圏論は位相空間論に似ています。 位相空間では集合を扱うが、圏論ではクラスか宇宙と呼ばれる集合を扱います。 クラスを扱うには公理的クラス論を理解する必要があります。 クラスを学ぶよりも宇宙の方が楽ですが、集合の元の個数=基数を理解するためには公理的クラス論が必要です。 公理的集合論よりクラス論の方が明快です。 宇宙は集合だから選択公理が使えます。kashiwara and schapira"categories and sheaves"では選択写像を多用しています。 eisenberg"axiomatic theory of sets and classes"の選択写像は適用範囲が狭いです。 集合の場合と同様な広い選択写像の存在を証明する事はできます。数学科学生のすこし難しい演習問題です。 中岡宏行"圏論の技法"は宇宙を基に書かれているので、圏の局所化の証明はクラスでは不十分です。 Weibel"an introduction to homological algebra"(1994), p379set-theoretic remarkには、圏の局所化の標準的文献 verdier"categories derivees(1977)", hartshorne"residues and duality(1966)",gabriel and zisman(1967), は集合上の問題を無視している、と書かれています。古い文献を読むのは要注意です。 上のweibelの本は圏論の知識を仮定して書かれています。
![圏論入門 特別講義 [加藤 文元 先生]](/img/n.gif)
最近は、圏がただの代数構造が載った有向グラフに見えるので、いじってて楽しいおもちゃだなあと思います。案外よくわからないこともたくさんあるし。
圏論をガッツリ勉強したことがないので説得力に欠ける意見になりますが、圏論を勉強することの効用は、例えば解析学を勉強してから集合と位相を学ぶとより解析学の理解が深まる、というようなものに似てるのかなと思います。集合と位相を学ばずとも解析学は出来ないことはないと思いますが、集合と位相の言葉を用いるとよりスッキリと見通しよく議論や理解ができたり一般化ができたりするので、学ぶことは全然無駄ではないと思います。
圏論の強さは学習者目線では「数学の様々な分野に現れる同じ名前の用語を統合的に理解できること」で、数学者目線では「新しい数学分野に出てくる操作や関係や諸々に、他の数学者に通じやすい命名が出来るかも知れないこと」であって、まあそれが万能ってわけじゃないよねって。
『ベーシック圏論』訳者である土岡俊介先生と
『数学ガール』作者である結城浩先生の
"圏論と学びをめぐる往復書簡"
も圏論を学ぶ数学的なモチベーションが分かって参考になるかもしれません
情報系の一部の人からも圏論は注目を浴びていますよね。
(例えばHaskellというプログラミン言語を使いこなすには、FunctorやMonad等の圏論由来のツールを使いこなすことが必須)
私も「ベーシック圏論」を読みましたが、情報系の人間にとってはいささか難しく感じましたね。
Haskellのためだけなら別にモナドもファンクターも圏論の文脈で理解する必要ないです。
何を持って圏論と呼ぶかという話。この動画は非常に狭い意味のプロパーな圏論の話をしてる気がする。グロタンディークの数学は今もモチーフという宗教に向かって活発に研究され、数学の中心的話で、p進Hodgeやパーフェクトイド空間といったゴリゴリの圏論的議論の話題に、どっぷりはまっても何も問題ないかと思います。
ゆる圏いいですよ（宗教勧誘）
どこに問題があったのか詳しく聞いてみたいところ、雰囲気でもよいので。
まだまだ浅学だけど、全てが圏論で説明できるんでなくて、すでに説明されてきたことを抽象化して一般化するために圏論があるんじゃないのか？
トポロジーをやっていて定年、今は年金生活です。
圏論の良いとこらは、数学の色々な展開で、定義や定理が自然に感じられるところだと思っています。
圏論を知っていれば、次に何をするのかが、予想できますよね。
本当にその通りだと思います。圏論の概念ですら、圏論に取りつかれているときよりも今の方がすっきり理解できるんですよね…。
圏論は位相空間論に似ています。 位相空間では集合を扱うが、圏論ではクラスか宇宙と呼ばれる集合を扱います。
