Mathematik-Olympiade Aufgabe 601245 (Mathe-Song)
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- เผยแพร่เมื่อ 14 ต.ค. 2024
- Playlist mit allen Mathe-Songs: bit.ly/MatheSongs
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Songtext:
Diesem Song liegt eine Aufgabe der Mathe-Olympiade Bundesrunde
2021 für Klasse 11 und 12 zugrunde.
x, y und z sollen nicht negativ wer‘n
und wir bauen daraus folgenden Term:
Summiere 1 plus das Produkt aus zwei Variablen
Geteilt durch 1 plus das Quadrat der dritten Variable.
Dieser Term nimmt verschiedene Werte an.
Die Frage ist, wie klein er dabei werden kann.
Ich gebe zu: Das ist sehr frei formuliert,
Während die Aufgabenstellung das genauer präzisiert:
Man bestimme die größte reelle Zahl A
Mit der Eigenschaft: Diese Ungleichung ist immer wahr.
Da beispielsweise kein Bestandteil negativ ist,
Ist direkt klar, dass der ganze Term nicht negativ ist.
Mit Größer gleich Null haben wir eine wahre Aussage,
doch nach dem größtmöglichen A war ja die Frage,
denn natürlich bleibt das damit auch größer minus 2,
aber was ist denn mit 1, Wurzel 2 oder 3?
Wie weit kann man gehen, bis es grad noch funktioniert
und man die Abschätzung nach unten dieses Terms hier optimiert?
Das ist die Frage, die nun hier dahinter steckt
und dann schaut man einfach mal, was man da alles so entdeckt,
wenn man diesen Term betrachtet und ein bisschen was probiert
und dabei die Geduld nicht verliert.
Wie groß das hier ist - oder eben auch wie klein,
Sieht man wahrscheinlich am besten, setzt man konkrete Werte ein.
Sind alle Variablen immer 0, sind wir dabei,
Immer nur 1 zu addieren - also kommen wir auf 3.
Das heißt, unser A kann nicht größer als 3 sein,
denn sonst wäre unser Term bereits in diesem Fall zu klein.
Bisher können wir also insgesamt verbuchen:
Das A ist zwischen 0 und 3 zu suchen.
Das waren meine ersten Schritte und dann sah ich recht fix:
Ein Tausch der Variablen ändert am Ergebnis nix.
Also ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir
x, Ypsilon und z der Größe nach sortier’n und somit hier
verwenden: y und z sind größer gleich x,
Also ist der Term mindestens 1 - das ging fix.
Wir wissen also garantiert zweifelsfrei:
Das A liegt zwischen 1 und 3.
Wir hatten hier ja schonmal drei Nullen eingesetzt,
doch was passiert hier eigentlich, wenn man jetzt
das x beliebig lässt, denn da seh ich grad:
man kommt auf 2 plus 1 geteilt durch 1 plus x Quadrat.
Interessant, denn der letzte Term
kann für beliebig große x ja beliebig klein wer’n.
So kommt man beliebig nah an 2 heran,
sodass das A, was wir suchen, höchstens 2 sein kann.
Denn wäre A echt größer als 2, hätte man hier
ja die Ungleichung immer und insbesondere wenn wir
z und y 0 setzen und die 2 subtrahieren,
dann können wir daraus schon bald hier einen Widerspruch kreieren.
Denn: Dieser Term hier links ist echt kleiner als
1 durch x Quadrat, doch das ist A minus 2, falls
x geschickt gewählt wird und so machen wir das jetzt.
Dieser Teil ist fertig. Fetzt.
Erinnert ihr euch noch wie wir größer gleich 1 gezeigt haben?
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit konnte man sagen,
die Variablen wären allesamt der Größe nach sortiert
und wir hatten uns auf x als die kleinste konzentriert.
Doch schauen wir auf z als die größte der drei Variablen,
dann können wir in den ersten beiden Brüchen hier ja sagen:
z größer gleich y und z größer gleich x.
und wenn ich das jetzt hier verwende seh ich fix:
Der zweite Bruch ist Kehrwert des ersten. OK.
Die Form ist also t plus 1 durch t.
Das ist gut, denn wird t selbst klein,
muss der Kehrwert von t umso größer sein
und die beiden in Summe werden dann am kleinsten,
wenn sie wie eine Waage im Gleichgewicht beide 1 sind.
Somit gilt größer gleich 2 und es ist vorbei.
Das gesuchte A ist gleich 2.
