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1:20 のことを厳密に証明してみました。√a + √b が整数ではないことを示す。(ただしa,bは自然数。a,bは平方数ではない)√a + √b が整数であると仮定して、√a + √b = m (m は整数)と表す。移行して √a = m - √b 両辺二乗して a = m^2 - 2m√b + b整理して m^2 -a + b = 2m√b右辺は無理数、左辺は整数なので矛盾。したがって 自然数a,bに対して、a,bが平方数ではないとき、√a + √b が整数ではない。
移行ではなく移項
意外と忘れちゃうのが自然数が「正の整数」って事よね整数が「負の整数」と「0」と「正の整数」で出来てるというのは頭では分かってるけど言葉の定義をちょいちょい忘れちゃう……
-1
やったわ！
すべての自然数の和と積は∞に発散するがすべての整数の和と積は０になる
整数問題はまず範囲を絞るのが鉄則25-nで上限求まるから、あとは力技でも何とかなる
√a + √b が整数 ⇒ √a と √b が整数を示すのは、難しいんじゃないか？答えの値だけ書くならいいが。
どーでもいい話を少し。これは結局、三辺の長さが全て自然数の直角三角形でかつ斜辺が5のものは、辺が3:4:5のものしかない事を示している事になる。ピタゴラス数を自然数m，n（m≧n）を使って、(m^2－n^2)^2+(2mn)^2＝(m^2+n^2)^2で表せる事を自明とするなら、これは、m^2+n^2＝5を満たす自然数m，n（m≧n）の組が、(m,n)＝(2,1)しかないからだ。なら、25の代わりに、二通りの2平方数の和として表せる数の2乗を入れると、2パターン（斜辺以外0のケースは除いて）出来るハズである。例えば、25の部分に、65^2＝4225を入れると、65＝1^2+8^2＝4^2+7^2なので、n＝63^2，16^2，33^2，56^2，65^2の様に2パターンの直角三角形が出てくるハズである。これで合ってますかね？テキトーに思い付きで書いたんで、自信なし。
@@yuta1010blog ご返信ありがとうございます。そもそも、「m，nの式で全てのピタゴラス数が表せる」という仮説自体が、よく考えたらおかしいですね（笑）。原始ピタゴラス数なら全て表せるかも知れませんが、原始ピタゴラス数の整数倍のピタゴラス数は、m，nの式で表せるとは限らない。そこで狂ってきたんですね。勉強になりました。ありがとうございました。お手数をお掛けしてすみませんでした😅。
n＝0は答えに含まれないですか?
「ルートを外せ」シリーズが復活して嬉しいです。
左側の25-nだけみてブルートフォース戦法いけると思い、ゴリゴリ。
昨日の動画何があったのですか？
問題が√25-ｎ - 2√n なら解が増えて面白い
ほんとだ
n＝0は？？確かに中高ではn≧1、n∈Ｚが一般的ではありますが、間違いでは全く無いとは思います、、、大学の理系では理学部数学科でなくても、集合論を学ぶ機会が結構あるとは思いますが、中高であっても、今も私の学んだ数十年前でも、灘などのスーパー進学校では両方のパターンを教えています、、、
一般的には0は自然数ではないので
丁寧に解けば正答にたどり着きますが、実際の試験となると色々と焦る可能性もありますので、良い練習になると思います✨
2√nの、2が何のためにあるのか最後までわからなかった
与式=m と置いて両辺２乗してから因数分解の形に持ち込もうとしたけど、単に5回代入するだけで済むことに気づいた
係数の2の意味は何？実は続き問題があるのか
三平方の3:4:5 に通ずる何かを感じる
5:12:13でも問題作れるね問：√(169-n)+2√nが整数となる自然数nをすべて求めよ答：25, 144, 169
@@GO-ts1nu 他にも7:24:25 8:15:17でも問題作れると思います
所謂、ピタゴラス数ですね
√(4225 - n) + 2√n のとき、これを満たす自然数 n は5個存在しますね。n = 16, 33, 56, 63, 6565^2 = 422516^2 + 63^2 = 65^233^2 + 56^2 = 65^2なので、
いちいち数字を入れていかないと答えが出せないのだろうか？
n=５も行けそうだなあと思ったけどー2√nじゃなくて+2√nでした、、惜しいような惜しくないような
なんか図形(三平方の定理)と融合した問題作れそう
解けた！楽しい！
両方整数じゃないといけないというのは証明するべきだと思います
@@yuta1010blog 本当に自明ですか？平方根の和が整数ではないというのの証明に数行は必要だと思うのですが。
@@yuta1010blog それは偽です。実際に2 - √2と 2 + √2の和は整数です。数学は論理こそが全てです。感覚的に考えるのは厳禁です。
