Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 1 ต.ค. 2024
- #БотайСоМной #050
Принцип Кавальери. Как найти объем:
- параллелепипеда, призмы, цилиндра;
- тетраэдра, пирамиды, конуса;
- шара.
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.r...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 1-12): trushinbv.ru/eg...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/eg...
11 класс. Подготовка к олимпиаде Физтех: trushinbv.ru/fi...
Другие курсы Фоксфорда: foxford.ru/lib...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_tru...
Группа сайта TrushinBV.ru: trushin...
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TH-cam-канал: / trushinbv
30 минут - доказательство того, что объясняют без доказательства в школе несколько месяцев. Аплодисменты стоя, Борис
@Oleg Neschadimov, через интеграл с погрешностями?) Мне казалось, что интеграл в точности выводит площадь той или иной фигуры. Если бесконечно тонкие прямоугольники просуммировать, то выйдет фигура, площадь которой стремится к искомой фигуре, подвергшейся разбиению на эти бесконечно малые прямоугольники по толщине. Погрешность будет, если говорить, что именно сумма этих маленьких прямоугольников равна площади нашей фигуры, а не стремится к ней. Мы понимаем, что если мы возьмём предел этого бесконечного суммирования, то он будет равен площади нашей фигуры при бесконечно большом разбиении. А найти предел того, куда стремится сама площадь бесконечно тонкого разбиения есть В ТОЧНОСТИ площадь нашей фигуры. Насколько я слышал, то строго это доказывается в ВУЗе, там ещё доказывается, что разбиение и суммирование не только стремится к площади нашей фигуры, но и её предел равен интегралу) Да и назвать БЕЗ ОСНОВАНИЙ (подчёркиваю) непонимающим человека, который преподавал в ФТ, занимался наукой, было бы странным. Вам разве не показалось, что он хотел, что бы мы просто прочувствовали то, откуда это берётся? Разве вывод через интеграл даст такое чувственное понимание и ощущение этих вещей?
в школе между темами заставляют решать задачи
Вообще-то не 30,а 29.50. Мы на канале математики или где, ёптваю?
@@BilyJean831 ну, не 29,50, тебе нужно ещё секунды перевести в минуты, будет 29,8(3) минут, если я правильно посчитала, конечно, время бесячее
С,чего,началось,интегральное,вычесление
10 лет преподаю математику, но настолько красивое и наглядное объяснение меня просто сразило. Спасибо!
Это были единственные полезные 30 минут за сегодня, спасибо!
Спустя год прослушал снова, как хороший художественный фильм пересмотрел! Жаль второй лайк 👍 не поставить.
Блин, смотрел про шар и аж как прозрел! Про 1/3 я знал, а вот загадочные 4/3 всегда интересовали.
Огромнейшая благодарность за объяснение! Теперь буду знать и смогу ребёнку объяснить, когда ему понадобится! А лучше покажу видео!
Настолько просто и красиво, что можно включать в школьный курс. Великолепно объяснено. С Уважением!
так оно и есть школьной программе :/
@@kazekekassenov6840 Где оно в школьной программе? Мне никто ни разу это не доказывал (я в 11 классе)
Прекрасный ролик, я когда-то доказывал то же самое, но с помощью интегралов. А способ с конусом и полусферой оказался очень красив.
здраствуйте, можете ли посоветовать видео по доказательству чернз интегралл?
Когда за 15 минут (v 2х) видео узнал больше, чем за всю третью четверть на геометрии. Так интересно подать материал, вы просто нечто! Спасибо вам!
Аве Куристина, куда поступать будешь?
@@atfasa1004, на физтех пмф, скорее всего
@@ibrahimpasha3035 ух, красавчик, удачи🌚🍀
Куда поступил?
qwerty, на физтех (ФУПМ).
Давай вывод теоремы ПИКА
Ты про формулу Пика?
как же я люблю, когда вы говорите "красиво, да?"🙂
Вы так расказываете, как будто какую то историю, с неожиданными сюжетными поворотами, прописанными персонажами и захватывающими пейзажами и всё каким то таким мягким таинственным голосом! Невероятно
Как обычно и бывает: "ребята, запомните этот коэффициент и не вникайте откуда он взялся, вам это не нужно". Я иду в 11 класс в сентябре и кажется так и будет. Соглашусь, что класс у меня "глупенький" и они это точно не поймут, но мне это могут объяснить, поскольку знают, что я люблю сложности и люблю копаться в чём-то сложном для других для того, чтобы лучше понимать как устроен этот мир) Это действительно полезно знать - это развивает мышление, логику, понимание. Спасибо, Борис!
Многии коэфиценты в физике и химии появились потому что...потому что так померяли!!
То же число пи померяли
@@МаксимМаксим-э5л это шутка?)
