Bonjour ! 1) Il manquerait dans cette vidéo quelques exemples explicites d'entiers de Gauss premiers qui ne sont pas des entiers relatifs. Or, si la norme p=a²+b² d'un entier de Gauss a+ib est un nombre premier, alors l'entier de Gauss lui-même est premier. Ainsi, les nombres évoqués dans les décompositions d'entiers naturels premiers, comme 1+i et 1-i, de norme 2, sont premiers, ainsi que 1+2i et 1-2i, de norme 5. De même, tout nombre entier naturel premier p qui est somme de deux carrés, soit p=a²+b², fournit deux entiers de Gauss premiers conjugués, soit a+ib et a-ib... C'est le cas des nombres premiers 2,5,13,17,29,37... essayez ! 2) Attention : à 11:43, l'unicité de la décomposition en deux carrés est équivalente à l'existence d'au plus un facteur premier congru à 1 modulo 4, et d'exposant 1 dans ce cas.
Quelle est la généralisation des 1ers de Gause ? Des idéaux maximaux 1ers ? Et quelle est la généralisation des nombres 1ers non 1ers de gauss ? Juste des idéaux ?
Excellente question, qui a motivé le développement de la théorie algébrique des nombres modernes. Les ensembles de nombres où l'on traite ces questions en général sont appelés "'anneaux d'entiers de corps de nombres" : ce sont les clôtures intégrales de Z dans des corps extensions finies de Q. Tous ces anneaux ne sont pas factoriels (c'est-à-dire comme Z et Z[i]), et il a donc fallu inventer un concept commun, celui "d'anneau de Dedekind", qui les subsume tous. C'est dans ces anneaux qu'on généralise la notion de nombre premier, et puisque parfois les nombres premiers n'ont pas d'extension qui est un nombre, mais seulement un idéal, c'est en effet la notion "d'idéal premier non nul" qui généralise la notion de nombre premier dans un anneau de Dedekind, où ce sont en fait exactement les idéaux maximaux. La notion d'idéal a en fait été inventée pour cela, on appelait ça un "nombre idéal" du temps de Noether et Dedekind. Le théorème de factorisation des "nombres" trouve d'ailleurs dans ce contexte sa formulation la plus générale en termes d'idéaux, avec une décomposition cette fois-ci unique de tout idéal non nul en un produit de puissances d'idéaux premiers. Quant à la dernière question, un nombre premier qui reste un premier de Gauss est dit inerte. Les autres sont soit décomposés, soit ramifiés : voir par exemple "La ramification imaginaire des nombres premiers" sur mon blog : reglecompas.fr/ramification-imaginaire-nombres-premiers. Une version plus générale pour les extensions quadratiques est abordée dans "Entiers quadratiques et ramification des nombres premiers" : reglecompas.fr/anneaux-entiers-quadratiques-nombres-premiers. Ces notions s'étudient aussi en général dans les extensions d'anneaux de Dedekind, mais c'est plus difficile d'accès.
Bien le bonjour ! Merci pour la vidéo. J'avoue avoir un peu lâché à la dernière partie, ce qui m'a peut-être fait bloquer sur le tout dernier point ( 11:49 ) sur la décomposition unique. Si je prends 25, qui est décomposable de manière unique par 3²+4² (j'imagine qu'on ne compte pas le cas 0²+5²), alors les facteurs premiers de 25 sont 5 (congru à 1 modulo 4, c'est bon), mais 5 apparaît avec l'exposant 2, pas 1. Est-ce que la décomposition 0²+5² compte ? Mais dans ce cas, si je prends 4 (0²+2²), alors ses facteurs premiers sont 2 (pas congru à 3 modulo 4, ni à 1 modulo 4). Qu'est-ce que j'ai manqué ? (Pardon si la question est naïve, promis il n'y a pas de mauvaise intention.) Ciao !
Il n'y a pas de question naïve en mathématiques, c'est la science de l'évidence, où la difficulté réside dans la formulation rigoureuse des choses les plus simples. Vous avez bien raisonné ici, car la formulation est malheureuse : la décomposition est unique lorsqu'il ya *au plus* un facteur premier congru à 1 modulo 4, et qu'il apparaît alors avec l'exposant 1. Et on compte les décompositions dont l'un des carrés est 0, puisque ces décompositions sont essentiellement la norme d'un entier de Gauss.
la division euclidienne n'est pas unique comme vous l'avez montré, mais aussi la factorisation n'est pas unique, il y a 2 factorisation possible puisque (a+bi)(a-bi)=(b+ai)(b-ai), mais quid de la multiplication et l'addition ? peut-on trouver un environnement où ce n'est pas unique ?
Oui, la factorisation n'est pas unique, mais dans l'exemple que vous donnez, on a b-ai=i(a+ib) et b+ai=i(a-ib) : la factorisation est unique à éléments inversibles près. C'est déjà le cas dans l'anneau Z des entiers relatifs, et en général dans tout anneau factoriel, de toute façon : quitte à multiplier les facteurs premiers par -1 on peu obtenir une autre factorisation.
![[FR] Division euclidienne et Arithmétique modulaire](http://i.ytimg.com/vi/kBzoQ9a-H1c/mqdefault.jpg)
![[FR] Division euclidienne et Arithmétique modulaire](/img/tr.png)
Bonjour !
