Continuando: 1 1+y = 1 1+y 0 1 = 0 1 Meu deus bem que poderia ter um compilador .tex nos comentários do youtube, fica muito feio desse jeito e ele não aceita de eu mandar tudo no formato .tex, por isso tive que editar.
@Paulo Roberto , o caminho é este mesmo que você fez. Muito bem! Só que a resposta final será: [[x, y], [0, x]], com x e y números reais quaisquer. Nessa resposta, [x, y] é a primeira linha da matriz e [0, x] é a segunda linha. Nas contas do seu produto de matrizes que você escreveu aqui teremos A_{11} = A_{11} + A_{12}, mas deveria ser A_{11} = A_{11} + A_{21}. Obs.: o meu canal no TH-cam já tem 10 anos e durante todo esse tempo eu queria ter o LaTeX funcionando aqui nos comentários… 😂 Provavelmente isso não vai rolar, pois isso é algo muito específico da área de Exatas para o TH-cam pensar em implementar.
Professor sua didática é excelente muito bom suas aulas 👏👏👏. Agora devo admitir que essas partes de provar as propriedades dá um nó na minha cabeça 🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣
A parte de provar geralmente "buga" a cabeça das pessoas! Eu tenho um curso de Introdução ao Pensamento Matemático que pode ajudar a lidar com demonstrações. Veja as aulas no link: th-cam.com/play/PLa_2246N48_pq6LfZsbUuwGuJicAUL8sb.html
@@LCMAquino Olhei a ementa do curso, fiquei impressionado com a quantidade de temas e mais ainda por desconhecê-los. Para quem o curso se torna mais essencial ?
@@moisessantos9665 , o meu curso de Introdução ao Pensamento Matemático é fortemente recomendado para qualquer aluno de um curso na área de Exatas. Isto é, alunos que precisam fazer disciplinas como Cálculo, Geometria Analítica, Álgebra Linear, etc.
@@LCMAquino obrigado pela atenção. Achei bastante interessante... Vou adicionar para fazer quando possível... Estou concluindo segundo semestre de Engenharia.
Professor, tudo bem? Eu pretendo estudar para a OBM Universitária pelos seus vídeos. Você conhece essa olimpíada? Obtendo uma boa colocação é possível ganhar notoriedade (ganhar uma bolsa para pós - graduação por exemplo)? PS.: não estou no universidade no momento. Mais uma pergunta: é possível ser matemático autodidata?
Olá Yago, eu conheço a OBM, mas não acompanho com frequência. Em relação à notoriedade com uma colocação, eu não sei informar exatamente. Eu sei que os medalhistas da OBMEP (que é uma outra olimpíada de Matemática) participam de cursos de iniciação científica nas universidades (com bolsa), mas sem estar matriculados na graduação. Em relação à pós-graduação, é possível você cursar mesmo antes de fazer a graduação. O Arthur Avila (que ganhou a Medalha Fields de 2014) é um exemplo disso. Em 1995 ele ganhou uma medalhe de outro na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO, na sigla em inglês) e acabou chamando a atenção de um professor do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Ele fez mestrado no IMPA enquanto ainda estava no ensino médio. Veja mais sobre a história do Artur: pt.wikipedia.org/wiki/Artur_Avila . Sobre ser um Matemático autodidata, sim isso é possível. Mas vale lembrar que podemos ser autodidata em qualquer área do conhecimento.
Primeiro note que esse exercício possui infinitas soluções. Como nada foi dito sobre a matriz R no enunciado, vamos começar supondo uma matriz R. Seja R a seguinte matriz 4×3: R = [[1, -1, 1], [1, 1, -1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]] Desejamos determinar duas matrizes diferentes Q e P com ordem 2×4 (pois os produtos QR e PR devem ser uma matriz 2×3). Suponha que: Q = [[a, b, c, d], [e, f, g, h]] Calculando QR e igualando à matriz [[4, 5, 6], [-1, 0, -1]], obtemos os sistemas: a + b + c + d = 4 -a + b + c + d = 5 a - b + c + d = 6 e + f + g + h = -1 -e + f + g + h = 0 e - f + g + h = -1 Note que foi conveniente escolher Q com ordem 2×4 e R com ordem 4×3, pois no final formamos sistemas lineares que são possíveis e indeterminados (isto é, possuem infinitas soluções). Resolvendo os sistemas obtemos: S1 = {(a, b, c, d) | a = -1/2, b = -1, c = -t + 11/2, d = t, com t ∈ ℝ} S2 = {(e, f, g, h) | e = -1/2, f = 0, g = -t - 1/2, h = t, com t ∈ ℝ} Escolhendo diferentes valores para o parâmetro t, podemos determinar as matrizes Q e P. Por exemplo, escolhendo t = 0 podemos obter: Q = [[-1/2, -1, 11/2, 0], [-1/2, 0, -1/2, 0]] Além disso, escolhendo t = 1 podemos obter: P = [[-1/2, -1, 9/2, 1], [-1/2, 0, -3/2, 1]] Desse modo, nós determinamos duas matrizes Q e P que são diferentes e cujo os produtos QR e PR são iguais à [[4, 5, 6], [-1, 0, -1]]. Ficou claro a resolução? Comente aqui.
