Wie viel Material braucht man? - Oberfläche berechnen
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- เผยแพร่เมื่อ 8 ก.ค. 2024
- Oberflächeninhalt
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Oberfläche des Zylinders berechnen kann. Wir bestimmen die Fläche für den Kreis, Zylinder und Kreisring. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Oberflächeninhalt
0:26 Lösung
2:05 Fläche Kreis
4:08 A2 berechnen
8:33 Bis zum nächsten Video :)
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Für den reinen Materialbedarf reicht es, die rechteckige Mantelfläche (55cm×30cm) und den großen Kreis (π×18,75^2cm^2) zu addieren.
Wie immer top erklärt 👍🏻
Hab allerdings 2 Anmerkungen (ist aber meckern auf hohem Niveau):
Wenn man bei der Berechnung des Radius von A1 den Ausdruck mit pi beibehält, kürzt es sich bei der Flächenberechnung wieder raus. Wir mussten es in der Schule so lange wie möglich als pi stehen lassen, was zu weniger Rundungsdifferenzen führt.
Ich hätte A1 gar nicht ausgerechnet sondern nur den Radius, zu dem dann die Breite der Hutkrempe addiert und damit den großen Kreis berechnet. Das wäre dann direkt A1 + A3 gewesen.
So habe ich es auch gemacht, allerdings kürzt sich kein Pi weg, weil bei der Flächenberechnung das Quadrat im Weg steht:
A = πr² = π(55/(2π) + 10)²
Da kann nicht sinnvoll gekürzt werden.
@@m.h.6470Ok, sorry, das passiert, wenn man nur flüchtig überlegt, anstatt es selbst auszuprobieren 🙈 aber ein pi kürzt sich schon raus, leider bleibt unter dem Bruchstrich noch eins stehen. Und wenn man A1 mit A3 zusammenfassen will, wirds ganz konfus 😅
@@wilmafeuerstein9028 Ja, es fällt erst richtig auf, wenn man es ausrechnet...
Wir wurden bei solchen Aufgaben auch immer ermahnt, möglichst keine Zwischenergebnisse als Zahlen auszurechnen, sondern als Bruch oder Term stehen zu lassen und in die weiteren Berechnungen zu übernehmen. Zum einen kürzen sich häufig Elemente weg, und zum anderen erhöht es die Übersicht, wenn z.B. in einer großen Folge-Berechnung statt einer Zahl "πR²" steht, und man "R" zuvor in der Skizze eingezeichnet hat.
@@lupus.andron.exhaustus Genau so ist es. Durch die dadurch entstandenen Rundungsfehler ist Susannes Endergebnis auch deutlich zu niedrig (s. mein Kommentar) - bei einer Frage nach einem Mindestbedarf suboptimal. Auch dass sie nicht wirklich erklärt hat, dass man Deckel und Krempe zu einer großen Kreisfläche vereinen kann. Tut mir leid, aber "top erklärt" ist was anderes - ich würde sogar so weit gehen zu sagen, dass sie bei dieser Aufgabe (v. a. didaktisch) so ziemlich alles falsch gemacht hat, was man falsch machen kann.
Wie immer: prima erklärt.
Allerdings vermisse ich den Hinweis, dass es etwas einfacher gewesen wäre, A1 + A3 als ein (Voll-) Kreis mit r = 18,75 zu verstehen, was das Berechnen der Ringfläche erspart hätte.
Ich mag das Video. Das mit den Kreisflächen addieren, um Rechenschritte zu sparen stimmt zwar, aber genau der im Video gezeigte Weg hilft, die Flächenformel zum Kreis zu merken. Ständiges wiederholen wirkt Wunder.
Wozu A1 ausrechnen? Man benötigt nur den Radius. A1 kann als innerer Teil von A4 gesehen werden. Dann muss man nur zwei Flächen ausrechen ...
hello! ich wollte mich bei dir bedanken
Warum A1 und A3 einzeln berechnen?
Das habe ich mich auch gefragt! Hab mir den Rest dann gar nicht mehr angeschaut. Im übrigen gibt es ja auch noch diverse Kommentare in dieser Richtung.