クラスを扱うには公理的クラス論を理解する必要があります。
クラスを学ぶよりも宇宙の方が楽ですが、集合の元の個数=基数を理解するためには公理的クラス論が必要です。
公理的集合論よりクラス論の方が明快です。
宇宙は集合だから選択公理が使えます。kashiwara and schapira"categories and sheaves"では選択写像を多用しています。
eisenberg"axiomatic theory of sets and classes"の選択写像は適用範囲が狭いです。
集合の場合と同様な広い選択写像の存在を証明する事はできます。数学科学生のすこし難しい演習問題です。
中岡宏行"圏論の技法"は宇宙を基に書かれているので、圏の局所化の証明はクラスでは不十分です。
Weibel"an introduction to homological algebra"(1994), p379set-theoretic remarkには、圏の局所化の標準的文献
verdier"categories derivees(1977)", hartshorne"residues and duality(1966)",gabriel and zisman(1967),
は集合上の問題を無視している、と書かれています。古い文献を読むのは要注意です。
上のweibelの本は圏論の知識を仮定して書かれています。
ガセ言うのやめてちょ。「圏論ではクラスを扱います」じゃなくて、「クラス論という、内包表記が安心してできない集まりを扱うような議論ができると、圏論的な議論をするメリットがぐんと上がります！」でしょ。
Kan拡張すら、理解するのにクラス論の込み入った議論は必要ないからね。
圏の定義を書きます。
圏とは三つ組(A,F,G)の事です。ここで、Aは対象全体,F,Gは写像、
F:AxA->S,F(x,y)=Hom(x,y),GはF(x,y)の結合法則。
Aはクラス又はuniverseと呼ばれる集合です。
圏の定義で対象全体を、クラスかuniverseと呼ばれる集合、
に取る二つに流儀があります。
河田敬義"ホモロジー代数II,p145"にはクラスを取るのが普通であると書かれています。
中岡宏行"圏論の技法"は完全圏と三角圏の入門書です。
加法圏から完全圏を構成する時には、短完全列全体Bが圏の公理を満す事を
確認する必要があります。
すなわち、写像S,Tを定義し、(B,S,T)が圏になる事の確認が必要です。
クラスかuniverseと呼ばれる集合は,
公理的クラス論か公理的集合論を理解する必要があります。
任意の集合に対してその基数が一意に存在する事を証明する為に
上の公理系が必要です。素朴な集合論では基数を定義できません。
集合の基数とは集合の元の個数の事です。
公理的クラス論か公理的集合論を理解しましょう。
圏の定義で対象全体を、クラスかuniverseと呼ばれる集合、
に取る二つに流儀がある事は、志甫淳"層とホモロジー代数p.78"にも書いてあります。
"集合の上位概念であるクラスとuniverseと呼ばれる集合の二つの方法"
志甫淳"層とホモロジー代数"では、universe集合を対象全体に取っています。
Weibel"An introduction to homological algebra(1994)"はクラスです。
クラスは集合の上位概念だから、公理的集合論は公理的クラス論に含まれると言えます。
公理的集合論内で、集合の基数の存在と一意性の証明はまわりくどいです。
公理的クラス論内でのその証明は非常に明快です。
@@absant2913 圏の定義を書きます。
圏とは三つ組(A,F,G)の事です。ここで、Aは対象全体,F,Gは写像、
F:AxA->S,F(x,y)=Hom(x,y),GはF(x,y)の結合法則。
Aはクラス又はuniverseと呼ばれる集合です。
圏論の創始者達の論文や本
Eilenberg-Maclane"general theory of natural equivalences"
Maclane本"Homology(1963)"
ではAはクラスです。
クラスは公理的クラス論の意味でのクラスです。
集合は公理的集合論の意味での集合です。
