最も難しいテストの最も難しい問題
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- เผยแพร่เมื่อ 15 ก.ย. 2024
- この動画は3Blue1Brownの動画を東京大学の学生有志団体が翻訳・再編集し公式ライセンスのもと公開しているものです。
チャンネル登録と高評価をよろしくお願いいたします！
Music by Vincent Rubinetti
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vincerubinetti...
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open.spotify.c...
元チャンネル（英語）
/ 3blue1brown
詳しい解法については↓
brilliant.org/...
1992年のPutnam
kskedlaya.org/...
別の解法↓
lsusmath.rickm...
こんな問題を解くのも凄いけど作るのは流石に凄すぎる……
もはや実はテキトーに作ってる説
めちゃくちゃムズいって言っときゃ、分からない。
@@user-tl4tj4zx2u
その説はちょっと論外すぎんか。
@@馬鹿-d3d なんか俺もこういうこと中学生の時言ってたかも。
@@user-tl4tj4zx2u テキトーに作っても答えは自分で考えないといけないからね
普通に作るのは簡単で、解く方が難しいですよ(これは主観的な意見ではなく事実)。似たような雰囲気の問題ではフェルマーの最終定理などが有名でしょうか。大学受験や数検の問題とはまた違った難しさがありますね。
3Blue1Brownは題材が面白いから昔から観ているのですが、私自身専門的な英語がわからないので全部の内容を理解してるわけではないんですよね。
日本語訳バージョンが出来たおかげで、本家を見ることの楽しみも増えました。
ありがとうございます。
複雑な計算をした結果あまりに綺麗な値になった時はそれだけ綺麗な別解があるかもしれません。最初からエレガントな解法に行き着くのは難しいですが、後からより良い解法を探すのも数学の楽しみの一つですね。
120点満点で2点が標準とか泣きたくなる。
上澄みが受けた上での、2点だからなぁ
頭数学なるでほんま
@@user-zy9xb3nh1q動画で中央値って言ってるよ
この問題解くより動画作る方が大変
すごい手間と時間をかけてるってわかるし、直感的に理解しやすい
さすが東大生、、、
@@瀬賀高尾 動画作ってるのは東大生じゃないよ・・・
大学で数学専攻してた学生ですら全く歯が立たないであろう問題を、中学生でも解るレベルに噛み砕いて説明するこのチャンネルの解説力に脱帽
もちろん、ちゃんとした解答作るなら中学生レベルじゃ無理なんだろうけど
動画最後までみたいなのかもしれないが、大部分はこの人がこの解説を作ったわけではないのでは？
@@細客-v7z
確かに英語のチャンネルの日本語訳っぽいですね。間違ってます、申し訳ございません。
本題とは逸れますが、英語を日本語に訳して日本人にもこの問題とその解説に触れる機会を作ったこのチャンネルを称えたい気持ちが先行してしまい、あまり情報を確認せずコメントしてしまいました。
@Belena 誰の言葉か気になり過ぎて夜しか眠れない
@Belena (´-﹃-`)Zｚ…
7:22 〜のくだりであぁ！て声出た
こういう数学の解法理解できた時や閃いた時の脳汁ドバドバ感ヤバいよな
3Blue1Brownの日本語版が出るとは！！
今まで英語版を見てきていたのでありがたいです
こんなに理解は簡単なのに、自分の中から捻り出すにはかなりの難産になりそうなのはまじで面白い。
これ気づいた時の感動やばそうやな
入試中に脳汁ドバドバなるやつ
マジで何言ってるかわからんくてちゃんと理解できなかったから日本語化たすかる
