Решал как @alexsokolov8009 и получил уравнение x⁴ + 10x³ + 61x²= 900 , так как мы решаем геометрическую задачу то нас интересуют только корни х>0 , но при х>0 левоя сторона выражена монотонно возрастающей функцией значит имеет не больше одного корня. То-же рассуждение справедливо для авторского кубического уравнения.
CK=x, AK - биссектриса, тогда AC/AB=CK/KB, AB=30/x, по теореме Пифагора 6^2+(5+x)^2=(30/x)^2 61+10x+x^2=900/x^2, в левой части функция возрастает, т.к. x>0, а в правой части убывает. Значит, корней не более одного. x=3 - корень. Тогда x=3, площадь треугольника ABC равна 6•8/2=24.
Можно и без алгебры. Раз уж x=3 угадано (а его придется "угадывать" и при алгебраическом решении), то надо рассмотреть, что произойдет с треугольником при других иксах. Пусть CK CK:KB. А теорема про биссектрису говорит, что должно быть равно! Аналогичное противоречие происходит и при CK>3. Ну, похоже, другие ответы все-таки не подходят.
Да, алгебра и не нужна. Даже свойство биссектрисы излишнее. Свойство наклонной и проекции и теорема Пифагора обеспечивают изящно-короткое решение, свободное от вычислений.
Если решать, используя Пифагора(😅) и свойства биссектрисы, будут корни 3 и -5. 3 - это понятно. Но и -5 , думаю, можно "притянуть за уши". Точка К слева от С , точки С и В совпадают. Площадь равна 0.😅🙃🤣
Решить задачу - это найти все решения или доказать, что таковых нет. Это означает, что найдя одно решение, нужно доказать, что других не существует. Как правило, единственность решения доказывается именно ходом "правильного" решения. В процессе решения обратной задачи, одно решение было найдено, но не было доказано, что оно единственное. Если бы после решения обратной задачи каким-то образом удалось доказать, что такое решение единственное, то вопросов бы не было. Правильно я понимаю? Или картина в моей голове по-прежнему не полная?
Все верно. В моем решении мы совершаем тождественные алгебрические пробразования (равносильные переходы). Поэтому полученное уравнение ссодежит все возможные значения x.
я тоже сразу врубил тангенсы)) очень редко решения мои совпадают с Казаковскими... уж очень они, тангенсы, напрашиваются, смотря на рисунок... спасибо, отл задача... но... кубическое уравнение это не хухры-мухры... можно и на неприятности напороться... в виде кардано... но в данном случае обошлось без него
да, но сразу зритель скажет, а зачем огород городить, и решит неправильно и не будт дальше даже смотреть. А 75% решат неправльно. Кроме того, есть предпросмотр, где можно подсмотреть сразу решение и не заходить в ролик. А так - согласен.
Показательная задача: разные методы приводят к разным уравнениям. Если решать по свойству биссектрисы и использовать теорему Пифагора, получится уравнение 6² + (x+5)² = (30/x)², которое сводится к уравнению четвёртой степени: x⁴ + 10x³ + 61x² - 900 = 0. Используя метод неопределённых коэффициентов (привет Декарту), находим разложение (x² + 2x - 15)(x² +8x +60) = 0 Первое квадратное уравнение имеет два действительных корня: -5 и 3, второе - комплексные корни, что заведомо нам не подходят. Понятно, что при x = 3 получаем египетский треугольник со сторонами 6,8,10 и площадью 24. Но с другой стороны, x = -5 можно интерпретировать как равнобедренный треугольник с высотой 6 и основанием 10, с площадью 30 UPD: на самом деле нельзя, ибо получится 6² + 0² = 6² в исходном уравнении. Вообще говоря, для любых а и b уравнение a² + (x+b)² = (ab/x)² имеет корень x= -b, что позволяет свести уравнение к третьей степени
Сложность субъективна. Приведено САМОЕ КОРОТКОЕ и САМОЕ ПРОСТОЕ РЕШЕНИЕ. Остальные - просто неверные. Об этом как раз и ролик. Для начинающих и ошибающихся.
Пусть база = 3x+5, а не 3+5. Тогда по Пифагору и по свойству биссектрисы: 100=x^2 (9x^2+30x+61), где х>0. Слева- константа. Справа - возрастает. Т.е. х=1.
