Deine Videos haben Ähnlichkeit mit denen von 100SekundenPhysik: am Anfang wirkt alles logisch und man kann gut folgen - dann blinzelt man einmal und ist komplett lost.
Hoffe das erste Ergebnis auf google ist ein Parodie Twitter Account, wobei das irgendwo auch traurig wäre, wenn jemand so seine Zeit verschwendet. Fuck AfD
Es hilft ähnliche Aufgaben gesehen zu haben. Bei den Mathewettbewerben gibt es meist so eine algebraische Formel, die man plötzlich durch Teilbarkeiten lösen kann. Eigentlich waren es 2 kreative Ideen: die pq Formel und die Teilbarkeit
Tatsächlich kann man bei 1:35 auch schon Substituieren und nachdem man mit den Nennern von x und y multipliziert, kommt man auf sowas wie a^2+ab+b^2=50q^2. Jetzt kann man wie bei der Irrationalität der Wurzel von 2 argumentieren, das a, b und q immer wieder alle durch 2 teilbar sind.
1:44 wenn ja, dann weißt du sicher, dabei darf man nicht dösen. Denn, ob es eine Lösung, keine Lösung, zwei Lösungen gibt [...] x ist MINUS P HALBE ...
Ich hab höhere Mathematik 2 im Studium gerade so bestanden, trotzdem finde ich deine Videos genial. Das Video über den eulerschen Ziegel war mind-blowing. Mach bitte immer weiter!😍
Lerne grad für die Mathe LK Klausur in der Q1.1 (12. Klasse) und TH-cam meinte, dann kann ich doch direkt weiter machen. 😁 Frei nach dem Motto, wenn du der schlaueste im Raum bist, wechsele den Raum, habe ich mich mal drauf eingelassen ohne den Anspruch, alles zu verstehen. Das habe ich auch nicht, aber ich fand spannend zu sehen, was man so machen kann, wie flexibel man im mathematischen Denken werden kann und wie Dinge eingeflochten wurden, die wir auch schon kennen. 😃 Deine Begeisterung ist ansteckend. 😉
Ich bin in Mathe eine vollkommene Niete. Dieses Video hat mich nun mit 2 Fragen zurückgelassen. 1. Warum hatte ich Spaß an diesem Video ? 2. Warum konnte ich alles, wenn ich es auch nie selbst anwenden könnte, nachvollziehen ? Von modulo 3 hatte ich zuvor maximal ansatzweise gehört. Hier war alles klar und schlüssig. Vielen Dank für dieses Video !
Solche nachvollziehbaren Lösungspräsentationen könnte ich mir den ganzen Tag anschauen. Ich würde nie von selbst darauf kommen, mich aus heiterem Himmel mit Modulo 3 zu beschäftigen. Dass die Wurzel einer natürlichen Zahl immer natürlich oder irrational ist, war mir bisher nicht bewusst.
Naja, ein 'qed' macht man auch eher bei deutlich aufwendigeren Beweisen. Ich habe es auch eher mit dem quadaratischen Kästchen am rechten unteren Rand der Seite gelernt. QED war eher was für die richtigen Angeber ;)
Ich war wirklich nie schlecht in Mathe, aber immer, wenn man sich ein paar Größen zusammenfasst und da einfach eine andere Variable nehmen soll (a, b, c, beta, gamma) habe ich keine Ahnung mehr. Respekt an Leute, die bei so einem Wettbewerb mitmachen und dann auch in den entsprechenden Zeiten die Aufgaben lösen können. Ich begnüge mich im Dezember dann wieder mit dem Matheon-Adventskalender. 😁
Das Beispiel ist allerdings auch aus der 2. Wettbewerbsrunde, die ist nochmal ein Stückchen schwieriger als Runde 1. Versuche es doch einfach beim nächsten Wettbewerbslauf, der im Dezember startet. Wer weiß...;)
Hallo @@jasmin2795, eine Altersvorgabe im eigentlichen Sinne gibt es nicht. Die erste Runde steht Schülerinnen und Schülern aller Klassenstufen offen, die eine Schule in Deutschland besuchen, die zur Hochschulreife führt. In seinen inhaltlichen Anforderungen richtet sich der Wettbewerb an die Klassen 9 bis 13.
Wir hatten bei uns damals jemanden, der Mathe einfach geliebt hat. Er war dann sogar besser als der beste Mathematiker(von der Intilligenz her). Desto mehr man sich mit Mathe beschäftigt, desto einfacher ist es. Das habe ich bei mir ebenfalls gemerkt, anders als bei Physik und co. musst du bei mathe Gleichungen nicht interpretieren.
War sehr verständlich und gut erklärt. Ich konnte ohne das Video zu pausieren direkt alle Beweisschritte nachverfolgen, aber ich brauchte schon oft Vorwissen aus dem Mathestudium, um einige Beweisschritte direkt zu verstehen
Brauche deine Videos eig nicht für Mathe infos, bist einfach sympathischer und absolut Authentischer Mensch und dafür lass ich ein Abo da, man merkt das du das mit Herz und Seele machst. Lg aus der Grünen Mitte
Man muss den Schritt von 200b^2-3a^2=c^2 nach 200b~^2-3a~^2=c~^2 gar nicht machen wenn man a und b als teilerfremd definiert und dann beweist, dass a, b und c durch 3 teilbar sind.
Wenn man bereits in der Gleichung x²+y²+xy=50 für x und y gekürzte Brüche x=r/s und y=p/q einsetzt, so ist (rq)²+(ps)²+rspq=50s²q², woraus man sowohl q teilt s, als auch s teilt q folgern kann. Daher ist s=q (oder s=-q) und folglich r²+p²+rp=50q² (oder r²+p²-rp=50q²). Da die rechte Seite gerade ist, muss auch die linke Seite gerade sein, was nur sein kann, wenn sowohl r als auch p gerade sind. Dann ist aber die linke Seite auch durch 4 teilbar, so dass auch ein Faktor 2 in q² und daher auch in q stecken muss. Das ist aber ein Widerspruch dazu, das p/q ein gekürzter Bruch ist. Dieser Weg erspart einem die ganzen hässlichen Wurzeln.
@jj zun Wir haben es zwar schon ein wenig angerissen, aber ausführlich behandelt definitiv nicht. Allerdings bin ich an ner Matheschule, das wird also wahrscheinlich in der Sek. 2 noch etwas mehr behandelt.
@jj zun Naja man hat ja grundsätzlich schon, für Praxis relevantere Themen, dieses ständige “Wozu brauch ich das???” und viele Lehrer finden dazu nicht mal brauchbare Antworten. Beweis Methoden sind praktisch überhaupt nicht relevant (sofern man nicht wissenschaftlich in MINT arbeitet). Also, im geringen Sinne Praxis relevant, z. B. im üblichen Design von Algorithmen bei Programmieren könnte man Induktion zum Beweisen von Algorithmen-Korrektheit verwenden, allerdings macht das keiner. Beweisen ist viel Übung und kein genaues Prozedere was oft eher “Glück-Umformungen” benötigt.
@@obinator9065 stimmt schon aber wer beweist sein algo in der Praxis denn mit Induktion schleifeninvarianten oder sonst was, selbst in Coding Interviews wird das nicht verlangt. Oh warte das hast du selbst geschrieben never mind🙃
x²+y²+z²=100 beschreibt einen Punkt auf einer Kugel mit Radius 10. Bei der Kugel gibt es zu x+y=-z "auf der anderen Seite der Kugel" wegen Symmetrie ein x+y=-z (Spiegelung an der x-y-Ebene). Daraus folgt z=0, also x=-y, also 2x²=100, also x=sqrt(50), also irrational.
Der fragliche Großkreis, also der Schnitt der Sphäre vom Radius 10 und der Ebene, kann folgendermaßen parametrisiert werden: K(t) = 5*sqrt(2)*(cos(t) + sin(t)*1/sqrt(3), - cos(t) + sin(t)*1/sqrt(3), - sin(t)*2/sqrt(3))
Die Aufgabe erinnert mich stark an meine Staatsexamensvorbereitung Algebra - ich hatte auch gleich an das "Legendre-Symbol" gedacht (also genau Quadratische Reste bzw. Quadratische Nicht-Reste), schöne Aufgabe auf jeden Fall :)
Real talk: die hab ich o.w.b. (ohne wesentliche beanstandung) geschafft 💪 Wurde jetzt zur dritten runde zugelassen Ich hab das video noch nicht gesehen, bin mal gespannt, ob die lösung ähnlich ist wie meine...
Ich kam erst nicht ganz damit zurecht, wieso a, b, c nicht kongruent in Modulo 3 sein durften, allerdings musste es ja einen Bruch a/b geben, der vollständig gekürzt ist, weil y (=a/b) rational sein soll. Wäre verständlichler, wenn das nochmal erwähnt worden wäre, trotzdem meinen tiefsten Respekt für die ausarbeitung dieses Lösungsweges.
@@n00bApf3L Ich habe einen dritten Preis. Bei Aufgabe 1 war ein Satz etwas schlecht formuliert, bei Aufgabe 2 ohne wesentliche Beanstandung, bei Aufgabe 3 gab es schon ein paar kleine Probleme und Aufgabe 4 habe ich so gut wie gar nicht gelöst. Alles in allem bin ich froh über meinen 3. Preis.