@@yuta1010blog 証明て言っても3行程度で終わるから自明って書いていいと言うこと？
高校までは、自然数に0を含めないことを忘れていた。大学生以上は間違えそうだなww
中学校レベルでの自然数なのに０入れたので削除しました。再掲。25-n=1,4,9,16 n=24,21,16,9 →n=9,16,25
@@yuta1010blog すいません。そうしました。
「√(25-n) と2√n が両方とも整数の場合に限る」というのは証明無しで使えますでしょうか?たとえば√2 と2-√2 なんていうのは両方とも無理数ですが、足すと自然数になります。なので自明ではないように思います。
今回はどちらとも負になることはないので使えると思います。
@@yamamichi4935 いちおう「証明」はできましたが、自明ではないのではと思います。自然数l, m, n で l = √m + √n が成り立っているとすると、l - √n = √m 両辺を2乗してl^2 - 2l√n + n = m なので整数-2l√n = 整数から2l√n が整数したがって√n が整数。ここから√m が整数。
いろいろ考えましたが、どうなんでしょうね。確かに反例のような無理数同士の和はありますが、今回のような単項の正の無理数同士の和が無理数にしかならない、というのは自明と言ってもいいような気もします…
zmさんの仰る通り、正の平方根の和なので自明かと。
気合いで解く珍しい問題。自分でもｎが25以下の平方数（25も答え）なのは分かる。
川端です！よろしくおねがいします！！
みんな騙されるな！コイツは偽物だー！
mod使えばいける
自然数に惑わされて25を抜かしたw
なんかサムネ進化してて草
サムネかっこええな
0ってないの？
ぱっと見で９，１６，２５は分かったけど、求め方がよくわかんなかったｗ
√nの係数に2がついている……これは和が0になるnがあるに違いない！と思っていたら何もなかったじゃあマジで何？
貴方みたいに深読みしちゃう人から時間を奪うためw
てか確実に正の数なのに足して0ってなんやねん
解き方があるのかと思ったらゴリ押しだった（笑）たしかに証明は必要ないから地道にやれば良いってことか。
ついkとおいて解きたくなる√(25-n)=k25-n = k^2n=25-k^2n=(5+k)(5-k)k=0→n=25=5^2k=1→n=24k=2→n=21k=3→n=16=4^2k=4→n=9=3^2k=5→n=0
【頭悪いけどこれが大学入試だったら許される解法】ルートの中身は非負のため、nは1~25である。って言ってnの中に1~25まで代入する
25！(階乗では無い)
一瞬『ｎ＝１６９はダメなのか？』と思ったけど、虚数入るからダメなんでしたね。(๑////๑)
右に入れれば余裕だね
条件を整理することから始めるのがセオリーですね。
城西大学かわばた高校の問題ですに聞こえてしまった
0を自然数とするかどうか書かれていないので悪問ですね0を書いても正解です
Wikipediaによると「日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることが多い。」
「ルートを外せ」というのでてっきり与式のルートを全部外すのかと思いきや、まさかの泥臭い方法だったとはｗｗｗまあ √25-n があって自然数という条件なので 1≦n≦25なのはすぐわかりましたが…。
いつも拝見しています。分かりやすい解説ありがとうございます。答えの意味で、A.____と書くことを私は勧めません。※生徒のなかには、A.____と書くことがまるで義務かのように感じている生徒もいますが、、、なぜなら、角Bは何度ですか？などという問題で、A.____と書かれると答案を見る側にとっては、頭が混乱するからです。ですから、私は、A.____は、不要です。∴にしてください。どうしても書きたければ、答.____とかANS.____などとしてくださいと言っています。
√nに2がかかってるから何か意味があるのかなって最初思ったけど、意味なかったのね(T . T)
自然数と整数と取り違えないで0をｎにいれないことがポイントの問題かな？
すぐ解けたと思ったら、0も整数か。見落としました。
2、25…
√0も考えなきゃいかんよなぁ√0っていくつやねんと思って排除してしまった・・・
ああ
1:20 のことを厳密に証明してみました。
√a + √b が整数ではないことを示す。(ただしa,bは自然数。a,bは平方数ではない)
√a + √b が整数であると仮定して、√a + √b = m (m は整数)と表す。
移行して √a = m - √b
両辺二乗して a = m^2 - 2m√b + b
整理して m^2 -a + b = 2m√b
右辺は無理数、左辺は整数なので矛盾。
したがって 自然数a,bに対して、a,bが平方数ではないとき、√a + √b が整数ではない。