感動とこの先どんなに数学をしても絶対にこんなに美しく解けない自分に涙が出てきた。
人の能力って努力だけではなくて生まれつきの部分もあるし、しゃーないよな
それでもあるレベルまでは努力で行けるから、お互い頑張りましょう！
受験という面なら美しく解く必要はないですからねー
自力で時間内にこの解法にたどり着く人間にはどんな景色が見えるんでしょうね
昔の話ですが、2次元の場合は友達と1時間くらい考えて何とか1/4と答えを出しました。友達は区分求積を用いて 三角形が鋭角三角形となる確率を面積比で表して解いていました。私は正12角形の頂点から3点選んでそれが鋭角三角形になる確率を類題として捉え、12を無限まで飛ばし円に近似させる事で解きました。
具体的には正n角形において、三角形ができる確率とそれが鋭角になる確率を一般化し、n→∞に飛ばしてかつ頂点の数を偶奇で場合分けしてどちらも1/4になると確認できました。先生はモンテカルロ法を用いており、正直あまり理解出来なかった。もちろん3次元にも拡張して感覚的には1/8になると予測できたが、しっかりとした証明は出来なかった。この動画ではコイントスを用いて簡単に説明していましたが、様々な解法がありとても興味深いと感じました。長文失礼しました。
天才？おいくつで…
解法が秀逸で鳥肌が経ちました
まじでこのチャンネル浪人時代に知ってなくてよかった、たぶん数学ばっかりやるようになってたと思う
シンプルイズベストな良問の中でもコレは秀逸ですね。
コメント欄にいる何となく1/8になるのかなって猛者たち何者なんだよ
ならねえよ…
答えが用意されてる問題でもこんなに難しいのに、答えの分からない研究してる学者の頭はどうなってるんだ
回答してるときの自分達と同じだと思うよ。
俺が出会ってきた哲学者例外なくぶっ飛んでる
一周回って大馬鹿なんじゃね？（）
@@user-cc4zp1od7p 馬鹿と天才は紙一重って言うけど学者の頭は一億分の一重くらいある(？？？)
バカだからこそしょうもないことに気づいて世界を動かすかも知れない
問題がすげえけど機能的な図を使って分かりやすく説明してるのがすげえ！
問題も解法も数式を一切使わずしかもエレガントなの美しすぎる
ようつべのオススメに感謝
問題解決にアプローチする事例として大変参考となりました。ありがとうございます。新しいコンテンツも楽しみにしております。
感嘆だ…TH-camのオススメに出てきて感謝！
編集えぐすぎる
数直線で2点取って線分を引いた時原点を通る確率が1/2だから、流れで1/8かなぁって思ったらあってた
1次元まで戻るとそういう考え方になるのか、なるほどなあ
賢い
天才
3次元にするならとりあえず3乗したろの精神
問題のスケールを落とすのって大事なんだなぁ
綺麗すぎる......
でもこういう問題って大学入試ではあんまり無いから辛いな()
二次元の場合で類題が今年の一橋大で出題されていたのでまた見にきました
二次元バージョンより低次の一次元バージョンを考えるなら、線分に点をランダムに2個配置してその間に中点を含む確率を求めるんだと思うけど、これを計算すると1/2になる。
1次元 1/2
2次元 1/4
3次元 1/8
なら4次元は1/16なのかな？
私もそうだと思います。0次元まで含めてしまえば、確率は1になるので、
やっぱ次元が上がるごとに、確率が半分になってると予想されますよね。
次元が上がるごとにランダムな線が一本増えて、そこに2通りの点の取り方があるので私も1/16になると思います。
4次元って存在するの？から考えてしまう文系ワイ
@@kaesaru0315 現実世界はどうか知らないけど、座標軸を一個付け足すだけなので、数学的には存在しますね
1/12なのでは？
それにこの問題は円が1次元、球が2次元の問題だと思います
8分くらいから感動もんだった
日本語版とてもありがたいです😊専門的英語は苦手なので😂この解説は分かりやすいので🎶