@@fail_0112 нет.
Число пи =3.14.... бо таково соотношение, почему оно такое? Потому что так природой создано. И многие величины в физике/химии/математики именно померяли, почему они равны именно этим цифрам мы НЕ знаем и никогда не узнаем точно.... Это от природы так
@@МаксимМаксим-э5л Но его ведь математически вычислили, а не померяли) можно вычислить с любой точностью взяв вписанный и описанные многоугольники) хоть до миллионов знаков после запятой!
Здравствуйте, Борис! Это единственное краткое и интересное видео на ютубе, где так красиво выводятся эти формулы. Было бы невероятно здорово, если бы такое вышло и про площади. Заранее спасибо!
выведение объема шара - красота
Всегда мысленно использовал принцип Квальери
Мне больше всего понравился выведение объема шара. Очень интересная зависимость!!!!
Три года прошло с момента, как я в первый раз посмотрел этот ролик.
Кстати, а про площади, вроде, так и не появился ролик.
Просто волшебство какое то, а так даже и не скажешь что они равны, ай да принцип Ковальери, круто!!!
господи, спасибо большое за этот ролик, у меня в тестовой части постоянно 8 задание хромала, теперь разобрался, благодаря этому видео...Благодарю!!
Не знаю, откуда этот стишок взяла наша учительница математики, но я его помню уже очень много лет:
«Объём же шара лаконичен,
И, как ни странно, гармоничен.
Звучит, как наш оркестр в клубе:
Четыре третьих пи эр в кубе»
Пользуйтесь, не благодарите :)
Боряяя!!! Ты один из тех немногих самых лучших!!!!!!
Хорошо, что Трушин существует. Несколько дней понятное семикласснику объяснение искал.
Всё это знал, но забыл. Спасибо за видео! Вспомнил и теперь не забуду!
Борис Трушин расскажите пожалуйста про ряд Тейлора.
Ты лучший... Готовлюсь к цт в свои 36, и поражаюсь, почему в школе мне так не объясняли...
Блеск! Как Борис объясняет, это сказка! Я сам препод, понимаю как это сложно - объяснять просто, слушаю и наслаждаюсь! Супер!!!!! Спасибо! И дочке школьнице теперь есть что показать!
Спасибо за видео Борис Викторович, как всегда на высоте.
Очень хотелось, чтоб вы рассказали про первообразную и интегралы, просто лично я не очень понимаю почему, площадь под графиком |v(t)| в координатах (v;t), за опр. промежуток времени, будет равна путю тела за этот промежуток времени.
так-же я не очень понимаю почему среднее арифметическое всех значений функции f(x), на определенном промежутке, в координатах (f(x),x), будет равна площади под графиком на этом участке, деленная на его длину.
У меня есть заготовки на видео про интеграл. На какие-то из этих вопросов оно ответит.
Борис, вы не могли бы, пожалуйста, записать про вычисление неопределённых интегралов будь-то способы взятия и тп.
Уж очень интересно было бы послушать об этом от вас, спасибо.
12:00 гомотетия. Всё.
Я очень жду видео про поверхности! Когда в школе это объясняли пробовала сама это вывести, но немного не получилось
Какую задачу решал Кавальери придя к такому выводу (принципу)? И какая точная формулировка самого принципа?
Хотелось бы услышать доказательство формулы площади круга.
Определенный интеграл в помощь)
Считаем доказанным, что для любой окружности отношение ее длины к радиусу постоянно и равно 2π. Т.е. L=2πR.
Разобьём круг на бесконечно малые кольца. Рассмотрим также треугольник с длиной основания L и высотой R, который тоже разобьём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса r и длины l=2πr можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины l. Тогда, по принципу Кавальери, площади круга и треугольника равны. Площадь треугольника находится как произведение длины его основания на половину высоты:
S=LR/2=2πR×R/2=πR²
Ее можно вывести на коленке за 5 минут
Красавчик 😊😊😊
Оооооообалдеть!!!!!!! Суууупееер!!!!!!!!!!!!!!!
Интересно, что объём и площадь поверхности шара связаны через производную:
(4/3 * πr³)' = 4πr²
А также площадь круга и длина окружности:
(π r²)' = 2πr
Можно это прокомментировать?
Справедливо ли это и для других фигур?
Вот это здОрово!!!!!
А ведь верно!
Что- то в этом есть!!!!
Но что???...
Мироздание не зря это сделало,
Математика- ( в лице _Vladimir Karpi)-это подметила.
Объяснить КАК???!!!
Без "ТРУШИНЫХ"-не обойтись...
Ждём обоснований-обьяснений.
Хотя интуитивно всё правильно.
Ускорение- скорость- путь.
Обьём- площадь- длина...
