圏論で数学の"あたりまえ"を知ろう！
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- เผยแพร่เมื่อ 5 ส.ค. 2024
- ゆかりさんがきりたんに『圏論』についてやさしく教える動画です。
間違い等のご指摘はやさしくしていただけると大変助かります。
◆動画目次
00:00 OP
00:50 なぜ圏論を学ぶのか
02:34 はじめに - 圏論とは
02:57 圏の定義
06:03 圏の例
10:03 まとめ
10:33 参考文献
◆ニコニコ動画
www.nicovideo.jp/watch/sm3963...
◆参考文献一覧
●Basic Vategory Theory (Tom Leinster)
arxiv.org/pdf/1612.09375.pdf
●圏論とは何か (alg-d)
alg-d.com/math/kan_extension/i...
◆連絡先
Twitter: / 7x127x36943
メール: 7x127x36943@gmail.com
◆クレジット (敬称略)
結月ゆかり 立ち絵フリー素材, ほかん, seiga.nicovideo.jp/seiga/im10...
紀常式 きりたん立ち絵, 紀常, seiga.nicovideo.jp/seiga/im10...
期待以上に分かりやすかった
圏のお気持ち理解ができたし，キャラもかわいくて神..！
今まで圏論諦めてたけどこれでイメージ持てました！！！めちゃくちゃわかりやすかったです！！本当にありがとうございました！！！
動画のふんいきが好きです。内容も分かりやすいです。ありがとうございます。
すごくわかりやすい！！ありがたい動画ですね！ 米田の補題の解説も期待しています。
興味深くて面白いです！！
良いと思ったので二回見ました
勉強になりました。ありがとう。私は技術屋だけど、数学も大事だと思っています。今後もよろしく。
ほんとにありがとうございました〜〜
おー 素晴らしいイントロ 次聞きたいゾ〜これ
物理やってるものですが、同型とか写像までは何とか理解出来ていたのですが、圏とかは、ちんぷんけんぷんでした。大変ためになる動画、ありがとうございます。
Очень информативно 👍
underrated video
よく恒等射がもれてるのがありますね… 最後の実数だと＜で定義ヨシ！みたいな。
最後の具体例で射と写像の違いがわかった気がした
understood
サムネの麗しいメガネきりたん の画像見つけられず、もしよければ場所教えてくださいm(. .)m 素敵な動画ありがとうございます！
返信が遅れてすいません。使わせていただいた画像は「紀常式 きりたん立ち絵」です。
seiga.nicovideo.jp/seiga/im10771711
@@ucejvfakrcjuwqbnhl_nlacq6476 こちらもお返事遅くなり失礼いたしました。ありがとうございます！！！
наконец то понял эту теорию
ミノリさんの圏論とモナドの話とか、古賀さんの積とか普遍性の話とかと合わせて視聴すると相乗効果を得られて、集合論には無い魅力が圏論にはあるなぁ〜と感じる(一方で謎の数学者さんが「圏論は宗教」と断言されている動画を見ると、賛否両論ある分野なんだなぁ、とも思わされる)
コメントありがとうございます。
基礎部分を伝えられるように意識したので、他の動画との相乗効果があると言っていただけてありがたいです。
細かい話で恐縮なんですが、括弧の中について意見させてください。
賛否両論というのはちょっと語弊があると思います。圏論は数学的に正しいですし、いくつかの分野で有用であることも数学者一般に認められていると思います。ただ、圏論の噂が数学外の分野にも染み出して数学外の人に圏論が "万能である" と思われていることには違和感を感じます (謎の数学者さんの「圏論は宗教」の揶揄はこのことを指摘していると思ってます)。
圏論人気の原因に "万能感" があるのは確かなので、その人気に乗じている私がこれを否定するのもおかしな話ですが、個人的にはもう少し圏論を冷静に見つめてもらえたらいいなと思ってます。
個人的な所感ですが、圏論は集合論と同様に数学を記述する言葉のひとつだと思ってます。現代数学のほとんどは集合をベースに記述されているので、「集合論で数学を全て説明できる」と言うこともできます。しかし、集合論は圏論のような狂気的な人気はありません。数学外の方々にも圏論には集合論と同じような感じで接してもらえればいいなと (とても勝手ですが) 思ってます。
@@ucejvfakrcjuwqbnhl_nlacq6476 細かい解説ありがとうございます。なんとなくですが、頭の中の誤解のからまりがほどけたような気がします。
Это база!