Хорошее строгое доказательство, что CK равно только трём.
Спасибо.
Решал как @alexsokolov8009 и получил уравнение x⁴ + 10x³ + 61x²= 900 , так как мы решаем геометрическую задачу то нас интересуют только корни х>0 , но при х>0 левоя сторона выражена монотонно возрастающей функцией значит имеет не больше одного корня. То-же рассуждение справедливо для авторского кубического уравнения.
CK=x, AK - биссектриса, тогда AC/AB=CK/KB, AB=30/x, по теореме Пифагора 6^2+(5+x)^2=(30/x)^2
61+10x+x^2=900/x^2, в левой части функция возрастает, т.к. x>0, а в правой части убывает. Значит, корней не более одного. x=3 - корень. Тогда x=3, площадь треугольника ABC равна 6•8/2=24.
Спасибо.
Допустим, без тригонометрии. Пусть АВ = у. По св-ву биссектрисы: х/5 = 6/у, У = 30/х. По теореме Пифагора 6² + (х+5)² = у², 6² + (х+5)² = (30/х)², х⁴ + 10х³ + 61х² - 900 = 0, или х⁴ - 3х³ + 13х³ - 39х² + 100х² - 300х + 300х - 900 = 0, (х-3) (х³ + 13х² + 100х + 300) = 0. Вторая скобка не имеет положительных решений. Отсюда, х= 3, S = 1/2 × 6 × (3+5) = 24.
Отлично!
Можно и без алгебры. Раз уж x=3 угадано (а его придется "угадывать" и при алгебраическом решении), то надо рассмотреть, что произойдет с треугольником при других иксах.
Пусть CK CK:KB. А теорема про биссектрису говорит, что должно быть равно! Аналогичное противоречие происходит и при CK>3. Ну, похоже, другие ответы все-таки не подходят.
Да, можно и так доказать. Очень хорошо.
Да, алгебра и не нужна. Даже свойство биссектрисы излишнее. Свойство наклонной и проекции и теорема Пифагора обеспечивают изящно-короткое решение, свободное от вычислений.
Опустить перпендикуляр из К к АВ(т.D). Треугольник AKC=AKD.AD=6,BD=10-6.Треугольник BDK египетский.KD=3.CK=3.
Кто сказал, что
АВ = 10?
@@adept7474 Небеса шепнули!
Если решать, используя Пифагора(😅) и свойства биссектрисы, будут корни 3 и -5. 3 - это понятно. Но и -5 , думаю, можно "притянуть за уши".
Точка К слева от С , точки С и В совпадают. Площадь равна 0.😅🙃🤣
Решая Пифаогорм вы получите ур-ние 4-й степени. А дальше интресное очень рассуждение. Спасибо.
Задача сложная, решается через систему уравнений. (6+y)x=30; x*x+y*y=25 Получается две пары корней 3 4 и 5 0.
Пусть у - гипотенуза, х=СК. Если х>3, то у10.
Если х10. А по Пифагору у
Спасибо. Очень интересно. Но как вы определили y>10?
@@GeometriaValeriyKazakov Не совсем понятен вопрос. По 1-й строчке что ли? x>3 ⇒ y100 ⇒ y>10.
х10 и у²=(х+5)²+6²>100, y²=(8-p)²+36 для некоторого 0
Решить задачу - это найти все решения или доказать, что таковых нет. Это означает, что найдя одно решение, нужно доказать, что других не существует. Как правило, единственность решения доказывается именно ходом "правильного" решения. В процессе решения обратной задачи, одно решение было найдено, но не было доказано, что оно единственное. Если бы после решения обратной задачи каким-то образом удалось доказать, что такое решение единственное, то вопросов бы не было. Правильно я понимаю? Или картина в моей голове по-прежнему не полная?
Все верно. В моем решении мы совершаем тождественные алгебрические пробразования (равносильные переходы). Поэтому полученное уравнение ссодежит все возможные значения x.
Единственность ответа доказума тем что при росте цветного угла отрезок на нижней стороне всегда растет. Так что метод Монте-Карло подходит ;)
По свойству биссектрис можно решить!
