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パンクしたパターンを乗せときます。動画にあるので途中まで省略。b^4-86b^2-b+1806=0高校範囲ですが、よくある4次方程式です。ここで、1806=2×3×7×43であるから、因数定理より(b-6)(b^3+6b^2-50b-301)=0(b-6)(b+7)(b^2-b-43)=0後は動画の①②と一緒ですね!答え (a,b)=((1±√173)/2,(1±√173)/2),(6,-7),(-7,6) (複号同順)
ありがとうございます！カッコいい！私も因数みつけるところまでやればよかったｶﾅｰ
複合同順、懐かしい。マイナスプラスも書いたなぁ
基本的には同じ解き方で楽しかったです。b=-(a+1)をa^2-b=43に代入したほうが簡単です。
ほんとですね～はずかしい💦
aの２乗－b＝43…① bの２乗－a＝43…② ①と②を見ると定数が共に43で同じ！このようなパターンの問題は定数を消去してaとbの関係式を求めるのがセオリー！①－②より （a＋b）×（a－b）＋（a－b）＝0、（a－b）で括ると（a－b）×（a＋b＋1）＝0 ゆえにa＝b…③またはa＝－（b＋1）…④ ①、②どちらに代入してもいいから③の時③を①に代入すると bの２乗－b－43＝0、よって b＝（1±√173）／2、この時③よりa＝（1±√173）／2 （複号同順）、④の時④を①に代入して整理すると bの２乗＋b－42＝0、（b＋7）×（b－6）＝0よって b＝－7またはb＝6、b＝－7の時④からa＝6、b＝6の時④からa＝－7、従って求める答えは （a ，b）＝［（1＋√173）／2 ,（1＋√173）／2 ］、［（1－√173）／2,（1－√173）／2 ］、（6 , －7））、（－7 , 6）となる！
熱い解説ありがとうございます！やはり汎用性を考えてセオリー（定石）化しておくのは大切だとあらためて考えさせられるコメントですね！
① (b^2-43)^2=b+43と整理して② b+43 は平方数（0, 4, 9, 16, ...）③ (b^2-43)^2 が b=0 のとき極大 b=±√43 のとき極小の四次関数と考えて②に平方数を当てはめていったら解けた
a軸 b軸を取った座標を考えてその交点が4つあるのを先に考えるとミスが無くなるのかなーとか考えてた
なるほど！放物線２つですね！また同じような動画を作ることになったときは構成に入れてみます！
a^2-b=43 ①b^2-a=43 ②①-②a^2-b^2-b+a=0⇄ a^2-b^2=b-a⇄(a+b)(a-b)=b-a∴a+b=-1①⇄b=a^2-43②⇄a=b^2-43∴(b^2-43)+(a^2-43)=-1⇄a^+b^2=85⇄(a+b)^2-2ab=85∴ab=-42a+b=-1ab=-42を充足する整数の組は、(a,b)=(-7,6)∵(-7)^-6=43 6^2-(-7)=43
これもものすごく丁寧に過程をおかきいただきありがとうございます
(a+b)(a-b)=b-aの時にa=bの場合を考慮する必要がありますね。
引き算は思いついたけど、「それだとa.bどっちも残るから意味ないよな」って思った。次数を下げると考えればよかったのか。
a²-b=b²-a両辺に+a+bでa(a+1)=b(b+1)a=bの時は動画のようにa=b+1は無理、a=-bはおかしいa=-(b+1)で考えると動画に繋がるからちょっと整数っぽく解ける(そもそも正負を逆転させるならa=-(b+1)にすれば階段的に上手くいくなって思えれば時短)
おみごと！
a(a+1)=b(b+1)からa=bまたはa=b+1またはa+1=bまたは…のようなことは言えませんね。素数は現れないのでa,bを放物線y=x(x-1)上の点として見ることで、放物線の対称性からa=bまたはa+b=-1を導くことは出来ますが
@@abcd111 たしかに！隣り合う二数が互いに素であることに言及すれば大丈夫ですかね
@@ツボ推し a,bは整数に限定されていませんから｢互いに素｣などがそもそも定義されないことになってしまいます…
@@abcd111浅はかでした…
動画を見る前、やってみたいという気持ちがありつつ「絶対引っかかりたくない！破綻したくない！」と思ったので、実際にノートに書いて代入法でやってみました。結果としては、答えこそ正解できたものの、途中経過がこの動画で言うと「破綻したケース」となってました(笑)というのも、僕の場合は【aの4次方程式を作って、因数分解＆因数定理で無理矢理a=6,-7を出す】という脳筋ゴリ押しパワープレイだったからです(笑)スマートな解き方の解説をありがとうございました！