Comment baiting?
@@tohz2484 So bekommen sie aber auch beigebracht, stur nach Schema F vorzugehen und den einfacheren Weg nicht zu erkennen. Davon halte ich gar nichts.
Als großer Fan dieses Kanals bin ich etwas geknickt: Aufgabe war Oberfläche berechnen. Jedes Blatt Papier hat 2 Seiten, also ist die Oberfläche doppelt so groß wie das hier errechnete Ergebnis, zudem gibt es in der Realität noch leicht abweichende Maße durch die Materialstärke. Aber ich bleibe weiter Fan dieses Kanals 🙂😀😊
Hey, mal wieder ein super Video, danke! :) Es würde mich freuen, wenn du noch mehr Videos zum mündlichem Abitur machen könntest, spezifisch die Themenbereiche Analysis & Lineare Algebra. In ca. 3 Wochen steht nämlich schon das Abi an, wäre richtig toll! 🙌
Wieder ein Super Video, Dankeschön 😊
Wie schon einige geschrieben haben, war die Lösung nicht optimal. Ich möchte noch zusätzlich in den Ring werfen, dass der Zylinder aus Papier gebastelt werden soll. Da brauche ich überstehende Laschen zum Aneinanderkleben der einzelnen Teile. Und dann hat man am Kreis noch jede Menge Verschnitt. Mathematisch kommt das Ergebnis wohl hin (von den Ungenauigkeiten durch das Runden mal abgesehen), aber zum tatsächlichen Basteln hilft die Angabe nichts.
Gute Aufgabe mit Umfang und Flächenberechnung. 👍🙋
lösung ist ganz einfach: wenn man den verschnitt berücksichtigt, braucht er 2 bögen.
da bleibt dann noch was übrig für einen hut für die hauskatze.
So sieht es aus 👍
Ich stelle mir gerade den Mathematiker im Bastelgeschäft vor, der nur den kreisrunden Bogen kaufen möchte 😂😂😂
@@TimoMerkellustigerweise sind Papierbögen rechteckig. Keine Ahnung warum die dann so heißen. Dr. Google wird's wissen.
A1 und A3 kann man zusammen behandeln als Kreis mit Radius 18,75
Lösung:
Die Krempe und der obere "Deckel" des Huts ergeben zusammen einen großen Kreis. Dazu kommt der Mantel des Zylinders.
Der "Deckel" hat einen Umfang von 55cm. Mit der Formel
U = 2πr
können wir den Radius des Deckels bestimmen:
55cm = 2πr
r = 55/(2π) cm
Daher brauchen wir für die gesamte Fläche:
A = Fläche (Deckel+Krempe) + Fläche Mantel
A = πr² + U*h
A = π(55/(2π) + 10)² + 55 * 30 [cm²]
A ≅ π(18,754)² + 1650 [cm²]
A ≅ 351,695π + 1650 [cm²]
A ≅ 1104,881 + 1650 [cm²]
A ≅ 2754,881 [cm²]
Ich komme genau auf das gleiche Resultat.
2'754,88111675 cm2
@@turningflower9674 Ja, im Video hat sie 8,754... auf 8,75 gerundet, was am Ende einen ziemlich großen Rundungsfehler von ~0,41 ausmacht.
ja
@@m.h.6470 Nicht von der Aufgabenstellung verlangte Zwischenergebnisse rechnet man gar nicht explizit aus. Erst recht rundet man sie nicht, um dann mit dem gerundeten Ergebnis weiter zu rechnen. Und bei Fragen nach einem Minimalwert rundet man, wenn, dann grundsätzlich auf, aber niemals ab. Man kann es leider nicht anders sagen als dass Susanne in diesem Video sehr viel falsch gemacht hat.
