O Traço e o Determinante de uma Aplicação Linear
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- เผยแพร่เมื่อ 16 ม.ค. 2025
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Pré-requisitos:
Geometria Analítica
Resolução de Sistemas Lineares
Noções de Espaço vetorial e Dimensão.
Playlist do vídeo: • Transformação Linear
Sensacional as suas aulas de álgebra linear, parabéns pelo trabalho.
Obrigado Mateus!
Fico feliz que os vídeos estejam te ajudando nos estudos!
4002... já ouvi esse número em algum lugar... 🤨
Mode implicante: Depois de 1 ano, você entendeu o seu comentário? kk
Aula maravilhosa, espero ver algumas aplicações em física, por exemplo!
Futuramente. Gostaria de fazer um pedaço de cálculo vetorial e juntar com isso.
Outra playlist apenas. No momento, o enfoque é a passagem entre a álgebra e computação! =)
Boa tarde! Uma dúvida: Toda matriz possui uma matriz similar? Isto é, sempre existe a matriz invertível P? Meu problema é que tenho feito exercícios em que é assumido que o determinante e o traço de uma matriz são dados pelo produto e pela soma dos autovalores da matriz, respectivamente. Eu sei que este resultado é válido para matrizes diagonalizáveis, mas quero saber se este resultado é válido também para matrizes não diagonalizáveis. Resumindo: Li que toda matriz não diagonalizável pode ser decomposta em uma matriz triangular superior (não encontrei um teorema associado e preciso confirmar isso) cujos elementos da diagonal sejam seus autovalores. Com isso, se essa matriz possuir uma similar em qualquer caso, que no caso seria a triangular superior, o resultado de det A = produto de autovalores e traço A = soma autovalores continuaria válido, mesmo se A não fosse diagonalizável!
Oi Gabriel... Confesso que não entendi sua dúvida... Matriz similar = matriz semelhante...
Dizemos que duas matrizes A e B são similares, se existe uma matriz invertível P tal que AP=PB... É por definição...
O que significa, precisamente, a sua frase: A matriz A possui uma matriz similar?
Enfim, dado qualquer matriz invertível P, tome B=P^{-1}AP... Logo B é semelhante a A.
Talvez sua pergunta esteja relacionado à seguinte:
Dado uma matriz A, existe uma matriz semelhante B que representa "melhor" a matriz A.
É fato que Toda matriz sobre os complexos é triangularizável (isso é, é semelhante à uma matriz diagonal superior), mas isso não é verdade sobre matrizes sobre os reais.
Agora.. determinar se uma matriz é diagonalizável, é praticamente via algoritmo... testando "na marra" mesmo.
Sugiro olhar a playlist a partir do vídeo 16...
th-cam.com/video/vtC4lhqYdrU/w-d-xo.html
Tem bastante coisa sobre matrizes diagonalizáveis.
Espero ter ajudado,
Abs
Renan
Olá Renan, grato pela resposta. Você acabou tirando minha dúvida. De fato, não elaborei bem a pergunta. A minha dúvida era: Para qualquer matriz sobre os reais, o seu determinante é o produto dos seus autovalores e o seu traço, a soma entre os seus autovalores? Para matrizes diagonalizáveis, esse resultado é óbvio. Minha dúvida era: Esse resultado é válido para qualquer matriz sobre os reais? Você me deu um contraexemplo em que isso não é válido (eu acho rs). Se nem toda a matriz sobre os reais é triangularizável, então nem toda matriz sobre os reais possui determinante igual ao produto dos seus autovalores e traço igual à soma dos seus autovalores. Estou certo?
Polinômio Característico é invariante por semelhança de matrizes.
As raízes do polinômio característico são os autovalores (contados com multiplicidade e, inclusive, autovalores complexos).
A soma das raízes é o traço da matriz... Usa as fórmulas de Girard de soma das raízes.
Logo... você está errado :P. Mas tem que falar de autovalores generalizados (repetidos) e autovalores complexos para texto acima fazer sentido.