スゴイ！！ 脳筋ごり押しパワープレイの先に新しい景色が広がっていましたね笑そしてこれは、とても奇遇、なんですが昨日撮影した「次の次の動画」の中に因数定理が出てきますよかったらまた見る前に実際にやってみてください！
最後のmelty loveウケるꉂ🤣𐤔
もはやネタになりかけているIZAMU氏
最初の式ではaは7以外しか当てはまらない。二つ目の式で答えの7にはマイナスが付く。答えが両方とも同じだから互いの数値を入れ替えても式は成り立つ。
a = -b-1 を代入するの、b^2-a = 43 への方が良いような
ホントだ～ありがとうございます！（恥ずかしい）
a＝bの時を忘れるな❗って話かと思った。この手の問題、問題文にa≠bと書いてある事が多いので。
たしかに！そこもポイントになりますねありがとうございます
(a + b)(a - b) = -(a - b)だからa + b = -1だな！以下略で(a,b)=(-7,6)または(6,7)よし解けた！！ハイ0点😭
間違えるパターンの例としていいですね！お見事！今後の動画につかわせていただきます！
因数分解に慣れていれば(43-b²)^2 -b-43=0にb²を足して引くと(43-b²+b)(43-b²-b)+b²-b-43=0(b²-b-43)(b²+b-42)=0として解けなくもないですねー。
おおすごい 因数定理を使わなくてもいけるんですね！両辺−ｂの２乗が熟練の技ですね
ぱっと見、a=bとなる解しかないのかな？と思ったけどちがうんですね。たしかに6^2+7と7^2-6はどちらも43ですね。おもしろい。
ぱっとみで「a＝ｂしかないかな」と思えるのが凄いです私には何も感じることができないですよ笑
対象式に持ってくと計算楽にならん？
7²=49とあたりをつけ、6²+7=437²-6=43 だからa²-b=43とb²-a=43に変換すればans. (*^_^*)v
いきなり計算するんじゃなくてあたりをつける お見事です！！
ラサールの大問2で出そう
そうなんですね！今度ラサール調べておきます！
省略せずにきっちり途中式や計算があって分かりやすかったです♪ 書き方だけ質問です。a＝b＝◯±() って書き方は答えとしてアリなんでしょうか？意味としては正しいと思いますが私は見たことない形だったもので。 a＝◯+() b＝◯-()の解釈も含みそうな、でもa＝bだからそれはないのかな。
あーたしかに！手抜きしてあんなかきかたしてしまったけど誤解を生む可能性はありますね！鋭い！複号同順ともなんかちがうし別々に書いたほうがよかったかもしれないですねありがとうございます！途中式かいてるのは省略すると私が間違えちゃうんですよ笑
複合同順、って書いてしまえばそれで終わりですよね
これグラフでみると二つ目の式が逆関数になってるので十分解は一瞬でわかりますね(実用的かはさておき)
どうやってグラフにするんですかこれ
①の式のa,bをそれぞれ、x,yに置き換えれば解りますよ。②は、上記についてxとy軸を入れ替えたものになりますね。（y=xで線対称）
2乗した数から引いて整数になるなら√は解にならないので43付近の平方根だなぁ と思って6や7を入れたら解けた
めちゃくちゃスマートな考え方ですね！やわらかい
これは高校入試の問題でしょうか？
この問題は違います😀
サイクリック系の問題は両辺を足したり引いたりして新たな等式を元に解く手法の応用ってな感じですかね。
そういうことなんだと思います！注） サイクリック‥周期的な変化や循環を意味することば
全く同じ解法で解きました。√173が答えに出てきて、え？と思って思わず検算して確認してしまいました😅
検算まで！丁寧にありがとうございます√１７３は答えとしては汚すぎますよね
43同士でくっつければもうちょい早くできそうだな
なるほど！代入法のようなイメージでのアプローチですね！ありがとうございます！
bは筆記体使わないと見づらくなる。特にこの答えは6=-7に見えて不思議なことに
ご指摘ありがとうございます😁筆記体は個人によってクセがでやすいので使わないですね～（指導要領からも外れました）
@@oyasumitaiouCH 指導要領、何考えてるんですかね。「数学」で使うのに(笑)。話は変わりますが、“重複(ちょうふく)”の読み方は数学で覚えました