公理的クラス論の公理系は公理的集合論の公理系を真似て作られています。
集合はクラスです。集合でないクラスはproper classと呼ばれます。
例えば、集合全体のクラス、基数全体のクラス等はproper classです。
Foreman-Kanamori"Handbook of set theory(2010)"は2200ページの本です。
この本を見ると、proper classの言葉が方々に表われます。
数学者が位相空間論を数学を展開する一つの背景の様に考えている様に、
基礎論の専門家は公理的クラス論を一つの背景と考えている様に思われます。
Twitterでよく圏論という語を目にしたから、実際に圏論を応用した例がほしくて探したけど、圏の具体例ばかり見つかって歯痒い思いをした（Twitterで探すのもおかしい話だけど）
でもみんな「圏論」をありがたがるのだから、一つぐらい圏論の数学的凄さを提示してあってもいいんじゃないかと思った
いつも貴重な立場からの情報発信、ありがとうございます。
極端な数学観を取りあげて危惧し、圏論それ自体を研究することをあまり薦められないというご意見は勝手なのですが、ご自身でさえ違うと認識していながら、「宗教」という強い言葉で表現するのは、圏論全体に対する誤った認識をあたえかねないのではありませんか。
私も結果的に圏論を研究する方向からは遠ざかりましたが、主が「圏論という宗教から覚めた」というのは、単に圏論に冷めただけのことではありませんか。
確かに一般大衆の中では、宗教的な扱いなのかもしれませんね。
宗教というかカントみたいですよね
一度は勉強してみたい
日本で圏論が流行っているのはプログラマーが増えているからなんでしょうね
位相幾何学出身の人です。
情報系の人出身の人が
「圏論やりました」と言っていましたが、言葉を選ばないでいうと、正直圏論をやったとは言えないレベルでした。
よくよく話を聞くと、ハスケルをやるために、ほんとに定義をなぞったような感じだったそうです。
多分それが一番正しい圏論との接し方なのでは。必要に応じて必要な部分だけやると言う
その感覚だと「ベシ圏やりました」が圏論やりましたの必要条件になってきそうですね…
圏論は数学の1分野です。他の分野は公理的集合論を基礎にしているが、
圏論は初めて公理的クラス論を基礎にした分野です。
証明が難しかった部分が圏論を使えば証明が簡単になり、全体像が明らかになります。
圏の定義で対象全体を、クラスかuniverseと呼ばれる集合、に取る二つに流儀がある事は、
志甫淳"層とホモロジー代数p.78"に詳しく書いてあります。
圏論の創始者達の論文や本
Eilenberg-Maclane"general theory of natural equivalences(1945)"
Maclane本"Homology(1963)"
で、圏の定義の出発点=対象全体をクラスに取り理論を展開しています。
圏論はプログラム関係で触りだけ調べましたが、Kan拡張をすべての概念と言っているあたりいらん誤解を生んでるような気はします。
抽象性ゆえ美しいが具体的な例が欲しいですよね。みんなの圏論？の演習書2冊とも持ってます！
数学基礎論全般に言えることだけど、集合論も圏論もそれ自体が数学を深く理解するために作られたメタ学問であって、集合論や言論の中でしか意味をなさない命題の解明に必要以上に時間をかけるのは、その学問の本来の目的を見失っていると思う。もっと言えば数学そのものも本来は物理を正確に理解するための道具に過ぎないわけで、数学者も、数学界にとってのみ重要な命題の研究に時間を割くよりも、既存の物理現象やコンピュータサイエンスを正しく、深く理解するための新しい道具を開発することにより時間を割くべきだと思う。
いつか誰でも勉強しなければいけないといいつつ、宗教と言ってディスるのは矛盾しています。数学の言語というおとなしい形容で十分じゃないですか。
耳が痛いのですが、万能理論のように語られてるのを見て興味を持っても、それを学んでどうしたいって明確な動機がなければお勉強しただけの頭でっかちができると言う意味では(悪い意味で)宗教だなあと思いました。
情報系の身としては、圏論の言語が出てくる理論研究とかする人でもない限り、学ぶのは楽しいけど宗教にハマってオワリなのがほとんどだろうなあと周りを見ても思います。