@@MrSilverMo ich habe kein Zertifikat bekommen, es steht nur klein auf meinem Zeugnis und in altgriechisch Unterricht wurde das auch nicht thematisiert, aber du kannst mir schon glauben. Welchen Grund hätte ich zu lügen?
Vorschlag für eine kürzere Lösung (nur eine Skizze): Angenommen, die Ausgangsgleichung hat eine Lösung 1. Finde einen gemeinsamen Nenner r und schreibe x= a/r, y=b/r, z=c/r mit GANZEN Zahlen a,b,c,r. Setze s=5r und multipliziere die erste Gleichung mit r, die zweite mit r^2 und erhalte: a+b+c = 0 und a^2+b^2+c^2 = 100r^2= 4s^2. 2. Substituiere wie im Viedo. : die erste Gleichung gibt c=-(a+b), also wird die Zweite Gleichung zu 4s^2= a^2+b^2+(a+b)^2= 2(a^2+b^2+ab) 3. Falls diese letzte Gleichung eine Lösung hat, hat sie auch eine Lösung, bei der a,b,s keine gemeinsamen Teiler haben (falls ggT(a,b,s)=d kann man die Gleichung durch d^2 teilen und dann sind a/d,b/d,s/d auch eine Lösung mit ggT 1). Wir können also oBdA annehmen, dass ggT(a,b,s)=1 4. Da in dieser Gleichung alle Zahlen ganze Zahlen sind und die rechte Seite gerade ist, ist auch s gerade (Bemerkung: nein, wir wussten das noch nicht, wir haben zwar oben s=10r gesetzt, aber das muss nach dem oBdA von 3. nicht mehr gelten, da wir gemeinsame Teiler entfernt haben, streng ist das s jetzt also ein s`). Setze s = 2t und erhalte: 4t^2=2(a^2+b^2+ab) , also 2t^2 = (a^2+b^2+ab) . 5. da s gerade war und wegen 3. sind a oder b ungerade. Sei oBdA a ungerade. Dann ist a^2 +b^2+ab= a^2 + (b)*(a+b). a^2 ist ungerade, b(a+b) ist immer gerade(falls b ungerade ist, ist a+b gerade), also ist die Summe ungerade, im Widerspruch zur Gleichung in 4. (es sollte 2t^2 und damit gerade sein).
Wäre nicht eine Erklärung, dass eine negative zahl zum Quadrat positiv sein muss, was man für die zweite Formel braucht, aber für die erste Formel braucht man entweder 0 oder eine negative Zahlen.
Ausgehend von x²+xy+y²-50=0, wenn y = a/b, dann ist bx eine rational Nullstelle von t²+abt+a²-50b². Nach dem rational root theorem ist t ganz. Also teilt der Nenner von x den nenner von y. Per Symmetrie folgt, dass alle x,y,z denselben Nenner b haben. Also sind die Zähler (x',y',z') := (bx,by,bz) ganze Zahlen mit x'+y'+z'=0 und x'^2+y'^2+z'^2 = 100b². Falls 3 nicht b teilt, ist letzteres 1 mod 3 und links muss (da Quadrate nicht 2 mod 3 sein können) genau einmal 1 mod 3 und zweimal 0 mod 3 auftauchen. Aber dann steht in x'+y'+z' auch zweimal 0 mod 3 und einmal etwas anderes und die Summe kann nicht 0 sein, Widerspruch. Also gilt 3|b. Dann sind die Nenner x',y',z' aber sämtlich nicht durch drei teilbar. In der Form mit eliminiertem z heisst dies wieder x'²+x'y'+y'² = 50 b². Rechts ist 2 mod 3, somit wegen x'² == y'² == 1 mod 3 also x'y' == 0 mod 3, qea
Took me 4:00h despite: - proof is simple and straightforward - proof only uses high school math - proof is short (20 lines when detailed) - I have undergraduate background in number theory Feels adequate for the purpose though.
Habs in ner Viertelstunde geschafft, muss aber zugeben das Zahlentheorie eines meiner Lieblingsgebiete ist und ich dadurch wohl etwas im Vorteil bin :D
Das ist so krass. Da fängt man an, formt um und probiert einfach irgendwelche Sachen aus, solange bis in der 10. Unterebene im kleinen Detail etwas Winziges widersprüchlich ist, was eigentlich kaum noch etwas mit der Anfangsaussage zu tun hat. Und auf einmal fällt die ganze Kette zusammen und die Anfangsaussage ist widersprüchlich, und keiner weiß warum. Das ist Mathematik. Wenn also nur an der kleinsten Stelle im tiefsten Detailrädchen etwas falsch läuft, bricht alles zusammen. Ich hoffe, unsere Teilchen- und Quanten-Physik da unten ist stabil genug, dass das mal bitte nie passiert.
Und das muss man mal überlegen. Es gibt ja Beweise mit 100+ Seiten. So lange, bis ganz am Ende ein winzig kleines Detail widersprüchlich ist, kaum vergleichbar mit der enormen Größe und Auswirkung der Hauptsache. Und doch fällt alles zusammen, weil das alles auf eine komplexe Weise zusammenhängt, die kein Mensch mehr überblicken kann. Es ist fast magisch, wie komplex und unüberschaubar die Zusammenhänge der Realität sein können. Und nur mit den Werkzeugen der Mathematik erhalten wir Zugang zu diesen komplexen Zusammenhängen der Realität, ohne dass wir sie selbst in unseren Köpfen überblicken müssen, oder je könnten. So arbeiten wir uns eben durch Trial&Error von Umformung zu Zusammenhang und probieren hier und da einen Satz aus, mit der Hoffnung irgendwann am Ende im kleinen Detail die Falle schnappen zu lassen. Das muss die Macht der Mathematik sein: Wir machen uns Abläufe in der Realität zu Nutze, die in dieser Komplexität niemand verstehen kann. Aber durch die Mathematik wurde dieser Zusammenhang nachgewiesen, das können wir uns dann wieder merken und erstellen dadurch Technologien oder Prozesse, die einen Nutzen haben.
Die Lösungen sind eine intersection von einer ebene und einer Kugel (ebenen und kugelgleichung am Anfang) dann ist es relativ einfach (man kann das mit trigonometrie ausdrücken und dam sieht man, dass es keine rationale lösung gibt
Könntest du mal ein Video über Matrizen machen? Das würde denke ich viele Menschen echt weiterbringen. Danke für deinen Content. Der hat mich seit der 8. Klasse bis jetzt in mein Abi-Jahr begleitet und mir geholfen
"... meine Lösung ... eine von mehreren möglichen Lösungen ... findet Lösungsvorschläge zu versch. Lösungen wie solche Aufgaben ... gelöst werden können" - herrlich. Sehr schöner Beweis! (kein Fakultätszeichen)
Wow, habe gerade kurz nachgedacht und festgestellt, dass es in R natürlich Lösungen gibt, war verwundert und stelle nach kurzer Zeit fest, dass da rational und nicht reell steht. Danke Montagmorgen.
Der Gedankensprung bei 6:40 geht mir zu schnell.. Was ich gerade nicht verstehe ist, warum die für den Widerspruch notwendige Annahme: "min. eine der drei Zahlen a, b, und c können nicht durch 3 teilbar sein und die Gleichung 200b^2-3a^2 = c^2 lösen" gleichzusetzen ist mit: "die Gleichung 200b^2-3a^2 = c^2 hat eine Lösung (a, b, c seien natürliche Zahlen)" . Müsste nicht noch gezeigt werden, dass alle Zahlen a, b und c nicht nur aus 3er-Potenzen bestehen können (z. B. 9, 27, 81 etc?) und dass die gleichung 200b^2-3a^2 = c^2 nicht mit Potenzen von 3 gelöst werden kann?
Ich habe einen etwas einfacheren Beweis gefunden: Forme so lange um, bis man bei x²+xy+y²=50 angekommen ist. Dies ist seinerseits nichts anderes als x²+2xy+y²-2xy+xy=50 und das ist (x+y)²-xy=50, also eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt, besser gesagt mit dem Tiefpunkt, (-y|-xy). Das ist jetzt natürlich etwas verwirrend, weil die X-Koordinate des Scheitelpunktes/Tiefpunktes blöderweise gerade -y heißt und die Y-Koordinate des Scheitelpunktes/Tiefpunktes blöderweise gerade -xy heißt, aber sei es drum. Auf der rechten Seite der Gleichung (x+y)²-xy=50 ist also eine nach oben geöffnete Normalparabel f(x)=(x+y)²-xy und für jeden Wert soll diese Normalparabel gleich 50 sein, also insbesondere im Scheitelpunkt selbst. Wenn man also gerade den X-Koordinatenwert des Scheitelpunktes der Normalparabel f(x)=(x+y)²-xy in die Gleichung der Normalparabel einsetzt, also auf gut Deutsch gesagt -y, kommt heraus: f(-y)=(-y+y)²-(-y)y, also y² und das soll =50 ergeben, also y²=50. Wenn also die (falsche) Annahme stimmt, wonach es sehr wohl Zahlen {x,y,z} aus Q geben sollte, für die die Anfangsgleichungen gelten, dann müßte es auch eine rationale Zahl y geben, deren Quadrat =50 ergibt. Einfach ausgedrückt: Die Wurzel aus 50 müßte dann rational sein, was sie aber nicht ist. Weil 50=5² * 2, also ist Wurzel 50 gleich 5 mal Wurzel 2 und Wurzel 2 ist ja nicht rational, was ich aber hier nicht beweise, weil das wenigstens klar sein sollte. Q.E.D.
