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Bela resolução! Acredito que, fatoração de x³ + y³ = (x + y) (x² - xy + y²), dava para ter chegado à equação cúbica de forma mais simples que expandindo (x + y)³.
Na parte do polinômio, poderia pensar-se o seguinte: se a equaçao é a³-93a+308=0, então terá como introduzir um binomio onde terá uma diferença de quadrados, pois a diferença entre graus é dois. Logo, deve-se achar um quadrado no thermo em a de tal forma que se consiga fatorar agrupando binômios. Usando-se isso, percebe-se facilmente que o termo em a é 16, que é um quadrado, ficando os termos -16 e -77, o último sendo divisir de 308, ficando, assim, com com:a³-16a-77a+308=a(a²-16)+77(a--4)=0, pronto, só resolver
O mais difícil da resolução do professor foi ter feito por fatoração após encontrar uma raiz, oq nao era necessário bastava fazer Briot Ruffini, dito isso questão media
tem como fazer por trigonometria tambem? se dividirmos a eq 1 por 31 , podemos encontrar que ( x/√31)² + ( y/√31)² = 1 ai fazendo substituição trigonométrica vamos descobrir que x/√31 + y/√31 ≤ √2 por trigonometria fica mais fácil, porém ainda nao consegui concluir essa ideia
Eu a principio julguei que pela simetria que desse x=y, mas logo vi que se atendesse a primeira não atendia a segunda. x^3+y^3= (x + y) (x^2 + y^2 -xy) (i) 154= (x+y) (31-xy) (ii) mas xy=[(x+y)^2-(x^2+y^2)]/2... -xy= (31-(x+y)^2)/2 (iii) já ficou convidativo chamar (x+y) de uma variável e portanto u=x+y (iv) (ii), (iii) e (iv) ==> 154=u( 93-u^2)/2 ... u^3 - 93u +308=0 Aqui vai uma dica da minha colenda e douta professora do científico Sra. Frida, caiu em terceiro grau. Tenta 1 ou -1 olhando os coeficientes do polinômio. Depois tenta as raízes racionais p/q onde mdc(p,q)=1 e p divide o coeficiente do termo independente e q o coeficiente do de maior grau. E frisava, principalmente se o polinômio é mônico, pois aí q=1 ou -1 e só tem raízes inteiras. Pode perder um pouco de tempo e depois ter de resolver a equação, mas o prêmio é muito grande. E acrescentava, participo de bancas de formulação de problemas para olimpíadas. Se o objetivo não é verificar o conhecimento em Tartaglia nós, de regra, colocamos uma raiz inteira. Passados 53 anos, eu igual ao kung fu, relembro do ensinamento da mestra ao gafanhoto. Espero que sirva de ensinamento para alguns de vocês. 308 tem como divisores positivos (os negativos não prestam) 1, 2, 4, 7, 11, 14, 22, 28, 77, 144 ou 288. Mas de u>10 u^3-93u> 0 e não presta 1,-1,2 ou 4 não prestam de cara só reta tentar 7. 7^3-93*7+308= 343-651+308=0 BINGO!!!! E demos um drible no Tartaglia que é muito esforço braçal, bom para cálculo numérico em computador. Mas podem haver raízes maiores. Briot Ruffini e u^2-7u+44=0 e só temos raízes complexas e de toda sorte o as raízes complexas são conjugadas e o produto tem de dar 44, logo módulo = raiz(44)
seria possível resolver isso de outra forma? na minha cabeca, a primeira equacao x^2 + y^2 = 31 me lembrou de uma circunferencia... determinar as coordenadas de intersecao com x^3 + y^3 = 154 e somar os valores de x e y chegaria a resposta? nao sou mto bom em matematica ent nn consegui bolar um jeito de fzr isso ainda kkkkk
O difícil é tanto achar quanto resolver uma equação de 6o grau: 2x^6--93x^4-308x^3+2883x^2-6075=0 Cujas raízes são: x= (7+raiz(13))/2, x= (7-raiz(13))/2, x= (4+raiz(46))/2 , x= (4-raiz(46))/2, x= (-11+raiz(59)i)/2, x= (-11-raiz(59)i)/2. Observe que o y será sempre a raiz que somada com o x escolhido dá um inteiro. E devido a simetria, o que funciona para x, funciona para algum y. y também está dentro desses resultados. Mas deve ser casca grossa achar essa equação de 6o grau e ainda resolvê-la eu fiz de trás para frente.