それはともかくとして、ベシ圏くらいの内容を理解しようとして数学科B2,3程度の内容を学び出す動機付けになるみたいな側面はアリかなとも思ってます。
時事ネタを取り入れてあえて宗教と表現
検索で引っ掛かる策とみたw
集合論においては、Rは集合であるし、√2も集合であるし、写像も集合であるし、∂/∂xという微分演算子も集合である。これに少しも違和感を持たないだろうか…これはより良い定義だろうか…
このような疑問から圏論を初めても良い。
分かってなさそうで草
@@Constitutional_Carry どのあたりから分かっていなさそうと判断なされたんでしょうか。
圏論についても同様の疑問を持ってなさそうなのが、「こいつわかってないな」と思う理由です。
@@こげくさ
なるほど。もう少し咀嚼したいのですが、こげくささんは、一つの数学的対象に対して多角的な見方をしつつ、それらを比較したうえで最も相応しいと思われる見方を採用するのがよいと考えられているということでしょうか。
@@Constitutional_Carry
全くもって同意
ここで反論する人たちの姿がまさに宗教染みているっていう話だと思いますよ
圏論を宗教だと言っているわけではないことは
冒頭ですでに述べられているわけで
これって量子論なんかでも似たような曲解して一般化しようとする人たちがいますよね
同意します。
とりわけ物理よりも数学においてよりバカげているのは、統一理論の不可能性がわかっている分野なのに、その気がむんむんするところ
グロタンディークみたいな圏論による既存数学の再構築が何処まで可能なのか、という点には興味があります。再構築することで新しく見える展望がどれだけ存在するか、という点も。
素粒子物理における"超対称性"とか"ヒモ"みたいなもんかな
圏がゲシュタルト崩壊した
圏論がないと証明できなかった定理ってありますか？
一番素人に分かりやすそうなのは何でしょう？
サムネがこれ以上にない煽りで草
ちなみに圏論だけで数学を構成することってできるんですか？
集合論はできていますが、同じようにできるんでしょうか？
ZFC を内包する圏による公理系が存在します。
@@Tsubaki_chan
それとても興味あります。なんて調べればいいでしょうか？
@@ぜっと-o7h レンスター著 ベーシック圏論の第３章 休憩：集合論について
には少し書かれていますね。
集合論でも数学の多種多様な分野を統一的に記述できるけどそれと何が違うのだろう。
圏論は数学の1分野です。他の分野は公理的集合論を基礎にしているが、
圏論は初めて公理的クラス論を基礎にした分野です。
プログラミングの世界にも圏論が染み出していて結構うざいです。FunctorだのMonadだの、圏論をやったことがない普通のプログラマーからしてみれば意味不明な名前が、結構重要なところで使われていて、もっとわかりやすい名前にしてほしかったといつも思います。
これは圏論に対して文句をっているのではなく、プログラミングに圏論を持ち出してきた人に対して文句を言っています。
Haskellですね。
@@まど-s2u 分かります。プログラマーのための圏論とか言っておいて、（数学的素養のある）プログラマーに圏論教えてるだけだったり。
・普段の業務で関数型言語に縁がなければ勉強しても役立てられない
・プログラミングで圏論をやってるだけであって、圏論を使って何かをするという視点がない
等、興味持って調べてみたけど期待外れだったんですよね。
や、ネーミングは許してほしい。
for"ループ"
というのと同じくらい、概念設計の段階で"Monad"として実装してるから。文句はむしろ、「Haskellやる為に圏論知っとこう」という考え方に対して言うべきです。
たとえばモナドは、
「ラッピングされたまま値を扱うための型クラスです。ユーザーはこの三つの公理が成立してるか気にしてください。(A.なぜ、気にしなくてはいけないものがこの公理なのかというと、この”モナド”が圏論のモナドという概念を表現しているからです。この型クラスのメリットは、副作用のある動作を全てここに押し込めることができる点です。)」
程度のものです。
しかもAの部分は、普通、チュートリアルでは隠ぺいするものです。