@@ONOJI-q4z 数学をやると，ｂの筆記体は使わんのよ中高で筆記体を使っていた先生が多数だったが 大学では誰一人筆記体を使ってなかった理由はｆの筆記体と見分けがつきづらい
@@ONOJI-q4z 理解できたかな？「数学」では使わんのよ
うーん、引き算して因数分解して...と考えないと...。なかやまきんに君だったら、代入して四次方程式を解くかな。😂(伝わらないか😅)
んー県立高校入試でこういう設問があったら、泣いてました。
入試で出てきたらスルーですね😅
aとbが等しい場合、またはaとbが整数の場合を回答せよという但し書きを入れておくとパンチが効いて面白そう
おおなるほど！たしかにそうですねそれにしても問題のほうに切り口をもってくるとは思慮深いですね笑
さっぱりわかりませんでした。算数、数学の先生って、どんどん先に行ってしまうイメージがあります。
そうですよねごめんなさい🙇とくに動画だと相手の様子がわからないのでなおさらむずかしいです
パット見で7付近と直感して、片方マイナス使えばイケそうと考えて力付くで解けました。
４３から７付近ってあたりをつけたのですね！ナイスです！
二次方程式なのに解4個ある
文字も２つありますからね😅
ab平面で考えるとだな、
サムネ見てなんとなくで6^2＋7が出てきた俺は天才かもしれない
自慢きっしょ
きもちわるくないですよ笑「俺は天才かもしれない」⇒こういうコメント キライじゃないですｗ
「自称進学校」に通ってる中二なら解けますね
この問題のキモになるところだと思うので編集引き算だったかー狙い通り足し算にして破綻したわ〜（笑）＝0の形を作るのがセオリーですね
実に惜しかったですね涙私も１回破綻しましたよ
中学３年生なら解けるだろう！😏
中谷さんコメントありがとうございますですが２次式の連立は中学の指導要領範囲外です解けなかった方への煽りにも聞こえますのでこういった発言はお控えいただけるとありがたいです
さーすがでんちゃっちゃ
煽りは良くない。
電車アイコンに恥じぬコメントや…
中3は差が激しい
![The best of integer problems with too much to learn [Mathematical Olympiad].](http://i.ytimg.com/vi/N_7SFu93e8c/mqdefault.jpg)
![Kyoto University's famous integer problem [Instant kill with technique].](/img/n.gif)
パンクしたパターンを乗せときます。
動画にあるので途中まで省略。
b^4-86b^2-b+1806=0
高校範囲ですが、よくある4次方程式です。
ここで、1806=2×3×7×43であるから、因数定理より
(b-6)(b^3+6b^2-50b-301)=0
(b-6)(b+7)(b^2-b-43)=0
後は動画の①②と一緒ですね!
答え (a,b)=((1±√173)/2,(1±√173)/2),(6,-7),(-7,6) (複号同順)
ありがとうございます！カッコいい！
私も因数みつけるところまでやればよかったｶﾅｰ
複合同順、懐かしい。マイナスプラスも書いたなぁ
基本的には同じ解き方で楽しかったです。
b=-(a+1)をa^2-b=43に代入したほうが簡単です。
ほんとですね～はずかしい💦
aの２乗－b＝43…① bの２乗－a＝43…② ①と②を見ると定数が共に43で同じ！このようなパターンの問題は定数を消去してaとbの関係式を求めるのがセオリー！①－②より （a＋b）×（a－b）＋（a－b）＝0、（a－b）で括ると（a－b）×（a＋b＋1）＝0 ゆえにa＝b…③またはa＝－（b＋1）…④ ①、②どちらに代入してもいいから③の時③を①に代入すると bの２乗－b－43＝0、よって b＝（1±√173）／2、この時③よりa＝（1±√173）／2 （複号同順）、④の時④を①に代入して整理すると bの２乗＋b－42＝0、（b＋7）×（b－6）＝0よって b＝－7またはb＝6、b＝－7の時④からa＝6、b＝6の時④からa＝－7、従って求める答えは （a ，b）＝［（1＋√173）／2 ,（1＋√173）／2 ］、［（1－√173）／2,（1－√173）／2 ］、（6 , －7））、（－7 , 6）となる！
熱い解説ありがとうございます！
やはり汎用性を考えてセオリー（定石）化しておくのは大切だとあらためて考えさせられるコメントですね！
① (b^2-43)^2=b+43
と整理して
② b+43 は平方数（0, 4, 9, 16, ...）
