#1118

[@user-dq4ku5fe1i]

n(n+1)+7=mとおく
n²

[@aoyamasige1992]

3:55 この時点で左辺正なのでｋは１か２です

[@みふゆもあ]

実際の誘導がどんなのかわかりませんが
n²+n+7‎ = k² ⇄ (2k+2n+1)(2k-2n-1)=27
としました😊

[@YoshioHasegawa421]

n^2 < 与式 < (n+3)^2 より 与式=(n+1)^2 または (n+2)^2
それぞれ解いてn=6,1

[@MuirHead-up6pf]

n(n+1)+7=m^2(m∈ℕ)とすると
m^2>n^2よりm>n ∴m-n≧1
また、n(n+1)+7≧9よりm≧3
n+7=(m-n)(m+n)となる。
(i)m-n≧2のとき
n+7≧2m+2n ∴1≧7-2m≧n
∴n=1が必要 n=1のときm=3で成立。
(ii)m-n=1のとき
n^2+n+7=n^2+2n+1
よって、n=6 このとき、m=7で成立。
以上より、n=1,6

[@pq2646]

4倍して2n+１の2乗作れば簡単やぞ。

[@垣生啓貴]

(n+3)^2>与式>n^2なので
与式=(n+2)^2 or (n+1)^2

[@haruharu949]

脳筋で行けたよ…？
n(n+1) + 7 = N^2とおく（n < N）。すると、n + 7 = (N + n)(N - n) > 2nから、n < 7。
後は順にn = 1～6まで与式に代入して調べると、平方数となるのはn = 1, 6のみと分かる。

[@study_math]

n^2+n の形をみたらとりあえず4倍

[@ジョン永遠]

他の方が書いている方法と本質的に同じですが，動画中の解法のバリエーションとして書くと，
(n＋k)²＝n²＋n+7 とk: 自然数より k＝√(n²＋n+7 )－n
ここで数Ⅲやってれば分かりますが，n→∞のとき k→1/2 です．
言い換えば，kが自然数であるためにはnはあまり大きくなれない．
実際 k≧1を解くとn≦6．あとはチェックすればいい.

[@kto-l2f]

n(n+1)+7=k^2 (k>0) とおくと
左辺=(n+1/2)^2+27/4 より両辺4倍して
(2n+1)^2+27=4･k^2
⇔ (2k)^2-(2n+1)^2=27
⇔ (2k+2n+1)(2k-2n-1)=27
2k+2n+1>0 かつ 2k+2n+1>2k-2n-1 より
(2k+2n+1, 2k-2n-1)=(27, 1), (9, 3)
和と差をとると
(4k, 4n+2)=(28, 26), (12, 6)
よって
(k, n)=(7, 6), (3, 1)
すなわち
n=1, 6

[@AAA-o1v9m]

二つの二次方程式Y=N^2+N+7とY=（N+K)^2の交点のN座標が正の整数になる。とよむと
第一感で、Kが大きくなると二次関数は左に移動して、解が負になる。
ここまでわかれば、解が負になるKの値をさがして、あとは、手作業でK＝1から順番に探せば終了かな？
推定解答時間5分から10分。

[@vacuumcarexpo]

暗算チャレンジ成功❗

[@一夜一夜に人見頃兄さん]

パッと見てnを4で割った余りで解決するかなと思ったけどイマイチ絞りきれず
それからこういう問題は大体nの数が有限なことが多いことから逆算してnが限りなく大きい時を考えるとn(n+1)+7がn^2に寄ってくから、ある整数より大きいとn(n+1)+7

[@ああ-s5m8m]

(n+2)^2-{n(n+1)+7}=3n-3≧0、またn(n+1)+7>n^2よりこれが平方数となる時(n+1)^2か(n+2)^2しかあり得ない

[@takumakogawa]

この手法は#1062の一橋の問題と同じで、わかりやすくて優れていると思います。

[@nnnnttttuuuu]

n^2+n+7-k^2=0
4k^2-27=m^2
(2k-m)(2k+m)=3*9=1*27
k=3,7
n=1,6

[@over-all-p4d]

n(n+1)+7=(n-4)(n+5)+27≡(n-1)^2 (mod 3)
即ち、
n-1が3の倍数の場合、
n(n+1)+7は3の倍数の平方数
n-1が3の倍数以外の場合、
n(n+1)+7は3の倍数以外の平方数
r=0, ±1
n=3N+r
k=3K+r
n(n+1)+7=k^2
である事が分かる
n+7=k^2-n^2=(k-n)(k+n)
3N+r+7=3(K-N)(3(K+N)+2r)
r+7≡0 (mod 3)
r≡-7≡-1 (mod 3)
r=-1
n=3N-1
k=3K-1
3N+6=3(K-N)(3(K+N)-2)
N+2=(K-N)(3(K+N)-2)
N+2=(K-N)(3(K+N-1)+1)
N+2-(K-N)=3(K-N)(K+N-1)
2N+2-K=3(K-N)(K+N-1)

[@MultiYUUHI]

平方完成で超楽問題に

[@のぶ-x2k]

n(n+1)+7>n²より
n(n+1)+7=(n+1)²または
n(n+1)+7≧(n+2)²だから、
それぞれ解いて、n=6,1
って感じで解きました。

[@ularaippanjin1484]

n(n+1)+7=m^2 → n^2+n-2=m^2-9 → (n-1)(n+2)=(m-3)(m+3) ここからnの範囲を絞り込める？？と思ったらそういう手だったか

[@kinshun]

nが1のときは9=3^2でok
nが2以上のとき、与式はn^2より大きくて(n+2)^2より小さいことを証明して、与式=(n+1)^2
これを解くとn=6
以上よりn=1と6