью словами пишешь, пока решение правильное рисуй как хочешь, тут нет законов
В самом деле финт ушами
Я догадалмя построить из левого нижнего угла высоту и нашел что она равна этим двум отрезкам и все углы рядом с ней, но дальше как понять что она равна той верхней стороне я не допер
X=arcsin√(2-√3)
U menya tak poluchilos
X = π/4 - arctg(2-√3)
А у меня так 🙂
@@Crotify lubaya risheniya xarasha😁😁
@@Crotify ya ispolzoval teoremu sinusov
После первого построения закралась цифра 30, не знаю почему
Изящное решение! Если не видно красивого решения (как это) - можно попробовать решить в лоб, например, используя тригонометрию: th-cam.com/video/s54J2HEKhIY/w-d-xo.html
Давайте так. Если вы утверждаете, что тот равнобедренный, а тот равносторонний. Давайте хотя бы признак , по которому вы это определяете. Ок?
Ну, опускает автор такие мелочи. Если вам это принципиально, тогда лучше на канал Казакова.
@@pe4nik-rus Вы поймите, он объяснения даёт для младших классов, поэтому все объяснения должны быть предельно четкими. А я, великовозрастный, и так пойму, без намеков.
@@pdtpljgfl77 каждый автор выбирает свой формат подачи материала, и каждый зритель тоже выбирает из предложенных вариантов. Я, как тоже великовозрастный, тоже предпочитаю упрощенную подачу. Здесь - довольно "попсово", у Казакова все "академично" и иногда напрягает затянутостью объяснений, но там - действительно для школьников.
Обозначим медиану а, а левую сторону с
a=sin135/sin30
a=√2
b²=1+2-2√2*√2/2
b=1
x=45°
👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍
Товарищи!
Ролик, посвящённый этому геометрическому факту, был выпущен на моём канале ещё три недели назад. Будьте добры, поднимите комментарий, чтобы автор увидел.
th-cam.com/video/d_jc0FXmEgE/w-d-xo.html
А зачем огород городить? Это же два подобных треугольника - первый большой, состоящий из двух, и второй с искомым углом.
Как определили? Из ответа?)
@@Crotify Углы и условие медианы.
@@kerrog182 Что за условие медианы?
@@Crotify то, что она делит сторону противоположную углу пополам.
Более подробно можно расписать?