Boa tarde. Estou com uma questão que não consigo resolver de jeito nenhum.. Os elementos de uma matriz quadrada A de ordem n são dados por: aij = (i+j). Deduzir a expressão indicial que fornece os elementos de A^2(A ao quadrado). Poderia me ajudar??
boa tarde, Alguém se habilita a responder essa questão? Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Suponha que A e B satisfazem a equação A(B+B²)=0. Se a soma dos elementos da diagonal principal de AB é 6,1, então quanto é a soma dos elementos da diagonal principal de A(B^(2∗1004))?
Seja B = - I (onde I é a matriz identidade de ordem n×n). Para qualquer matriz quadrada A de ordem n×n, temos que A(B + B²) = 0 (onde 0 é a matriz nula de ordem n×n). Supondo que a soma dos elementos da diagonal principal de AB seja 6,1, como AB = A(- I) = - A, temos que a soma dos elementos da diagonal principal de A vale - 6,1. Por outro lado, temos que: A(B^(2·1004)) = A((- I)^(2008)) = A(I) = A Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal de A(B^(2·1004)) vale - 6,1.
Professor, primeiramente ótima aula, parabéns, agora em relação a resolução do exercício do final do vídeo, eu tentei achar uma matrize com números genéricos, como posso explicar?... tipo, fazendo umas matriz C atribuindo valores para cada elemento dela e multiplicando por uma matriz A que cada elemento era uma letra, aí seguindo essa linha de raciocínio não deu certo. Então a única resposta que eu consegui pensar para a matriz A seria a própria matriz identidade 2x2.
Olá Robson, a ideia é começar supondo uma matriz genérica A = [[a, b], [c, d]] (isto é, a primeira linha é [a b] e a segunda linha é [c d]). Daí você calcula AB e BA para comparar termo a termo. Como B = [[1, 1], [0, 1]], temos que: AB = [[ a, a + b], [c, c + d]] BA = [[ a + c, b + d], [c, d]] Comparando termo a termo, vamos ter: a = a + c a + b = b + d c = c c + d = d Da primeira equação temos que c = 0. A segunda equação fica a = d após simplificar. A terceira equação podemos desconsiderar. E a quarta equação também vai nos dar c = 0. Isso tudo nos diz o seguinte sobre o formato de A: 1) o termo a deve ser igual ao termo d; 2) o termo b pode ser qualquer número real; 3) o termo c deve ser igual a 0; Sendo assim, a matriz A tem o seguinte formato: A = [[a, b], [0, a]], com a e b números reais quaisquer. Essa é a resposta final. Mas só para ilustrar, se a = 1 e b = 2, temos que A = [[1, 2], [0, 1]]. Outro exemplo, se a = 2 e b = 5, temos que A = [[2, 5], [0, 2]]. Podemos dar infinitos exemplos numéricos específicos, bastando para isso escolher os valores de a e b. Tem alguma dúvida nessa resolução? Comente aqui.
Respondendo à questão, eu acredito que deve ter um jeito mais fácil, porém fiz na brutalidade aqui:
| A_11 A_12 | * | 1 1 | = | 1 1 | * | A_11 A_12 |
| A_21 A_22 | | 0 1 | | 0 1 | | A_21 A_22 |
(A_11 + 0) (A_11 + A_12) = (A_11+A_12) (A_12 + A_22)
(A_21 + 0) (A_21 + A_22) = (A_21 + 0 ) ( 0 + A_22)
A_11 (A_11 + A_12) = (A_11+A_12) (A_12 + A_22)
A_21 (A_21 + A_22) = A_21 A_22)
Note que A_22 = A_22 + A_21 ⇒ A_21 = 0
substituindo e lembrando que A_11 e A_22 = 1, pois Identidade de nxn = 1
1 y
0 1
sendo y ∈ R
Verificando temos:
(1 , y) (1 , 1) = (1 , 1) (1 , y)
(0 , 1) (0 , 1) = (0 , 1) (0 , 1)
Continuando:
1 1+y = 1 1+y
0 1 = 0 1
Meu deus bem que poderia ter um compilador .tex nos comentários do youtube, fica muito feio desse jeito e ele não aceita de eu mandar tudo no formato .tex, por isso tive que editar.
