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Tem como substituir o x por x.8 e o y por 0.y, e isso vai dar na reta polar. Ou seja, a gente consegue a absicissa daquele ponto, ai pra achar a inclinacao é so fzr continha
Mestre, aproveitando o ensejo meus votos de prosperidade, realizações, saúde, paz, alegria e um bom Natal. Congratulações pela divulgação de conhecimento gratuito que chega até as esferas menos favorecidas da população. Por uma pátria mais livre, mais humana, mais fraterna, mais igualitária e com mais oportunidades para os menos favorecidos. São os votos extensivos aos frequentadores do canal e à humanidade. Persista no propósito de divulgar conhecimento. Congratulações.
Assisti ao vídeo. Achei uma bela solução; todavia, peço máxima vênia, dever-se-ia ter mencionado, que a transformação proposta conserva a reta tangente e informar que não seria objeto da solução provar tal fato, que seria usado como conhecimento prévio. Chamo a atenção que embora a transformação de coordenadas usada seja linear ela está composta com uma função não linear. Alerto, ainda com mais veemência, que a transformação proposta não contempla a conservação da reta normal, e.g. Ou seja, se P1 é um ponto da reta normal à elipse e P2, um dos dois pontos de interseção desta reta com a elipse usando a transformação T (x,y)--> (u,v) onde u=x/a e v=y/b não se pode garantir que T(P1) e T(P2) determinem a reta normal à circunferência que pode ser representada por u^2+v^2=1. Então creio que faltou esse chamado de que é uma peculiaridade da reta tangente. E.g., se o problema fosse proposto ache o coeficiente angular da reta s normal a elipse representada pela equação x^2/16+ y^2/9=1, sendo que (7/8,0) E s. Note que toda reta normal à circunferência, passará pelo seu centro no caso a origem, e que só em caso particulares a reta normal passará pela origem, se T(x,y)= (0,0) ==> (x,y)=(0,0); pois T é uma transformação linear. Então não tem como se usar o mesmo approach. E mesmo que encontremos P1(x1,y1) um dos pontos de interseção da reta normal com a elipse e calculemos m'=y1/x1; não vale a relação m=m'*a/b mas sim m'=m*b/a; sendo m o coeficiente angular da reta normal à elipse e m' o coeficiente angular da reta normal a circunferência. Nada obstante vislumbrei a oportunidade de escrever um artigo e postular um lema ou teorema a seguir (peço desculpas por não saber editar notações a contento no espaço de comentários): Seja uma elipse Beta representada pela equação x^2/a^2+y^2/b^2=1. Seja r uma reta tangente à Beta com ponto de tangência Pt e P1, P2 E r, P1P2 Seja T uma transformação linear | u | = I 1/a 0 | * | x | | v | | 0 1/b | I y | Sejam P1', P2' e Pt' as imagens de P1, P2 e Pt quando aplicamos T A reta r' definida por P1' e P2' é tangente a circunferência Gama representada por u^2+v^2=1, sendo a transformação da elipse Beta pela aplicação da transformada T, e Pt' é o ponto de tangência da reta r' com a circunferência Gama. E se r' não é perpendicular ao eixo OX e se m e m' são os coeficientes angulares das retas r e r', então m=a/b*m'. Lhe peço permissão para escrever um artigo sobre o assunto, e caso não tenha sido ainda postulado nada igual (vou conversar com um grupo que faço parte, que tem renomados professores do IMPA, para ver se procede escrever algo a respeito), postular esse teorema com o seu nome e o meu. Redijo o artigo e o envio para que revise, logicamente, se você permitir e for de seu interesse.