Aonde minha resolução está errada? --> (x+y)(x^2+y^2-xy)=154 --> x+y=154/(31-xy) (1) --> Ma >= Mg --> x+y>=2sqrt(xy) --> x^2+y^2>=2xy --> 31/2>=xy (2) --> Observando (1), (x+y) é máximo quando (31-xy) é mínimo -->manipulando (2) chegamos em 31/2 =< (31-xy), o valor mínimo de (31-xy) é 31/2 -->(x+y)max=154/((31-xy)min) --> (x+y)max=308/31
Se 31 - xy = 31/2, então xy = 31/2 e 2xy = 31. Se 2xy = 31, 2xy = x² + y² e (x - y)² = 0 e, portanto, x = y. Nesse caso, não há como satisfazer simultaneamente 2x² = 31 e 2x³ = 154, pois x teria que ser, ao mesmo tempo, sqrt(31/2) e cbrt(77), o que é naturalmente contraditório. Creio que o erro tenha sido que, manipulando (2), você encontrou um valor máximo teórico para xy, mas não voltou para confirmar se esse valor poderia ser atingido na prática satisfazendo as equações de x² + y² e x³ + y³ dadas pelo problema.
![Como Aprender Função do 1° Grau em 15 minutos. [ENEM]](http://i.ytimg.com/vi/6jZVKO4Gd2o/mqdefault.jpg)
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engenheiro manda bem dmss👏👏👏👏👏
Ainda bem que eu assisti almoçando, senão tinha desmaiado com essa.
Bela resolução! Acredito que, fatoração de x³ + y³ = (x + y) (x² - xy + y²), dava para ter chegado à equação cúbica de forma mais simples que expandindo (x + y)³.
Absurdamente incrível!
Na parte do polinômio, poderia pensar-se o seguinte: se a equaçao é a³-93a+308=0, então terá como introduzir um binomio onde terá uma diferença de quadrados, pois a diferença entre graus é dois. Logo, deve-se achar um quadrado no thermo em a de tal forma que se consiga fatorar agrupando binômios. Usando-se isso, percebe-se facilmente que o termo em a é 16, que é um quadrado, ficando os termos -16 e -77, o último sendo divisir de 308, ficando, assim, com com:a³-16a-77a+308=a(a²-16)+77(a--4)=0, pronto, só resolver
O mais difícil da resolução do professor foi ter feito por fatoração após encontrar uma raiz, oq nao era necessário bastava fazer Briot Ruffini, dito isso questão media
resolução linda
O Mestre seguiu a mesma linha da Sra. Frida.
tem como fazer por trigonometria tambem?
se dividirmos a eq 1 por 31 , podemos encontrar que ( x/√31)² + ( y/√31)² = 1
ai fazendo substituição trigonométrica vamos descobrir que
x/√31 + y/√31 ≤ √2
por trigonometria fica mais fácil, porém ainda nao consegui concluir essa ideia
Eu a principio julguei que pela simetria que desse x=y, mas logo vi que se atendesse a primeira não atendia a segunda.