1) Il manquerait dans cette vidéo quelques exemples explicites d'entiers de Gauss premiers qui ne sont pas des entiers relatifs. Or, si la norme p=a²+b² d'un entier de Gauss a+ib est un nombre premier, alors l'entier de Gauss lui-même est premier. Ainsi, les nombres évoqués dans les décompositions d'entiers naturels premiers, comme 1+i et 1-i, de norme 2, sont premiers, ainsi que 1+2i et 1-2i, de norme 5. De même, tout nombre entier naturel premier p qui est somme de deux carrés, soit p=a²+b², fournit deux entiers de Gauss premiers conjugués, soit a+ib et a-ib... C'est le cas des nombres premiers 2,5,13,17,29,37... essayez !
2) Attention : à 11:43, l'unicité de la décomposition en deux carrés est équivalente à l'existence d'au plus un facteur premier congru à 1 modulo 4, et d'exposant 1 dans ce cas.
En effet, cela a été plus clair dans mon esprit avec les exemples.
Quelle est la généralisation des 1ers de Gause ? Des idéaux maximaux 1ers ?
Et quelle est la généralisation des nombres 1ers non 1ers de gauss ? Juste des idéaux ?
Excellente question, qui a motivé le développement de la théorie algébrique des nombres modernes. Les ensembles de nombres où l'on traite ces questions en général sont appelés "'anneaux d'entiers de corps de nombres" : ce sont les clôtures intégrales de Z dans des corps extensions finies de Q. Tous ces anneaux ne sont pas factoriels (c'est-à-dire comme Z et Z[i]), et il a donc fallu inventer un concept commun, celui "d'anneau de Dedekind", qui les subsume tous.
C'est dans ces anneaux qu'on généralise la notion de nombre premier, et puisque parfois les nombres premiers n'ont pas d'extension qui est un nombre, mais seulement un idéal, c'est en effet la notion "d'idéal premier non nul" qui généralise la notion de nombre premier dans un anneau de Dedekind, où ce sont en fait exactement les idéaux maximaux. La notion d'idéal a en fait été inventée pour cela, on appelait ça un "nombre idéal" du temps de Noether et Dedekind. Le théorème de factorisation des "nombres" trouve d'ailleurs dans ce contexte sa formulation la plus générale en termes d'idéaux, avec une décomposition cette fois-ci unique de tout idéal non nul en un produit de puissances d'idéaux premiers.
Quant à la dernière question, un nombre premier qui reste un premier de Gauss est dit inerte. Les autres sont soit décomposés, soit ramifiés : voir par exemple "La ramification imaginaire des nombres premiers" sur mon blog : reglecompas.fr/ramification-imaginaire-nombres-premiers. Une version plus générale pour les extensions quadratiques est abordée dans "Entiers quadratiques et ramification des nombres premiers" : reglecompas.fr/anneaux-entiers-quadratiques-nombres-premiers.
Ces notions s'étudient aussi en général dans les extensions d'anneaux de Dedekind, mais c'est plus difficile d'accès.
@@mathesis-univers-mathematique Merci beaucoup de cette réponse détaillée !
courage
Bien le bonjour ! Merci pour la vidéo.
J'avoue avoir un peu lâché à la dernière partie, ce qui m'a peut-être fait bloquer sur le tout dernier point ( 11:49 ) sur la décomposition unique.
Si je prends 25, qui est décomposable de manière unique par 3²+4² (j'imagine qu'on ne compte pas le cas 0²+5²), alors les facteurs premiers de 25 sont 5 (congru à 1 modulo 4, c'est bon), mais 5 apparaît avec l'exposant 2, pas 1.
Est-ce que la décomposition 0²+5² compte ? Mais dans ce cas, si je prends 4 (0²+2²), alors ses facteurs premiers sont 2 (pas congru à 3 modulo 4, ni à 1 modulo 4).
Qu'est-ce que j'ai manqué ? (Pardon si la question est naïve, promis il n'y a pas de mauvaise intention.)
Ciao !
Il n'y a pas de question naïve en mathématiques, c'est la science de l'évidence, où la difficulté réside dans la formulation rigoureuse des choses les plus simples.
Vous avez bien raisonné ici, car la formulation est malheureuse : la décomposition est unique lorsqu'il ya *au plus* un facteur premier congru à 1 modulo 4, et qu'il apparaît alors avec l'exposant 1.
Et on compte les décompositions dont l'un des carrés est 0, puisque ces décompositions sont essentiellement la norme d'un entier de Gauss.
la norme euclidienne est-elle aussi multiplicative ?
Oui, tous les normes arithmétiques son multiplicatives. Voir 2:30
la division euclidienne n'est pas unique comme vous l'avez montré, mais aussi la factorisation n'est pas unique, il y a 2 factorisation possible puisque (a+bi)(a-bi)=(b+ai)(b-ai), mais quid de la multiplication et l'addition ? peut-on trouver un environnement où ce n'est pas unique ?
Oui, la factorisation n'est pas unique, mais dans l'exemple que vous donnez, on a b-ai=i(a+ib) et b+ai=i(a-ib) : la factorisation est unique à éléments inversibles près. C'est déjà le cas dans l'anneau Z des entiers relatifs, et en général dans tout anneau factoriel, de toute façon : quitte à multiplier les facteurs premiers par -1 on peu obtenir une autre factorisation.