③ (b^2-43)^2 が b=0 のとき極大 b=±√43 のとき極小の四次関数
と考えて
②に平方数を当てはめていったら解けた
a軸 b軸を取った座標を考えてその交点が4つあるのを先に考えるとミスが無くなるのかなーとか考えてた
なるほど！放物線２つですね！
また同じような動画を作ることになったときは構成に入れてみます！
a^2-b=43 ①
b^2-a=43 ②
①-②
a^2-b^2-b+a=0
⇄ a^2-b^2=b-a
⇄(a+b)(a-b)=b-a
∴a+b=-1
①⇄b=a^2-43
②⇄a=b^2-43
∴(b^2-43)+(a^2-43)=-1
⇄a^+b^2=85
⇄(a+b)^2-2ab=85
∴ab=-42
a+b=-1
ab=-42
を充足する整数の組は、
(a,b)=(-7,6)
∵(-7)^-6=43
6^2-(-7)=43
これもものすごく丁寧に過程をおかきいただきありがとうございます
(a+b)(a-b)=b-a
の時にa=bの場合を考慮する必要がありますね。
引き算は思いついたけど、「それだとa.bどっちも残るから意味ないよな」って思った。次数を下げると考えればよかったのか。
a²-b=b²-a
両辺に+a+bで
a(a+1)=b(b+1)
a=bの時は動画のように
a=b+1は無理、a=-bはおかしい
a=-(b+1)で考えると動画に繋がるからちょっと整数っぽく解ける
(そもそも正負を逆転させるならa=-(b+1)にすれば階段的に上手くいくなって思えれば時短)
おみごと！
a(a+1)=b(b+1)
から
a=bまたはa=b+1またはa+1=bまたは…のようなことは言えませんね。素数は現れないので
a,bを放物線y=x(x-1)上の点として見ることで、放物線の対称性からa=bまたはa+b=-1を導くことは出来ますが
@@abcd111 たしかに！隣り合う二数が互いに素であることに言及すれば大丈夫ですかね
@@ツボ推し a,bは整数に限定されていませんから｢互いに素｣などがそもそも定義されないことになってしまいます…
@@abcd111浅はかでした…
動画を見る前、やってみたいという気持ちがありつつ「絶対引っかかりたくない！破綻したくない！」と思ったので、実際にノートに書いて代入法でやってみました。
結果としては、答えこそ正解できたものの、途中経過がこの動画で言うと「破綻したケース」となってました(笑)というのも、僕の場合は【aの4次方程式を作って、因数分解＆因数定理で無理矢理a=6,-7を出す】という脳筋ゴリ押しパワープレイだったからです(笑)スマートな解き方の解説をありがとうございました！
スゴイ！！ 脳筋ごり押しパワープレイの先に新しい景色が広がっていましたね笑
そしてこれは、とても奇遇、なんですが昨日撮影した「次の次の動画」の中に
因数定理が出てきます
よかったらまた見る前に実際にやってみてください！
最後のmelty loveウケるꉂ🤣𐤔
もはやネタになりかけているIZAMU氏
最初の式ではaは7以外しか当てはまらない。二つ目の式で答えの7にはマイナスが付く。答えが両方とも同じだから互いの数値を入れ替えても式は成り立つ。
a = -b-1 を代入するの、
b^2-a = 43 への方が良いような
ホントだ～ありがとうございます！（恥ずかしい）
a＝bの時を忘れるな❗って話かと思った。
この手の問題、問題文にa≠bと書いてある事が多いので。
たしかに！そこもポイントになりますねありがとうございます
(a + b)(a - b) = -(a - b)
だからa + b = -1だな！
以下略で(a,b)=(-7,6)または(6,7)
よし解けた！！
ハイ0点😭
間違えるパターンの例としていいですね！お見事！
今後の動画につかわせていただきます！
因数分解に慣れていれば
(43-b²)^2 -b-43=0にb²を足して引くと
(43-b²+b)(43-b²-b)+b²-b-43=0
(b²-b-43)(b²+b-42)=0
として解けなくもないですねー。
おおすごい 因数定理を使わなくてもいけるんですね！
両辺−ｂの２乗が熟練の技ですね
ぱっと見、a=bとなる解しかないのかな？と思ったけどちがうんですね。
たしかに6^2+7と7^2-6はどちらも43ですね。おもしろい。
ぱっとみで「a＝ｂしかないかな」と思えるのが凄いです
私には何も感じることができないですよ笑
対象式に持ってくと計算楽にならん？
7²=49とあたりをつけ、
6²+7=43
7²-6=43 だから