Ich weiß, ich hab gesagt, es wär’ vorbei, doch
Es gibt ne zweite Teilaufgabe, wo man auch noch
die Variablen finden soll, wo hier Gleichheit steht,
doch da der dritte Summand positiv ist, geht
es niemals, die Gleichheit tatsächlich anzunehm’
und daher kann man diese Teilaufgabe ganz bequem
beantworten: Egal, ob groß oder klein.
Für keinerlei Zahlen stellt sich hier Gleichheit ein.
Besonderer Dank an Silko Pillasch, Edward L Krum, Philipp Wohlleben, Michael Ludwig, Aileen Ewering, und Jennifer Webs, die mich auf / dorfuchs unterstützen!
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Das auf 1,5 x Geschwindigkeit und Dorfuchs hat den krassesten Flow überhaupt xD
Haha
True
Doppelte geschwindigkeit is einfach rap god eminem😂
Echt so!
Jaaa haha 😂
In Kooperation mit der Mathematik-Olympiade durfte ich diesen Song sogar soweit rechtzeitig produzieren, dass er dann direkt in die Preisverleihung bei der diesjährigen Bundesrunde eingebunden werden konnte. :D
Tolle Aufgabe und toller Song! :D
Genial, wenn die Auflösung auf diese Weise präsentiert wird! 😃
Also jetzt bin ich buff.... O_o
Super Aktion!
Kannst du mal einen Song über Sinus, Cosinus und Tangens machen??
Der letzte Schritt mit t + 1/t ≥ 2 kann übrigens direkt so hier gezeigt werden:
t + 1/t = (√t − 1/√t)^2 + 2 ≥ 2
oder aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel hergeleitet werden:
(t + 1/t)/2 ≥ √(t⋅1/t) = 1
So hätte ich es gemacht 😀
Und für die weniger kreativen: Bei sowas hilft zur Not auch eine einfache Kurvendiskussion, d. h. ableiten und Minimum suchen.
@@steffahn Das habe ich mich auch gefragt. "Einfach" grad(…) = 0 lösen, geht das nicht auch? Dann gab es noch ein paar Größen in der mehrdimensionalen Differentialrechnung, um dann zu entscheiden, ob es ein Minimum/Maximum/Sattelpunkt usw. ist… Hab die aber nicht mehr im Kopf :D
@@jgoep2310 Meinst du, das Problem von Anfang an (also mit 3 Variablen) mit Gradient lösen? Das wird nichts, da ja kein (globales) Minimum erreicht wird sondern sich der Funktionswert ja nur, wenn man die Parameter in der richtigen „Richtung“ nach Unendlich laufen lässt, von oben beliebig nahe der 2 annähert. Also ist Gradient mit Null Gleichsetzten nicht zielführend.
@@steffahn Ja, das meinte ich! Ich kann dein Argument momentan leider nicht nachvollziehen (was nicht heißt, dass ich an seiner Richtigkeit zweifle). Das war spontan meine erste Idee (bin Physikstudent, und kenne natürlich noch diverse andere Minimierungstechniken 😂😅). Würde mich über weitere Erklärung freuen. 😅👍
Lösen von mathematischen Problemen
Niemand:
Mathestudenten: mit Rechenwegen
Matheprofessoren: Arbeiten mit langen Beweisen
Gott: legt die Lösung fest
Dorfuchs: spielt eine klavierbegleitete - romantische Suite
Gott hat’s am einfachsten
oder die profs nur: die behauptung folgt trivial
Also ich war in der 3. oder 4. Klasse mal bei der Mathe-Olympiade (sogar in der 2. Stufe!) und fragte mich dann sofort, ob ich denn jetzt immernoch die Aufgaben für meine jetzige Klassenstufe lösen könnte. Ich bin nach einiger Zeit Überlegung zum Ergebnis gekommen: Nein. Nein, das kann ich nicht xd
Das war die 4. Runde (wahrscheinlich)
Du musst natürlich bedenken, dass diese Aufgabe die besten Teilnehmer Deutschlands gelöst haben. Da haben sie schon 3 Stufen hinter sich. Die MO hat aber alle Aufgaben auf ihrer Webseite, da kann man das ja einfach mal mit der 2. Stufe probieren.
Für jeder Wettbewerb muss man sich vorbereiten, es ist nicht als spontane Probe gedacht. Die Sportler trainieren jahrelang, um zu Wettbewerb zu fahren. Mit der Mathe auch so: es gibt geheime Themen, die man in der Schule nicht viel behandelt, und in Olympiaden sind sie gerne gefragt.
