Sviluppo in serie di Taylor
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- เผยแพร่เมื่อ 3 ต.ค. 2024
- Per approfondimenti teorici sugli sviluppi di Taylor e ulteriori esercizi, vi consiglio di visitare questa pagina didattica: quisirisolve.c.... Inoltre, per chi volesse approfondire ulteriormente come applicare gli sviluppi di Taylor, consiglio di leggere il seguente articolo: quisirisolve.c....
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Con gli sviluppi di Taylor si può dimostrare l’identità di eulero,!una delle più belle e utili formule della matematica.
Ne parlo qui, con un approccio sempre molto intuitivo:
Identità di Eulero
th-cam.com/video/RVzm-z7Qi40/w-d-xo.html
Grazie
Non mi ricordo se i miei professori me lo hanno spiegato così. Mi ricordo che mi colpì molto! Ti ringrazio per avermi riportato indietro di 50 anni con una spiegazione esemplare!
Grazie
Ho avuto insegnanti di matematica molto bravi e sono stato a suo tempo affascinato dalle serie di Taylor. Con questa lezione ho in parte rivissuto ma anche in parte riscoperto l'argomento. E' stato un grande piacere seguirla!
Grazie
Complimenti!
Non saprei cosa altro aggiungere perché è veramente superlativo!
Da ex professoressa di matematica mi sto gustando parecchi video per riappropriarmi di tanti argomenti interessantissimi e da tanto tempo tralasciati(negli ultimi 20 anni ho insegnato al biennio del liceo scientifico).
Chissà se ho saputo trasmettere l'amore per la matematica,che ho tutt'ora... chissà
Ancora complimenti a te per la chiarezza e il garbo nelle spiegazioni!!!!
Viva la matematica e grazie a chi
Devo aver digitato male le ultime parole...😂
Grazie mille per questo commento. Particolarmente apprezzato quando arriva da una collega esperto di didattica.
Grazie! Hai la grande capacità di spiegare in modo semplice argomenti complessi.
Video semplicemente strepitoso... siamo ai livelli della dimostrazione che 0!=1 e del fattoriale di numeri non interi di qualche tempo fa!!!! Anche se quel video, con le varie implicazioni di "cosa prendiamo come definito" e di "cosa di conseguenza vogliamo e possiamo dimostrare" sarà difficilmente superabile. Grazie davvero per l'impegno profuso nella divulgazione di una materia complessa con metodi e parole alla portata di tutti!!! A presto!!!
Grazie mille. Anch’io sono contento di quel video sul fattoriale.
Bellissima spiegazione,avevo cercato di studiarlo da me quasi 40 anni fa(sull'Amerio) ma capivo di non avere afferrato,invece seguendo questo video per la prima volta è tutto chiaro.Grazie
Io la vedevo così ,in modo intuitivo :
Se di una funzione in un punto conveniente
conosci il valore
conosci la pendenza
conosci la variazione della pendenza
conosci la variazione della variazione della pendenza
..e quelle successive sai come la funzione si "piegherà" e come la sua "piegatura" si "piegherà" e che valore avrà negli altri punti con l'approssimazione che vorrai
Finalmente, uno degli argomenti che aspettavo. Bellissimo.
Grazie
Bravissimo chiarissimo questa è matematica amo i riferimenti storici sono altrettanto importanti quanto i contenuti e le applicazioni.
Capolavoro! 🙌Ogni volta rimango incollato ai suoi video! Grazie!
Grazie
Non commento spesso, ma qui ci vuole. Si vede un grande impegno e preparazione, Chapeau! La formula di Taylor era uno dei miei argomenti preferiti. Il mio prof di Analisi lo aveva introdotto più o meno così😄.
Grazie, da una docente di meccanica razionale non posso che essere onorato
Mi hai fatto rivivere le spiegazioni della mia prof. di Analisi Matematica 1 alla Federico II di Napoli. Lei era Anna Esposito ed era una grandissima.