@Paulo Roberto , o caminho é este mesmo que você fez. Muito bem! Só que a resposta final será:
[[x, y], [0, x]], com x e y números reais quaisquer.
Nessa resposta, [x, y] é a primeira linha da matriz e [0, x] é a segunda linha.
Nas contas do seu produto de matrizes que você escreveu aqui teremos A_{11} = A_{11} + A_{12}, mas deveria ser A_{11} = A_{11} + A_{21}.
Obs.: o meu canal no TH-cam já tem 10 anos e durante todo esse tempo eu queria ter o LaTeX funcionando aqui nos comentários… 😂 Provavelmente isso não vai rolar, pois isso é algo muito específico da área de Exatas para o TH-cam pensar em implementar.
Difícil achar uma aula gratuita com um conteúdo tão rico como esse, parabéns professor, ganhou mais um fã!
Vídeo aula FANTÁSTICA.
Professor Aquino, boa tarde!
Excelente didática. Suas aulas tem contribuído muito para minha formação.
Opa, que legal! 🤩
Muito bom. Mais uma aula concluída. Grato!
Disponha!
Professor sua didática é excelente muito bom suas aulas 👏👏👏. Agora devo admitir que essas partes de provar as propriedades dá um nó na minha cabeça 🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣
A parte de provar geralmente "buga" a cabeça das pessoas! Eu tenho um curso de Introdução ao Pensamento Matemático que pode ajudar a lidar com demonstrações. Veja as aulas no link: th-cam.com/play/PLa_2246N48_pq6LfZsbUuwGuJicAUL8sb.html
@@LCMAquino Olhei a ementa do curso, fiquei impressionado com a quantidade de temas e mais ainda por desconhecê-los. Para quem o curso se torna mais essencial ?
@@moisessantos9665 , o meu curso de Introdução ao Pensamento Matemático é fortemente recomendado para qualquer aluno de um curso na área de Exatas. Isto é, alunos que precisam fazer disciplinas como Cálculo, Geometria Analítica, Álgebra Linear, etc.
@@LCMAquino obrigado pela atenção. Achei bastante interessante... Vou adicionar para fazer quando possível... Estou concluindo segundo semestre de Engenharia.
Gostei
Ganhando altura na viagem...
...estou a gostar da viagem...
Professor, tudo bem? Eu pretendo estudar para a OBM Universitária pelos seus vídeos. Você conhece essa olimpíada? Obtendo uma boa colocação é possível ganhar notoriedade (ganhar uma bolsa para pós - graduação por exemplo)? PS.: não estou no universidade no momento.
Mais uma pergunta: é possível ser matemático autodidata?
Olá Yago, eu conheço a OBM, mas não acompanho com frequência. Em relação à notoriedade com uma colocação, eu não sei informar exatamente. Eu sei que os medalhistas da OBMEP (que é uma outra olimpíada de Matemática) participam de cursos de iniciação científica nas universidades (com bolsa), mas sem estar matriculados na graduação. Em relação à pós-graduação, é possível você cursar mesmo antes de fazer a graduação. O Arthur Avila (que ganhou a Medalha Fields de 2014) é um exemplo disso. Em 1995 ele ganhou uma medalhe de outro na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO, na sigla em inglês) e acabou chamando a atenção de um professor do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Ele fez mestrado no IMPA enquanto ainda estava no ensino médio. Veja mais sobre a história do Artur: pt.wikipedia.org/wiki/Artur_Avila . Sobre ser um Matemático autodidata, sim isso é possível. Mas vale lembrar que podemos ser autodidata em qualquer área do conhecimento.
@@LCMAquino VALEU PROFESSOR.
eita 40tão vou ter q passar por cima. vou ver depois quando tiver um pouco mais de tempo.
Professor, tu podes resolver esta questão abaixo?
