福田のおもしろ数学353〜1が連続3^n個並ぶ数は3^nで割り切れることの証明

[@みふゆもあ]

倒した😊👊✌️
数学的帰納法を使いました。n=1のときは省略。
1が3^k桁続く数をN(k)とすると、
N(k)=(1/9){(10^k)-1} ..(1)
これが3^kで割り切れて3^(k+1)では割り切れないとすると、3で割り切れない整数mを使って
N(k)=(3^k)×m ..(2)
と表記できる。(1)と(2)から
10^(3^k)={3^(k+2)}×m+1.
これを使って
N(k+1)=(1/9){{{3^(k+2)}×m+1}^3-1}
={3^(3k+4)}×m³+{3^(2k+3)}×m²+{3^(k+1)}×m.
この式からN(k+1)は3^(k+1)で割り切れるが3^(k+2)では割り切れないと言える。
こんな感じで🐘