うむ、太極拳の講義だと理解
なるほど。圏論、完全に理解した。でも、これって既存の数学の言い換えをしてるだけなのでは？ 集合論（なり群論なりなんなり）でよくない？、と思ってしまった。
集合論と圏論の違いは中身に注目するかどうか
単射全射とモノモーフィズムエピモーフィズムの定義の違い、普遍写像性を用いた積の定義を見ればわかる
@@yotta11 ありがとうございます。考え直してみます。
公理的集合論だって集合の中身に注目しない．
a∈Aとあれば，素朴集合論ではaがAの元と読むが，公理的集合論では現れる変数はすべて集合なので，aもAも集合だ．
どちらも集合だが「aはAの元となる集合」であり，「Aはaを元にもつ集合」という意味しかない．
だから中身に注目するかどうかも両者の違いとしては大して意味がない．
記号の形式表現のみに注目して実行するのは圏論の特徴ではなく公理的数学の特徴だ．
碌にLogicを学んでいないまま公理的数学の実行を圏論で初めて学んだ多くのものが，圏論特有の思考法と公理的数学の思考法を混同しているだけのこと．
集合論は中身に注目するのではなく，中身を「容易に記述できる」というだけだ．
圏論のレジェンドたちが，圏論黎明期に当時の関係代数を代数系の狭い枠から開放した時に，組み上げた圏論の雛形をアピールしようと使ったセールストークが未だに強い影響を与えている．
モノとエピの特徴づけだって，そもそもは圏論が最初ではなく集合論を前提とした関係代数での発見がもとになっている．
言い換えれば射を具体的に考えずに射の推移や存在などの組み合わせだけで特徴づけられるというアイディアは集合論でも実行可能だ．
では何が違うのかといえば公理が違う．
圏論の公理（正確にはメタ公理）は単純だが，集合論は（比較して）複雑だ．
また，圏の公理そのものではほぼ役に立たず，関手や自然変換と合わせたシステムでようやく基礎をなす．
圏の公理を見れば分かるが「ほぼモノイド」の公理である．違うのは代数系に必須の「演算によって閉じている」が要請されていないことである．
この様に弱めることで多くの数学的対象に適用可能になった．
更に公理的手法の利点は，圏から関手，そして自然変換へと圏という概念をメタに（階層再帰的に）適用可能なところにもある．
これを集合論とは異質の発想だと勘違いする者たちも多いが，集合論だって「集合の集合」つまり集合族は普通に考えるし，さらに集合族の集合族だって作れる．
通常，圏論の議論も集合論を前提とする．多くの場合は非自明なグロタンディーク宇宙を前提にするが，自然数を扱える非自明なグロタンディーク宇宙は「ZFC+到達不能基数公理」という集合論と基本的に同じとみていい．
また，圏の同等を定義するにも何らかの意味での集合を必要とする．（「型」などを使うことで集合を前提としないという言い分もあるが）
その「何らかの集合概念」が必ずしも「カントールの素朴集合」や「ツェルメロの公理的集合」である必要がないという意味では「（通常の意味での）集合論を前提としない」という表現は間違いとは言えない．しかし，「領域」にしろ「型」にしろ，何らかの「概念のあつまり」に相当する集合のような概念がなければ関手の概念すらまともに記述できない．
つまり圏論も何らかの集合論の上に組み立てられている訳だから，当然に集合論に翻訳可能だ．
そして，よく圏論通が言っている「圏論で理解しやすくなる」というのは，「高階の構造の記述が簡便になり見やすくなる」という程度の意味しかないので，いろんな数学の分野を学ぶときに「圏論的記述で学んだほうがより理解しやすい」などということは全く無い．
むしろ，通常の集合論的記述で各分野を学んでから圏論の技法を学ぶ方がずっとずっと正確に速く理解が進む．
そもそも創始者達もレジェントたちもその様に学んだのだから．
そういった意味で，圏論を現代数学教練の初期に持ってくる必要性は薄い．仮にそうするとしても初学者には圏の定義と可換図の「読み書き」程度の紹介に留めるのが無難だろう．
@@saundersn.6147 公理に注目した詳しいコメント、ありがとうございます。参考にさせていただきます。