Mi sono attaccato a questo video che ho trovato meraviglioso. Grazie
Altri video utili:
Capire VERAMENTE le derivate th-cam.com/video/f5c0WaPbNUE/w-d-xo.html
Esercizi sul calcolo delle derivate (parte 1) th-cam.com/video/REwVvwJBsTM/w-d-xo.html
Esercizi sul calcolo delle derivate (parte 2) th-cam.com/video/xZTcsqFu2Uc/w-d-xo.html
Capire VERAMENTE gli sviluppi di Taylor th-cam.com/video/aegxtBimioI/w-d-xo.html
Taylor esercizio 1 th-cam.com/video/4zfeHJXx8D0/w-d-xo.html
Taylor esercizio 2 th-cam.com/video/G9skO9m1oa4/w-d-xo.html
Taylor esercizio 3 th-cam.com/video/TgvQ_0SCpAI/w-d-xo.html
Taylor esercizio 4 th-cam.com/video/HB2vbLYIgYY/w-d-xo.html
Taylor esercizio 5 th-cam.com/video/CFBEwMX5teY/w-d-xo.html
Magnifico approfondimento della serie di Taylor . Magnifico!
Grazie mille
Grazie Professore!
Spiegazione chiarissima e affascinante.
La seguo da tempo per rinfrescare gli studi di tanti anni fa. ( ho compiuto da poco i 90 anni..)
Grazie ancora e per favore continui con la sua opera preziosa!
Grazie a lei per questo commento
Video molto ben strutturato e raggiunge l'obiettivo di rendere molto intuitivi i concetti. Per la mia personale sensibilità c'è più di una imprecisione, ma questo è a mio parere il principale limite dei video di contenuto scientifico: in un processo di revisione "tradizionale" dopo la prima stesura di un testo scientifico c'è sempre una fase di correzione errori e/o refusi. Su TH-cam ahimè tutto ciò è impossibile. Comunque bel lavoro
Che bella lezione ! E' un piacere quando le lezioni realizzate cercando, come diceva la mia prof di matematica, di capire "l'origine delle cose"...col seguirti ho trascorso una bellissima mezz'ora! Grazie
Finalmente dopo 30 anni ho scoperto perché la serie di Taylor è fatta così. Purtroppo il docente universitario che avevamo era un po' troppo criptico e se non capivamo una cosa, ce la rispiegava sì, ma ci capivamo ancora meno.
Mi fa piacere che ti sia piaciuto, grazie per questo commento
Mi è piaciuta la sua introduzione sulla "componente culturale" e di conseguenza sulla comprensione storica e filosofica, se posso dire, della matematica. Una nota tecnica: a mio parere mettere le parentesi attorno all'argomento per cos 0,4 è un "appesantimento" non necessario, in quanto non vi sono possibili ambiguità di interpretazione (contrariamente ad es per sin 2x + 1)
Ancora una volta complementi per questa spiegazione semplice di concetti altrimenti complessi: soprattutto si apprezza enormemente la Sua capacità di spiegare concetti matematici appoggiandosi a considerazioni di solito del tutto assenti dai testi di Analisi Matematica, almeno per la mia generazione di Ingegnere laureato nel 1979 all'Alma Mater. Ho ripreso i testi e le dispense universitarie dell'epoca e su questo argomento sono assolutamente criptiche. Credo, da Ingegnere e non da laureato in Matematica, di apprezzare ancora di più la materia spiegata così: per dirla con una locuzione anglosassone oggi molto in voga, Lei ha un sistema di spiegare molto friendly, se mi passa il termine!!!
Mi fa piacere che ti sia piaciuto, grazie per questo commento
Uno degli argomenti con i quali si fanno continuamente i conti, ma per i quali (quasi) nessuno conosce la genesi dell'idea!
Oltre che un video di matematica, un video di Storia!
Ottimo video.
Molto bene spiegata la genesi e l'utilità di trattare con funzioni abbordabili come i polinomi anziché maneggiare funzioni complicate.
Ricordo che odiavo in Analisi I la parte sulle "serie" (teoremi per la convergenza ecc.) perché sconosciute, mai fatto nulla al Liceo e non ne capivo l'utilità...
Capii dopo come talvolta possano semplificare le cose: in primis il calcolo di limiti ostici e/o l'integrazione di funzioni che non ammettono primitive "elementari".
Video molto utile, grazie
Grazie mille
Davvero utile e suggestivo aver ripercorso come sia nata l'idea di Taylor. Finalmente ho capito. Grazie.