”本格的に重用するために避けては通れないが最初は要らん知識”がカリーハワード同型対応でカッチリ整理されていると考えてください。つまりカリーハワード同型対応がわからんでも使えるって事です。
この人の話し方を聞いていると、英語も宗教だなあと思う。
中世に母音大変動の影響で英語のスペルと発音がバラバラになったそうです。きっとボインのねーちゃんが原因だと私は考えています。
圏論を使った関数型プログラミングが銀の弾丸だと主張する意見をたまに目にするが、数学の世界でも同じような意見があるんだな
数学以外でもやけに圏論を有難がる勢力居ますねぇ
正直、内容全然わからんが、謎さんの動画クソオモロイという。まさに「謎」。
これを見ている人たちが使っている言葉に共通認識がないからこうなるんだよ。同じ「宗教」という言葉を使っていてもその意味するところが色々だから、意見が合わないのは当然。そんなことにも気付かないのか？
ほぼ目次の読み上げでしかなかった。中身のはなしが薄かった。
数学も最先端の理論は宗教だと思ってる。ぼくも圏論がこの宇宙を支配する数学の根幹だと思って、すべてを圏論で書き換えようとした中二病になった時期がありました(はずい)。
この分野は門外漢なので圏論とは何かがわかる具体的な説明が欲しかった。
結局圏論については、なにも説明がない。圏論が宗教みたいになると言うことを、延々と述べているだけ。
圏論について解説！みたいなタイトルじゃないし別にいいんじゃないですか？
貴方が見る動画を間違えてるんですよ。
@@null-rn9zx圏論についての概要説明があり、其の上で宗教と此処が似ているとか、ここが似ていない、があれば良いが、ただ同じ事を述べているだけ。圏論についての知識も、どこが宗教に似ているかの知識も深まらない。お前が変わりに説明してくれるなら聞くぞ。
@@sorimana7135そんなの一動画で語れるわけないだろ。何故に宗教と呼ばれるかは自分で勉強すればいいだけの話。
@@BOOCH302 いやいや、概要も述べられないの？
「○○って、宗教だよね」
これで何か言った事になるの？
そんな事いったら、全部それで済むじゃん。
圏論は決して宗教ではないです。圏論は例えばしりとりをも対象として扱うことができます。応用数学的に極めて重要な概念だと思います。実務的に使える数学なのです。しかし数学者の方から見て宗教に映るというのも納得はできます。
しりとりを例に出して役に立つと言われても、役に立つ感じがしません。
@@こげくさ しりとりは一つの例です。伝わりづらい例になりますが、プログラミングへの応用が最も効能が高いと個人的には考えています。関数型プログラミングです。これはコーディングの生産性を劇的に上げる応用例になるのですが、これだけWebサービスが氾濫している現代では圏論がもたらす影響というのは計り知れないです。個人的に将来証明駆動開発が広く使われるようになった際にも圏論がもたらす影響はより大きくなると思います。証明駆動開発により作られたプログラムは原理的にバグがなく、バグが許されないWeb3におけるスマートコントラクト開発に極めて有用だと考えています。
@@gerenimof8946 原理的にバグは無いというのは、実際に出るバグが減るかどうかとはまた別な話です。
@@こげくさ バグは確実に減りますよ。それは保証できます。テストコードの作成を強制されるようなものですから。ゼロになるかどうかとは別の話ですが。
とりあえず出した例が「しりとり」は草。
プログラミングに役立つとは言え、自分も昔Haskellをだいぶ勉強した身ですが（勉強自体はとても楽しかった）、
実務では正直使えないですよね。（金融とかは別かもですが）
昨今、人工知能や機械学習がこれだけ重要視されているのに、変数の書き換えができない言語は相当苦しい気がします。
人工知能や機械学習なんてぜんぶ、変数の書き換え（更新による最適化）ですからねえ。
なんか、トポロジーに興味ある学生に対して「一般位相空間論にハマり過ぎないように」って注意してるくらい、ズレてる気がする。
40年も前にボクが大学で数学を専攻していた頃は、圏論は科目になかった。大学初年級の教養課程、1年か2年に圏論を学んでも良いと思う。原始的集合論で集合の集合を考えたらパラドックスに陥ったけど、圏論ではそのパラドックスを回避できるのでしょうか？回避できるのであれば原始的集合論の続きとして大学の初年級で学ぶべきだと思う。圏論自体を専門とする以外の数学者は、圏論を数学の基礎として学ぶ程度で良いのだと思う。