Ich würde auch A1 und A3 direkt zusammen berechnen. Ansonsten häufen sich die Rundungsfehler. Das wirkliche Ergebnis ist eher 2754,88 cm², also ein Unterschied von immerhin 41,11 mm². Laut ChatGPT entspricht das dem goldfarbenen Chip auf einer Mikro-SIM-Karte. ;-)
Nicht in der Aufgabenstellung verlangte Zwischenergebnisse berechnet man grundsätzlich nicht - schon gar nicht, um diese zu runden und dann damit weiterzurechnen.
Sven muss aber auch noch die Zugaben zum zusammenkleben berücksichtigen 😀
Hier nicht.
Hier geht es um reine Mathematik - ohne Montagezuschläge.
Als Ingenieur sage ich: für den Verwendungszweck hinreichend genau.
Du bist viel besser als dieser daniel jung, ich frag mich nur wie er es schafft so viele kliks zu machen.
Hallo Susanne, Mahlzeit.
Hier mein Vorschlag zur Lösung
U1 sei der Kopfumfang und somit gleichzeitig der Umgang des kleineren Kreises, der den "Deckel" des Hutes bildet.
U2 sei der "äußere" Umfang der Hutkrempe
r1 = Radius des kleineren Kreises (Deckel)
r2 = Radius des größeren Kreises (Hutkrempe)
h sei die Höhe des Hutes.
b sei die "Breite" der Hutkrempe
O sei die gesuchte Oberfläche für das Papiermodell
geg.: U1 = 55cm
h = 30cm
b = 10cm
ges.: O
O = Fläche Deckel + Fläche Huthöhe/Hutschaft? + Fläche Hutkrempe
Statt die Flächen des Deckel und der Hutkrempe getrennt zu berechnen (und sie dann wieder zusammen zu zählen) kann man gleich die Fläche des Kreises mit Umfang Hutkrempe (U2) berechnen.
O = A KreisHutkrempe + A Hutschaft.
Berechnung r1 und r2
r1 = u1 /2pi = 55 /2pi = 55cm/2pi = 8,75 cm gerundet auf 2 Stellen
r2 = r1 + 10cm = 18,75cm
Brechnung A KreisHutkrempe
A KreisHutkrempe = pi *r2^2 = pi * (18,75cm) = pi * 351,5625 cm^2 =1104,5 cm^2 gerundet
Berechnung A Hutschaft
A Hutschaft = U1 * h = 55cm * 30cm = 1650cm^2
Berechnung O
O = A KreisHutkrempe + A Hutschaft
= 1104,5cm^2 + 1650cm^2 =2754,5cm^2
gerundet 2755cm^2
LG aus dem Schwabenland.
Herzlichen Dank für diese Frage, mein Lösungsvorschlag:
Es ist ein Zylinder:
h= 30 cm
U = 55 cm
⇒
2πr₁= 55
r₁ ≈ 8,75 cm
für den Deckel des Hutes A₁
A₁= πr₁²
A₁= π*8,75²
A₁= 240,53 cm²
die Mantelfläche des Zylinders= U*h
U= 55 cm
⇒
M= 55*30
M= 1650 cm²
die Fläche von der Hutkrempe A₂
A₂= π(r₂²-r₁²)
r₁= 8,75 cm
r₂= r₁+d
d= 10 cm
⇒
r₂= 8,75 + 10
r₂= 18,75 cm
A₂= π(18,75² - 8,75²)
A₂= 275 π
A₂= 863,94 cm²
AHut= A₁ + A₂ + M
AHut= 240,53 + 863,94 + 1650
AHut= 2754,47 cm²
Wieder ein super gut erklärtes Video 🥰. Nur eine Kleinigkeit: Wenn man den Hut wirklich basteln wollte würde man noch eine Papier für eine Klebekante brauchen.😉
Die Frage lautet: "Wieviel cm2 Papier braucht er mindestens?" Durch die Klebefalze wird es mehr, ist aber so nicht gefragt. Mindestens!
r=55/2pi A1= pi*(55/2pi)²=121*25/(4pi)=240,72 (gerundet)
gehört die Dicke der Hutkrempe nicht auch zur Huthöhe dazu?
Das kann mitunder auch mal nen Zentimeter sein. Das muss dann bei der Berechnung von A2 beachtet werden.