😃
Questo, ma anche tutti gli altri (che non ho ancora visto ad eccezione di quello sul calcolo degli integrali) avrebbero di certo deliziato la mia prof di matematica e fisica del liceo, che ora sarà sicuramente nel paradiso dei matematici, in buona compagnia e avrà già incontrato il buon Taylor e pure Lagrange.
Semplicemente meraviglioso! Video interessantissimo! Grazie
Grazie mille
Video incredibilmente sul punto, grazie mille!
Grazie a te per il commento
Aggiungerei solo una avvertenza:i valori veri di cos (x) ,come altri valori di funzioni non polinomiali non bisogna pensare che siano dispensati da una divinità chiamata “calcolatrice da tavolo” e che al resto di noi mortali non rimanga che utilizzare il metodo approssimante del buon Brook Taylor. Nel caso delle funzioni trigonometriche prima vi furono le tavole calcolate con metodi geometrico-euclidei,poi arrivo’ Newton con le sue ingegnose serie,e infine Brook e Lagrange. I valori veri furono quelli ricavati da Newton che confermavano anche quelli (ma solo di mezzo grado in mezzo grado o poco meno),antecedenti ricavati con la geometria di Euclide.Solo una precisazione per non indurre nei ragazzi alla credenza in falsi dei. Comunque ottimo video.😊
Sei strepitoso Valerio. Argomento tosto spiegato con grande chiarezza e semplicità. Se non erro l'approssimazione del fattore di Lorentz si ottiene espandendo la serie di Taylor. Corretto?
Ottimo video e spiegazione eccellente. Complimenti!!!
Complimenti! Utile e interessantissimo.
Miglior canale di matematica e fisica in Ita
Grazie, ma è difficile fare una classifica…
Eccezionale. Bravissimo.
Complimenti! Sarebbe interessante, se possibile e se conosciuto, avere un video con i relativi calcoli su come facevano prima di Taylor (gli antichi matematici) a calcolare i vari valori di sen e cos. Grazie.
Si usavano delle tavole costruite con metodi geometrici.
Ottima spiegazione Valerio !!
Grazie
Professore finalmente!!! Grazie. Sarebbe molto interessante orA far seguire i concetti di o piccolo e O grande
Stavo pensando di fare un video sull’algebra degli ho piccoli.
@@ValerioPattaro speriamo presto
Ma quanto gasa questo video, prof.?!
Grazie mille
Che bei ricordi! Io l'ho studiato anni fa con analisi 2 il resto di Lagrange.
Buongiorno, molto interessante. Avrei una domanda: nello sviluppo in serie di Taylor i coefficienti del polinomio derivano da valori della funzione e derivate nel punto x0, talvolta il polinomio diverge molto dalla funzione se ci si allontana da x0, anche ipotizzando un polinomio con infiniti termini. Se invece imponessimo che il polinomio coincidesse col valore della funzione in n punti, al tendere di n ad infinito, il polinomio coinciderebbe con la funzione? Grazie 👋
Video stupendo
Buon giorno Professore farà anche un video sulle trasformate di Laplace e di Fourier?
Prima o poi sicuramente
Mi accodo alla richiesta 😊
Senza fare "pubblicità", diversi anni fa fece dei video (sia teoria che esercizi - sicuramente sulla trasformata di Laplace e forse anche di Fourier) l'ing. Marcello Dario Cerroni sul suo canale YT
Video stupendo, grazie mille 🎉🎉🎉
Davvero grazie per questo video. E' un argomento che nel libro c'era ma non lo studiai, per motivi di tempo preferii recuperare il metodo di bisezione su cui uscivano esercizi all'esame di analisi. In effetti è un bell'argomento, sono curioso di vederne le implicazioni. Credo possa avere a che fare con la Trasformata di Fourier.
Credi bene, anche se direi che la trasformata di Fourier è valida in senso inverso, ovverosia si può esprimere una funzione (non necessariamente solo trigonometrica, ovvero periodica) come somma(toria) in serie di seno e coseno.