a²-b=43とb²-a=43に変換すればans. (*^_^*)v
いきなり計算するんじゃなくてあたりをつける お見事です！！
ラサールの大問2で出そう
そうなんですね！今度ラサール調べておきます！
省略せずにきっちり途中式や計算があって分かりやすかったです♪ 書き方だけ質問です。
a＝b＝◯±() って書き方は答えとしてアリなんでしょうか？意味としては正しいと思いますが私は見たことない形だったもので。 a＝◯+() b＝◯-()の解釈も含みそうな、でもa＝bだからそれはないのかな。
あーたしかに！手抜きしてあんなかきかたしてしまったけど誤解を生む可能性はありますね！鋭い！
複号同順ともなんかちがうし別々に書いたほうがよかったかもしれないですねありがとうございます！
途中式かいてるのは省略すると私が間違えちゃうんですよ笑
複合同順、って書いてしまえばそれで終わりですよね
これグラフでみると二つ目の式が逆関数になってるので十分解は一瞬でわかりますね(実用的かはさておき)
どうやってグラフにするんですかこれ
①の式のa,bをそれぞれ、x,yに置き換えれば解りますよ。
②は、上記についてxとy軸を入れ替えたものになりますね。（y=xで線対称）
2乗した数から引いて整数になるなら√は解にならないので
43付近の平方根だなぁ と思って6や7を入れたら解けた
めちゃくちゃスマートな考え方ですね！やわらかい
これは高校入試の問題でしょうか？
この問題は違います😀
サイクリック系の問題は両辺を足したり引いたりして新たな等式を元に解く手法の応用ってな感じですかね。
そういうことなんだと思います！
注） サイクリック‥周期的な変化や循環を意味することば
全く同じ解法で解きました。
√173が答えに出てきて、え？と思って思わず検算して確認してしまいました😅
検算まで！丁寧にありがとうございます
√１７３は答えとしては汚すぎますよね
43同士でくっつければもうちょい早くできそうだな
なるほど！代入法のようなイメージでのアプローチですね！ありがとうございます！
bは筆記体使わないと見づらくなる。
特にこの答えは6=-7に見えて不思議なことに
ご指摘ありがとうございます😁
筆記体は個人によってクセがでやすいので使わないですね～（指導要領からも外れました）
@@oyasumitaiouCH 指導要領、何考えてるんですかね。「数学」で使うのに(笑)。
話は変わりますが、“重複(ちょうふく)”の読み方は数学で覚えました
@@ONOJI-q4z
数学をやると，ｂの筆記体は使わんのよ
中高で筆記体を使っていた先生が多数だったが 大学では誰一人筆記体を使ってなかった
理由はｆの筆記体と見分けがつきづらい
@@ONOJI-q4z
理解できたかな？
「数学」では使わんのよ
うーん、引き算して因数分解して...と考えないと...。
なかやまきんに君だったら、代入して四次方程式を解くかな。😂(伝わらないか😅)
んー県立高校入試でこういう設問があったら、泣いてました。
入試で出てきたらスルーですね😅
aとbが等しい場合、またはaとbが整数の場合を回答せよ
という但し書きを入れておくとパンチが効いて面白そう
おおなるほど！たしかにそうですね
それにしても問題のほうに切り口をもってくるとは思慮深いですね笑
さっぱりわかりませんでした。算数、数学の先生って、どんどん先に行ってしまうイメージがあります。
そうですよねごめんなさい🙇
とくに動画だと相手の様子がわからないのでなおさらむずかしいです
パット見で7付近と直感して、片方マイナス使えばイケそうと考えて力付くで解けました。
４３から７付近ってあたりをつけたのですね！ナイスです！
二次方程式なのに解4個ある
文字も２つありますからね😅
ab平面で考えるとだな、
サムネ見てなんとなくで6^2＋7が出てきた俺は天才かもしれない
自慢きっしょ
きもちわるくないですよ笑
「俺は天才かもしれない」
⇒こういうコメント キライじゃないですｗ
「自称進学校」に通ってる中二なら解けますね
この問題のキモになるところだと思うので編集
引き算だったかー
狙い通り足し算にして破綻したわ〜（笑）
＝0の形を作るのがセオリーですね
実に惜しかったですね涙
私も１回破綻しましたよ
中学３年生なら解けるだろう！😏
中谷さんコメントありがとうございます
ですが２次式の連立は中学の指導要領範囲外です
解けなかった方への煽りにも聞こえますのでこういった発言はお控えいただけるとありがたいです
さーすがでんちゃっちゃ
煽りは良くない。
電車アイコンに恥じぬコメントや…
中3は差が激しい