점을 무한히 더하는 것만으로는 선을 만들 수 없는 이유
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- เผยแพร่เมื่อ 25 ส.ค. 2024
- '점'을 더해서 길이가 있는 '선'을 만드는 것이 가능할까? 길이란 무엇인가? | 다수의 역설, 르벡 측도, 르베그 적분, 영집합, 무한, 길이 이론
수학자 앙리 르베그(Henri Lebesgue)는 리만(Reimann) 적분의 한계와 문제점을 개선하기 위해 여러 가지 시도를 하였고, 그 결과 완성된 것이 르베그 측도(Lebesgue measure)와 르베그 적분(Lebesgue integral)의 개념입다. 르베그는 측도개념을 활용하여 보다 다양한 함수를 적분하고 함수의 수렴 관계 등을 리만 적분의 경우보다 훨씬 명확하게 정의할 수 있었습니다.
르베그 적분은 리만 적분에서 성립하는 성질(선형성, 단조성) 등을 모두 만족시키고, 어떤 함수가 리만 적분 가능하면 르베그 적분도 가능하며 값도 동일합니다. 더하여 르베그 지배수렴정리(Lebesgue's dominated convergence theorem, 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리)에 따르면 어느 정도의 유한성만 보장되면 극한으로 정의될 수 있는 함수들을 적분할 수 있습니다. 이를 응용하면 L^p공간을 결정하고 함수공간에서의 완비성도 논할 수 있습니다.
교과서에서는 실수의 완비성부터 출발하여 하나 하나씩 엄밀하게 정의해가며 측도 이론까지 도달하는 맛이 있습니다. 다만 유튜브 영상으로 제작하면서 많은 내용을 담으려다보니 측도이론의 발전과 결과에 대해 전체적인 맥락만 소개해 정의, 정리, 증명이 많이 생략되었습니다. 나중에 기회가 된다면 실수의 완비성과 데데킨트 컷, 나아가 비탈리 집합의 비가측성, 바나흐-타르스키 역설도 다뤄보도록 하겠습니다.
Script - rayc20.tistory...
여름에 시작했던 시리즈를 미루고 미루다 겨울에 완성하게 되었습니다. 기다려주신 분들께 정말 감사드립니다. 영상을 제작하면서 논란의 소지가 있을 것 같은 내용이나 여러분들의 의견이 듣고 싶었던 내용이 있어 정리해보았습니다. 영상 중 수정해야하거나 잘못된 것이 있다면 알려주시기 바랍니다. 이 댓글과 더보기란을 이용해 수정하도록 하겠습니다.
1. 교육과정에서 적분 구간에 불연속인 점이 포함되어 있는 함수는 되도록 다루지 않으려합니다. 일반적으로 약분을 하는 문제를 보시면 부정적분 문제일 것입니다.
2. 디리클레 함수의 불연속성은 증명하지 않았지만 직관적으로 이해하실 것이라 생각됩니다. 개인적으로 같은 점으로 수렴하는 유리수열과 무리수열의 함숫값의 극한으로 불연속성을 증명하는데 이는 추후 영상으로 제작해보고자합니다.
3. 일반적으로 교과서에서는 유리수의 조밀성(서로 다른 두 유리수 사이에 다른 유리수가 있음)이 증명되어 있습니다. 실수의 조밀성은 유리수의 조밀성으로부터 어렵지 않게 유도할 수 있습니다. 다만 유리수의 조밀성을 설명하기 위해 실수의 완비성, 아르키메데스 원리 등을 설명해야합니다. 완비성 같은 경우에 저는 재미있는데 쉽고 이해할 수 있게 잘 설명할 자신이 없어서 일단 영상에서는 제외했습니다. 다음에 준비해보도록 하겠습니다.
4. 이번 영상에서 가장 마음에 걸리는게 르벡 적분의 정의로 시작하지 않고 '자른다'라는 일반적인 표현으로 개념을 도입한 것입니다. 가산합을 이해할 수 있게 설명하는데 일반적인 용어를 사용할까 말까 계속 고민했는데 이는 여러분들의 의견이 듣고싶습니다.