Invece, la trasformata di Laplace è un'altra storia ancora...😀
@@BizziNuando grazie per l'approfondimento. Ora sn ancora più curioso. Io sono arrivato solo fino ad Analisi 1, Statistica generale, e Algebra Lineare. Perché tanto era richiesto nel corso di studi di Economia. Ma la matematica mi è sempre piaciuta moltissimo. So della trasformata di Fourier xk la mia fidanzata all'epoca studiava ingegneria, ho visto integrali doppie tripli, so che la trasformata serve a costruire punto punto la funzione, penso si usi in Teoria dei segnali ma secondo me è estendibile a un sacco di altre cose. Ho visto che ad esempio potrebbe essere applicata al trading on line (seguo un po' Corrado Malanga anche se va preso con le pinze, così come Igor Sibaldi ed altri, che vanno più verso la Spiritualità. Che poi è tutto collegato). Ma mi piacerebbe capirne di più x qst seguo il canale di Valerio, che è davvero mlt bravo, pacato, assertivo.
@@gimopirozzi2469 Ecco, come ho scritto in un altro commento a questo video, diversi anni fa nel canale YT dell'ing. Marcello Dario Cerroni erano stati caricati alcuni video, sia di teoria che esercizi, sicuramente sulla trasformata di Laplace e altri su quella di Fourier; personalmente devo ammettere di avere imparato cose di analisi 2 che non conoscevo e che non erano stati svolti al corso universitario, ad es. i 4 metodi di risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali, ossia i metodi 1) autovalori/autovettori, 2) trasformata di Laplace, 3) matrice di transizione e 4) di Putzer.
Grazie, chiarissimo 😊
Grazie , ottima spiegazione
Buongiorno caro professore. Che ne direbbe di accennare ,fra i prossimi suoi video , l ipotesi di Riemann.? Sarebbe molto interessante come argomento. Ho dei dubbi su alcuni passaggi da cui non riesco a uscirne fuori,
Grazie per lo spunto.
Vediamo, per il 2024 ho già diversi argomenti in programma.
ottimo e esaustivo
Sarebbe bello vedere anche video di analisi 2 sul canale
Analisi Matematica 2
th-cam.com/play/PLM3M-5ytwzzNIcNN19fwm4CBXZsMMQgCx.html
Lo ritengo un salva-vita per lo svolgimento di certi limiti,che sarebbero difficilissimi da risolvere diversamente.
Buonasera. Le chiedo: nella formula la (x- x o) cosa rappresenta.? Uno spazio, un intervallo, un intorno? Ha anche un significato geometrico?
Una traslazione di xo a destra
TRASLAZIONI (Trasformazioni Geometriche)
th-cam.com/video/jipNxJLeMfA/w-d-xo.html
davvero bello
Grandeeeee 😊
Grazie ☺
È possibile scrivere la serie di Taylor di e^x, cos(x) e sin(x) ( e di tutte le funzioni analitiche ?) anche partendo da una equazione ricorsiva, ad esempio, se G(n) è una successione di appoggio con n numero intero n=0,1,2,3,... è facile vedere che la seguente equazione ricorsiva
G(n-1) = 1 + (x/n)G(n)
conduce a:
G(0) = e^x
semplicemente applicando la ricorsione a partire da n=1.
Per cos(x) l'equazione ricorsiva generatrice è questa:
G(n-1) = 1 - [(x^2)/(n(n+1))]G(n+1)
da cui G(0) = cos(x)
Per sin(x) è questa:
G(n-1) = (x/n) - [(x^2)/(n(n+1))]G(n+1)
da cui G(0) = sin(x)
Cosa ne pensa ?
Dovrei guardare meglio ma sembra funzionare.
Però per seguire questo metodo devi già sapere qual è lo sviluppo, o sbaglio?
Devi riconoscere il pattern che emerge applicando la formula ricorsiva a partire da n=1. Diciamo che è una definizione di e^x, cos(x), sin(x), più compatta della serie di Taylor e i denominatori fattoriali dei singoli termini emergono come effetto della ricorsione così come le potenze di x. Quindi possiamo dire che questa è una sorta di compressione della informazione contenuta nella funzione generata dalla ricorsione ovvero G(0). Ho fatto tutti i passaggi e posso inviare un pdf nel caso fosse interessato. In ogni caso complimenti davvero per il suo canale, serio e rigoroso e anche per gli ottimi riferimenti storici che non vengono quasi mai trattati nelle lezioni tradizionali. Grazie di cuore.
Complimenti
ho capito da dove sia nato ma perché quando lo prendi in un generico punto x0 perché viene (x-x0) invece di x?