集合全体を集合とすればパラドックスになります。それを回避するためにクラスを考えます。例えば集合全体のクラス。
公理的クラス論は公理的集合論を含む強力な道具です。クラスの特別な場合が集合です。
圏とは、一つのクラスと二つの写像(morphism写像,composition写像)の組の事です。圏論は位相空間論に似ています。
圏論は大学初年級の教養課程には無理だと思います。圏論が必要なのは大学院の特殊な分野の一部の人達です。
集合論とは公理的集合論の事です。選択公理の意味は公理的集合論を理解しないと解りません。
圏論を学ぶよりは集合論又はクラス論を学ぶ方が良いと思います。
こんな非厳密な動画を出しといて数学者を名乗るな
SNSなんかで圏論持ち上げられ過ぎ感はある
まあそういう連中ほぼ圏論をお勉強(笑)している自分に酔いしれてる連中ばっかりでどうでもいいけどｗ
内容はともかく、煽り方を見ると心が病気だ…
猫の動画とか海の動画とかみた方がいいかもしれないですね。
趣味で代数幾何の本を読んでいてちょうど圏論スキーム論に差し掛かっていたので個人的にタイムリーな話題でした。
圏論の対象が代数系って時点で風呂敷を広げ過ぎな印象で、それを以てして何が言えるのか楽しみだったんですが、宗教なんですね…流し読みしますw
いや、スキーム論はしっかり読んだ方がいいです。
圏論があれば代数幾何いらんわって考えが宗教です。
代数幾何に圏論が必須であることは、動画投稿者も理解していると思います。
@@toshikiaoki3525 おお！貴重なアドバイスありがとうございます！
@@tomotsun2508
ついでにおすすめのブログです。
infinitytopos.wordpress.com/2015/01/25/圏論とは何か/
ラングランズ・プログラム とはまた違うものなのかな？
この動画の内容でいけば、圏論という言語を用いてラングランズ・プログラムが書かれているのですかね
やたら前提条件が有って、数学というよりもゲームのような俗っぽさ そんな感じ
整数論に近いほうが難しいというのは…実はどうなんだろう…
Eilenberg-Steenrodのホモロジー論の公理系を初めて学んだ時には感動しました。関数型プログラミングの基礎として圏論を使用することに批判的、もしくは関数型プログラミングそのものに対して批判的なコメントが見受けられますが、Moggiの論文を読めばどうしてMonadが重要か比較的素直に理解出来ますし、プログラム意味論、特に関数型言語の理解に必要な圏論の知識はごく簡単なものしかないと思います。
圏論の対象とする事象が非常に抽象的なので、圏論を学ぶモチベーションに誤解が生じることがままあるのかな、という印象です。非数学徒の戯言失礼しました。
謎の数学者さんはプログラム言語に触れていません
@@こげくさ そうですね
フレイドというのはPeter John Freydの事ですね。娘さんがインチキ精神医学に洗脳されたことでも有名です。
関手的な考え方が色んなところに出てくるのが悪いw
だって数学が宗教だもん
言語特にセム語一神教から発達したアルファベットの西欧論理において言語によるカテゴライズ自体がある種の絶対的な宗教性を帯びた作業ですので、どの範囲まで俯瞰するかによりますが圏論自体からその匂いを強く感じる謎さんの気持ちもわかりますし、それがどうしようもないというか知識の一般化として起こる進化の過程であるという目線もあります。個人的にはその両方の思考を共時的に保持、運用していこうと思います。
ですね
絶対に池袋のジュンク堂じゃん
池袋のジュンク堂だ
言語だって？
ナンセンス
何の根拠もない理屈
草
トランプ大学や
別に宗教ではなく、道具でもあり、一分野でもあります。
数学自体が宗教だというのに、いわんや圏論をや
いい加減なことを言ってますね
分かっているとは思いますが、「宗教」というのは暗喩であって
謎の数学者さんは文字通りの意味で圏＝宗教と言っているわけではないですよね
もちろん普通の意味で数学も宗教ではありません
なんかちょっと心配になった