5. 외측도로 르벡 측도를 정의할 때 영상에 보시면 정의는 닫힌구간으로 하고 증명은 열린구간으로 합니다. 그렇게 큰 상관은 없다고 생각해서 둘 다 넣어보고 싶어 혼용해보았는데 어떻게 생각하시나요? T_T
6. 개인적으로 '점'을 지칭할 때 한국어로는 '거의 모든'이란 표현이 좀 더 맞아보이고 '성립한다'라는 개념은 '거의 어디서나'라는 표현이 더 매끄러워 어디서나(almost everywhere)와 거의 모든(almost all)이란 표현을 혼용해서 사용했습니다.
#측도 #수학 #점선면 #리만 #르베그 #적분
![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](/img/n.gif)
여름에 시작했던 시리즈를 미루고 미루다 겨울에 완성하게 되었습니다. 기다려주신 분들께 정말 감사드립니다. 영상을 제작하면서 논란의 소지가 있을 것 같은 내용이나 여러분들의 의견이 듣고 싶었던 내용이 있어 정리해보았습니다. 영상 중 수정해야하거나 잘못된 것이 있다면 알려주시기 바랍니다. 이 댓글과 더보기란을 이용해 수정하도록 하겠습니다.
1. 교육과정에서 적분 구간에 불연속인 점이 포함되어 있는 함수는 되도록 다루지 않으려합니다. 일반적으로 약분을 하는 문제를 보시면 부정적분 문제일 것입니다.
2. 디리클레 함수의 불연속성은 증명하지 않았지만 직관적으로 이해하실 것이라 생각됩니다. 개인적으로 같은 점으로 수렴하는 유리수열과 무리수열의 함숫값의 극한으로 불연속성을 증명하는데 이는 추후 영상으로 제작해보고자합니다.
3. 일반적으로 교과서에서는 유리수의 조밀성(서로 다른 두 유리수 사이에 다른 유리수가 있음)이 증명되어 있습니다. 실수의 조밀성은 유리수의 조밀성으로부터 어렵지 않게 유도할 수 있습니다. 다만 유리수의 조밀성을 설명하기 위해 실수의 완비성, 아르키메데스 원리 등을 설명해야합니다. 완비성 같은 경우에 저는 재미있는데 쉽고 이해할 수 있게 잘 설명할 자신이 없어서 일단 영상에서는 제외했습니다. 다음에 준비해보도록 하겠습니다.
4. 이번 영상에서 가장 마음에 걸리는게 르벡 적분의 정의로 시작하지 않고 '자른다'라는 일반적인 표현으로 개념을 도입한 것입니다. 가산합을 이해할 수 있게 설명하는데 일반적인 용어를 사용할까 말까 계속 고민했는데 이는 여러분들의 의견이 듣고싶습니다.
5. 외측도로 르벡 측도를 정의할 때 영상에 보시면 정의는 닫힌구간으로 하고 증명은 열린구간으로 합니다. 그렇게 큰 상관은 없다고 생각해서 둘 다 넣어보고 싶어 혼용해보았는데 어떻게 생각하시나요? T_T
6. 개인적으로 '점'을 지칭할 때 한국어로는 '거의 모든'이란 표현이 좀 더 맞아보이고 '성립한다'라는 개념은 '거의 어디서나'라는 표현이 더 매끄러워 어디서나(almost everywhere)와 거의 모든(almost all)이란 표현을 혼용해서 사용했습니다.
수고하셨습니다!
느려도 좋으니 앞으로 수학마려운영상 많이 만들어주세요.... ㅎㅎㅎ
그렇군요
아직 고등학생이라 엡실론-델타 논법에 관한 내용은 잘 이해하지 못했지만 4번에서 언급한 자른다는 표현 등이 익숙하게 다가와서 대략적인 이해는 되었습니다
많은 사람들이 수학에 관심을 가지게 하기 위해 다소 부정확하더라도 접근성이 높은 표현을 사용하는 것은 괜찮을 것 같습니다
오픈셋이 좀더 일반적입니다 폐구간은 컴팩트라 좀더 이용할수 있는게 많아요 오픈셋에서는 폐구간 확장이 되지만 폐구간에서 개구간은 일반적이지 않을거 같아요
이게 우주 공용어라는 수학이라는 언어인가요?