Ich hab's geometrisch gelöst: das GS beschreibt einen Kreis in R^3. Damit konnte ich x, y, z mit einem Winkel theta parametrisieren. Aus der Rationalität folgt dann nach einigen Umformungen, dass sqrt(6) auch rational wäre.
Ich hab direkt x=p/q und y=r/s eingesetzt (in x^2+xy+y^2=50) und dann ohne pq-Formel versucht einen Widerspruch herzuleiten. Wir nehmen oBdA an, dass q,s>0 und beide Brüche maximal gekürzt sind. 1) Erstmal beide Seiten mit q^2s^2 multiplizieren, damit die Brüche verschwinden: p^2s^2+pqrs+q^2r^2=50q^2s^2 (Gleichung in den ganzen Zahlen) 2) Jeder Term muss durch q teilbar sein ==> q teilt s (da p und q teilerfremd). 3) Jeder Term muss durch s teilbar sein ==> s teilt q (da r und s teilerfremd). 4) Also muss s=q gelten und wir können substrituieren. Anschließend können wir alles durch q^2 teilen: p^2+pr+r^2=50q^2 5) modulo 3 gibts für Quadrate eben nur 0 und 1, daher sieht man schnell durch ausprobieren, dass q= 0 mod 3 sein muss und gleichzeitig entweder p,r= 1 mod 3 oder p,r=2 mod 3. 6) Rechts steht aber q^2, also ist die Seite sogar durch 9 teilbar (0 mod 9). Jetzt schauen wir uns also auch die linke Seite modulo 9 an. 7) Sei p=3k+1 und r=3j+1 für ganze Zahlen k und j. Dann ist p^2+pr+r^2=9k^2+6k+1+9kj+3(k+j)+1+9j^2+6j+1=3 mod 9 (Widerspruch) 8) Falls p=3k+2 und r=3j+2 erhalten wir ebenfalls p^2+pr+r^2=3 mod 9, wieder Widerspruch. Etwas mehr Fallunterscheidungen, geht aber auch :)
Zuerst beobachte: Da 100 = 10², reicht es aus zu zeigen: *SATZ 1.* Es gibt keine x1,x2,x3 ∈ ℚ, so dass (ι) ∑x[k] = 0 und (ιι) ∑x[k]² = 1. Dies ist offensichtlich äquivalent zu: *SATZ 2.* Es gibt keine a1, a2, a3, r ∈ ℤ mit r ≠ 0, so dass, (ι) ∑a[k] = 0 und (ιι) ∑a[k]² = r². Darum reicht es aus Satz 2 zu beweisen. *BEWEIS (von Satz 2)* Wir zeigen durch Widerspruch, ausgehend von einem „minimalen“ Beispiel, dass jede Lösungen sich doch weiter reduzieren lässt. Seien also a1, a2, a3, r ∈ ℤ mit r ≠ 0, so dass (ι) und (ιι) erfüllt sind. 0) Nach Dividieren durch den gemeinsamen Teiler bleiben a1, a2, a3, r ganzzahlige Lösungen zu (ι) und (ιι). Also kann man o. E. annehmen, ggT(a1, a2, a3, r) = 1. 1) Aus (ι) und (ιι) kann man zwei Ausdrücke für a3² erhalten: (-(a1+a2))² = a3² = r²-(a1²+a2²). 2) Daraus folgt r² = 2(a1² + a2² + a1·a2). Also 2 | r². Also 2 | r. 3) Daraus folgt a1² + a2² + a1·a2 = r²/2 = (r/2)·r ≡ 0 mod 2. 4) Durch Fallunterscheidung erschließt sich: a1, a2 ≡ 0 mod 2. 5) Aus (4) + (ι) folgt, a3 ≡ 0 mod 2. 6) Laut (2) + (4) + (5) gilt also 2 | a1, a2, a3, r. Das widerspricht (0)! *QED* *Bemerkung.* _Dieser Satz lässt sich nicht weiter verallgemeinern. Sei n ≥ 4 und wähle a1=1, a2=1, a3=-1, a4=-1, und sonst alle anderen ai=0, und sei r=2. Dann gilt ∑a[k] = 0, und ∑a[k]² = 4 = r²._
Interessant ( aber zugegeben kompliziert :D ) ist auch der geometrische Ansatz im Raum: Betrachtet man die erste Gleichung als Ebenengleichung und die zweite als Kugelgleichung für Vektoren der Länge 10, so muss die Nichtexistenz der rationalen Teilmenge dieses kreisförmigen Schnitts gezeigt werden. Über einen Basiswechsel in die Orthonormalbasis der Ebene erhält man aufgrund der Normerhaltung von Orthogonalen Transformationsmatrizen eine ähnliche sogenannte diophantische Legendre Gleichung, deren Unlösbarkeit analog wie im Video zum Widerspruch führt.
Ich hab x, y und z als Lösungen eines Polynoms dritten Grades angesehen und mit Satz von Vieta weitergerechnet, wenn's jemanden interessiert, ist mal dazu ein ganz anderer Ansatz. Aber tolles Video!
Das mit der Schlange könnte man sich auch sparen, da laut Definition a und b teilerfremd sind, weil a/b ein fertig gekürzter Bruch ist. -> a oder b ist sicher nicht kongruent 0 (mod 3)
Das war viel zu leicht. Was mich viel mehr interessieren würde ist der Beweis, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion den Realteil 1/2 haben.
Habe mich heute daran versucht und bin nach ein paar Stunden auch durchgekommen. Mein Beweis ist allerdings viel kürzer als deiner, ich glaube dass die Idee, zuerst mit pq-Formel da ran zu gehen nicht besonders viel gebracht hat. Ich erläutere mal meinen Ansatz: Also zuallererst habe ich x, y, und z gleich als Brüche bezüglich eines gemeinsamen Nenners dargestellt, x = a/d, y = b/d, z = c/d, wobei a, b, c, d ∈ ℤ und d≠0. Dann wird aus den Gleichungen: 0 = a/d+b/d+c/d = (a+b+c)/d, also a+b+c=0; sowie a²/d²+b²/d²+c²/d²=100, also a²+b²+c²=100d². Dann folgte etwas Experimentieren mit Teilbarkeit durch 10 bzw. Resten modulo 10, bis ich feststellte, dass wenn a, b und c durch 10 teilbar wären die zweite Gleichung zu (10ã)²(10b̃)²(10c̃)²=100d² wird, also ã²+b̃²+c̃²=d². Aber auch schon für die ursprünglichen Zahlen a, b, c steht da ja a²+b²+c²=(10d)². Damit spielt die 100 also gar keine besondere Rolle, entscheidend ist nur dass a²+b²+c² eine Quadratzahl ist! Außerdem kann man, wie du deutlich früher auch bemerkt hast, eine Variable loswerden, c=-(a+b), also bekommen wir insgesamt dass der Ausdruck a²+b²+(-(a+b))² = 2(a²+ab+b²) eine Quadratzahl ist, für a, b ∈ ℤ. Die Unmöglichkeit dieses Szenarios lässt sich nun mit Betrachtung von gerade vs. ungerade nachweisen. Ist nämlich 2(a²+ab+b²) eine Quadratzahl, also 2(a²+ab+b²) = n², so sehen wir, dass n gerade sein muss, also n=2ñ. Die Gleichung wird zu 2(a²+ab+b²) = 4ñ², bzw. a²+ab+b²=2ñ². Nun ist a und b jeweils gerade oder ungerade. Ist genau eine der beiden Zahlen ungerade (und die andere gerade), so ist genau einer der Terme a² und b² gerade, der andere ungerade und das Produkt ab ist gerade, insgesamt ist a²+ab+b² dann ungerade; das kann nicht sein. Sind sowohl a als auch b ungerade, so ist a²+ab+b² ebenso ungerade; nach wie vor unmöglich, da ja 2ñ² gerade ist. Also sind a und b von der Form a=2ã, b=2b̃ und die Gleichung wird 2ñ²=a²+ab+b²=(2ã)²+2ã2b̃+(2b̃)²=4(ã²+2ãb̃+b̃²), also ã²+2ãb̃+b̃²=ñ². Wir sind wieder bei underer ursprünglichen Gleichung, aber alle beteiligten Zahlen sind kleiner geworden. Das kann nicht ewig so weitergehen, irgendwann muss jeder Faktor 2 aus a, b oder n rausdividiert worden sein und wir landen bei einem Widerspruch.
Dieser Teilungsprozess in Minute 7:00 kommt für mich ziemlich unvermittelt. Ich hätte vielleicht eine Erklärung oder einen Hilfssatz vorausgeschickt, um dort zu sagen, dass Quadrate natürlicher Zahlen kongruent zu 0 oder zu 1 sind, und deren Doppeltes kongruent zu 0 oder zu 2 sind, modulo 3, wobei 0 immer bei Werten auftritt, die durch 3 teilbar sind. Dann stutzt man nicht so an der Stelle.