Mantelfläche, Deckfläche und Hutkrempefläche betragen zusammen mindestens 2754,45 cm^2 und höchstens 2755 cm^2, wobei man die Materialdicke nicht mitberechnen soll, da ja nicht nach dem Volumen gefragt wird.
Weiß wer welches Programm sie immer benutzt?
Wenn man in den Laden geht und einen Bogen Fotokarton der Größe kauft, wird das nicht wirklich funktionieren. Ich würde eher einen Bogen mit den Seitenlängen a = ((8,75cm + 10cm) * 2 + 30cm) = 67,5cm und b = 55cm besorgen. Der Bogen hat dann eine Fläche von A = a*b = 3712,5 cm².
Aus diesem Bogen kann man die benötigten Einzelflächen auch tatsächlich ausschneiden.
Etwas Verschnitt-optimiert kann man auch zwei Bögen besorgen: einmal mit den Mindestmaßen a1 = 30cm und b1 = 55cm sowie einmal mit a2 = 37,5cm und b2 = 37,5cm. Dann ist die Gesamtfläche A' = a1 * b1 + a2 * b2 = 3056,25 cm².
Man stelle sich vor: Sven geht jetzt in den Laden, kauft das Papier, ist stolz das alleine ausgerechnet zu haben, freut sich wie bolle. Dann kommt er nach Hause, fängt mit dem Basteln an und muss feststellen .. moment mal ... die einzelnen Formen passen ja gar nicht in den Bogen hinein.
Ich hätte es irgendwie sinnvoller gefunden, wenn man z.B. nach der Menge Farbe gefragt hätte, um den Zylinderhut (einseitig) bemalen zu können (unter der Annahme der "Anstrich" ist überall gleich 0.1mm dick). Oder sowas halt.
Dass man nur doe Fläche des großen Kreises berechnen muss und die 55x30 cm dazu addieren muss, wurde ja schon mehrfach gesagt. Was aber natürlich noch fehlt, ist ein Kleberand - würde die Aufgabenstellung auch noch ein wenig interessanter machen 🙂
Das wird ja ein riesen Hut 😮
Tut mir leid, wenn ich das so direkt sage, aber hier hast du gleich mehrere Böcke geschossen und den Schülern mehr oder weniger beigebracht, wie man es nicht macht:
1. wäre es viel einfacher gewesen, A1 und A3 sofort zu einem großen Kreis zu vereinen und nur zwei Flächen zu berechnen. Wenn du den Schülern beibringen möchtest, wie man eine Ringfläche berechnet - okay; aber dann wäre im Nachgang einmal von oben drauf schauen und das mit dem großen Kreis erwähnen das Minimum gewesen.
2. Älteste Regel der Welt: Zuerst wird die Formel auf- und umgestellt, und erst ganz zum Schluss werden die Zahlen eingesetzt. Insbesondere ist das Weiterrechnen mit gerundeten Zwischenergebnissen ein absolutes NoGo - Stichwort "Rundungsfehler" ⚠
Saubere Lösung:
Gegeben sind der Deckelumfang U = 55 cm, die Wandhöhe h = 30 cm und die Krempenbreite k = 10 cm; gesucht ist die Oberfläche O.
O = Deckelfläche + Krempenfläche + Wandfläche
Die Wand ist ein Rechteck mit der Fläche W = Uh.
Der Deckel ist ein Kreis mit dem Radius r und dem Umfang U. Die Krempe ist ein Ring mit der Breite k.
Ein Blick senkrecht von oben auf den Zylinder zeigt, dass der Deckel und die Krempe zusammen einen Kreis mit dem Radius r + k bilden.
Dessen Kreisfläche ist A = π (r + k)². Für r gilt nach der Kreisumfangsformel U = 2π r | : (2π) ⇔ r = U/(2π).
