La relazione data può essere trasformata in un'equaz. di 2° grado nell'incognita R: R^2 - 2rR - b^2 = 0 che ha come unica sol. accettabile R = r + rad(r^2 + b^2) Quindi basterà dimostrare questa. Detto A il centro dello spicchio di circonf., O il centro del cerchio, si traccia un segmento da A passante per O e intersecante l'arco di circonferenza in B. Risulta così evidente che: AB = R AO = rad(r^2 + b^2) OB = r Dato che per costruzione risulta: AB = OB + AO la relazione rimane dimostrata. 😊
Siano A = vertice settore, O = centro circonferenza tangente, T = punto di tangenza arco con circonferenza, V = punto di tangenza lato settore/circonferenza, Z = altro punto di tangenza lato settore/circonferenza. Traccio la tangente per T che, incontrando i prolungamenti dei lati del settore circolare in B e C forma un triangolo isoscele nel quale risulta inscritta la circonferenza di centro O (si dimostra facilmente applicando in A, B e C il Teorema delle tangenti). I triangoli ABT e AVO sono simili (triangoli rettangoli con altro angolo in comune), pertanto possiamo scrivere: AV : OV = AT : TV da cui: b : r = R : TV ==> TV = rR/b Sapendo che il raggio del cerchio inscritto in un triangolo è: r = 2*Area/Perimetro, si ha: 2*Area = 2(Rr/b)*R Perimetro = 2b+4rR/b e sostituendo: r = 2*[(Rr/b)*R]/(2b+4rR/b) da cui, con qualche calcolo: 1/r = 2R/(R²-b²) Ma anche 1/(R+b) + 1/(R-b) = R-b+R+b/(R²-b²) = 2R/(R²-b²) q.e.d.
1º) l'equazione equivale a R²-b²=2Rr 2º) la figura dice che (R-r)²=b²+r² svolgendola diviene R²+r²-2Rr=b²+r² e quindi R²-b²=2Rr Come al punto 1º P.S. tolto i denominatori perchè diversi da zero per costruzione
Bravo prof!😊
La relazione data può essere trasformata in un'equaz. di 2° grado nell'incognita R:
R^2 - 2rR - b^2 = 0
che ha come unica sol. accettabile
R = r + rad(r^2 + b^2)
Quindi basterà dimostrare questa.
Detto A il centro dello spicchio di circonf., O il centro del cerchio, si traccia un segmento da A passante per O e intersecante l'arco di circonferenza in B.
Risulta così evidente che:
AB = R
AO = rad(r^2 + b^2)
OB = r
Dato che per costruzione risulta:
AB = OB + AO
la relazione rimane dimostrata. 😊
Siano A = vertice settore, O = centro circonferenza tangente, T = punto di tangenza arco con circonferenza, V = punto di tangenza lato settore/circonferenza, Z = altro punto di tangenza lato settore/circonferenza.
Traccio la tangente per T che, incontrando i prolungamenti dei lati del settore circolare in B e C forma un triangolo isoscele nel quale risulta inscritta la circonferenza di centro O (si dimostra facilmente applicando in A, B e C il Teorema delle tangenti).
I triangoli ABT e AVO sono simili (triangoli rettangoli con altro angolo in comune), pertanto possiamo scrivere:
AV : OV = AT : TV
da cui:
b : r = R : TV ==> TV = rR/b
Sapendo che il raggio del cerchio inscritto in un triangolo è: r = 2*Area/Perimetro, si ha:
2*Area = 2(Rr/b)*R
Perimetro = 2b+4rR/b
e sostituendo:
r = 2*[(Rr/b)*R]/(2b+4rR/b)
da cui, con qualche calcolo:
1/r = 2R/(R²-b²)
Ma anche 1/(R+b) + 1/(R-b) = R-b+R+b/(R²-b²) = 2R/(R²-b²)
q.e.d.
Tutti TRANNE Fotinomath
1º) l'equazione equivale a
R²-b²=2Rr
2º) la figura dice che (R-r)²=b²+r²
svolgendola diviene
R²+r²-2Rr=b²+r²
e quindi
R²-b²=2Rr
Come al punto 1º
P.S. tolto i denominatori perchè diversi da zero per costruzione