Ich weiß noch als ich erfolgreich in der Känguru Olympiade (Matheolympiade für Kiddis) war und dachte ich bin ziemlich cool. Jetzt studiere ich Mathe und merke dadurch und auch durch solche Videos, was für ein pleb ich bin.
Morgen ist Mathe Olympiade bei uns, ich hoffe ich kann die auch mit so einem Durchblick wie du bei dieser Aufgabe :D Vielleicht nicht in diesem Zeitraum, aber dennoch^^
08:39 warum gilt 2*b^2 = 1*c^2 mod 3? 200 mod 3 = 2 (Ist klar), aber 1 mod 3 = 1, da 1 - [1/3] * 3 = 1 - 0 * 3 = 1 (Definition der Modulo Funktion), ("[ ]" bezeichnet hier die Gaußklammer) Damit müsste doch 2 nicht-kongruent 1 mod 3 gelten
@@314tobyas2 Am einfachsten du gehts auf die Webseite "overleaf". Dort kann man sich mit seinem Google Account verbinden und easy latex programmieren, da alles online ist und man nichts downloaden muss. Dazu speichert die Webseite noch deine Dateien.
Das ist schwer, wenn du Modulo nicht kennst^^ Denk an eine Uhr, die nur drei Uhrzeiten hat: 0 Uhr -> 1 Uhr -> 2 Uhr Danach geht sie wie eine normale Uhr wieder auf 0 Uhr zurück, also ein endloses 0 - 1 - 2 - 0 - 1 - 2 - 0 ... Wenn du 1 Uhr hast und 6 Stunden vergehen, wie spät ist es dann? Genau, wieder 1 Uhr
Ich hab erst nach mehrfachem anschauen des Widerspruchsbeweises gecheckt, was er bedeutet. Entweder liegt es dran, dass es noch zu früh ist, oder ich werde immer loster was Mathe angeht
Ich hatte da beide Gleichungen als Ebenen interpretiert, sie parametrisiert und die Schnittgerade ausgerechnet. Die Geradengleichung enthielt alle möglichen Lösungen und ich habe gezeigt, dass für egal welchen reellen Geradenparameter das Ergebnis irrational ist.
Geometrisch: Man hat eine Sphäre mit Radius 10 geschnitten mit einer Ebene durch den Ursprung.. das ergibt einen Großkreis. Interessante Aussage, dass auf diesem Großkreis immer mindestens eine der Koordinaten irrational sein muss. Beim Beweis erklärst du sehr lange, warum a und b natürliche Zahlen sind. Da du angenommen hast, dass y rational ist, weißt du schon, dass zB b natürlich und a eine ganze Zahl ist und da das Problem symmetrisch ist, heißt wenn y eine Lösung ist, dann ist -y auch eine Lösung, kannst du dich auf den natürlichen Fall beschränken.
Ich finde die Wahl der Aufgabe interessant, weil ich persönlich fand die 2. Aufgabe recht einfach und konnte sie auch ziemlich schnell lösen. Die vierte hat mir allerdings ordentlich Kopfzerbrechen bereitet, ich hab mehrere Wochen an ihr rumprobiert.
Die vierte Aufgabe ist in der Regel die größte Herausforderung in der zweiten Runde. Wer sie richtig löst, kann mit vier vollständig richtigen Lösungen einen ersten Preis erhalten Aber auch schon mit drei richtig bearbeiteten Aufgaben kann man einen dritten Preis erhalten.
Einen schönen guten Tag werter Herr Fuchs.
Ich wusste, dass er ein Deutscher ist! Habe ich mich beim Accent doch nicht geirrt
@@justinengel3803 Ist auch allseits bekannt :p
@@PapaFlammy69 dein Euler T-Shirt triggert mich immer noch.
@@Simon-hy2fh Welches genau? :p
@@justinengel3803 Schau doch auf seinem Zweitkanal "Flammable Maths Two" vorbei, da ist jedes zweite Video auf deutsch.
Wie man in deinen Augen die pure Begeisterung für die Mathematik sieht. Toll!
Du steckst auch ganz tief drin oder?
@@princhmachtvideos wtf bist du für einer
@Trom Bone Und in deinen erst :)
Deine Videos haben Ähnlichkeit mit denen von 100SekundenPhysik: am Anfang wirkt alles logisch und man kann gut folgen - dann blinzelt man einmal und ist komplett lost.
@@logischerklaert Mein Feedback für dich: Ähnlich wie bei Bewerbungsanschreiben, solltest du bei der Selbstwerbung auf deine Rechtschreibung achten
Als Aufgabe der zweiten Runde ist die Herausforderung auch nicht gerade einfach, Tipp: Am besten das Video einfach zwischendurch pausieren.
Das ist kein Mathestudium zusammengefasst
An welcher Stelle im Video soll dieser magische Moment sein?
Fuuuuuuck wegen dir hab ich geblinzelt
Wir Prof. Dr. Rainer Winkler schon sagte: „Beweis mir erstmal das Gegenteil.“
Da wollte ich mir einmal zur Abwechslung etwas Bildung geben, aber sogar hier sind die Hater Kaschber 😃
Rainer Winkler
@@wiederkahlgeburtvongeiertr1004 vadammte aggsd
*reiner mit ai
Hoffe das erste Ergebnis auf google ist ein Parodie Twitter Account, wobei das irgendwo auch traurig wäre, wenn jemand so seine Zeit verschwendet. Fuck AfD
Ein gut nachvollziehbarer Beweis, aber die kreative Leistung dahinter hätte ich niemals erbringen können.
Es hilft ähnliche Aufgaben gesehen zu haben. Bei den Mathewettbewerben gibt es meist so eine algebraische Formel, die man plötzlich durch Teilbarkeiten lösen kann. Eigentlich waren es 2 kreative Ideen: die pq Formel und die Teilbarkeit
Und erst die kreative Leistung des Erstellers der Aufgabe xd
Hallo Alex 👋
Echte Gangster schauen auf doppelter Geschwindigkeit.
hahaa
Uff 😂
"Wir verwenden jetzt noch beta und gamma, das wirkt immer sehr gebildet"😂
Die Anleitung ist mir leider zu ungenau. Meine Schlange steckt im Toaster fest.
😏
Ist es die a-Schlange, b-Schlange oder c-Schlange?
@@retromoustache1600 alle drei :(
Wie ? 😂
@@Iiiiii859 einfach reingesteckt und eingeklemmt. Geht schneller als man denkt
Ein Laboringenieur hat mal über einen Professor gesagt: "Und dann ist er angefangen zu zaubern".....musste ich gerade dran denken
@Hein Blau das "ist angefangen" ist so ne Redensart rund ums Emsland
Tatsächlich kann man bei 1:35 auch schon Substituieren und nachdem man mit den Nennern von x und y multipliziert, kommt man auf sowas wie a^2+ab+b^2=50q^2. Jetzt kann man wie bei der Irrationalität der Wurzel von 2 argumentieren, das a, b und q immer wieder alle durch 2 teilbar sind.
Könntest du noch erläutern, was bei dir q ist?
@@fischmann1746 Ein gemeinsamer Nenner, also x=a/q und y=b/q
Jo, das sieht doch eleganter aus als meine Argumentation. Respekt.
Johann zollt Respekt -> Lebensziel erreicht 😂
@@maximilianfaust9378 Also mein Mathematikstudium möchte ich schon noch abschließen, hat ja gerade erst angefangen. xD
Super! Man merkt, dass hinter jedem Video sehr viel Aufwand und vor allem ein nachdenkender Mensch sitzt! Danke!!
Alle die schon bei den Aufgaben Stellungen Raus wären : Moin hahahaha
Same versteh nur Bahnhof
Ja haha
Jo😂
Moin!
Hi ich bin nicht alleine auf der Welt, wie schön !
1:44 wenn ja, dann weißt du sicher, dabei darf man nicht dösen.
Denn, ob es eine Lösung, keine Lösung, zwei Lösungen gibt [...]
x ist MINUS P HALBE ...
Dachte ich mir auch. 😂
Bist du der echte
Dachte ich auch xd
Generell... immer wenn ich pq höre sofort Ohrwurm .-.
Ah moin Steve xD
UND JETZT ALLE ZUSAMMEN
Ich hab höhere Mathematik 2 im Studium gerade so bestanden, trotzdem finde ich deine Videos genial. Das Video über den eulerschen Ziegel war mind-blowing.
Mach bitte immer weiter!😍
Lerne grad für die Mathe LK Klausur in der Q1.1 (12. Klasse) und TH-cam meinte, dann kann ich doch direkt weiter machen. 😁 Frei nach dem Motto, wenn du der schlaueste im Raum bist, wechsele den Raum, habe ich mich mal drauf eingelassen ohne den Anspruch, alles zu verstehen.
Das habe ich auch nicht, aber ich fand spannend zu sehen, was man so machen kann, wie flexibel man im mathematischen Denken werden kann und wie Dinge eingeflochten wurden, die wir auch schon kennen. 😃
Deine Begeisterung ist ansteckend. 😉
Ich bin in Mathe eine vollkommene Niete. Dieses Video hat mich nun mit 2 Fragen zurückgelassen. 1. Warum hatte ich Spaß an diesem Video ? 2. Warum konnte ich alles, wenn ich es auch nie selbst anwenden könnte, nachvollziehen ? Von modulo 3 hatte ich zuvor maximal ansatzweise gehört. Hier war alles klar und schlüssig. Vielen Dank für dieses Video !