x^3+y^3= (x + y) (x^2 + y^2 -xy) (i)
154= (x+y) (31-xy) (ii) mas xy=[(x+y)^2-(x^2+y^2)]/2... -xy= (31-(x+y)^2)/2 (iii) já ficou convidativo chamar (x+y) de uma variável e portanto u=x+y (iv)
(ii), (iii) e (iv) ==> 154=u( 93-u^2)/2 ... u^3 - 93u +308=0
Aqui vai uma dica da minha colenda e douta professora do científico Sra. Frida, caiu em terceiro grau. Tenta 1 ou -1 olhando os coeficientes do polinômio. Depois tenta as raízes racionais p/q onde mdc(p,q)=1 e p divide o coeficiente do termo independente e q o coeficiente do de maior grau. E frisava, principalmente se o polinômio é mônico, pois aí q=1 ou -1 e só tem raízes inteiras. Pode perder um pouco de tempo e depois ter de resolver a equação, mas o prêmio é muito grande. E acrescentava, participo de bancas de formulação de problemas para olimpíadas. Se o objetivo não é verificar o conhecimento em Tartaglia nós, de regra, colocamos uma raiz inteira.
Passados 53 anos, eu igual ao kung fu, relembro do ensinamento da mestra ao gafanhoto. Espero que sirva de ensinamento para alguns de vocês.
308 tem como divisores positivos (os negativos não prestam) 1, 2, 4, 7, 11, 14, 22, 28, 77, 144 ou 288. Mas de u>10 u^3-93u> 0 e não presta 1,-1,2 ou 4 não prestam de cara só reta tentar 7.
7^3-93*7+308= 343-651+308=0 BINGO!!!! E demos um drible no Tartaglia que é muito esforço braçal, bom para cálculo numérico em computador.
Mas podem haver raízes maiores.
Briot Ruffini e u^2-7u+44=0 e só temos raízes complexas e de toda sorte o as raízes complexas são conjugadas e o produto tem de dar 44, logo módulo = raiz(44)
seria possível resolver isso de outra forma?
na minha cabeca, a primeira equacao x^2 + y^2 = 31 me lembrou de uma circunferencia... determinar as coordenadas de intersecao com x^3 + y^3 = 154 e somar os valores de x e y chegaria a resposta?
nao sou mto bom em matematica ent nn consegui bolar um jeito de fzr isso ainda kkkkk
O difícil é tanto achar quanto resolver uma equação de 6o grau: 2x^6--93x^4-308x^3+2883x^2-6075=0
Cujas raízes são:
x= (7+raiz(13))/2, x= (7-raiz(13))/2, x= (4+raiz(46))/2 , x= (4-raiz(46))/2, x= (-11+raiz(59)i)/2, x= (-11-raiz(59)i)/2.
Observe que o y será sempre a raiz que somada com o x escolhido dá um inteiro. E devido a simetria, o que funciona para x, funciona para algum y. y também está dentro desses resultados. Mas deve ser casca grossa achar essa equação de 6o grau e ainda resolvê-la eu fiz de trás para frente.
@@pedrojose392 entendi mano KKKKK
ta explicado o fato de eu nn ter comseguido resolver
(x + y) máximo é 7
qq é padawan? KKKKK
Aonde minha resolução está errada?
--> (x+y)(x^2+y^2-xy)=154 --> x+y=154/(31-xy) (1)
--> Ma >= Mg --> x+y>=2sqrt(xy) --> x^2+y^2>=2xy --> 31/2>=xy (2)
--> Observando (1), (x+y) é máximo quando (31-xy) é mínimo
-->manipulando (2) chegamos em 31/2 =< (31-xy), o valor mínimo de (31-xy) é 31/2
-->(x+y)max=154/((31-xy)min) --> (x+y)max=308/31
Se 31 - xy = 31/2, então xy = 31/2 e 2xy = 31.
Se 2xy = 31, 2xy = x² + y² e (x - y)² = 0 e, portanto, x = y.
Nesse caso, não há como satisfazer simultaneamente 2x² = 31 e 2x³ = 154, pois x teria que ser, ao mesmo tempo, sqrt(31/2) e cbrt(77), o que é naturalmente contraditório.
Creio que o erro tenha sido que, manipulando (2), você encontrou um valor máximo teórico para xy, mas não voltou para confirmar se esse valor poderia ser atingido na prática satisfazendo as equações de x² + y² e x³ + y³ dadas pelo problema.
@@fracarolli Obrigado! O problema se criou quando eu elevei o quadrado