#1119

[@PanxkyRaKaldy0909]

整数問題はパターンが決まってるとはいえ、値の範囲を絞っていったときの追い詰めてやった感がたまらない。

[@一夜一夜に人見頃兄さん]

この手の整数問題は数の大きさをイメージするのが大切な気がする
今回もxが大きくなると3x/x^2+2が小さくなるしyが大きくなると1/yが小さくなるから、十分に大きなx,yなら0と1の間に収まりそうと分かればxかyの上限を探そうと思える

[@YoshioHasegawa421]

y=1かどうかで場合分けする発想が一番難しそうですね。
望ましいのは1/yが自然数になる場合とそうでない場合で分けることに気づけることですが、
(与式)=kとおいて、3xy=(x^2+2)(ky-1)で、gcd(ky-1,y)=gcd(y,y-1)=0,1だからy=1とy>1で場合分けがいる、と気づくこともできるかもしれない。

[@ぱんだ-s7e]

自然数x,yに対して3x/x^2+2,1/yがそれぞれ1以下なので与式≦2
あとは1と2で場合分けしてそれぞれyについて解くとxの範囲を絞れました

[@iai-hijou-shoku]

x=3,4,5については（1/yが単減でy≦1/2、）x+2/xが単増で6以上で与x式≦1/2のほうが僅かに楽かな

[@tetsutetsu544]

ちゃんと見ておりませんが、左鴻はxが6以上になると1/2未満になるため5以下であるべきとなる。1/2未満の場合、1/yを加えて自然数とならないため。あとはx=1〜5で各々yの値を求めれば良いと思います、

[@mathseeker2718]

xの方の式を相加相乗等で考えれば、最大値は1を少し超えるぐらい、6以上では1/2未満になってしまうので、x=1〜5だけを考えれば良い。

[@うっちゃん-e8e]

3x/(x^2₊1)₊1/y₌(3xy₊x^2₊2)/(yx^2₊2y)₌k≧1より
3xy₊x^2₊2≧yx^2₊2y　y₌(x^2₊2)/(2x^2₋3x₊2)　　①
①は減少関数になるのでyの最大値はx₌1のときでy≦3
(1)y₌1のとき
　3x/(x^2₊2)が整数になる必要から3x/(x^2₊2)≧1よりx^2₋3x₊2₌(x₋1)(x₋2)≧0
　Xは整数よりx₌1又は2　x₌1のときk₌2、x₌2のときk₌2
(2)y₌2のとき
　(x^2₊6x₊2)/(2x^2₊2)₌t/2より(t₋1)x^2₋6x₊t₋2₌0より
　x₌{3₊(9₋(t₋1)(t₋2))^1/2}/2(t₋1)　　②
　②が平方完成できるためにはtはt₌1は不適なためt₌2のときでx₌3
　このとき3x/(x^2₊2)₌9/11となり不適
(3)y₌3のとき
　3x/(x^2₊2)₌t/3よりtx^2₋9x₊2t₌0よりx₌{9±(81₋8t^2)^1/2}/2t　③
　③式が平方完成できるためにはt₌2又は3であるがt₌3のときは3x/(x^2₊2)₌1となり不適
　よってt₌2でこのとき2x^2₋9x₊4₌(2x₋1)(x₋4)₌0よりx₌4
以上より(1,1)(2,1)(4,3)の3組

[@ジョン永遠]

誘導は入試の悲しい現実
・解法を誘導して採点を楽にする（解法による差が付きづらいように）
・部分点を与えて点幅が適当にばらつくようにする(all or nothingを避ける)
数学の問題としては自由な発想で色々と考えてみることが大事なので，誘導なしは「あり」です

[@田中くにお-s5y]

そんなの理想論だろ、じゃあ、自由な発想でいろいろなら、制限時間をなくしなよ。入試問題と、数学の研究は違うんだよ。

[@みふゆもあ]

y≠1のときは次のようにして解きました😊
{(3x)/(x²+1)}+(1/y)=1
分母をはらって整理すると
(y-1)x²-3yx+2(y-1)=0,
x={3y±√D}/{2y(y-1)}
（ただしD=y²+16y-8）
xが整数であるためにはDが平方数であることが必要。
y²+16y-8=k² ⇄ (y+8+k)(y+8-k)=72
条件を満たす自然数yはy=3.