Ich mag solche Videos über Aufgaben von Wettbewerben/Olympiade von dir. Das bringt mich dazu, auch mal wieder in sowas reinzuschauen :)
Solche nachvollziehbaren Lösungspräsentationen könnte ich mir den ganzen Tag anschauen. Ich würde nie von selbst darauf kommen, mich aus heiterem Himmel mit Modulo 3 zu beschäftigen. Dass die Wurzel einer natürlichen Zahl immer natürlich oder irrational ist, war mir bisher nicht bewusst.
Das qed fehlt bei deinem Beweis:(
Nicht mal ein Quadrat unten rechts. Er hat nicht mal die proof-Umgebung in LateX verwendet. Der Beweis ist somit nicht gültig.
Qde bitte
□
¬
Naja, ein 'qed' macht man auch eher bei deutlich aufwendigeren Beweisen. Ich habe es auch eher mit dem quadaratischen Kästchen am rechten unteren Rand der Seite gelernt. QED war eher was für die richtigen Angeber ;)
Gibt es hier echt Mathe-Geeks, die sich das mit Spaß angucken wie andere ein Cod Gameplay?
Oh, ja 🙃
Ja
Ja hahahaha
Ich finde cod langweilig
Gibt es bei Cod echt Cod-geeks, die sich das mit Spaß angucken wie andere ein stabiles Mathe Video?
Fakt: jeder hat es gefeiert als er den pq-formel Song gesungen hat
True
Nein ich fands cringe
@@raphael8117 dann bist du ein lappen
Mega cringe
Wtf
@@mrlaserboy Bitte begründen sie ihre Behauptung!
Yaaaay endlich ein neues Video:D
Unser Lehrer hat uns mal Dein Kugelvideo gezeigt und dann hab ich all deine Videos geschaut 😁
Ich war wirklich nie schlecht in Mathe, aber immer, wenn man sich ein paar Größen zusammenfasst und da einfach eine andere Variable nehmen soll (a, b, c, beta, gamma) habe ich keine Ahnung mehr. Respekt an Leute, die bei so einem Wettbewerb mitmachen und dann auch in den entsprechenden Zeiten die Aufgaben lösen können.
Ich begnüge mich im Dezember dann wieder mit dem Matheon-Adventskalender. 😁
Das Beispiel ist allerdings auch aus der 2. Wettbewerbsrunde, die ist nochmal ein Stückchen schwieriger als Runde 1. Versuche es doch einfach beim nächsten Wettbewerbslauf, der im Dezember startet. Wer weiß...;)
Gibt es eine Altersvorgabe ,um da teilzunehmen?
Hallo @@jasmin2795, eine Altersvorgabe im eigentlichen Sinne gibt es nicht. Die erste Runde steht Schülerinnen und Schülern aller Klassenstufen offen, die eine Schule in Deutschland besuchen, die zur Hochschulreife führt. In seinen inhaltlichen Anforderungen richtet sich der Wettbewerb an die Klassen 9 bis 13.
@@BildungBegabung Danke. Da bin ich leider schon zu alt und habe die Schule auch schon
hinter mir :D
Wir hatten bei uns damals jemanden, der Mathe einfach geliebt hat. Er war dann sogar besser als der beste Mathematiker(von der Intilligenz her). Desto mehr man sich mit Mathe beschäftigt, desto einfacher ist es. Das habe ich bei mir ebenfalls gemerkt, anders als bei Physik und co. musst du bei mathe Gleichungen nicht interpretieren.
wir hatten letzte Woche Modulo im Informatikstudium und ich habe mich gefreut, dass ich dadurch mehr verstanden habe :D
Wir haben das Thema zurzeit im Mathematikstudium, fand ich auch witzig grad :D
Hatte das gestern auch, unser Prof hat das in 20 Minuten erklärt lol
Sobald ich in scripten % oder bitshifts sehe denke ich mir immer: derjenige der das programmiert hat muss Ahnung haben 😅
@@xxHigher oder binäre operatoren wie Bitweises & :D
War sehr verständlich und gut erklärt. Ich konnte ohne das Video zu pausieren direkt alle Beweisschritte nachverfolgen, aber ich brauchte schon oft Vorwissen aus dem Mathestudium, um einige Beweisschritte direkt zu verstehen
Ich hatte so Spaß daran dir zuzuhören😂😂einfach weil du das so glücklich erzählst
Da muss man auf jeden Fall richtig Bock drauf haben, um nach der aufgelösten PQ-Formel weiterzumachen. xD
Brauche deine Videos eig nicht für Mathe infos, bist einfach sympathischer und absolut Authentischer Mensch und dafür lass ich ein Abo da, man merkt das du das mit Herz und Seele machst. Lg aus der Grünen Mitte
Wow, richtig gute Erklärung! Jetzt habe ich auch Interesse, da mal ein paar Aufgaben zu lösen :)
Bis zur p/q Formel bin ich noch mitgekommen😂😂
Bis zu seinem Fehler ja
😎
Man muss den Schritt von 200b^2-3a^2=c^2 nach 200b~^2-3a~^2=c~^2 gar nicht machen wenn man a und b als teilerfremd definiert und dann beweist, dass a, b und c durch 3 teilbar sind.
Ja, das ist mir dann auch aufgefallen, als ich das Video dann schon fertig hatte.
Das wollte ich auch grad bemerken 😄
Wenn man bereits in der Gleichung x²+y²+xy=50 für x und y gekürzte Brüche x=r/s und y=p/q einsetzt, so ist (rq)²+(ps)²+rspq=50s²q², woraus man sowohl q teilt s, als auch s teilt q folgern kann. Daher ist s=q (oder s=-q) und folglich r²+p²+rp=50q² (oder r²+p²-rp=50q²). Da die rechte Seite gerade ist, muss auch die linke Seite gerade sein, was nur sein kann, wenn sowohl r als auch p gerade sind. Dann ist aber die linke Seite auch durch 4 teilbar, so dass auch ein Faktor 2 in q² und daher auch in q stecken muss. Das ist aber ein Widerspruch dazu, das p/q ein gekürzter Bruch ist.
Dieser Weg erspart einem die ganzen hässlichen Wurzeln.
Hab zwar alles (mehr oder weniger) problemlos verstanden, aber wie zur Hölle kommt man auf so was?!
@jj zun Klar, aber aus meiner Perspektive trotzdem absolut krass (9. Klasse halt, da ist natürlich noch ein weiter Weg zu gehen.)
@jj zun Wir haben es zwar schon ein wenig angerissen, aber ausführlich behandelt definitiv nicht. Allerdings bin ich an ner Matheschule, das wird also wahrscheinlich in der Sek. 2 noch etwas mehr behandelt.
@jj zun Naja man hat ja grundsätzlich schon, für Praxis relevantere Themen, dieses ständige “Wozu brauch ich das???” und viele Lehrer finden dazu nicht mal brauchbare Antworten. Beweis Methoden sind praktisch überhaupt nicht relevant (sofern man nicht wissenschaftlich in MINT arbeitet). Also, im geringen Sinne Praxis relevant, z. B. im üblichen Design von Algorithmen bei Programmieren könnte man Induktion zum Beweisen von Algorithmen-Korrektheit verwenden, allerdings macht das keiner.
Beweisen ist viel Übung und kein genaues Prozedere was oft eher “Glück-Umformungen” benötigt.
@@obinator9065 stimmt schon aber wer beweist sein algo in der Praxis denn mit Induktion schleifeninvarianten oder sonst was, selbst in Coding Interviews wird das nicht verlangt.
Oh warte das hast du selbst geschrieben never mind🙃
@Jemand Zufälliges Na ja, habe halt schon ein paar Videos von ihm geschaut 😅 kam jetzt nicht schon alles im Unterricht dran
Dor Fuchs ich habe dank dir so viel gelernt! Ich möchte mich bei dir bedanken
Ehrenmann
Ich, die ersten 5 Minuten: ja, hätte man drauf kommen können. Alles danach: oke, ich bin komplett raus 😂
x²+y²+z²=100 beschreibt einen Punkt auf einer Kugel mit Radius 10. Bei der Kugel gibt es zu x+y=-z "auf der anderen Seite der Kugel" wegen Symmetrie ein x+y=-z (Spiegelung an der x-y-Ebene). Daraus folgt z=0, also x=-y, also 2x²=100, also x=sqrt(50), also irrational.
Der modulo 3 Trick ist echt kreativ Respekt
Ich hätte nie gedacht, dass ich mal in meiner Freizeit, freiwillig, Mathe Videos schauen würde...