@APPLE _π :D 반가우라고요ㅎ
교집합이 수학 과학... ㄷㄷ
그런데 이것은 틀렸습니다
@@FeDragon1111 ㅋㅋㅋㅋ
전 우주 밖의 사람인가 봅니다
4학년내용을 교양수준이지만 설명하려고 노력하는것에 감격함. 앞으로도 이런 양질의 다큐를 만들어주었으면 좋겠음
초등4학년이 이런걸 배움?
@@justin-xf2ic 진심이세요?
요즘 애들 공부 잘 하네
실해석학 저는 3학년에 수강했어요
@@sjrnnfuwD ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
0:52
1. 어떤 함수에서 임의의 한 점을 제외해도 적분 결과에 영향을 미치지 않는다.
2. 만약 어떤 함수에서 임의의 n개의 점들을 제외해도 적분 결과에 영향을 미치지 않는다면, 어떤 함수에서 임의의 n+1개의 점들을 제외해도 적분 결과에 영향을 미치지 않는다.
=> 어떤 함수에서 임의의 n개의 점들을 제외해도 적분 결과에 영향을 미치지 않는다
미적분을 배우고 나서 평소에 이런 것들이 정말 궁금했는데 이해하기 쉽고 깔끔하게 만들어주셔서 감사합니다!!!
교양 채널인줄 알았는데 전문 채널이었군요. Ray님의 수학적 견해에 한 번 놀라고, 깔끔한 영상 구성에 또 한 번 놀라고 갑니다. 굉장한 노력과 수고가 들어간 영상 잘 보고 갑니다.
칸토어 집합은 비가산인데도 길이가 0인 게 진짜 신기하네요
와... 측도까지 나오네요.
너무 좋습니다.
언제나 주 타깃이 누구냐가 항상 고민되시겠네요.
전공자들은 수학 되게 쎄게 하시네... 공학 전공자가 보기에는 빡셉니다... 추천영상은 자주 보고 있습니다 응원합니다
공학 전공인 저희들이 수학을 상당히 자유롭게(?) 할 수 있는 이유가 이론적 기반(존재성 등 갖가지 이론과 증명)을 수학 전공자들이 전부 잘 다듬고 깔아놓았기 때문이죠 ㅋㅋ 수학 전공자 하는거 보면 넘모 빡세요..
공대생이어도 수학 몇 과목 배워보시는 것 추천합니다
연구하면서 막히는 개념들(특히 푸리에)이 생기는데 스무스하게 넘어갈 수 있습니다
선생님 및 공학도들이 미분기호 분수 취급하보 치환적분 막 하시는 거 볼때마다 조금 한탄이 나오긴 합니다ㅋㅋㅋㅋ
르벡적분을 쉽게이해해주게하는 영상 ㄷㄷ대박
수학은 좋아하는 중2(이제 중3)입니다 이분 덕에 삼각함수를 배우면서 코시함수를 알게됐고 미적분을 배우면서 모든점에서 미분불가능하나 연속인함수 등등을 알게됐습니다 앞으로도 이해는 잘 하진 못하겠지만 열심히챙겨보고 이해하도록 노력해보겠습니다~
대한민국 미래가 밝네요 화이팅~~
해정씨가 좋은 아들을 두셨네요
저도 수학 좋아하는 이제 중3인데 정말 수학의 세계는 끝도 없는것 같네요…전 좀더 궁금해서 해석학 책 사서 혼자 공부해보고 있는데 해석학 한번 독학해보시는거 추천합니다!
@@user-hp4fk9lx2m 중3인데 저는 미적분학 보고있는데 재밌네여
@@kimsyn1012 저도 미적분학 보고 싶은데 해석학을 먼저 봐서…미적분학을 모르고 보니까 넘 어려워요..
설명을 잘하면 이해시킬수 있는 거였군요. 와우.