SOLUÇÃO USANDO DERIVADA a inclinação da reta tangente é a derivada da função no ponto de tangência, suponha que o ponto seja (a,b) queremos descobrir quanto vale y'(a) em que y=3.sqrt(1-x²/16) (obs: só nos preocupamos com a raiz positiva pois só estamos analisando a parte de cima da curva da elipse) por outro lado, a inclinação da reta tangente também é dada pela tangente do ângulo entre a reta e o eixo x: que nesse caso é (olhando pra o triângulo menor) dada por b/(8-a) e como (a,b) pertence a elipse você sabe que b pode ser dado em função de a daí você tem uma igualdade que y'(a)=b/(8-a) (#) RESOLUÇÃO (em latex): \begin{aligned} & y^{\prime}(a)=-\frac{3 a}{16 \sqrt{1-\frac{a^2}{16}}} \\ & y^{\prime}(a)=\frac{b}{8-a} \\ & -\frac{3 a}{16 \sqrt{1-\frac{a^2}{16}}}=\frac{b}{8-a} \\ & -\frac{a(8-a)}{16 \sqrt{1-\frac{a^2}{16}}}=\frac{b}{3} \\ & \frac{a^2(8-a)^2}{16^2\left(1-\frac{a^2}{16} ight)}=\frac{b^2}{9}=1-\frac{a^2}{16} \\ & a^2(8-a)^2=16^2\left(1-\frac{a^2}{16} ight)^2 \\ & a^2(8-a)^2=\left(16-a^2 ight)^2 \\ & a(8-a)=16-a^2 \\ & 8a=16 \\ & a=2 \end{aligned} finalmente, basta substituir o valor de a em qualquer um dos lados da igualdade (#) pra obter a resposta -√3/4
O método que usaria: y^2/9+x^2/16=1 ==> 2ydx/dy/9+2x/16=0==>dx/dy=-9x/16y(i) Mas dx/dy para (xo,yo) como ponto de tangência é o coeficiente angular da reta r que: P(xo,yo) E r e (8,0) E r logo: m=yo/(xo-8) (ii); (i) e (ii) ==> -9xo/16yo=yo/(xo-8) ...yo^2/9= (-xo^2+8x)/16 (iii) Mas (xo,yo) E a elipse e (iii)==> (-xo^2+xo^2+8xo)/16=1 ...xo=2 ==>yo=3raiz(3)/2 xo=2 e yo= v e (ii) ==> m=3raiz(3)/2*-1/6=-raiz(3)/4 Sem valer usar diferencial, iria por um caminho mais árduo. Seja a r a reta tangente representada por y=mx+n Como (8,0) E r ==> n=-8m ==> y= mx-8n; aplicando na equação da elipse para achar a interseção: (m^2x^2-16m^2x+64m^2)/9+x^2/16=1 (16m^2+9)x^2-16m2x^2+16*64m^2-16*9=0 Como só existe uma interseção Delta=0 16^4m^4- 4*(16m^2+9)(16*64^2m^2-16*9)=0 (16^4-16^4)m^4 + (9*2^10 -9*2^12)m^2 + 2^6*9^2=0 9*2^10(1-4)m^2+2^6*9^2=0 (dividindo por 2^6*9) =-2^4*3m^2+9=0 ==> m^2=3/2^4. Como m forma um ângulo, orientado, obtuso com OX ==> m
Umas vez eu fiz um raciocínio parecido e meus amigos ficaram me zoando e falando q eu amassei o plano cartesiano kkk. Legal ver minha ideia bizarra sendo usada pelo engenheirao
O eixo X foi comprimido 4 vezes para o raio da circunferência ser igual a 1. Todos os pontos também são comprimidos na mesma proporção, como o antigo era 8, 8/4=2.
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🪖 Estude FÍSICA e MATEMÁTICA do ZERO em rotas personalizadas com foco 100% em provas militares: universonarrado.com/links-un-militar-youtube/
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Essa era pra ver se o sujeito usufruia do oxigênio
Essa caiu no teste do bafômetro
cara conteúdo de qualidade insana de graça vei , fico em choque com esse canal
Sensacional essa solução. Nunca vi nada parecido. Obrigado pela aula professor
Tem como substituir o x por x.8 e o y por 0.y, e isso vai dar na reta polar. Ou seja, a gente consegue a absicissa daquele ponto, ai pra achar a inclinacao é so fzr continha
Mestre, aproveitando o ensejo meus votos de prosperidade, realizações, saúde, paz, alegria e um bom Natal.