Der fragliche Großkreis, also der Schnitt der Sphäre vom Radius 10 und der Ebene, kann folgendermaßen parametrisiert werden: K(t) = 5*sqrt(2)*(cos(t) + sin(t)*1/sqrt(3), - cos(t) + sin(t)*1/sqrt(3), - sin(t)*2/sqrt(3))
als er "pq-Formel" sagte, dachte ich instant an das Lied. Als er das Lied auchnoch ansingte, hab ich mich sehr zufrieden gefühlt. :D
Die Aufgabe erinnert mich stark an meine Staatsexamensvorbereitung Algebra - ich hatte auch gleich an das "Legendre-Symbol" gedacht (also genau Quadratische Reste bzw. Quadratische Nicht-Reste), schöne Aufgabe auf jeden Fall :)
Wenn man sich da Video zur Gänze gönnt aber kein Wort versteht 😂
Real talk: die hab ich o.w.b. (ohne wesentliche beanstandung) geschafft 💪
Wurde jetzt zur dritten runde zugelassen
Ich hab das video noch nicht gesehen, bin mal gespannt, ob die lösung ähnlich ist wie meine...
Schönes video! ich habe auch beim diesjährigen BWM mitgemacht und hatte super spaß beim lösen dieser Aufgabe, ich fand sie dennoch leichter als die 4
Ich kam erst nicht ganz damit zurecht, wieso a, b, c nicht kongruent in Modulo 3 sein durften, allerdings musste es ja einen Bruch a/b geben, der vollständig gekürzt ist, weil y (=a/b) rational sein soll.
Wäre verständlichler, wenn das nochmal erwähnt worden wäre, trotzdem meinen tiefsten Respekt für die ausarbeitung dieses Lösungsweges.
Den pq-formel Song kann ich immernoch, ich denk ich schreib die Lyrics in meinen Lebenslauf, so wie die mich geprägt haben :D
Das Video passt zeitlich. Vor gut einer Woche kamen die Rückmeldungen bei den Teilnehmern an.
Hast du teilgenommen?
@@n00bApf3L ja
@@_mrundercoverhd_ Und, gut ausgeangen? Hast du dieses Beispiel gelöst?
Nimmst du an der VAIMO Teil ?
@@n00bApf3L Ich habe einen dritten Preis. Bei Aufgabe 1 war ein Satz etwas schlecht formuliert, bei Aufgabe 2 ohne wesentliche Beanstandung, bei Aufgabe 3 gab es schon ein paar kleine Probleme und Aufgabe 4 habe ich so gut wie gar nicht gelöst. Alles in allem bin ich froh über meinen 3. Preis.
Wow, ich könnte sowas nie beweisen aber deine Erklärung ist sehr leicht nachvollziehbar!
Ich bleib lieber beim kleinen 1x1...😂 Aber mega gut erklärt👌👌
Sehr schön und elementar gelöst.
Ich mit greekum fühle mich jetzt "sehr gebildet" xD
Wenn du Graecum noch richtig schreiben könntest, würde ich es dir sogar glauben. :D
@@MrSilverMo ich habe kein Zertifikat bekommen, es steht nur klein auf meinem Zeugnis und in altgriechisch Unterricht wurde das auch nicht thematisiert, aber du kannst mir schon glauben. Welchen Grund hätte ich zu lügen?
@@nickfleiwer5272 alles gut man, das war nur ein Witz, weil du Graecum falsch geschrieben hast. μακρα χαρα und so :D
Vorschlag für eine kürzere Lösung (nur eine Skizze):
Angenommen, die Ausgangsgleichung hat eine Lösung
1. Finde einen gemeinsamen Nenner r und schreibe x= a/r, y=b/r, z=c/r mit GANZEN Zahlen a,b,c,r. Setze s=5r und multipliziere die erste Gleichung mit r, die zweite mit r^2 und erhalte: a+b+c = 0 und a^2+b^2+c^2 = 100r^2= 4s^2.
2. Substituiere wie im Viedo. : die erste Gleichung gibt c=-(a+b), also wird die Zweite Gleichung zu 4s^2= a^2+b^2+(a+b)^2= 2(a^2+b^2+ab)
3. Falls diese letzte Gleichung eine Lösung hat, hat sie auch eine Lösung, bei der a,b,s keine gemeinsamen Teiler haben (falls ggT(a,b,s)=d kann man die Gleichung durch d^2 teilen und dann sind a/d,b/d,s/d auch eine Lösung mit ggT 1). Wir können also oBdA annehmen, dass ggT(a,b,s)=1
4. Da in dieser Gleichung alle Zahlen ganze Zahlen sind und die rechte Seite gerade ist, ist auch s gerade (Bemerkung: nein, wir wussten das noch nicht, wir haben zwar oben s=10r gesetzt, aber das muss nach dem oBdA von 3. nicht mehr gelten, da wir gemeinsame Teiler entfernt haben, streng ist das s jetzt also ein s`). Setze s = 2t und erhalte:
4t^2=2(a^2+b^2+ab) , also 2t^2 = (a^2+b^2+ab) .
5. da s gerade war und wegen 3. sind a oder b ungerade. Sei oBdA a ungerade.
Dann ist a^2 +b^2+ab= a^2 + (b)*(a+b). a^2 ist ungerade, b(a+b) ist immer gerade(falls b ungerade ist, ist a+b gerade), also ist die Summe ungerade, im Widerspruch zur Gleichung in 4. (es sollte 2t^2 und damit gerade sein).
Kein Wort verstanden
Witzig, dass ich mir die pq Formel genau so singend gemerkt habe. Stark 💪
Bei mir ist es die Mitternachtsformel so gemerkt.
Wäre nicht eine Erklärung, dass eine negative zahl zum Quadrat positiv sein muss, was man für die zweite Formel braucht, aber für die erste Formel braucht man entweder 0 oder eine negative Zahlen.
Ausgehend von x²+xy+y²-50=0, wenn y = a/b, dann ist bx eine rational Nullstelle von t²+abt+a²-50b². Nach dem rational root theorem ist t ganz. Also teilt der Nenner von x den nenner von y. Per Symmetrie folgt, dass alle x,y,z denselben Nenner b haben. Also sind die Zähler (x',y',z') := (bx,by,bz) ganze Zahlen mit x'+y'+z'=0 und x'^2+y'^2+z'^2 = 100b². Falls 3 nicht b teilt, ist letzteres 1 mod 3 und links muss (da Quadrate nicht 2 mod 3 sein können) genau einmal 1 mod 3 und zweimal 0 mod 3 auftauchen. Aber dann steht in x'+y'+z' auch zweimal 0 mod 3 und einmal etwas anderes und die Summe kann nicht 0 sein, Widerspruch. Also gilt 3|b. Dann sind die Nenner x',y',z' aber sämtlich nicht durch drei teilbar. In der Form mit eliminiertem z heisst dies wieder x'²+x'y'+y'² = 50 b². Rechts ist 2 mod 3, somit wegen x'² == y'² == 1 mod 3 also x'y' == 0 mod 3, qea
Was Bruder ? Was soll ich sagen Bruder ?
Stöff stöff stödöööffff
Took me 4:00h despite:
- proof is simple and straightforward
- proof only uses high school math
- proof is short (20 lines when detailed)
- I have undergraduate background in number theory
Feels adequate for the purpose though.
Habs in ner Viertelstunde geschafft, muss aber zugeben das Zahlentheorie eines meiner Lieblingsgebiete ist und ich dadurch wohl etwas im Vorteil bin :D
Das kleine Problem bei mir ist, dass ich nicht mal weiß, was eine rationale Zahl ist :D
Eine Zahl, die sich als Bruch schreiben lässt.
@@dasrufzeichen6389 Gibt es Zahlen, die man nicht als Bruch schreiben kann? Man kann doch immer die Zahl/1 schreiben, oder?
@@marcelpuhlmann3581 Ich meinte damit, als Bruch zweier ganzer Zahlen. 0,5 kann man z.B. als 1/2 schreiben.
Wurzel(7) ist z.B. keine rationale Zahl.
@@dasrufzeichen6389 Achso, ok. Danke😃
Das ist so krass. Da fängt man an, formt um und probiert einfach irgendwelche Sachen aus, solange bis in der 10. Unterebene im kleinen Detail etwas Winziges widersprüchlich ist, was eigentlich kaum noch etwas mit der Anfangsaussage zu tun hat. Und auf einmal fällt die ganze Kette zusammen und die Anfangsaussage ist widersprüchlich, und keiner weiß warum. Das ist Mathematik.
Wenn also nur an der kleinsten Stelle im tiefsten Detailrädchen etwas falsch läuft, bricht alles zusammen. Ich hoffe, unsere Teilchen- und Quanten-Physik da unten ist stabil genug, dass das mal bitte nie passiert.
Und das muss man mal überlegen. Es gibt ja Beweise mit 100+ Seiten. So lange, bis ganz am Ende ein winzig kleines Detail widersprüchlich ist, kaum vergleichbar mit der enormen Größe und Auswirkung der Hauptsache. Und doch fällt alles zusammen, weil das alles auf eine komplexe Weise zusammenhängt, die kein Mensch mehr überblicken kann. Es ist fast magisch, wie komplex und unüberschaubar die Zusammenhänge der Realität sein können.
Und nur mit den Werkzeugen der Mathematik erhalten wir Zugang zu diesen komplexen Zusammenhängen der Realität, ohne dass wir sie selbst in unseren Köpfen überblicken müssen, oder je könnten. So arbeiten wir uns eben durch Trial&Error von Umformung zu Zusammenhang und probieren hier und da einen Satz aus, mit der Hoffnung irgendwann am Ende im kleinen Detail die Falle schnappen zu lassen.
