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後半のシンプル解法でやっつけました〜😊
脳筋でやると…？与式 = q/p > 2（p, qは互いに素な自然数）と仮定する。√n+1 = q/p - √nの両辺を二乗して整理すると(q+p)(q-p) = 2pq√n。ここで、p, qが互いに素だから(q+p)(q-p)は2√nに含まれる。よって、pq = 1, q/p > 2の仮定に反する。■
√n∈Ｑ⇒√n∈Nが示せてない気がするんですがどうでしょうか。
関東管領
示せてますよ．√n＝q/p (p,qは互いに素な正整数)とおいて n＝q²/p² p²はq²の約数でなければならないが，pとqは互いに素なのでp²＝1 つまりp＝1 ∴ √n＝q∈N同じことですが，nが平方数ということで，それは動画ではn＝q²/p²とp²＝1よりn＝q²を示してます
√n₊√n₊1₌k(kは有理数)とおくと両辺2乗して2n₊1₊2√n(n₊1)₌k^2より左辺が平方数になるには2√n(n₊1)₌n^2が成り立つ必要がある。もう一度両辺2乗して4n(n₊1)₌n^4 n(n₊1)₌n^4/4 n₌4t(tは自然数)とおくと 4t(4t₊1)₌16t^4より4t₊1₌4t^34t(t^2₋1)₌1 ① t₌1のとき右辺は0、t≧2のとき4t(t^₋1)>1となり①式は成立しない。
天野遠影
＞2n₊1₊2√n(n₊1)₌k^2より左辺が平方数になるには2√n(n₊1)₌n^2が成り立つ必要がある。「2√n(n₊1)₌n^2」ならば，なるほど確かに左辺は平方数になりますが，「．．．」でなければならない，とはいえないのでは？つまり十分ではあるが必要ではない．「2√n(n₊1)₌n^2」でなくても「2√n(n₊1)₌n^2-4n」や「2√n(n₊1)₌n^2-2n-1」「2√n(n₊1)₌n^2+2n+3」でも左辺は平方数になりますよね．
連絡遅くなりましたが、ご指摘のとおり2√n(n₊1)₌n^2以外に一般的にn^2₊an₊bで平方数になるa、bが存在することがわかりました。そこで再検討してみました。2√n(n₊1)₌n^2₊an₊bとしてk^2が成立すると仮定すると2n√(1₊1/n)₌n^2₊an₊bより2√{(n₊１)/n}₌n₊a₊b/n ① nは自然数①式の左辺が有理数になるにはn₊1₌k^2nとなる必要がある。ところがnとn₊1は互いに素になるのでn₊1₌K^2nにはならない。従って①式の左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾するというのではいかがでしょうか。まだ問題があるようでしたらまたご指摘をお願いします。
連絡遅くなりましたが、ご指摘のとおり2√n(n₊1)がn^2₊an₊bでもk^2となるa、bが存在することがわかりました。そこで再検討してみました。2√n(n₊1)₌n^2₊an₊bのときk^2が成立すると仮定すると、2n√(1₊1/n)₌n₊a/n₊b/n^2より2√(1₊1/n)₌2√{(n₊1)/n}₌n₊a/n₊b/n^2 ①①式の√ 内が平方数になるにはn₊1₌k^2nが必要なりますが、nとn₊1は互いに素であるのでnとn₊1は互いに素であるのでn₊1₌k^2nは成立しない。よって①式の左辺は無理数、右辺は有理数で矛盾する。まだ問題があればまたご指摘をお願いします。
ご指摘のとおり2√n{n₊1}₌n^2₊an₊bでのk^2が成立するa、bが存在することがわかりました。そこで再検討してみました。2√n(n₊1)₌n^2₊an₊bとしてk^2が成立すると仮定すると2n√(1₊1/n)₌n₊a/n₊b/n^2より2√{(n₊1)/n}₌n₊a/n₊b/n^2 ① となり左辺の√ 内が平方数になるにはn₊1₌k^2nが必要となる。nとn₊1は互いに素であるのでn₊1₌k^2nにはならない従って①式の左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾する。まだ問題があるようでしたらまたご指摘をお願いします。
これ京大で出たことあるやつでしょ
有理数の四則演算の結果が有理数であるという証明はいらないんですか？
受験数学では、ほぼ自明としてよいかと。
それを気にしちゃうと、有理数の四則演算の定義から浚う必要があり、高校までの数学において四則演算の厳密な定義はなされていないはずなので大丈夫です。
