＃204

[@ベトナム人留学生のナムです]

この問題、泣ける😂👍

[@竹村敬太郎]

加法定理で分解するとことか2回微分するとことか受験生があまり目にしないタイプ。やっとくとめちゃくちゃ役立つ良問。

[@そーくうチャンネル]

一個下の人のコメントと真逆で草

[@竹村敬太郎]

@@そーくうチャンネル
ほんまやんけ
困ったわ

[@yellowjumpsp]

実際やったら難しいけど、解説みたらできそうって思っちゃうやつ

[@楽しい数学の世界へ]

試験で類題が出るといいですね。

[@squirrelx111]

計算ばっかりやたら面倒くさいあたりが私立医大ぽい
工学系なら計算重い問題出すの理解できるけど、医学系で出すのはわけわからないんだよね

[@めいみく-r7o]

解説わかりやすかったです
log(x+1)を問題にいれた意図が分からないですね…あと2階微分可能と書かないことも

[@integral_dv]

なんという端末の、なんというアプリを使っていますか？？

[@ますかっと-f2i]

来年の受験に向けて毎日トレーニングさせてもらってます

[@楽しい数学の世界へ]

こちらも受験生ファーストで頑張ります。

[@aoyamasige1992]

こんなの本番で解きたくないわ。加法定理で展開したあとや一回微分したあと、もっと微分すればうまく消えると確信が持てないのでその計算に突っ込んでいっていいのか躊躇する。その後の積分も面倒だし。検算も難しくて答えに自信が持てない。

[@篠田正基]

これは難しくないけど計算量が多くてたまらないですね。
１対１かスタ演で類題をこなしたことあるからできましたが、この類題はもう解きたくないですね
理科大とかもこういう問題を好んで出しそう

[@きしめん-d7c]

これはそこまで難しいわけじゃないけど、本番で出されて計算ミス誘発されるのはきつい...

[@霧のビルヂング]

東工大数学2019でもこんな感じのやつ出てきたな。積分変数変換の解法知ってないと最初に何すればいいか分からないやつ

[@cfcqo201]

ラプラス変換を使って解いてみました (受験生向けではないです)
g(x) = (x+1)^2 log (x+1) とおきます。
2回微分して
g'(x) = 2(x+1) log(x+1) + (x+1)
g''(x) =2 log (x+1) +3
このとき、g(0) = 0, g'(0) = 1
log(x+1) のラプラス変換を G(s) = L [ log(x+1) ] とおくと、
上の式から
L[ g''(x) ] = 2 L[ log(x+1) ] + L[ 3 ] = 2 G(s) + 3/s
一方、微分に関するラプラス変換の公式から、
L[ g''(x) ] = s^2 L[ g(x) ] - s g(0) - g'(0) = s^2 L[ g(x) ] - 1
これらから、
L[ g(x) ] = L[ (x+1)^2 log(x+1) ] = (2/s^2) G(s) + 3/s^3 + 1/s^2
が導かれる。
他に L[x] = 1/s^2, L[x^2] = 2/s^3 を用いれば
L[ f(x) ] {s^2/(s^2+1)}= G(s) (動画の21分頃の式)
より、
L[ f(x) ] = G(s) + (1/s^2) G(s)
= G(s) + (1/2) { (2/s^2) G(s) + 3/s^3 + 1/s^2 } - (3/4)(2/s^3) - (1/2)(1/s^2)
= L[ log(x+1) ] + (1/2) L[ (x+1)^2 log(x+1)] - (3/4) L[ x^2 ] - (1/2) L[ x ]
が得られ、ラプラス逆変換により
f(x) = log(1+x) + (1/2) (x+1)^2 log(x+1) - (3/4) x^2 - (1/2) x
を得る。

[@楽しい数学の世界へ]

解答コメントありがとうございました。なるほど、解答から迎えに行った感じですね。しかし、log(x+1)のラプラス変換が　 L[ (x+1)^2 log(x+1) ] = (2/s^2) G(s) + 3/s^3 + 1/s^2　解答と同様に微分公式を用いて次数を下げていけば求まりますね。脱帽です。勉強になりました。これからもよろしくお願いします。