Das war die Bundesrunde letztes Jahr. Ich habe zwar dieses Jahr daran teilgenommen, aber die, die es in der 11./12. noch schaffen, Aufgaben zu lösen, sind glaube ich Genies ;)
MATHE SONG 37 LET'S GOOOO
TWO MATHE-SONGS IN TWO MONTHS
DORFUCHS IS INSANE
@Michael Darrow yep i am not german
eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neuen, zehn
i dont even know german (or algebra, for that matter) but the songs are so catchy
@Michael Darrow Yep the graphics are really fucking good
@@Regian If you guys want to, i could make you some subtitles :D
pure nostalgie einfach wieder den 7te klasse vibe wo wir deine songs immer im untericht gehört haben. legende
Mann, ihr hattet interessante Mathestunden, mag ich auch!
Besserer Flow wie 90% der Deutschrapper, und labert nicht nur scheiße, was soll ich da sagen, Respekt, Daumen hoch!
As a math teacher student, who is also into learning German, I must say this is just so satisfying to see. Great song and also very good explanation on how to solve the problem
Hey, ich habe 2016 mein Abitur gemacht. Und dank deinem pq-Formel Song, hab ich meine Mathe LK Prüfung sehr gut gemeistert. Übrigens kann ich die pq-Formel immernoch, aber nur mit deiner Melodie im Ohr :D Jetzt schau ich deine Videos für mein Studium. Also Danke für deine tolle Arbeit
Was studierst Du?
Though I don't understand German, awesome video and great ideas to combine math with songs. This video deserves more views!! (Greetings from Taiwan
Hallo Dorfuchs,
ich wollte nur sagen, dass ich ein großer Fan von dir bin und deine Musikvideos echt klasse finde(einer meiner Favoriten ist der Ortskurven Song). Ich höre deine Songs immer auf repeat wenn ich Uni aufgaben mache, und dass hat mir das Studium gerettet. Wenn ich irgendwann einen Nobelpreis gewinne, erwähne ich dich in meiner Rede x3.
Endlich wieder ein Song!
Wow, eine Aufgabe von der Mathe-Olympiade und dann auch noch mit Mathe-Song! Ein sehr schönes Video und eine tolle Aufgabe, das sind die Sachen, die mir gefallen! :) Hat mein Tag ein großes Stück schöner gemacht, danke!
Sehe ich genau so! 😊😎
Ich auch :)
Eltern: Welche Musik hörst du?
Ich: Es ist kompliziert...
Schöner Song, man kann ihn ja mehrmals gucken , der letzte Teil mit Kehrwert ist vielleicht etwas hakelig in dem Tempo
Mein persönlicher Sommerhit 2021 :)
DU MACHST UNSER MATHE LEBEN LEICHTER immer vor Tests Schauen wir deine Videos, DU BIST EIN MATHEMATISCHER SONNENSCHEIN💪
Immer Gänsehaut bei den Stellen wie: 3:56
Genial, danke! Das Ende hat auf jeden Fall nochmal richtig reingehauen. 💪
Der Song ist meine Motivation für die Mathe Klausur
Könntest du mal ein Video über eins der Milleniumprobleme der Mathematik machen? Also allgemein darüber, ob du überhaupt das Problem verstehst und was so schwierig daran ist, sie zu lösen. Ich habe sie schon öfter durchgelesen und komme nicht wirklich mit. Es wäre sehr interessant, mal von dir zu hören, wie du dazu stehst :) Liebe Grüße!
Ich finde du singst nicht "gut", aber deine Singstimme klingt sehr schön und du schaffst es unglaubliche Harmonien zu vermitteln.
Es ist unglaublich schön dir zuzuhören, wirklich! :)
Es klingt auf jeden Fall gut.
Darauf hab ich gewartet! Endlich ein neues Video.. Johann, du bist einfach super! 😊
Der erste Song, wo ich sagen muss, dass mir der Song so sehr gefällt, ohne dass ich irgendetwas verstehe :)
Das muss öfter kommen du singst echt gut!
Sehr schöne Lösung.
Als Physiker hab ich es intuitiv mittels Näherungen sehr schnell "gelöst" bekommen, die Symmetrie des Problems ausgenutzt, mal 2 Variablen mit einer anderen verglichen.
Da gibt es (aufgrund der Symmetrie) nur 3 "interessante" Fälle: z>>x,y; x,y>>z und z=y=x, beim letzten kommt immer A=3 heraus, beim zweiten gehen 2 Terme gegen 0 und der dritte geht in die Luft, und beim ersten passt es, wenn man für x, y =0 einsetzt und z gegen unendlich schickt, was gewissermaßen der Extremfall dieser Näherung ist.