移行ではなく移項
意外と忘れちゃうのが自然数が「正の整数」って事よね
整数が「負の整数」と「0」と「正の整数」で出来てるというのは頭では分かってるけど言葉の定義をちょいちょい忘れちゃう……
-1
やったわ！
すべての自然数の和と積は∞に発散するが
すべての整数の和と積は０になる
整数問題はまず範囲を絞るのが鉄則
25-nで上限求まるから、あとは力技でも何とかなる
√a + √b が整数 ⇒ √a と √b が整数
を示すのは、難しいんじゃないか？
答えの値だけ書くならいいが。
どーでもいい話を少し。
これは結局、三辺の長さが全て自然数の直角三角形でかつ斜辺が5のものは、辺が3:4:5のものしかない事を示している事になる。
ピタゴラス数を自然数m，n（m≧n）を使って、
(m^2－n^2)^2+(2mn)^2＝(m^2+n^2)^2
で表せる事を自明とするなら、
これは、m^2+n^2＝5を満たす自然数m，n（m≧n）の組が、(m,n)＝(2,1)しかないからだ。
なら、25の代わりに、二通りの2平方数の和として表せる数の2乗を入れると、2パターン（斜辺以外0のケースは除いて）出来るハズである。
例えば、25の部分に、65^2＝4225を入れると、
65＝1^2+8^2＝4^2+7^2なので、
n＝63^2，16^2，33^2，56^2，65^2
の様に2パターンの直角三角形が出てくるハズである。
これで合ってますかね？
テキトーに思い付きで書いたんで、自信なし。
@@yuta1010blog ご返信ありがとうございます。
そもそも、「m，nの式で全てのピタゴラス数が表せる」という仮説自体が、よく考えたらおかしいですね（笑）。
原始ピタゴラス数なら全て表せるかも知れませんが、原始ピタゴラス数の整数倍のピタゴラス数は、m，nの式で表せるとは限らない。そこで狂ってきたんですね。
勉強になりました。ありがとうございました。お手数をお掛けしてすみませんでした😅。
n＝0は答えに含まれないですか?
「ルートを外せ」シリーズが復活して嬉しいです。
左側の25-nだけみてブルートフォース戦法いけると思い、ゴリゴリ。
昨日の動画何があったのですか？
問題が√25-ｎ - 2√n なら解が増えて面白い
ほんとだ
n＝0は？？確かに中高ではn≧1、n∈Ｚが一般的ではありますが、間違いでは全く無いとは思います、、、
大学の理系では理学部数学科でなくても、集合論を学ぶ機会が結構あるとは思いますが、中高であっても、今も私の学んだ数十年前でも、灘などのスーパー進学校では両方のパターンを教えています、、、
一般的には0は自然数ではないので
丁寧に解けば正答にたどり着きますが、実際の試験となると色々と焦る可能性もありますので、良い練習になると思います✨
2√nの、2が何のためにあるのか最後までわからなかった
与式=m と置いて両辺２乗してから因数分解の形に持ち込もうとしたけど、単に5回代入するだけで済むことに気づいた
係数の2の意味は何？実は続き問題があるのか
三平方の3:4:5 に通ずる何かを感じる
5:12:13でも問題作れるね
問：√(169-n)+2√nが整数となる自然数nをすべて求めよ
答：25, 144, 169
@@GO-ts1nu 他にも7:24:25 8:15:17でも問題作れると思います
所謂、ピタゴラス数ですね
√(4225 - n) + 2√n のとき、これを満たす自然数 n は5個存在しますね。
n = 16, 33, 56, 63, 65
65^2 = 4225
16^2 + 63^2 = 65^2
33^2 + 56^2 = 65^2
なので、
いちいち数字を入れていかないと答えが出せないのだろうか？
n=５も行けそうだなあと思ったけどー2√nじゃなくて+2√nでした、、惜しいような惜しくないような
なんか図形(三平方の定理)と融合した問題作れそう
解けた！楽しい！
両方整数じゃないといけないというのは証明するべきだと思います
@@yuta1010blog 本当に自明ですか？
平方根の和が整数ではないというのの証明に数行は必要だと思うのですが。
@@yuta1010blog それは偽です。
実際に2 - √2と 2 + √2の和は整数です。
数学は論理こそが全てです。感覚的に考えるのは厳禁です。
@@yuta1010blog 証明て言っても3行程度で終わるから自明って書いていいと言うこと？
高校までは、自然数に0を含めないことを忘れていた。大学生以上は間違えそうだなww
中学校レベルでの自然数なのに０入れたので削除しました。再掲。
25-n=1,4,9,16 n=24,21,16,9 →n=9,16,25
@@yuta1010blog すいません。そうしました。
「√(25-n) と2√n が両方とも整数の場合に限る」というのは証明無しで使えますでしょうか?