[@のぶ-x2k]

∫₀^𝑥 𝑓(𝑥-𝑡)sin 𝑡𝑑𝑡が畳み込み積の式そのままなので、ラプラス変換がL[f]L[sin x]と書けることに気づくと早いかもしれません。
与式のラプラス変換が、L[f]=L[log(x+1)]+L[f]L[sin x]で、
L[f]=L[log(x+1)]/(1-L[sin x])
L[sin x]=1/(s²+1)より、
L[f]=(1+1/s²)L[log(x+1)]
f(x)=log(x+1)+(∫ 𝑑𝑥)²log(𝑥+1)
あとは動画の通りです。

[@takumamori7092]

ちょうどラプラス変換で畳み込み積分の入った積分方程式を解きたかったのでありがたいです！

[@sennayu1432]

これ二回微分可能って書かないの相当悪じゃないか。二階微分可能を示さなきゃいけなくなる？

[@resmed3958]

急いで解答すると微分と積分2回ずつの計算のどこかでミスしそう

[@楽しい数学の世界へ]

分かっていても、計算ミスしたりするので、完全正解する人は日医クラスの受験生でも結構少ないと思いますよ。

[@violet_snow]

2階微分可能って書いていないのあまりにも悪質すぎない？問題集とかならまだしも人生かかってる人もいるような入試でこれは酷すぎる

[@楽しい数学の世界へ]

コメントありがとうございます。追加です。問題の式を1回微分した、8:15あたりの右辺は微分可能な関数（連続関数であればOK）の定積分関数なので、微分可能になります。ｆは2回微分可能。従って、問題自体にに誤りはないのですが、2階微分可能くらい書いてあった方が受験生に親切ですよね。

[@violet_snow]

@@楽しい数学の世界へ 右辺が積分可能なことには閉区間上で連続関数が積分可能なことを用いており、このことは高校数学の積分から導けないのでむしろ書かなければ高校数学では解くことができないように思えます。

[@楽しい数学の世界へ]

@@violet_snow 数Ⅲ教科書には証明抜きで、連続関数の定積分関数が微分可能であるという記述はありますが…、これは認めるしかないのですかね。

[@violet_snow]

@@楽しい数学の世界へ すみません、こちらの勘違いでした。定積分関数の話でしたから∫[a,x]f(t)dxが微分可能で微分するとf(x)となることしかいりませんでしたね。このことは教科書にも載っているような微分積分学の基本定理のみから導けますし問題文としては問題なかったですね。

[@phibrain9005]

気になった点について２点，コメント欄で質問させていただきます．
問題文の等式を①，①の両辺の２階微分を②としたとき，①⇔（②⋀f(0)=0⋀f'(0)=1）までは明らかですが，
③式を，f''(x)=log(x+1)-1/{(x+1)^2}としたとき，①⇔（③⋀f(0)=0⋀f'(0)=1）はどう示せば良いのでしょうか？
複雑な積分の項を消去した③式では，必要条件から導出されたように見えます．
また，2020東京学芸大で類題が出題されていますが，f(x)の仮定はなんと「連続関数であること」だけでした．
となると，この問題でもf(x)の２階微分可能性を示す必要もありそうですが，どうすれば良さそうでしょうか？

[@楽しい数学の世界へ]

コメントありがとうございます。追加です。
まず、③式を，f''(x)=log(x+1)-1/{(x+1)^2}としたとき，①⇔（③⋀f(0)=0⋀f'(0)=1）は示す必要がありません。①⇔（②⋀f(0)=0⋀f'(0)=1）で十分だからです。また、問題の式を1回微分した、8:15あたりの右辺は微分可能な関数（被積分関数が連続関数であればOK）の定積分関数なので、微分可能になります。ｆは2回微分可能。従って、問題自体にに誤りはないのですが、2階微分可能くらい書いてあった方が受験生に親切ですよね。