Zugegeben, das sauber mathematisch auszuformulieren und zu beweisen hätte noch ein bisschen Arbeit gekostet;)
Welch ein Ohrenschmaus! Herrlich :)
Supper...Diese Art inspiriert mich auf charmoniche Art und Weise... Frage, mit der Bitte um Antwort: Suche mathematische Formel zur exakten Berechnung einer Seil- Wickel- Länge mit mehreren Lagen an einer zylindrischen Seiltrommel...
Ein wirklich sehr schönes Lied!!!
Ich liebe den Song. Danke dafür! ♥️
Wäre nur Toll das Lied auch auf Apple Music hören zu können.
Du hast echt eine gute Stimme du hast deine Stimme echt in dehn Jahren krass verbessert mach weiter dein ding 👍🏼👍🏼
Hab jetzt einen Ohrwurm vom Refrain. 😅👍
Kannst du bitte ein Video über die Taylor Reihe machen .
Ich verstehe zwar garnichts von Mathe, aber die songs ballern trotzdem immer
Hört sich super an!
Super song!
Warum gibt es den Song nicht auf Spotify?
Hab nur die Zahl im Titel gelesen und dachte, das wär ein Video von Held der Steine
Die beste colab imo…
Der Song ist echt gut und ich hab ohne Erklärung sogar verstanden was das Ziel ist
Habe das im Livestream gesehen, richtig nicer song
könntest du auch mal bestimmen für welches Tripel (x,y,z) der Term minimal wird?
Das kann man einfach aus dem Video herleiten.
(x,x,inf) bzw. (x,inf,x) bzw. (inf,x,x)
für x>= 0 und inf = unendlich; sind die Lösungen. Gibt damit unendlich viele Tripel.
Dies wird am Ende beantwortet: Es gibt keine reellen Zahlen (x,y,z), sodass der Term sein Infimum 2 annimmt. Die andere Antwort oben ist leider verwirrt. unendlich ist keine Zahl.
Du machst die besten Video
Aber so was von! :D
Kann man hier nicht einfach eine Optimierung mit den Ableitungen machen? So Hessematrix und so.
Über die Hessematrix hast du nur hinreichende Bedingungen für lokale Extremstellen und kannst die ja nur anwenden, wenn es kritische Punkte gibt. Aber wie am Ende gesagt: Das globale Infimum wird eben nie angenommen, sodass das hier nicht funktioniert...
Ich liebe dieses Lied ❤️🔝
Einfach genial
überhaupt nichts verstanden aber trotzdem super gemacht ich schau mir alle deine Vidéos richtig gerne ab
Wenn es für b) keine Antwort gibt, ist die Lösung aus a) nicht dann falsch, weil es ja dann eine größere Zahl geben muss als 2 die kleiner gleich ist.
Nein, bei ca. 0:45 siehst du die genaue Definition der Aufgabe. Für jeder größere Zahl, zB 2+Epsilon, hat er gezeigt, dass es Werte gibt, für die die Ungleichung nicht stimmt deshalb ist 2 die größte Zahl, sodass die Ungleichung stimmt.
Der Song ist bestimmt ganz cool zum lernen
Aber wozu brauch man den mist worüber er singt?
Mal erlich in welchem Beruf oder in welchem Bereich des Lebens benötigt man soetwas
Erster( Ich bin gerade in der Schule)😅
Warum bist du während des Schulbesuchs/unterrichts am Handy? Eijeijei
@@thorbt847 Wir haben Kahoot gespielt, dann habe ich die Meldung bekommen, dass Dor Fuchs ein neues Video veröffentlicht hat.😂
Gibt's den Song auch als Instrumental Song? :)
Guter Song. Stell dir vor du stehst vor 3 Türen
hahahah... nur hinter einer kannst du nicht verlieren ;)
Kann man schon mal so machen. :D
Ganz ganz großes Kino!
Habs natürlich direkt gecheckt, aber der song ist geil.
Dachte ich gucke jtz ein Video von vor paar Jahren, bis ich die Kommentare gelesen habe und gemerkt habe das es neu ist ^^
Ich versteh zwar nichts, aber hört sich schön an.