Determinar as matrizes Q e P tal que:
QR=PR = [ 4 5 6] e Q#P
[-1 0 -1]
Primeiro note que esse exercício possui infinitas soluções. Como nada foi dito sobre a matriz R no enunciado, vamos começar supondo uma matriz R. Seja R a seguinte matriz 4×3:
R = [[1, -1, 1], [1, 1, -1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]]
Desejamos determinar duas matrizes diferentes Q e P com ordem 2×4 (pois os produtos QR e PR devem ser uma matriz 2×3). Suponha que:
Q = [[a, b, c, d], [e, f, g, h]]
Calculando QR e igualando à matriz [[4, 5, 6], [-1, 0, -1]], obtemos os sistemas:
a + b + c + d = 4
-a + b + c + d = 5
a - b + c + d = 6
e + f + g + h = -1
-e + f + g + h = 0
e - f + g + h = -1
Note que foi conveniente escolher Q com ordem 2×4 e R com ordem 4×3, pois no final formamos sistemas lineares que são possíveis e indeterminados (isto é, possuem infinitas soluções). Resolvendo os sistemas obtemos:
S1 = {(a, b, c, d) | a = -1/2, b = -1, c = -t + 11/2, d = t, com t ∈ ℝ}
S2 = {(e, f, g, h) | e = -1/2, f = 0, g = -t - 1/2, h = t, com t ∈ ℝ}
Escolhendo diferentes valores para o parâmetro t, podemos determinar as matrizes Q e P. Por exemplo, escolhendo t = 0 podemos obter:
Q = [[-1/2, -1, 11/2, 0], [-1/2, 0, -1/2, 0]]
Além disso, escolhendo t = 1 podemos obter:
P = [[-1/2, -1, 9/2, 1], [-1/2, 0, -3/2, 1]]
Desse modo, nós determinamos duas matrizes Q e P que são diferentes e cujo os produtos QR e PR são iguais à [[4, 5, 6], [-1, 0, -1]].
Ficou claro a resolução? Comente aqui.
Boa tarde. Estou com uma questão que não consigo resolver de jeito nenhum..
Os elementos de uma matriz quadrada A de ordem n são dados por: aij = (i+j). Deduzir a expressão indicial que
fornece os elementos de A^2(A ao quadrado). Poderia me ajudar??
Veja a resolução nesta postagem: th-cam.com/users/postUgkxOYRLrRifF41P9ywjBTyBmYw07vyt26FX
boa tarde,
Alguém se habilita a responder essa questão?
Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Suponha que A e B satisfazem a equação A(B+B²)=0. Se a soma dos elementos da diagonal principal de AB é 6,1, então quanto é a soma dos elementos da diagonal principal de A(B^(2∗1004))?
Seja B = - I (onde I é a matriz identidade de ordem n×n). Para qualquer matriz quadrada A de ordem n×n, temos que A(B + B²) = 0 (onde 0 é a matriz nula de ordem n×n).
Supondo que a soma dos elementos da diagonal principal de AB seja 6,1, como AB = A(- I) = - A, temos que a soma dos elementos da diagonal principal de A vale - 6,1.
Por outro lado, temos que:
A(B^(2·1004)) = A((- I)^(2008))
= A(I)
= A
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal de A(B^(2·1004)) vale - 6,1.
Professor, primeiramente ótima aula, parabéns, agora em relação a resolução do exercício do final do vídeo, eu tentei achar uma matrize com números genéricos, como posso explicar?... tipo, fazendo umas matriz C atribuindo valores para cada elemento dela e multiplicando por uma matriz A que cada elemento era uma letra, aí seguindo essa linha de raciocínio não deu certo. Então a única resposta que eu consegui pensar para a matriz A seria a própria matriz identidade 2x2.
Olá Robson, a ideia é começar supondo uma matriz genérica A = [[a, b], [c, d]] (isto é, a primeira linha é [a b] e a segunda linha é [c d]). Daí você calcula AB e BA para comparar termo a termo. Como B = [[1, 1], [0, 1]], temos que:
AB = [[ a, a + b], [c, c + d]]
BA = [[ a + c, b + d], [c, d]]
Comparando termo a termo, vamos ter:
a = a + c
a + b = b + d
c = c
c + d = d
Da primeira equação temos que c = 0. A segunda equação fica a = d após simplificar. A terceira equação podemos desconsiderar. E a quarta equação também vai nos dar c = 0. Isso tudo nos diz o seguinte sobre o formato de A:
1) o termo a deve ser igual ao termo d;
2) o termo b pode ser qualquer número real;
3) o termo c deve ser igual a 0;
Sendo assim, a matriz A tem o seguinte formato:
A = [[a, b], [0, a]], com a e b números reais quaisquer.
Essa é a resposta final.
Mas só para ilustrar, se a = 1 e b = 2, temos que A = [[1, 2], [0, 1]]. Outro exemplo, se a = 2 e b = 5, temos que A = [[2, 5], [0, 2]]. Podemos dar infinitos exemplos numéricos específicos, bastando para isso escolher os valores de a e b.
Tem alguma dúvida nessa resolução? Comente aqui.
@@LCMAquino Deu certo, tive que fazer passo a passo para entender bem, mas deu tudo certo. Muito Obrigado, muito bem explicado.