[@自由律俳句とかいう無法地]

もしこれが『（分数式）が整数となるような整数(x, y)をすべて求めよ。ただしy≠0。』だったら答えはどうなるんだろう？

[@YoshioHasegawa421]

ちゃんと解いたわけじゃないですが、
元の式が整数になることとx,yの符号を同時に入れ替えた式が整数になることは同値
xだけ符号を入れ替えた式が整数になることとyだけ符号を入れ替えた式が整数になることも同値
なのでx,yともに正、x=0、x>0かつy

[@ジョン永遠]

x,yの符号によらず，x, y(の絶対値)が十分大きい時は分数式の第1項も第2項も0に近づいていくので
分数式が整数になる整数x, y(の絶対値)はそれほど大きくなれない．つまり候補は有限個に絞れる．
具体的なことをいえば，xが0のときは容易でy＝±1，xが負のときは正の場合と同様に第1項が相加相乗で下に押さえられる．yも負のときは－x, －yで考えれば x，yが正のときに帰着できる．
したがってxが正, yが負のときを考えれば十分(xが負, yが正のときは符号反転して前者に帰着できる)
この場合，y＝－1なら第1項＝1しかなく，これを解いてx=1, 2
y≦－2なら分数式＝0 or 1しかないが，1の場合は1/y＝1－3x/(x²＋2)＝(x－1)(x－2)/(x²＋2)＜0 より
1＜x＜2となって適するxはなし．0の場合は1/y＝－3x/(x²＋2) ⇔ x²＋2＝－3xy ⇔ x(x＋3y)＝－2
xも x＋3yも整数だから(x, x＋3y)＝(1, －2) or (2, －1) しかなくこれからはy＝－1となりy≦－2に不適．
こんな感じで最終的には (x, y)＝(0, ±1), (±1, ±1), (±2, ±1), ±(4, 3) (複号任意) の計12個(だと思う)

[@YoshioHasegawa421]

​@@ジョン永遠 x=-4の時第1項=-2/3だからy=3は解にならないですね。最後の組だけ(±4,±3)複号同順で、それ以外は計算してないですが合ってそうだなと思います。

[@ジョン永遠]

@@YoshioHasegawa421
最後だけ±(4, 3)と複号をカッコの外に書いていることに注意してください．
これは(±4,±3)複号同順と同じ意味になります．
だから全部で2＋4x3＝14個ではなく12個になってます．

[@まつけま]

​​@@ジョン永遠ここまで長くせずとも3x/x^2+2の既約分数の分子が1であることから整数kを用いてx^2+k=3kxとなるxを求めれば3x/x^2+2と1／yが異符号の時が簡単に求められると思います。

[@haruharu949]

これも脳筋で出来たよ…?
x >=1でx^2 + 2 >= 3xだから、与式の第一項が1より小さいとき、y >=2で1/y

[@teta2993]

yも問題文にあるので、グラフの縦軸をyにすると、見づらいですね

[@KS-sw4ld]

文系でこれだすの？

[@かなこ-s4f]

1/yの最大値が1/2ってのが分かりにくかったかも

[@イキリスト教教祖]

3x/(x²+2) + 1/y = 1のとき、3x/(x²+2) = (y-1)/y と変形できる。
まず、左辺の分母分子を自然数mで約分することを考える。
すると、mの候補は明らかにm = 1, 2, 3, 6 だけである。
また、約分すると分母分子の差が1になるため、
(x²+2)/m - (3x/m) = 1
x²-3x+2-m = 0 が成り立つ
変形すると、 (2x-3)²=4m+1・・・①
①式の右辺が平方数になるのはm=2, 6のときのみ。
m=2 のとき、x=3となるが、(3x/m)が自然数でないため不適
m=6のとき、x=4となり、(3x/m)が自然数のため適する
∴(x, y) = (4, 3)

[@イキリスト教教祖]

場合分けを少なくしようと試みた結果、返って記述量が多くなってしまった。
動画のようにxについての不等式立てた方が早かったな…

[@まつけま]

この方法で(1,1)と(2,1)は出てきますか？

[@イキリスト教教祖]

@@まつけま それなら、3x/(x²+2) =1, 1/y = 1とすればいい。
3x/(x²+2) + 1/y = 1　は両方1未満の場合。

[@まつけま]

なるほど、そう言う意図でしたか。一つの解法でまとめて解こうとしてたのかと思ってしまいました。失礼しました

[@イキリスト教教祖]

@@まつけま 分かりづらくて済まなかったな。