Somit gilt A = π (U/(2π) + k)² = π (U²/(4π²) + 2 U/(2π) k + k²) = π (U²/(4π²) + Uk/π + k²) = U²/(4π) + Uk + k²π
Für die Gesamtfläche gilt dann O = W + A = Uh + U²/(4π) + Uk + k²π. JETZT ERST setzen wir die gegebenen Zahlen ein und rechnen aus:
O = 55 * 30 + 55²/(4π) + 55 * 10 + 10²π = 1650 + 3025/(4π) + 550 + 100π = 2200 + 3025/(4π) + 100π ≈ 2754,89 ✅
Jetzt sieht man, dass du mit deiner Zwischendurch-Runderei fast einen halben cm² Abweichung generiert hast und der Junge mit deinen 2754,47 cm² Papier nicht auskommen wird.
Noch was: Obwohl mein Endergebnis 2754,881... war, habe ich hier auf 2754,89 aufgerundet, weil nach einem Mindestbedarf gefragt ist - da ist Abrunden tabu, weil man dann ein Ergebnis unter dem tatsächlichen Mindestbedarf erhalten würde. Analog dazu wäre Aufrunden tabu, wenn nach einem Maximalwert gefragt wäre. Prinzipiell sollte man aber kaufmännisch runden.
Also A1 hätte ich mit dem Umfangsquadrat zu Flächenverhältnis des Kreises (4π) berechnet: A1=U²/(4π) und das wären dann 240,723cm² gewesen.
Also erst rechnen wir A1 aus, um es der Gesamtfläche hinzuzufügen, nur um nachher A1 wieder von A3 abzuziehen. Da kann ich A1 auch gedanklich einfach "unten in das Loch von A3" fallen lassen und dann das volle A3 ausrechnen und A1 ignorieren (denn man zieht es nachher eh wieder ab A = A1 + A2 + A3 = A1 + A2 + (A4 - A1) = A2 + A4 + A1 - A1 = A2 + A4 ...
Geht also mit noch viel weniger Rechenschritten :)
Ich hab 2754,88 cm^2.
Ich nehm einfach mal an, dass einer von uns zwischendrin gerundet hat. 😉
Streng genommen musstest du trotz der 1 hinter der zweiten 8 auch auf 2754,89 cm² aufrunden, da du mit Abrunden unter den tatsächlichen Mindestbedarf kommst.
@teejay7578 Touché! 😂
0:37 Die Flächen von Deckel und Krempe würde ich zusammenfassen.
Lösungsweg:
Erstmal das leichte Wegrechnen: 55*30 = 1650 cm²
Dann die Überlegung, was wäre, wenn die Höhe 0 wäre
=> Rg = Rk +10 = 8,75 + 10 = 18,75
dann den Kreisfläche berechnen
A= Pi r² = Pi * 18,75² =~ 1104,46 cm²
Addiert
2754,46 cm²
==========
Ich habe noch nie sowas basteln wollen 😂😉
Lieber rechnen!
Man kann keine runden Blätter kaufen, daher sieht meine Rechnung wie folgt aus: A1-Blatt 59.4*84.1 = 4995.54 cm2
4:20 Das „Aufschneiden“ heißt abwickeln!
bevor du's abwickeln kannst musst du's aber erstmal aufschneiden 😂
Susanne ich hätte eine Frage an dich, gibt's du auch Nachhilfe in punkto acad, ich bin gerade dabei mein Techniker in Maschinenbau zu machen, viele Grüße
Das war ja mal wieder etwas leichtes. 😉
Wie viel Papier braucht er jz mindestens ? Antwortsatz fehlt
Was hier beim runden beachtet werden muss ist, dass in diesem Fall nur aufgerundet werden muss, da der Hut sonst für den Kopf zu klein wird.
Diesmal bin ich mit Dir nicht einer Meinung.
Was Du ausgerechnet hast, ist die Fläche des Hutes, aber nicht der Mindestverbrauch an Papier für den Hut.
Die Teile müssen ja ausgeschnitten werden, die liegen nicht so lose und passgenau herum.
Dazu kommen dann auch noch die Ränder zum verleimen.
Also ist die Fragestellung falsch ;-)
Mathematiker haben Spezialgeschäfte, da gibt's Tonpapier auf Maß zugeschnitten.