たとえば√2 と2-√2 なんていうのは両方とも無理数ですが、足すと自然数になります。なので自明ではないように思います。
今回はどちらとも負になることはないので使えると思います。
@@yamamichi4935 いちおう「証明」はできましたが、自明ではないのではと思います。
自然数l, m, n で l = √m + √n が成り立っているとすると、l - √n = √m 両辺を2乗してl^2 - 2l√n + n = m なので整数-2l√n = 整数から2l√n が整数したがって√n が整数。ここから√m が整数。
いろいろ考えましたが、どうなんでしょうね。確かに反例のような無理数同士の和はありますが、今回のような単項の正の無理数同士の和が無理数にしかならない、というのは自明と言ってもいいような気もします…
zmさんの仰る通り、正の平方根の和なので自明かと。
気合いで解く珍しい問題。
自分でもｎが25以下の平方数（25も答え）なのは分かる。
川端です！よろしくおねがいします！！
みんな騙されるな！コイツは偽物だー！
mod使えばいける
自然数に惑わされて25を抜かしたw
なんかサムネ進化してて草
サムネかっこええな
0ってないの？
ぱっと見で９，１６，２５は分かったけど、求め方がよくわかんなかったｗ
√nの係数に2がついている……これは和が0になるnがあるに違いない！と思っていたら何もなかった
じゃあマジで何？
貴方みたいに深読みしちゃう人から時間を奪うためw
てか確実に正の数なのに足して0ってなんやねん
解き方があるのかと思ったらゴリ押しだった（笑）
たしかに証明は必要ないから地道にやれば良いってことか。
ついkとおいて解きたくなる
√(25-n)=k
25-n = k^2
n=25-k^2
n=(5+k)(5-k)
k=0→n=25=5^2
k=1→n=24
k=2→n=21
k=3→n=16=4^2
k=4→n=9=3^2
k=5→n=0
【頭悪いけどこれが大学入試だったら許される解法】
ルートの中身は非負のため、nは1~25である。
って言ってnの中に1~25まで代入する
25！(階乗では無い)
一瞬『ｎ＝１６９はダメなのか？』と思ったけど、虚数入るからダメなんでしたね。(๑////๑)
右に入れれば余裕だね
条件を整理することから始めるのがセオリーですね。
城西大学かわばた高校の問題ですに聞こえてしまった
0を自然数とするかどうか書かれていないので悪問ですね
0を書いても正解です
Wikipediaによると「日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることが多い。」
「ルートを外せ」というのでてっきり与式のルートを全部外すのかと思いきや、まさかの泥臭い方法だったとはｗｗｗ
まあ √25-n があって自然数という条件なので 1≦n≦25なのはすぐわかりましたが…。
いつも拝見しています。分かりやすい解説ありがとうございます。
答えの意味で、A.____と書くことを私は勧めません。
※生徒のなかには、A.____と書くことがまるで義務かのように感じている生徒もいますが、、、
なぜなら、角Bは何度ですか？などという問題で、A.____と書かれると
答案を見る側にとっては、頭が混乱するからです。
ですから、私は、
A.____は、不要です。∴にしてください。
どうしても書きたければ、答.____とかANS.____などとしてください
と言っています。
√nに2がかかってるから何か意味があるのかなって最初思ったけど、意味なかったのね(T . T)
自然数と整数と取り違えないで0をｎにいれないことがポイントの問題かな？
すぐ解けたと思ったら、0も整数か。見落としました。
2、25…
√0も考えなきゃいかんよなぁ
√0っていくつやねんと思って排除してしまった・・・
ああ