래이 수학님 감사합니다 진짜 맨날 찝찝해서 자기전에 고민하고 온갖 생각 다했는데 드디어 해결했습니다 하..감사합니다
재밌네요..수학자 앙리 그레그는..참으로..천재네요..정말 대단하네요~얼마나 많은 고민과 노력이 들어갔을지..상상이 안가네요~
말 그대로 점과 선은 서로 차원이 다르네
실수 정의역에 따라 적분이 정의되지 않는 문제를 측도론으로 해결하져 정의역이 중요합니다
너무재밋어용 편집도 깔끔해서 좋아요 양질의 영상 감사합니다
올려주신 여러 글을 보았고 뭔가 좌절을 약간 느끼면서 논리에 답변을 할 수 없음과 동시에 접근 방식이 틀리다는 반박을 하지 못해 존경할 따름입니다... 자연 로그 밑 수, 이외 새로운 수 등 정말 고민해 볼 수 있는 부분에 대해 섬세하게 가르쳐주셔서 대단히 감사합니다!
물리학과인데 참 재밌네요
제가 초등학교때 배웠던 점선면에 대한 내용이 조금 뒤틀려지는 느낌이네요. 더 깊은 내용을 다뤄주셔서 정말 감사합니다. 아이들 가르치는데 조금 더 도움을 받았습니다. 좋은 하루 보내세요= )
제가 초등학교때 배웠던 점선면에 대한 내용이 조금 뒤틀려지는 느낌이네요. 더 깊은 내용을 다뤄주셔서 정말 감사합니다. 아이들 가르치는데 조금 더 도움을 받았습니다. 좋은 영상을 통해 좋은 정보를 배워갑니다. 정말로 감사드립니다.
가산과 비가산이 중요하네요 흥미로운 내용 잘봤습니다 설명을 너무 잘하셔서 이해가 잘 되네요
어렸을때 막연히 무리수 옆에 유리수 그 옆에 무리수가 있지 않을까 생각했었는데 ㅎㅎ 호기심을 해결해주셨네요 ㅎ 감사합니다
생각해봤는데 도저히 무리수 옆이 유리수일지 무리수일지 짐작도 안가고 난 영상도 이해안가서 호기심도 해결못함ㅜ
13분짜리 영상이라니
사랑합니다
너무 재미있어요 가끔 쇼츠말고도 긴 영상 찍어주시면 감사하겠습니다
너무 잘 설명하시고 재밌어요!
항상 수학의 끝은 무한 개념인듯
현대 해석학에서 무한의 개념이 없으면 의미가없죠. 다른분야는 그렇지만도 않아요.
무한~
무야호
수학은 개념의 창조보다는 의미부여하는 형식이라 무한이 많다는게 맞는 소리죠!
연속체 가설!
선생님 궁금한게 생겼는데 수1과정에 나오는 로그함수나 지수함수 넓이를 구하는 문제를 적분해서 푸는게 가능할까요?
네 고3때 미적분 과목 수강하시면 배우십니다.
안녕하세요? Ray 수학 애청자입니다!
내용 뿐만 아니라 영상의 질이 정말 마음에 듭니다.
영상을 어떤 프로그램/어플로 제작하시는지 알 수 있을까요?
와....진짜 재밌네요
재밌네요~ 양질의 영상 감사합니다
th-cam.com/video/XS99U6WDnzo/w-d-xo.html
My dear friends watch
최근 수학에 빠져 영상을 보고있습니다.
개인적으로 더 탐구해보고 싶은데, 문제집이 아닌 참고할 만한 서적이 있는지요?
이 영상에 나오는 측도론과 적분에 대해 더 공부하고 싶다면 folland의 real analysis나 papa rudin을 추천하고 싶네요. 개인적으로 저는 folland를 더 좋아하지만, 두 저자의 르베그 측도의 construction이 달라서 둘 다 봐두는게 좋을 겁니다.
하지만 측도론이 조금 고급스러운 내용이라 저 교과서를 읽기 전에 해석개론을 읽어두시는 것을 추천합니다. 제가 좋아하는 책은 abbott의 understanding analysis, 그 다음에 baby rudin 아니면 pugh의 real mathematical analysis가 괜찮을거에요
감사합니다.
와~~ 바나흐 타르스키 역설 다뤄 주시나요?? 너무 재밌을 것 같아요~~!!