Congratulações pela divulgação de conhecimento gratuito que chega até as esferas menos favorecidas da população.
Por uma pátria mais livre, mais humana, mais fraterna, mais igualitária e com mais oportunidades para os menos favorecidos. São os votos extensivos aos frequentadores do canal e à humanidade.
Persista no propósito de divulgar conhecimento. Congratulações.
A solução mais surpreendente de todas
Assisti ao vídeo. Achei uma bela solução; todavia, peço máxima vênia, dever-se-ia ter mencionado, que a transformação proposta conserva a reta tangente e informar que não seria objeto da solução provar tal fato, que seria usado como conhecimento prévio. Chamo a atenção que embora a transformação de coordenadas usada seja linear ela está composta com uma função não linear. Alerto, ainda com mais veemência, que a transformação proposta não contempla a conservação da reta normal, e.g.
Ou seja, se P1 é um ponto da reta normal à elipse e P2, um dos dois pontos de interseção desta reta com a elipse usando a transformação T (x,y)--> (u,v) onde u=x/a e v=y/b não se pode garantir que T(P1) e T(P2) determinem a reta normal à circunferência que pode ser representada por u^2+v^2=1. Então creio que faltou esse chamado de que é uma peculiaridade da reta tangente. E.g., se o problema fosse proposto ache o coeficiente angular da reta s normal a elipse representada pela equação x^2/16+ y^2/9=1, sendo que (7/8,0) E s. Note que toda reta normal à circunferência, passará pelo seu centro no caso a origem, e que só em caso particulares a reta normal passará pela origem, se T(x,y)= (0,0) ==> (x,y)=(0,0); pois T é uma transformação linear. Então não tem como se usar o mesmo approach. E mesmo que encontremos P1(x1,y1) um dos pontos de interseção da reta normal com a elipse e calculemos m'=y1/x1; não vale a relação m=m'*a/b mas sim m'=m*b/a; sendo m o coeficiente angular da reta normal à elipse e m' o coeficiente angular da reta normal a circunferência.
Nada obstante vislumbrei a oportunidade de escrever um artigo e postular um lema ou teorema a seguir (peço desculpas por não saber editar notações a contento no espaço de comentários):
Seja uma elipse Beta representada pela equação x^2/a^2+y^2/b^2=1.
Seja r uma reta tangente à Beta com ponto de tangência Pt e P1, P2 E r, P1P2
Seja T uma transformação linear | u | = I 1/a 0 | * | x |
| v | | 0 1/b | I y |
Sejam P1', P2' e Pt' as imagens de P1, P2 e Pt quando aplicamos T
A reta r' definida por P1' e P2' é tangente a circunferência Gama representada por u^2+v^2=1, sendo a transformação da elipse Beta pela aplicação da transformada T, e Pt' é o ponto de tangência da reta r' com a circunferência Gama. E se r' não é perpendicular ao eixo OX e se m e m' são os coeficientes angulares das retas r e r', então m=a/b*m'.
Lhe peço permissão para escrever um artigo sobre o assunto, e caso não tenha sido ainda postulado nada igual (vou conversar com um grupo que faço parte, que tem renomados professores do IMPA, para ver se procede escrever algo a respeito), postular esse teorema com o seu nome e o meu. Redijo o artigo e o envio para que revise, logicamente, se você permitir e for de seu interesse.
Pega umas questões do skill mathematics por favor
Faltam 7 dias para o Natal.