...Где Вы- НЬЮТОНЫ-ЛЕЙБНИЦЫ 21 века?!
Если подумать, то понятно почему.
Изменение объёма шара при каком-то маленьком изменении радиуса - это объём "сферы" с толстыми стенками, и он (примерно) равен площади поверхности настоящей сферы, умноженной на толщину "сферы", т.е. на изменение радиуса. Производная объёма шара относительно радиуса - это предел отношения изменения объёма к толщине, т.е. это и есть площадь поверхности.
ΔV = S * ΔR + o(ΔR), =>
S = (ΔV - o(ΔR))/ΔR =
= dV/dR .
Аналогично с кругом:
ΔS = C * ΔR + o(ΔR)
C = (ΔS - o(ΔR))/ΔR = dS/dR.
И понятно, что аналогично можно сделать и для других фигур: изменение объёма куба при маленьком изменении длины ребра - это объём "полого куба с толстыми стенками" (или как это называется). Объём этого "полого куба" - это площадь поверхности нормального куба на толщину этого "полого куба". Понятно, что толщина этого полого куба - половина изменения длины стороны.
Вот и получаем:
ΔV = S * (Δa/2)+ o(Δa/2)
S = (ΔV - o(Δa/2))/(Δa/2) =
= dV/d(a/2), т.е. производная объёма относительно половины длины ребра.
И это так и есть:
a³ = (2 * a/2)³ = 2³ * (a/2)³ = 8 (a/2)³
Обозначим x = a/2:
(8 x³)' = 8 * 3x² = 24 x² = 24 * (2x/2)² = 24/2² * (2x)² = 6 * (2x)² = 6a² - всё верно. Аналогично с квадратом.
класс
эх вот бы про площадь поверхности ролик
Вот бы мне в школе кто-нибудь хоть на одну треть так объяснял.
Интеграл даёт результат, а Трушин - понимание человеческое! Спасибо! Thank you!
12:50
🔥
26:02
У меня чуть-чуть другая мысль возникла, если рассматривать половинку шарика и "воронку", образованную если из цилиндра выскребсти конус. ТО эти два объёма равны.
Т.е. площади в каждом сечении одинаковы.
Образующая у конуса (прямая) и кривая шара малосопостовимы, не так ли?
Спасибо за видео. Очень помогло)))
Все отмечают красивую логику в выводе формулы обьема шара но по моему переход от обьема призмы к обьему конуса не менее хорош.
Офигеть, это гениально! Спасибо!
ПОЧЕМУ МНЕ В ШКОЛЕ ТАК НЕ ОБЪЯСНЯЛИ???
Не знаю (
похоже я щас получил какие-то запретные знания
И безо всякого там интегрирования. Изящно
Вы первый, с кем стало интересно учить математику. Спасибо вам большое, Борис
не понял на моменте 17:59 . как у одной и той же пирамиды может быть 2 основания?
Спасибо большое за ваши отличные видео из Германии.
Спасибо!!!Круто...просто КРУТО!!!!!!!
Замечательное видео, жду разбор площадей! Спасибо Вам!
Дождались, Артур? Я что- то не нашла разбора площадей. Кто знает, по площадям поверхностей тоже видео есть? И про поверхность шара?
Почему этого не было в 2005 году
Ждем видео, где будет разобраны площади поверхностей!
Борис, и ролик великолепный получился,
и вы великолепны, как обычно ! ‼️
Красиво
Спасииибо!
Жесть, круто с шаром
29 минут удовольствия) спасибо большое!
Вау, спасибо)
с 18:00 просто слушал голос, ничего не понятно но очень интересно
Это гениально!!!
Хотелось бы увидеть ролик по формуле Пика. Просто, вы какая я понял, что не совсем честно ей пользоваться и мы её не понимаем.
Даёшь дискретную геометрию!
ага, красиво!
Это гениально
Почему в формула используется квадрат, а не допустим куб, е=мс2, ну и подобные наверно есть, ведь мы живём в 3х мерном пространстве, почему 2 а не 3? ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 2Х МЕРНА, Я СЧИТАЛ ЧТО ДЛЯ ПИРАМИДЫ РАВЕНСТВО РАВНО А3+В3+С3=Д3, ВДОДЕ ТАК, ДАВНО СЧИТАЛ ВСЕ ПОЛУЧИЛОСЬ, ТАК ЖЕ И ДЛЯ 4Х МЕРНОГО ОБЪЕКТА, ПОЧЕМУ ЖЕ В 3Х МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ СКОРОСТЬ СВЕТА В КВАДРАТЕ А НЕ В Кубе?
Спасибо Борис. Помню летом задался вопросом, как вывести объемы элементарных фигур, не используя интегралы. Сам решал эти старые задачи и придумал похожие методы (не хотелось смотреть в учебник, чтобы самому найти ответ на этот вопрос). Школьникам это уж точно полезно.