Perché è così che si trasla una funzione
TRASLAZIONI (Trasformazioni Geometriche)
th-cam.com/video/jipNxJLeMfA/w-d-xo.html
Sì ma non è una traslazione della funzione che avresti in x0 cioè avevo pensato anch’io alla traslazione però il polinomio calcolato nel punto x0 non può essere uguale al polinomio calcolato in 0 proprio per i valori diversi delle derivate
Ottimo
Probabilmente più interessante un esempio con il coseno di 1 o 1.2 (minuto 15.00), avrebbe mostrato errori significativi con polinomi bassi di grado.
però, a questo punto, se ho seguito bene, si dovrebbe scegliere come punto di partenza un valore noto intorno a 1 o a 1.2 (appunto, ad es. cos1) - o no, prof?
Puoi mettere un angolo qualunque, sei grande devi andare avanti di più col polinomio.
Ricordiamo che gli angoli sono in radianti quindi 1 significa circa 60°
Le descrizioni e i grafici sono bellini ma ci sono un po' di imprecisioni. Non è chiarito in che senso per es P_n(x):=1-x²/2+..±x^2n/(2n)! sia il "miglior" polinomio di grado ≤2n che approssima cos(x), e perché. Bisognerebbe distinguere cosa accade per n fissato e x che tende a x_0, e cosa accade per x fissato e n che tende a infinito, che sono due problemi ben diversi. Infine l'enunciato sul resto di Lagrange e la discussione che segue sono un po' sbagliate, per es nell'esempio 1 "e^c" NON è costante. Il fatto è che il numero c della formula del resto *dipende* sia da x, sia da n....
Critica al video: non e' stato introdotto il concetto di o-piccolo, questo video non e' adatto all università.
Quindi certi esercizi non e' possibile farli.
Invece mi piaciuta la domanda: e' possibile approssimare tutte le funzioni? Non ci ho mai pensato.
Ho piccolo e relativa il resto di piano. Ci sono cinque video esercizi su quello. Trovi il link in descrizione.
Qualcosa non mi convince.
Se diciamo che ogni funzione infinitamente derivabile è uguale ad un polinomio di Taylor più un resto di Lagrange con la derivata n-sma calcolata in un certo punto c, allora stiamo dicendo che tutte le funzioni infinitamente derivabili sono dei polinomi e per di più del grado che vogliamo noi, basta decidere a che n arrestare il polinomio.
Il punto è che c non è affatto una costante ma dipende da x ma allora non si può affermare che il resto di Lagrange di e^x tende a 0 perché e^c non è una costante, e non sappiamo a priori come e^c dipenda da x, in tutta generalità la dipendenza di c da x potrebbe dipendere da n e dunque e^c può dipendere da n che potrebbe divergere con n più velocemente di x^n/n!. Le dimostrazioni per senx e cosx invece funzionano in forza della limitazione di tutte le loro derivate tra -1 e +1.
A me avevano detto che principalmente il polinomio di Taylor nacque per approssimare le funzioni , questo cos( 0,4) mi e nuovo...
Appunto, grazie allo sviluppo in serie di Taylor puoi calcolare facilmente una buona approssimazione di cos(0,4)
Mi domando se Taylor avesse in mente le monadi di Leibniz.
Spiegato bene, ma video troppo lungo...
Puoi guardarlo con velocità 1,5 o 2
Io ci misi settimane a capirlo , soprattutto per colpa di quell' o-piccolo malefico che non sai quando fermarti. ( Limiti)
Spero con questo video di ricapirlo più in fretta 😅
A parte il suo encomiabile impegno didattico, lei manca totalmente il punto del PERCHÉ. Del perché nel suo sviluppo in serie di potenze Taylor usa le derivate successive. Ponga rimedio.
Se l' obiettivo era calcolare il cos( 0,4) si poteva usare il differenziale ...
ovviamente non era l'obiettivo, era solo un pretesto per introdurre l'argomento del video
Il video non si intitola "Calcoliamo cos(0,4)" ma "Sviluppo in Serie di Taylor", quindi il differenziale ci sarebbe entrato come i cavoli a merenda.
Lo sviluppo in serie di MADHAVA e della scuola della matematica in kerala
C.k RAJIU FONTE
Non conosco