Brabo dms
SOLUÇÃO USANDO DERIVADA
a inclinação da reta tangente é a derivada da função no ponto de tangência, suponha que o ponto seja (a,b)
queremos descobrir quanto vale y'(a) em que y=3.sqrt(1-x²/16)
(obs: só nos preocupamos com a raiz positiva pois só estamos analisando a parte de cima da curva da elipse)
por outro lado, a inclinação da reta tangente também é dada pela tangente do ângulo entre a reta e o eixo x: que nesse caso é (olhando pra o triângulo menor) dada por b/(8-a) e como (a,b) pertence a elipse você sabe que b pode ser dado em função de a
daí você tem uma igualdade que y'(a)=b/(8-a) (#)
RESOLUÇÃO (em latex):
\begin{aligned}
& y^{\prime}(a)=-\frac{3 a}{16 \sqrt{1-\frac{a^2}{16}}} \\
& y^{\prime}(a)=\frac{b}{8-a} \\
& -\frac{3 a}{16 \sqrt{1-\frac{a^2}{16}}}=\frac{b}{8-a} \\
& -\frac{a(8-a)}{16 \sqrt{1-\frac{a^2}{16}}}=\frac{b}{3} \\
& \frac{a^2(8-a)^2}{16^2\left(1-\frac{a^2}{16}
ight)}=\frac{b^2}{9}=1-\frac{a^2}{16} \\
& a^2(8-a)^2=16^2\left(1-\frac{a^2}{16}
ight)^2 \\
& a^2(8-a)^2=\left(16-a^2
ight)^2 \\
& a(8-a)=16-a^2 \\
& 8a=16 \\
& a=2
\end{aligned}
finalmente, basta substituir o valor de a em qualquer um dos lados da igualdade (#) pra obter a resposta -√3/4
Manda salve engenheiro
Essa aí dá para matar de cabeça, cansado e com sono em um dia fraco
Brilhante
Solução elegante dms!!
Top ,engenheiro
Solução elegante
derivada matava fácil
Por derivação implícita saí em uma linha! (Literalmente)
Baita sacada
Alguem sabe o nome do app q ele usou pra visualizar o grafico?
Geogebra prov
Ctz q foi o Desmos
O método que usaria:
y^2/9+x^2/16=1 ==> 2ydx/dy/9+2x/16=0==>dx/dy=-9x/16y(i)
Mas dx/dy para (xo,yo) como ponto de tangência é o coeficiente angular da reta r que: P(xo,yo) E r e (8,0) E r logo:
m=yo/(xo-8) (ii); (i) e (ii) ==> -9xo/16yo=yo/(xo-8) ...yo^2/9= (-xo^2+8x)/16 (iii)
Mas (xo,yo) E a elipse e (iii)==> (-xo^2+xo^2+8xo)/16=1 ...xo=2 ==>yo=3raiz(3)/2
xo=2 e yo= v e (ii) ==> m=3raiz(3)/2*-1/6=-raiz(3)/4
Sem valer usar diferencial, iria por um caminho mais árduo.
Seja a r a reta tangente representada por y=mx+n Como (8,0) E r ==> n=-8m ==> y= mx-8n; aplicando na equação da elipse para achar a interseção:
(m^2x^2-16m^2x+64m^2)/9+x^2/16=1
(16m^2+9)x^2-16m2x^2+16*64m^2-16*9=0
Como só existe uma interseção Delta=0
16^4m^4- 4*(16m^2+9)(16*64^2m^2-16*9)=0
(16^4-16^4)m^4 + (9*2^10 -9*2^12)m^2 + 2^6*9^2=0
9*2^10(1-4)m^2+2^6*9^2=0 (dividindo por 2^6*9)
=-2^4*3m^2+9=0 ==> m^2=3/2^4. Como m forma um ângulo, orientado, obtuso com OX ==> m
Umas vez eu fiz um raciocínio parecido e meus amigos ficaram me zoando e falando q eu amassei o plano cartesiano kkk. Legal ver minha ideia bizarra sendo usada pelo engenheirao
Só não entendi muito bem o pq do ponto de intersecção da Reta tangente ser 2 dps de achatar. Mas realmente é uma resolução mto bonita
O eixo X foi comprimido 4 vezes para o raio da circunferência ser igual a 1. Todos os pontos também são comprimidos na mesma proporção, como o antigo era 8, 8/4=2.
Como o eixo x foi comprimido 4 vezes para chegar no raio 1, a intersecção também sofreu essa alteração, indo de 8 pra 2