Das muss die Macht der Mathematik sein: Wir machen uns Abläufe in der Realität zu Nutze, die in dieser Komplexität niemand verstehen kann. Aber durch die Mathematik wurde dieser Zusammenhang nachgewiesen, das können wir uns dann wieder merken und erstellen dadurch Technologien oder Prozesse, die einen Nutzen haben.
Bitte gib Mathematik Lehrern Workshops wie sie Mathematik faszinierend erklären können.
Das hätte mir so sehr geholfen...
Echt cool!
Die Lösungen sind eine intersection von einer ebene und einer Kugel (ebenen und kugelgleichung am Anfang) dann ist es relativ einfach (man kann das mit trigonometrie ausdrücken und dam sieht man, dass es keine rationale lösung gibt
Könntest du mal ein Video über Matrizen machen? Das würde denke ich viele Menschen echt weiterbringen. Danke für deinen Content. Der hat mich seit der 8. Klasse bis jetzt in mein Abi-Jahr begleitet und mir geholfen
Lineare Funktionen sind Geraden im Koordinatensystem
Bruder deine Songs werden bei uns in der Klasse von dem Lehrer gezeigt.
Du bist eine Legende
So schön.
So so wunderschön.
"... meine Lösung ... eine von mehreren möglichen Lösungen ... findet Lösungsvorschläge zu versch. Lösungen wie solche Aufgaben ... gelöst werden können" - herrlich.
Sehr schöner Beweis! (kein Fakultätszeichen)
Wow, habe gerade kurz nachgedacht und festgestellt, dass es in R natürlich Lösungen gibt, war verwundert und stelle nach kurzer Zeit fest, dass da rational und nicht reell steht. Danke Montagmorgen.
Der Gedankensprung bei 6:40 geht mir zu schnell..
Was ich gerade nicht verstehe ist, warum die für den Widerspruch notwendige Annahme:
"min. eine der drei Zahlen a, b, und c können nicht durch 3 teilbar sein und die Gleichung 200b^2-3a^2 = c^2 lösen"
gleichzusetzen ist mit:
"die Gleichung 200b^2-3a^2 = c^2 hat eine Lösung (a, b, c seien natürliche Zahlen)" .
Müsste nicht noch gezeigt werden, dass alle Zahlen a, b und c nicht nur aus 3er-Potenzen bestehen können (z. B. 9, 27, 81 etc?) und dass die gleichung 200b^2-3a^2 = c^2 nicht mit Potenzen von 3 gelöst werden kann?
Der Sinus ist der Verzweiflung groß der Cosinus
Ich habe einen etwas einfacheren Beweis gefunden: Forme so lange um, bis man bei x²+xy+y²=50 angekommen ist. Dies ist seinerseits nichts anderes als x²+2xy+y²-2xy+xy=50 und das ist (x+y)²-xy=50, also eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt, besser gesagt mit dem Tiefpunkt, (-y|-xy). Das ist jetzt natürlich etwas verwirrend, weil die X-Koordinate des Scheitelpunktes/Tiefpunktes blöderweise gerade -y heißt und die Y-Koordinate des Scheitelpunktes/Tiefpunktes blöderweise gerade -xy heißt, aber sei es drum. Auf der rechten Seite der Gleichung (x+y)²-xy=50 ist also eine nach oben geöffnete Normalparabel f(x)=(x+y)²-xy und für jeden Wert soll diese Normalparabel gleich 50 sein, also insbesondere im Scheitelpunkt selbst. Wenn man also gerade den X-Koordinatenwert des Scheitelpunktes der Normalparabel f(x)=(x+y)²-xy in die Gleichung der Normalparabel einsetzt, also auf gut Deutsch gesagt -y, kommt heraus: f(-y)=(-y+y)²-(-y)y, also y² und das soll =50 ergeben, also y²=50. Wenn also die (falsche) Annahme stimmt, wonach es sehr wohl Zahlen {x,y,z} aus Q geben sollte, für die die Anfangsgleichungen gelten, dann müßte es auch eine rationale Zahl y geben, deren Quadrat =50 ergibt. Einfach ausgedrückt: Die Wurzel aus 50 müßte dann rational sein, was sie aber nicht ist. Weil 50=5² * 2, also ist Wurzel 50 gleich 5 mal Wurzel 2 und Wurzel 2 ist ja nicht rational, was ich aber hier nicht beweise, weil das wenigstens klar sein sollte. Q.E.D.
Ich hab's geometrisch gelöst: das GS beschreibt einen Kreis in R^3. Damit konnte ich x, y, z mit einem Winkel theta parametrisieren. Aus der Rationalität folgt dann nach einigen Umformungen, dass sqrt(6) auch rational wäre.
Das war nett,versüßt mir den Tag!
Wie kann man gleichzeitig wie 20 und 40 aussehen😂 Interessantes Video
Ich hab direkt x=p/q und y=r/s eingesetzt (in x^2+xy+y^2=50) und dann ohne pq-Formel versucht einen Widerspruch herzuleiten. Wir nehmen oBdA an, dass q,s>0 und beide Brüche maximal gekürzt sind.
1) Erstmal beide Seiten mit q^2s^2 multiplizieren, damit die Brüche verschwinden: p^2s^2+pqrs+q^2r^2=50q^2s^2 (Gleichung in den ganzen Zahlen)
2) Jeder Term muss durch q teilbar sein ==> q teilt s (da p und q teilerfremd).
3) Jeder Term muss durch s teilbar sein ==> s teilt q (da r und s teilerfremd).
4) Also muss s=q gelten und wir können substrituieren. Anschließend können wir alles durch q^2 teilen: p^2+pr+r^2=50q^2
5) modulo 3 gibts für Quadrate eben nur 0 und 1, daher sieht man schnell durch ausprobieren, dass q= 0 mod 3 sein muss und gleichzeitig entweder p,r= 1 mod 3 oder p,r=2 mod 3.
6) Rechts steht aber q^2, also ist die Seite sogar durch 9 teilbar (0 mod 9). Jetzt schauen wir uns also auch die linke Seite modulo 9 an.
7) Sei p=3k+1 und r=3j+1 für ganze Zahlen k und j. Dann ist p^2+pr+r^2=9k^2+6k+1+9kj+3(k+j)+1+9j^2+6j+1=3 mod 9 (Widerspruch)
8) Falls p=3k+2 und r=3j+2 erhalten wir ebenfalls p^2+pr+r^2=3 mod 9, wieder Widerspruch.
Etwas mehr Fallunterscheidungen, geht aber auch :)
Nach der pq Formel war bei mir Schluss, ich hab einfach rein gar nichts verstanden und trotzdem weitergeguckt 😂
Zuerst beobachte: Da 100 = 10², reicht es aus zu zeigen:
*SATZ 1.* Es gibt keine x1,x2,x3 ∈ ℚ, so dass
(ι) ∑x[k] = 0 und
(ιι) ∑x[k]² = 1.
Dies ist offensichtlich äquivalent zu:
*SATZ 2.* Es gibt keine a1, a2, a3, r ∈ ℤ mit r ≠ 0, so dass,
(ι) ∑a[k] = 0 und
(ιι) ∑a[k]² = r².
Darum reicht es aus Satz 2 zu beweisen.
*BEWEIS (von Satz 2)*
Wir zeigen durch Widerspruch, ausgehend von einem „minimalen“ Beispiel,
dass jede Lösungen sich doch weiter reduzieren lässt.
Seien also a1, a2, a3, r ∈ ℤ mit r ≠ 0, so dass (ι) und (ιι) erfüllt sind.
0) Nach Dividieren durch den gemeinsamen Teiler bleiben a1, a2, a3, r ganzzahlige Lösungen zu (ι) und (ιι).
Also kann man o. E. annehmen, ggT(a1, a2, a3, r) = 1.
1) Aus (ι) und (ιι) kann man zwei Ausdrücke für a3² erhalten:
(-(a1+a2))² = a3² = r²-(a1²+a2²).
2) Daraus folgt
r² = 2(a1² + a2² + a1·a2).
Also 2 | r².
Also 2 | r.
3) Daraus folgt
a1² + a2² + a1·a2 = r²/2 = (r/2)·r ≡ 0 mod 2.
4) Durch Fallunterscheidung erschließt sich:
a1, a2 ≡ 0 mod 2.
5) Aus (4) + (ι) folgt,
a3 ≡ 0 mod 2.
6) Laut (2) + (4) + (5) gilt also 2 | a1, a2, a3, r.
Das widerspricht (0)!
*QED*
*Bemerkung.* _Dieser Satz lässt sich nicht weiter verallgemeinern. Sei n ≥ 4 und wähle a1=1, a2=1, a3=-1, a4=-1, und sonst alle anderen ai=0, und sei r=2. Dann gilt ∑a[k] = 0, und ∑a[k]² = 4 = r²._
Interessant ( aber zugegeben kompliziert :D ) ist auch der geometrische Ansatz im Raum: Betrachtet man die erste Gleichung als Ebenengleichung und die zweite als Kugelgleichung für Vektoren der Länge 10, so muss die Nichtexistenz der rationalen Teilmenge dieses kreisförmigen Schnitts gezeigt werden. Über einen Basiswechsel in die Orthonormalbasis der Ebene erhält man aufgrund der Normerhaltung von Orthogonalen Transformationsmatrizen eine ähnliche sogenannte diophantische Legendre Gleichung, deren Unlösbarkeit analog wie im Video zum Widerspruch führt.