Also ich hab selbst in der 4. Runde an der Aufgabe gesessen. Habe dort ne Mittelungleichung draufgeschmissen, welche aber nicht komplett funktioniert hat. Dieser Song ist sehr schön, aber wenn man sich 2,5h mit der Aufgabe beschäftigt hat auch sehr deprimierend :)
Gutes Video, hab das Beispiel auch verstanden.
ist der auch auf Spotify?
Juhuuuuuuu, ein neuer Mathe-Song und dann gleich noch so einer😍😍
Der Kerl macht einfach bessere Musik als diese ganzen Wannabe Deutschrapper, obwohl er über eine Aufgabe aus der Matheolympiade rappt :D Respekt !
Ich verstehe die Teilaufgabe b) nicht. Was wird da verlangt?
Sehr schön und das Ende 😍😬
Kapier zwar nichts, aber super Ohrwurm.
wir lieben dich du bist unser vorbild LG Nils
Gibt es nen Dorfuchs Discord Server? Wenn nicht, wir brauchen einen!
Endlich wieder ein Mathe-Song!!!!
1.5 Geschwindigkeit und es ist perfekt
juhu ein neuer song
Meine Frau hat dein Video gesehen, die will mich jetzt wegen dir verlassen. Du bist einfach zu cool 😎
papatastisch
Nix verstanden aber den Track kann man sich echt geben
Ehrlich gesagt, in englischsprachigen Rap verstehe ich noch weniger))
Der Sound ballert nicht so wie bei dem Primzahlsong, aber die Aufgabe hat dafür geballert, ist ne coole Sache, die Verfahren sollte man sich merken, weil ich zugegebenermaßen Abschätzungen immer noch nicht intuitiv draufhabe
Ich war zwar nach 3 min raus, aber schöner Song.
Die Facts die der Bruder ballert sind realer als die reellen Zahlen! 🚬
xD
Schöne Melodie :)
hört sich geil an!
Der neue Megahit !!!
Hab ich gerade einen Denkfehler? Wenn sagen wir x=0 und y=z=2 gilt, wäre doch allein der erste Summand schon 5 und und damit der ganze Term schon größer als 3?
eine umformulierung des problems, die eventuell hilft: "man kann alle möglichen positiven zahlen für x y und z einfügen. das führt zu einem ergebnis, z.B. größer als 3. aber was ist das kleinste ergebnis, das man erzielen kann?"
11111111111111111
Witzig! Ich hätte nie behauptet, dass ich die richtige Lösung habe aber ich hab einfach im Kopf erst alle 3 Variablen gleich gesetzt und beim Rumspielen ist mir aufgefallen, dass man einen Term killen kann wenn x, y = 0 und z -> unendlich geht. So ist man bei etwas über 2 😄
Ein blindes Huhn... 😂
Sehr cool
Wieso darf ich denn im letzten Schritt das z gegen verschiedene Werte abschätzen?
Normalerweise kann ich in einem Term ja nicht die gleiche Variable gegen verschiedene andere Variablen abschätzen, auch wenn diese kleiner sind...
Guter Punkt! Das geht hier nur, weil alle Faktoren bzw Nenner garantiert nicht negativ sind - denn sonst würde sich bei Multiplikation bzw Division mit negativen Zahlen das Relationszeichen umkehren.
z ≥ y | ⋅y
yz ≥ yy | +1
1+yz ≥ 1+yy | /(1+x²)
(1+yz)/(1+x²) ≥ (1+yy)/(1+x²)
@@DorFuchs Ahja, durch die Umformung da unten wird es mir klar. Danke :)
Was ein Banger!
schön erklärt :D
Du bist king bruder
Ich hab in der 5 Klasse 3. Platz gemacht. Darf ich mich nerd nennen?
Interessante Vorgehensweise, erst oBdA x
hast dir unser Abo verdient 😁
ist eine geile programmieraufgabe
Warum Programmieraufgabe?
@@softknk1422 man kann sich dem wert mit einem programm annähern. ist halt ganz praktisch, da man dann das ergebnis ohne beweis sehen kann.
Nices Video
wie geil is das denn bidde 💚💚💚🤘🏻
So ein guter Song der sollte in die Charts endlich mal jemand der sinnvolle Inhalte hat hahaha
nice ;D
echt gut!
😘😘😘❤
Richtig gut!
Awesome video
du hastn knall
Das macht irgendwie Sinn aber so schnell wär ich da nicht drauf gekommen ich hab auch mal bei Mathe olympiade in der 8. Glaube teilgenommen war sogar in Magdeburg bei der 3.Stufe dort aber leider ausgeschieden war aber knapp
I like mathematics but I want to become a playback singer