잘 보고있어요. 감사합니당
12:31에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건이 f가 거의 모든 점에서 연속인 것이라고 하셨는데 제가 알기로는 리만적분가능의 필요충분조건이 "상적분-하적분
똑같죠. 새로운 임의의 파티션이 있다는것만 문제가아니구요 임의의 양수에 대해 언제나 파티션이 존재한다는게 내용입니다. 비유적으로 표현하면 엄청 조금의 차이가 나도록(차이를 고정하고) 상합 하합을 계산할 파티션을 구해봐야 더 작은 차이날 파티션이 또 있다는거죠. 그러니 극한의 개념에선 같아져야죠. 영상의 필요충분조건에서 거의 모든 점에서 연속이면 불연속인 부분의 측도는 모두 0인데, 주어진 구간이 조밀하니까 언제나 세분화된 파티션을 구할 수 있겠죠. 반대방향도 직접적으로 증명하거나 결론을 부정해서 불연속 부분의 측도가 0이 아니라 해두고 가정이 틀림을 보여서 해결해도 되겠구요.
Thank you so much..
좀 어려운 면이 있지만 아주 흥미롭네요!
최고네요!! 계속 올려주세요
유리수가 가산집합이라고는 하지만 정말 그걸 다 셀수 있는건 아닌데... 앞뒤가 안맞잖아? 이런 용어적인 이해만 좀 더 쉬워도 수학에 대해 사람들의 접근이 더 용이할 것 같아요
제가 수학쪽을 대학과정까지 배우지 않아서 잘 모르겠는데, 사실 이런 것들을 무한으로 압축했다가 무한으로 압축푸는? 그런느낌으로 이해했는데 뭔가 신기한게 많이 있군요 ㅎㅎ
특정 고체를 깨부수고 축소시킨다고 해서 결코 공백이 되지는 않지만,
그것이 공백(0)에 한없이 가까워진다는 이른바 "극한값" 을 가질 수가 있나요?
(지극히 수학이 포함된 물리학 공학으로도요)
감사합니다
난제: Ray 수학의 차는 Ray인가?
Ray-Math=Ray?
어휴... 이게 뭐ray
xray ㅋ
어쩌Ray고
@@doompiano1604 Math=0
그렇다면 디리클레 함수를 변형시켜 무리수일 때의 함숫값이 1, 유리수 일 때의 함숫값이 0 이라면 르베그 적분값은 1인건가요?
넹
옙
비가산개이기 때문이라고 할 수 있겠군요
@@user-zf4jo7do3w집합의 원소가 비가산개라 하더라도 측도는 0이 될 수 있습니다. 칸토어집합이 그러한 예인데, 칸토어집합에서 함숫값이 1, 다른 곳에서 함숫값이 0이더라도 그 적분값은 0입니다.
와 생각보다 잘 설명해주셔서 놀랐네요. 인상깊습니다.
형님 bgm이 너무 좋아서 집중이 안됩니다 ㅋㅋ
이해가 전혀 되지 않았는데 이해가 되는 듯한 이상한 느낌이네요 )°O°(
다시봐도 잘 모르겠네요! 그래서 저희가 생각하는 일반적인 점들이 모이면 결국엔 0을 무한히 더하는거기 때문에 선이 될수없는건가요?
그렇습니다. 점을 하나씩 하나씩 더하는 개념이 아니라는 거죠
거의 어디서나 특) 잘 정의됨
너무좋고
8:47 여기서 길이가 0이라는 결론이 어떻게 나온건가요?? 2e보다 작은 값은 0밖에 없다고 생각하는건가요??
00:48 Rudin 해석학 책이네요😂😂
레이님! 그래프를 그리거나 표현하는 프로그램이 따로 있으신가요? 굉장히 깔끔하게 그림이 움직이고 표현되어서 궁금합니다 ㅠ
geogebra 사용합니다 :)
@@Ray수학 헉...저도 지오지브라 사용하는데.. 많이 사용을 안해봐서 그런가봅니다 ㅎㅎ 이것저것 많이 사용해봐야겠네요! 항상 좋은 내용의 영상을 보여주셔서 감사합니다! 😊
처음에 함수에서 한 점을 제해도 적분값이 변하지 않는다고 하셨는데 x+3+δ(x-1)처럼 디랙 델타 함수가 포함된 모양에는 이게 성립 안 하지 않나요?
디렉델타는 함수가 아니기에 반례로 보기엔 힘드네요!
x=1인 점은 측도가 0
말씀하신 델타함수는 1에서 바운드가아님 제거할수없는값임
오..멋지네요
감사합니다 ㅜ
이 영상을 보고 문과 온 게 너무 아쉽습니다 세상 가장 아름다운 학문
ㅜㅠ...