Да, конечно. Попробуйте и напишите, что получили? Вам будет интересно.
я тоже сразу врубил тангенсы)) очень редко решения мои совпадают с Казаковскими... уж очень они, тангенсы, напрашиваются, смотря на рисунок... спасибо, отл задача... но... кубическое уравнение это не хухры-мухры... можно и на неприятности напороться... в виде кардано... но в данном случае обошлось без него
Супер!
24. Решал через тангенс двойного угла. Решение единственное. Решение как у автора.
А если бы не удалось угадать ответ? Хочу решение в общем виде для произвольных заданных длин.
Берем формулы Кардано и спокойно записываем общее реешние.
@@GeometriaValeriyKazakov это понятно. Хотелось бы красивого геометрического решения для семиклассника.
@@victorkaplansky Здесь нет его
По свойству биссектрисы несколько проще и быстрее
Не особо проще, нужно уравнение четвёртой степени решать
там сложнее: ур-ие 4-й и Феррари!
Пифагорова тройка 6, 8, 10 . Здесь Маленький катет 6…….. значит большой 8 , 6х8:2=24
Спасибо. Весь ролик как раз о том, что это неправильное решение с правильным (сулчайно) ответом. Но спасибо, что смотрите нас.
Лучше сначала решить, а потом разбирать ошибки в решении
да, но сразу зритель скажет, а зачем огород городить, и решит неправильно и не будт дальше даже смотреть. А 75% решат неправльно. Кроме того, есть предпросмотр, где можно подсмотреть сразу решение и не заходить в ролик. А так - согласен.
Если бы нашлись другие корни, тогда было бы очень убедительно! :)
в ссылке на ролик (справа внизу на экране) нашлись другие корни.
Показательная задача: разные методы приводят к разным уравнениям.
Если решать по свойству биссектрисы и использовать теорему Пифагора, получится уравнение
6² + (x+5)² = (30/x)²,
которое сводится к уравнению четвёртой степени: x⁴ + 10x³ + 61x² - 900 = 0. Используя метод неопределённых коэффициентов (привет Декарту), находим разложение
(x² + 2x - 15)(x² +8x +60) = 0
Первое квадратное уравнение имеет два действительных корня: -5 и 3, второе - комплексные корни, что заведомо нам не подходят. Понятно, что при x = 3 получаем египетский треугольник со сторонами 6,8,10 и площадью 24. Но с другой стороны, x = -5 можно интерпретировать как равнобедренный треугольник с высотой 6 и основанием 10, с площадью 30
UPD: на самом деле нельзя, ибо получится 6² + 0² = 6² в исходном уравнении. Вообще говоря, для любых а и b уравнение a² + (x+b)² = (ab/x)² имеет корень x= -b, что позволяет свести уравнение к третьей степени
Супер! То, что нужно!
очень все сложно: 5 / x = корень( (5+х)^2 + 6^2 ) / 6, далее решить уравнение
Спасибо.
Отложила от вершины А отрезок АС1=АС=6 на гипотенузе АВ, и построила треуг.АС1К,равный треуг.АСК. Треуг-к КС1В прямоуг-й с гипотенузой 5, тогда КС1=3.
Спасибо. Отлично. Только почему КС1=3? А почему не 1 и \/2 и гипотенуза 5?
А у меня 4....
Зачем такое сложное решение.
Сложность субъективна. Приведено САМОЕ КОРОТКОЕ и САМОЕ ПРОСТОЕ РЕШЕНИЕ. Остальные - просто неверные. Об этом как раз и ролик. Для начинающих и ошибающихся.
Пусть база = 3x+5, а не 3+5. Тогда по Пифагору и по свойству биссектрисы:
100=x^2 (9x^2+30x+61), где х>0.
Слева- константа. Справа - возрастает. Т.е. х=1.
Так, так хорошо!
Для чого штани через голову одівати ??? Просто поверни по АК !!! 🤣🤣🤣
Спасибо подробнее: кого повернуть по АК. Но вы ничего этим не получите точно. Напишите свое решене, если нетрудно, возможно оно верное.
@@GeometriaValeriyKazakov Оно не может быть верным. Это ничего не даёт. Очередное заблуждение.
@@SB-7423 Согласен..