А где доказательства объема пирамиды?
Если поделить призму на три пирамидки у них будет равный объем, значит площадь пирамидки это треть площади призмы
Это конечно не совсем стереометрия
Но на егэ, во второй части, возможно вообще рассуждение?
Т.е., если я вижу неравенство, где числители одинаковые(например они содержат корень, одз которого я знаю), а знаменатели разные, и при этом нужно, чтобы одно было больше другого
Могу ли я написать, «так как равны числители, то чем меньше знаменатель, тем больше сама дробь», сразу отбросить решение числителя? Потому что в «Ткачук» не возбраняет такие способы, если я правильно понял
Если известно, что числители и знаменатели положительны, то конечно можно. Это же простой факт из 6 класса. Почему это может "возбраняться"?
Отличный учитель
Красота!)
Благодарю Вас
ну да. а площать поверхности шара отсюда очень просто получается. это даже в учебнике Киселёва есть! спасибо. Я именно в учебнике Киселёва принцип Кавальери нашёл, он для объема шара приведён в этом учебнике в приложении.
Спасибо за красивое объяснение.
А как насчёт объёма произвольной фигуры вращения :)
Ребят, Трушин конечно молодец, спору нет, но у вас что, отобрали учебники Атанасяна за 7-9 класс? Там в самом конце точно эти выводы были написаны, вместе с принципом кавальери, я это прекрасно помню. Почему вы пишите, что вам это не рассказывали, что ничего не понятно было и вообще. В школьном учебнике написано все то же самое. Правда, я смотрю на учебник моего младшего брата и вижу, что учебник Атанасяна как-то подозрительно похудел
Trushin the best!)
Добрый день! Как вычислить объем сложной фигуры (например орган человека), если известны площади параллельных сечений и высота фигуры. Применима ли формула: средняя арифметическая площадь сечения умноженная на высоту
В теории можно засунуть орган в сосуд с водой и отмерить на сколько поднялся уровень воды (h), и зa формулой (h × пи r²) узнать объем)
интеграл же
Когда Трушин сказал, про то, что объем имеет отношение к интегралу - мне стало очевидно :)
Вы что то сделали? Просто уже несколько роликов кажется что качество картинки улучшилось 👍
Да уж, все оказывается, совсем не сложно
Спасибо вам, Борис Викторович
Восхитительно!!!
В конусе 1/3 , в полу-круге 2/3, а в цилиндре 3/3 S*h. Вау!
Вывод объема шара невероятно красивый!
Круто!!!
Огромное спасибо!
не уж то новая веб камера?? Картинка четче стала
Комент
Супер)!
Борис, а читерскую формулу?😉 Которая Симпсона? V=(h/6)(S(0)+4S(h/2)+S(h))?
Про это в один из следующих разов )
@@trushinbv Борис Викторович, можете сделать большое видео на метод математической индукции?
Борис Трушин не могли бы вы сделать видео о 11 номерах в ЕГЭ мат. Профиль, совсем не понимаю что куда и желательно про все типы)))
@@ТимурТувалев, а эти видео уже все посмотрели? th-cam.com/play/PL3BJnp-dNqazUv_31_uwZWNa44gAV3QyP.html
Коофициент Ашкаш Однотретьевич.
Огонь.!
А я все через интегралы выводил…
почему на 22:10 гипотенуза треугольника == R? Не очевидно
Потому что R это отрезок проведенный из центра к любой точке поверхности шара
Меня больше волнует вопрос в самом конце 27:40 если пирамида равна 1/3 цилиндра, а 2 пирамиды равны шару, то две пирамиды и шар в сумме будут давать 4/3 от цилиндра
Очень круто! Спасибо
Лучший
подождите, а как же нерешенная задача о квадратуре круга? 8:52
Это физическая задача. Её невозможно решить в нашем мире с помощью циркуля и линейки.
Крутое объяснение, спасибо большое!
Смотря это видео я невольно вспоминаю очень точное высказывание Анатолия Дмитриевича Мышкиса в его лекциях по высшей математике: "Одной из отличительных черт высшей математики является универсальность, общность её методов. Рассмотрим, например, задачу о вычислении объёмов тел. Элементарная математика даёт формулы для вычисления объёмов призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, шара и некоторых других простых тел. Для вывода каждой из этих формул требовалось отдельное рассуждение, иногда довольно сложное. В высшей же математике даются единые формулы для объёма любого тела, для длины любой линии, площади любой поверхности и т.п."
Получил геометрический оргазм. Оказывается, всё так просто и логично. Вас бы клонировать и в каждую школу вести математику с такой страстью, пониманием и интересом.
Получил оргазм? Подрочил?