감동♥
근데 여기서 중요한 건 르베그 척도가 왜 그렇게 되는지가 아닌가요?
존재를 정의하는건 유리수고 존재 차원을 넘어서 값을 가질수 있는건 무리수라는 거임?
거의 모든이 이런뜻이었군요. 뭐이리 대충 증명하지 했었는데 ㅋㅋㅋ
좋네요
07:30에서 gg
무한 합집합 표기를 보니 예잔에 compact를 배웠을 때의 악몽이 다시 떠오르네요 ㅎㅎ....
애초에 3차원 세상에서 점과 선이라는 건 존재할 수 없음. 점이든 선이든 확대하면 면이 됨. 즉 3차원 세상에서 선을 긋는다는 것은 면을 쭉 붙여나가는 과정임.
대학교 4학년때 측도론을 포기했었는데, 이걸 먼저 보고 측도론을 들었다면 어땠을까 하는 생각이 드네요. ㅎㅎ
막학기에 이 영상을 알았더라면.. 비탈리 정리도 영상이 있었더라면...
와 이게 수학인가 지리네 이상해보고 어려워보이는 문제가 내가 이해할수있는것들로 풀어지는구나 나 수학좀 좋아할지도
난왜 입시끝나고 이런게 알고리즘에 뜨냐 너무재밌자나
저두 수학을 좋아했었는대 저는 천천히 몇번 돌려서 봐야 이해가 되겠습니다.
수학이란 정말 개인적으론 못하지만 매력있다
오 그러면 화살을 과녁에 쏠때 무한히 많은 공간을 건너므로 무한한 시간이 걸린다는 역설도 증명할 수 있겠군요.
9:36 유리수집합은 왜 가산집합이죠
가산집합이 countable set이라는 영어의 한국어번역인데 쉽게말하면 셀수있는 집합입니다. 유리수는 저희가 카운팅을 할 수 있기때문에 가산집합이라고 합니다. 조금더 자세하게 말하면 유리수집합은 자연수 집합과 일대일 대응이됩니다. cardinality가 자연수집합 N과 같은 집합을 가산집합이라고 부릅니다.
오 르베그 적분이 나오는군요~
혹시 해석학에서 다루는 내용인가요? 실해석 쪽인가요? 책좀 다시 보려는데 파트 어디쪽인지좀 알려주세요
책 제목으로는 구분이 잘 안되서요, 목차를 보시는게 구분하기 편합니다
측도론(measure)과 르벡측도 르벡적분등이 포함된 내용의 책을 보시면 됩니다
그럼 무한히 쪼개진 선의 길이는 정의되지 않는건가요?
디리클레 함수를 그릴 수 있는 프로그램이 뭐가 있을까요?
플랑크길이가있기에 현실에서는 걱정할필요가 없겠군요! 잠만.. 왜걱정해?
9:34 실수 전체 집합에서 유리수를 뽑을 확률은 0이라는 게 이거였군요
르베그 적분을 보통 배우지 않다보니 흔히 리만 적분과 르베르 적분을 비교할 때 비유하는 케이크 자르기의 문장 '리만 적분은 케이크를 지면에 수직하게 잘라서 더하는 방식이고, 르베그 적분은 케이크를 지면에 나란하게 잘라서 더하는 방식'이라는 표현(영상에서 'x축이 아닌 y축을 분할하는' 이라는 말로 비슷하게 말씀하시긴 하셨습니다만)이 이 영상을 봐도 와닿질 않습니다. 애초에 비유가 틀린 것인지, 아니면 제가 뭔가 놓치고 있는 게 있는 건지 추가적으로 설명해주셨으면 좋겠습니다.
적당한 비유입니다.
르벡 적분의 정의가 simple function의 적분의 상한으로 정의되는데, 이 simple function은 함수를 수평하게 자른 것으로 생각할 수 있기 때문입니다. 다만, 이제 수평하게 잘랐을 때 잘리는 부분의 측도를 곱해주는 것 뿐이죠. 따라서 측도가 0인 점들에 해당하는 함수값들은 아무리 많아도 영측도이기 때문에 적분값에 영향을 주지 못합니다.