[@カインなのよ-t5g]

変数変換はできたけどそっから詰まってしまった〜！
そっか加法定理使えばいいんや〜！

[@知恵と知恵のぶつかり合い]

f（x）が途中で消えるのは偶然なんでしょうか？

[@伊藤豊-g7w]

x-t=uの置換は2016年でも出題されてる同大の頻出。恐らく16年は出来が悪かったんだと思うから初見で解けなくても仕方がない。

[@perimetros314]

この問題そもそも与式から自動的に一階微分可能も二階微分可能も出てきますね
そこは“出来る子”の方が気付いてしまって難しくなるタイプの問題ですね
それよりこの手の問題の模範解答が「解の存在」の検証しない方がよほど気になります
例えば簡単な例なら関数方程式
∫[0,x] f(t)dt + 3 = sin(x)
とかなら
両辺微分して
f(x) = cos(x)
とかいう解答が罷り通ってます
そういう解答の方がなんとなく“正解”になってることの方が残念でなりません

[@_ONC]

この類題は難関大数学でちょくちょく見るイメージ。

[@松尾秋良]

やったことあったのにできなかった。

[@mrsm1358]

2回微分するのかなって予測は出来たけど計算面倒だし確信持てないから諦めたって人多そう

[@はーたいやき]

難しくはないが面倒くさい。答え汚く完答しても不安になります。計算ミスで蹴落とそうという意図はないにしろ。
微分可能という条件に何回まで微分できるかの制限はないと思います。
仮に1回のみ微分可能なら、解無しとは言えないが解けませんね。

[@ray-eb8wj]

典型問題ですね。
計算のいい練習になる問題ですね。
三角関数は2回微分すると元の三角関数が出てくるのでそこで同型出現ではないかと推測することができますね。

[@筋トレ好き-r1x]

答えあってたときキモチよすぎ

[@gejqijdhkdnwjdkn2h9267r]

微分するぐらいしか解法は知らないので勇気を持って計算し続けたら解けました❗

[@rysp5003]

昔、昔、大昔、秋山仁仙人は、ここで教鞭とっていた（理科大教授になる前）。
しかし、この程度はさらりと完答しないと、合格はおぼつかない。
まして、隣の大学医学部なんて論外だな。

[@せふとり]

昔演習で何回も類題を解いた覚えあります。結局理解するより解法の暗記してました、、笑

[@sato8436]

これって最後にf(x)はx>-1で微分可能である(十分性？)ことは述べなくていいんですかね？述べろと言われてもx>-1全体で微分可能だと示す方法は分かりませんが

[@channel_Lili]

数3の教科書には、「整式の関数、対数関数などの一般的な関数とそれらの和や積で表される関数については、定義域内のあらゆる点で微分可能である」という記述があった気がします。

[@TV-hr6cz]

f'(x)が定義できてる時点で微分可能性は示されてる

[@そーくうチャンネル]

北大の入試問題にそっくり

[@mskunichika]

8分半ごろの上から３行目のcosのあとにｘが抜けています。一瞬びっくりした。

[@ハミルトニアン演算子-x4o]

多分入試の積分方程式でトップレベルにむずかしいですよね？

[@ray-eb8wj]

これは典型問題で解放さえ知っていればあとは計算するだけなのでそこまで難易度は高くないかと思います。

[@初でイク]

@@ray-eb8wj 積分方程式の類題の中では難しい部類では？

[@user-nobujyu829]

積分方程式の中では難しい部類に入ると思います
ただ、積分方程式自体が他の分野より比較的易しいので日本医科大受験者は取り逃がしたくない問題になってると思います

[@伊藤豊-g7w]

初見では難しいけど典型問題だしある程度レベル以上の数3の問題集には必ず載ってる。旧帝大や医学部では頻出。知ってたら解けるからトップレベルではないかな。

[@ray-eb8wj]

@@伊藤豊-g7w トップ校受ける人は必ずとってきますね

[@3bb-82]

でけた！

[@くまちゃん-q7j]

簡単過ぎます♪