Ich hab x, y und z als Lösungen eines Polynoms dritten Grades angesehen und mit Satz von Vieta weitergerechnet, wenn's jemanden interessiert, ist mal dazu ein ganz anderer Ansatz. Aber tolles Video!
Ich im Mathe Basiskurs: 1 + 4 = 5
Die anderen im Basiskurs:
Danke Herr (Zensiert für anonymität) für diesen nicen Kanal
"Die Arbeit wird nicht schwierig"
Die Arbeit:
Das mit der Schlange könnte man sich auch sparen, da laut Definition a und b teilerfremd sind, weil a/b ein fertig gekürzter Bruch ist. -> a oder b ist sicher nicht kongruent 0 (mod 3)
Das war viel zu leicht. Was mich viel mehr interessieren würde ist der Beweis, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion den Realteil 1/2 haben.
Oder der Beweis, dass es nicht so ist.
Das ist nächstes Jahr die Einsteigsaufgabe.
Habe mich heute daran versucht und bin nach ein paar Stunden auch durchgekommen. Mein Beweis ist allerdings viel kürzer als deiner, ich glaube dass die Idee, zuerst mit pq-Formel da ran zu gehen nicht besonders viel gebracht hat. Ich erläutere mal meinen Ansatz:
Also zuallererst habe ich x, y, und z gleich als Brüche bezüglich eines gemeinsamen Nenners dargestellt, x = a/d, y = b/d, z = c/d, wobei a, b, c, d ∈ ℤ und d≠0.
Dann wird aus den Gleichungen: 0 = a/d+b/d+c/d = (a+b+c)/d, also a+b+c=0; sowie a²/d²+b²/d²+c²/d²=100, also a²+b²+c²=100d².
Dann folgte etwas Experimentieren mit Teilbarkeit durch 10 bzw. Resten modulo 10, bis ich feststellte, dass wenn a, b und c durch 10 teilbar wären die zweite Gleichung zu
(10ã)²(10b̃)²(10c̃)²=100d² wird, also ã²+b̃²+c̃²=d². Aber auch schon für die ursprünglichen Zahlen a, b, c steht da ja a²+b²+c²=(10d)². Damit spielt die 100 also gar keine besondere Rolle, entscheidend ist nur dass a²+b²+c² eine Quadratzahl ist! Außerdem kann man, wie du deutlich früher auch bemerkt hast, eine Variable loswerden, c=-(a+b), also bekommen wir insgesamt dass der Ausdruck
a²+b²+(-(a+b))² = 2(a²+ab+b²)
eine Quadratzahl ist, für a, b ∈ ℤ. Die Unmöglichkeit dieses Szenarios lässt sich nun mit Betrachtung von gerade vs. ungerade nachweisen.
Ist nämlich 2(a²+ab+b²) eine Quadratzahl, also 2(a²+ab+b²) = n², so sehen wir, dass n gerade sein muss, also n=2ñ. Die Gleichung wird zu 2(a²+ab+b²) = 4ñ², bzw. a²+ab+b²=2ñ².
Nun ist a und b jeweils gerade oder ungerade. Ist genau eine der beiden Zahlen ungerade (und die andere gerade), so ist genau einer der Terme a² und b² gerade, der andere ungerade und das Produkt ab ist gerade, insgesamt ist a²+ab+b² dann ungerade; das kann nicht sein. Sind sowohl a als auch b ungerade, so ist a²+ab+b² ebenso ungerade; nach wie vor unmöglich, da ja 2ñ² gerade ist. Also sind a und b von der Form a=2ã, b=2b̃ und die Gleichung wird 2ñ²=a²+ab+b²=(2ã)²+2ã2b̃+(2b̃)²=4(ã²+2ãb̃+b̃²), also ã²+2ãb̃+b̃²=ñ². Wir sind wieder bei underer ursprünglichen Gleichung, aber alle beteiligten Zahlen sind kleiner geworden. Das kann nicht ewig so weitergehen, irgendwann muss jeder Faktor 2 aus a, b oder n rausdividiert worden sein und wir landen bei einem Widerspruch.
diesen song habe ich vor drei jahren gehört und dies formel kann ich bis heute auswendig xD
Dieser Teilungsprozess in Minute 7:00 kommt für mich ziemlich unvermittelt. Ich hätte vielleicht eine Erklärung oder einen Hilfssatz vorausgeschickt, um dort zu sagen, dass Quadrate natürlicher Zahlen kongruent zu 0 oder zu 1 sind, und deren Doppeltes kongruent zu 0 oder zu 2 sind, modulo 3, wobei 0 immer bei Werten auftritt, die durch 3 teilbar sind. Dann stutzt man nicht so an der Stelle.
Ich weiß noch als ich erfolgreich in der Känguru Olympiade (Matheolympiade für Kiddis) war und dachte ich bin ziemlich cool. Jetzt studiere ich Mathe und merke dadurch und auch durch solche Videos, was für ein pleb ich bin.
Morgen ist Mathe Olympiade bei uns, ich hoffe ich kann die auch mit so einem Durchblick wie du bei dieser Aufgabe :D
Vielleicht nicht in diesem Zeitraum, aber dennoch^^
Richig schön bewiesen 😊 Kann mir vorstellen, dass man länger brauchst für den Schritt mit der Division mit 3
Studiert IT-Sicherheit und nach dem ersten Semester, spätestens zweites, könnt ihr das auch rechnen.
08:39 warum gilt 2*b^2 = 1*c^2 mod 3?
200 mod 3 = 2 (Ist klar),
aber 1 mod 3 = 1, da 1 - [1/3] * 3 = 1 - 0 * 3 = 1 (Definition der Modulo Funktion), ("[ ]" bezeichnet hier die Gaußklammer)
Damit müsste doch 2 nicht-kongruent 1 mod 3 gelten
es kommt auf b^2 und c^2 an. wenn b^2 kongruent 0 ist, dann ist auch 200 * b^2 kongruent 0. gleiches gilt für c
Was hältst du eigentlich von dem Bolyai-Wettbewerb?
Beeindruckend. Mit welchem Programm schreibst du eigentlich diesen Beweis? Mit Word etc. ist es ja extrem aufwendig mit den ganzen Gleichungen?
Das mache ich mit LaTeX. Dazu gibt es auch eine Einführungs-Video-Reihe auf meinem Kanal.
@@DorFuchs Dankeschön
@@314tobyas2 Am einfachsten du gehts auf die Webseite "overleaf". Dort kann man sich mit seinem Google Account verbinden und easy latex programmieren, da alles online ist und man nichts downloaden muss. Dazu speichert die Webseite noch deine Dateien.
Gerne mehr Rätsel Aufgaben Videos
7:28 You lost me there
Das ist schwer, wenn du Modulo nicht kennst^^ Denk an eine Uhr, die nur drei Uhrzeiten hat: 0 Uhr -> 1 Uhr -> 2 Uhr Danach geht sie wie eine normale Uhr wieder auf 0 Uhr zurück, also ein endloses 0 - 1 - 2 - 0 - 1 - 2 - 0 ...
Wenn du 1 Uhr hast und 6 Stunden vergehen, wie spät ist es dann?
Genau, wieder 1 Uhr
@@JannisAdmek ist dann eine richtige Stunde die quasi 60 Minuten hat auch ein Modula ? Höre das zum ersten mal 😁
Ich hab erst nach mehrfachem anschauen des Widerspruchsbeweises gecheckt, was er bedeutet. Entweder liegt es dran, dass es noch zu früh ist, oder ich werde immer loster was Mathe angeht
Ich hatte da beide Gleichungen als Ebenen interpretiert, sie parametrisiert und die Schnittgerade ausgerechnet. Die Geradengleichung enthielt alle möglichen Lösungen und ich habe gezeigt, dass für egal welchen reellen Geradenparameter das Ergebnis irrational ist.
Geometrisch: Man hat eine Sphäre mit Radius 10 geschnitten mit einer Ebene durch den Ursprung.. das ergibt einen Großkreis. Interessante Aussage, dass auf diesem Großkreis immer mindestens eine der Koordinaten irrational sein muss. Beim Beweis erklärst du sehr lange, warum a und b natürliche Zahlen sind. Da du angenommen hast, dass y rational ist, weißt du schon, dass zB b natürlich und a eine ganze Zahl ist und da das Problem symmetrisch ist, heißt wenn y eine Lösung ist, dann ist -y auch eine Lösung, kannst du dich auf den natürlichen Fall beschränken.
Ich finde die Wahl der Aufgabe interessant, weil ich persönlich fand die 2. Aufgabe recht einfach und konnte sie auch ziemlich schnell lösen. Die vierte hat mir allerdings ordentlich Kopfzerbrechen bereitet, ich hab mehrere Wochen an ihr rumprobiert.
Die 4. Aufgabe soll auch immer die schwerste sein. Die habe ich selbst auch gar nicht gelöst...
Die vierte Aufgabe ist in der Regel die größte Herausforderung in der zweiten Runde. Wer sie richtig löst, kann mit vier vollständig richtigen Lösungen einen ersten Preis erhalten Aber auch schon mit drei richtig bearbeiteten Aufgaben kann man einen dritten Preis erhalten.