@@user-yn9md3si9p simple function이란 요소가 있었군요. 설명 감사합니다.
레이님때문에 중학교때까지 싫어하고 치를 떨던 수학에 관심이 생기고 흥미가 생겨 고등학교 때 수학공부하기 너무 쉬웠습니다 감사합니다
결혼하자
0:05 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
최소의 선분이란건 결국 셀 수 있다는 거고, 무한합은 셀수없다는 것이라 같이 공존할 수 없지 않나요?
비슷한 문제로 치환하면,
가장 큰 자연수는 결국 자연수인데, 무한이란 개념과 공존할 수 없지 않을까요?
이게 그 리만적분으로 구의 부피를 구해내는
어려운데 재밌땅
유리수인 점만 연결해서는 선이 안된다는 말씀이신거죠???ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 무리수도 같이 연결해야 선이 된다는거지~
이래서 괴델이 불완정성 정리로 한방에 해결했죠 수학은 그안에서의 이론에 불과하다
0:21 적분값 8 아니고 2
이 영상이 1년만 먼저 나왔다면 좋았을 텐데... 정말 간결하고 명료한 설명이었어요! 실해석학을 배우면서도 왜 유리수 집합이 측도가 0인지도 모르던 제가 부끄러워지네요 :p
보통의 학부 해석학에서
다루지 않는 내용이므로...
당연합니다.
르베그 적분은 대학원 과정이죠
적분할 때 선 몇개를 빼도 왜 적분 값이 그대로인지 알 수 있을까요ㅜㅜ 링크된 영상을 봐도 이해가 안되네요
쉽게 생각하면 넓이는 밑변의 길이 곱하기 넢이인데, 점은 밑변의 길이에 영향을 미치지 못하므로 밑변의 길이가 변하지 않고 따라서 적분값도 같다고 생각할 수 있습니다.
엄밀하게 한다면 엡실론-델타로 한 점을 제거한 후 분할된 두곳의 합이 같다는 과정과 유한번 반복하는게 가능하다는 증명 나아가 마지막에 측도로 연결되어 측도에 영향을 끼치지 않는다면 적분값도 일정하다는 증명까지 확장할 수 있습니다. 이는 전공 서적을 참고해주세요 :)
선생님.. 제가 이 내용을 고3 발표 때 쓰고 싶은데.. 혹시 그림을 잘라서 발표 자료로 활용해도 될까요..? 출처는 반드시 적어놓겠습니다...
출처 표시 안해도 됩니다. 자유롭게 사용하세요^^
@@Ray수학 컴퓨터라 이제 봤네요..! 감사합니다!
저0은 무한소인가요?
대학교 이과 전공자급 수준의 또 다른 유튜브 채널 없나요? 아시는 분?
수학전공 커리와 공학쪽에서 배우는 수학과는 차이가 좀 많이 있습니다
수학전공 내용이라면 이상엽 수학 채널을 추천합니다
역시 로지컬이 맞았어
가산: 0
비가산: 전체 - 가산 = 전체
맞나요?
이런것을 보면 다시금 놀라움에 감탄을 표하지 않을 수 가 없습니다.
당장 미분과 적분은 수학에서 혁명이었지만 물리학에서는 신의 기적과 같았으니 말이지요
어떤 수들을 무한번 더하여 수렴값을 보이는 적분이라는 도구로 뉴턴은 구각정리를 통해 우리가 알고 있는 만유인력의 법칙을 정의했지요. 미적분학 조금더 들어가면 해석학이 진짜 배우기 힘든 편이지만 이러한 아이디어가 없다면 움직이는 물체의 상태를 정확하게 기술하지 못했을 것입니다
오... 해석학과 위상수학이 드디어...
유리수는 왜 가산이고 무리수는 왜 비가산이죠? 무한집합과 연관있는내용인가
가산집합의 부분집합은 가산집합
유리수는 셀수 있는 방법이 있고 무리수는 그게 없음. 가산집합이면서 무한집합은 많습니다.
유리수는 자연수로 만들어서 그럼 부호는 어차피 영향없고요
??? : 이게 모이면 선이되요
그러니까 다 영집합이여서 0을더해도1을 만들수있다는거죠?
슈뢰딩거의 선분?