Nur doof, dass er dann Klebeband zum Zusammenbau braucht, weil er die Klebekanten nicht berücksichtigt hat 🙈😈🤣
@@TimoMerkel Wenn man es genau nimmt, müsste man alles mal 2 nehmen und dann noch die Papierstärke berücksichtigen 🙂
War aber trotzdem eine schöne einfache Aufgabe ;-)
...aber wozu A1 ausrechnen?
Denn A = A1 + A2 + (A4-A1) = A2 + A4
wobei A2 = 55 * 30 und A4 = π ( 55 / 2π + 10 )²
also A = 55 * 30 + π ( 55 / 2π + 10 )²
"Und wenn man die Formel umdreht, wird ein Schuh draus..." 👟🤫
"Da ist der Kopf, da ist ja Luft". Im Kopf? 😀 Aber das Ergebnis ist natürlich nicht richtig, es wird nur die sichtbare Flächse berechnet, es fehlen noch die Kleberänder und Falzen. Es wird also mehr benötigt. Aber das wäre Korinthenkackerei.
Und der Verschnitt.
a1 und a3 ist ein kreis. da muss ich nicht was ausrechnen, dann noch was ausrechnen, dann addieren, dann subtrahieren und dann NOCH mal addieren... einfach a1 + a3 auf einmal ausrechnen, dann das rechteck, zusammen rechnen und fertig. gut in mathe zu sein ist ja super, aber bissl logisches denken sollte man schon auch ab und zu mal üben...
Wenn man so einen Zylinder aus Pappe bastelt, dann braucht man aber auch noch Klebeflächen, um die Einzelteile zu verbinden. Aber sehr schön berechnet.
deshalb steht in der angabe "mindestens".
Man könnte die Teile auch mit Tesa verbinden
Im Technikunterricht: ja.
Im Matheunterricht: nein.
Susannes Ergebnis ist falsch, sorry!
Ein schönes Beispiel dafür, wie sich Rundungsfehler auswirken. Und zwar unabhängig davon, ob man wie im Video drei Flächen addiert oder nur die Mantelfläche des Zylinder und die grosse Kreisfläche inklusive Krempe.
Richtig ist:
(55/2π + 10)² × π + 30 × 55
≈ 2754,8811
Es werden also mindestens 2755cm² Papier benötigt (hier muss immer aufgerundet werden, weil nach abrunden ja sonst ein kleines Schnipsel Papier fehlen würde).
Jedenfalls sind die im Video errechneten und als Endergebnis präsentierten 2754,47cm² definitiv zu wenig für den Hut in der geforderten Größe.
Zugegeben, einem Hutmacher wird's egal sein, weil der sowieso Verschnitt und Überlappungen einkalkulieren muss, aber das hier ist ja kein "Hutmacher Video"😉.
🙂👻
P. S. Seh grad beim Überfliegen der Beiträge, dass andere Kommentatoren auch schon auf den Fehler aufmerksam gemacht haben. Sorry für die Wiederholung🤷!
sagst du den Chinesen, die kümmern sich drum. ;)
Ich find' deine Videos wirklich cool, aber es rollen sich mir jedesmal die Fußnägel hoch, wenn du immer quasi so früh wie's geht mit Dezimalwerten weiterrechnest (und das machst du konsequent in deinen Videos und ist selten der exakte Wert). Ahhhrglglg. 🤷♂
P.S.: Ich guck dich natürlich trotzdem weiterhin 😉
Kopfumfang ,???.fällt er da nicht runter .
Der Kreis nennt sich Krempe.
Ist nur ein Scherz, nicht für voll nehmen!!!
Habe schon viel gelernt, mit 67.
omg du rettest mir mein studium (nicht) its a prank
Warum einfach, wenn es auch umständlich geht? 🤣
Oberflächeninhalt?
Nur ein Körper kann einen Inhalt oder ein Volumen haben. Eine Fläche NIE
Ich würde dich gerne treffen weil ich mich auch für Mathematik interessiere