定義を全くしてないので0点
後半のシンプル解法でやっつけました〜😊
脳筋でやると…？
与式 = q/p > 2（p, qは互いに素な自然数）と仮定する。√n+1 = q/p - √nの両辺を二乗して整理すると(q+p)(q-p) = 2pq√n。ここで、p, qが互いに素だから(q+p)(q-p)は2√nに含まれる。よって、pq = 1, q/p > 2の仮定に反する。■
√n∈Ｑ⇒√n∈Nが示せてない気がするんですがどうでしょうか。
関東管領
示せてますよ．
√n＝q/p (p,qは互いに素な正整数)とおいて n＝q²/p² p²はq²の約数でなければならないが，pとqは互いに素なのでp²＝1 つまりp＝1 ∴ √n＝q∈N
同じことですが，nが平方数ということで，それは動画ではn＝q²/p²とp²＝1よりn＝q²を示してます
√n₊√n₊1₌k(kは有理数)とおくと両辺2乗して2n₊1₊2√n(n₊1)₌k^2より左辺が平方数に
なるには2√n(n₊1)₌n^2が成り立つ必要がある。もう一度両辺2乗して
4n(n₊1)₌n^4 n(n₊1)₌n^4/4 n₌4t(tは自然数)とおくと 4t(4t₊1)₌16t^4より4t₊1₌4t^3
4t(t^2₋1)₌1 ① t₌1のとき右辺は0、t≧2のとき4t(t^₋1)>1となり①式は成立しない。
天野遠影
＞2n₊1₊2√n(n₊1)₌k^2より左辺が平方数になるには2√n(n₊1)₌n^2が成り立つ必要がある。
「2√n(n₊1)₌n^2」ならば，なるほど確かに左辺は平方数になりますが，「．．．」でなければならない，とはいえないのでは？つまり十分ではあるが必要ではない．
「2√n(n₊1)₌n^2」でなくても「2√n(n₊1)₌n^2-4n」や「2√n(n₊1)₌n^2-2n-1」「2√n(n₊1)₌n^2+2n+3」
でも左辺は平方数になりますよね．
連絡遅くなりましたが、ご指摘のとおり2√n(n₊1)₌n^2以外に一般的にn^2₊an₊bで平方数になる
a、bが存在することがわかりました。そこで再検討してみました。
2√n(n₊1)₌n^2₊an₊bとしてk^2が成立すると仮定すると2n√(1₊1/n)₌n^2₊an₊bより
2√{(n₊１)/n}₌n₊a₊b/n ① nは自然数
①式の左辺が有理数になるにはn₊1₌k^2nとなる必要がある。
ところがnとn₊1は互いに素になるのでn₊1₌K^2nにはならない。
従って①式の左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾するというのではいかがでしょうか。
まだ問題があるようでしたらまたご指摘をお願いします。
連絡遅くなりましたが、ご指摘のとおり2√n(n₊1)がn^2₊an₊bでもk^2となるa、bが存在することが
わかりました。そこで再検討してみました。
2√n(n₊1)₌n^2₊an₊bのときk^2が成立すると仮定すると、2n√(1₊1/n)₌n₊a/n₊b/n^2より
2√(1₊1/n)₌2√{(n₊1)/n}₌n₊a/n₊b/n^2 ①
①式の√ 内が平方数になるにはn₊1₌k^2nが必要なりますが、nとn₊1は互いに素であるので
nとn₊1は互いに素であるのでn₊1₌k^2nは成立しない。
よって①式の左辺は無理数、右辺は有理数で矛盾する。
まだ問題があればまたご指摘をお願いします。
ご指摘のとおり2√n{n₊1}₌n^2₊an₊bでのk^2が成立するa、bが存在することがわかりました。
そこで再検討してみました。
2√n(n₊1)₌n^2₊an₊bとしてk^2が成立すると仮定すると2n√(1₊1/n)₌n₊a/n₊b/n^2より
2√{(n₊1)/n}₌n₊a/n₊b/n^2 ① となり左辺の√ 内が平方数になるにはn₊1₌k^2nが必要となる。
nとn₊1は互いに素であるのでn₊1₌k^2nにはならない
従って①式の左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾する。
まだ問題があるようでしたらまたご指摘をお願いします。
これ京大で出たことあるやつでしょ
有理数の四則演算の結果が有理数であるという証明はいらないんですか？
受験数学では、ほぼ自明としてよいかと。
それを気にしちゃうと、有理数の四則演算の定義から浚う必要があり、高校までの数学において四則演算の厳密な定義はなされていないはずなので大丈夫です。
定義を全くしてないので0点