数学嫌いな人間ですが、これは惚れ惚れする内容でした
数学に興味が持てるかもしれません
考え方を変えた瞬間にめちゃくちゃ鮮やかに解けててすごい
すげぇ……
場合の数に持ってくるのは剛腕がすぎる……
立体角の平均を求めれば良いってのは割とすぐ分かったんだけど…そこからは無理でした😢
解法が綺麗過ぎる
7:25からゾワゾワが止まらない こういう考えをできる人って普通じゃないんだろうな・・
1次元で考えてみると、
-1〜1の範囲の2つの点を結ぶ線分が原点を通ればいい訳なので、｢片方が正で片方が負｣ですなわち1/2になるわけですね。
この考え方個人的に凄く腑に落ちた
超エレガントで自分の凡庸さとの対比に泣けてきた
確率積分とかやりそうでなんか難しそうに予想したけどかなり直感的でわかりやすかった
すごくわかりやすい。
数学付きの自分がもっと好きになりました、ありがとう
数学付きは草
お墨付きで草
数学好き
「ずき」を「づき」で変換してそうで
国語能力も数学に振ってるところ付きです
@@KiainoHachimaki 煽ってて草
俺も付きだな、その変換
気持ち良すぎて声出た
編集うますぎてすごい面白かった
円周率かわいい
あれ、ずっと英語版愛用してたけどいつの間に日本のあったんだ()
2:12〜の「単純な場合」が今年度の東大の入試で出てましたね
(一様滑らかな確率が難しいのでn角形で出ていましたが)
めっっっっっちゃ分かりやすい動画
今気づいたけど、問題を書き換えて
0次元の球(点)について考えると、必ず中心と無作為に取った点は一致するから求める確率は1
一次元の球(2つの２点A、B)について考えると無作為に取った点が、A,Bの片方に寄るか両方に分布するかだから、結んだ線が球の中心(２点の中点)通る確率は1/2
二次元の球(円)について、三次元の球については1/4,1/8となっているから次元が一つ増えるごとに確率が1/2倍になってるっていうね…
多分4次元,5次元...と拡張できそう
日本語版なんてあったんだぁ～速攻で登録しました😊
今までの動画で一番好きな動画
解説がわかりやすすぎる！
わかりやすい説明だなぁ
直線の中点に近似する方法を考えました。
直線 1/2
正方形 1/4
立方体 1/8
これを円や球体に適用できれば解ける気がします。
いいぞぉ！
120点満点で中央値が2点てヤバすぎ
しかも受ける人たちが数学をある程度極めた人たち･･･
作ってる人たちやばすぎ
いやマジでそれ笑笑
「は？？？？」ってなった
点取らせる気がないんだね…
なんとなく1/8かなってなるけど、それを解答用紙へ論理的に記述するのが…
スカッとしました！
めちゃくちゃおもしろい！
おお、日本語版チャンネルができていたとは。嬉しいです。フーリエ変換の動画の翻訳も期待してます。
これぞコロンブスの卵。説明を聞くまでは見当も付かなかったのに、聞いた後では当たり前のように感じる。
まじで面白い
数学嫌いな人でもこれはおもろいやろ
多分数学嫌いな人は見ない
やっぱ数学って面白いな
自分の考えは、一次の場合（線分の中心）は確率1/2、二次の場合は1/4、三次は多分1/8ですね
受験者はみんな腕に覚えのある猛者だろうに、中央値が2/120とは…………
満点とったら偏差値とんでもないことになりそう
俺がやったら0点なんやろなあ
今年から毎年受ける！
上位はお金でるけど
全員MITで埋め尽くされてて草
ゴリゴリ文系のわい、なぜか全部見てしまった
天才だ
なんかビュフォンの針の問題と2019年の東工大の4番を合わせたみたいな問題(ニュアンスです、あくまでも)
全てに感動した
つまりｎ次元で考えると確率は(1/2)^ｎになるってことか
0次元なら100％、1次元→50％、2次元→25％、3次元→1/8、４次元→くぁwせdrftgyふじこLupin3rd
最高
見入ってしまった
えぐいくらいおもろい
この問題のどこがそこまで難しくさせているのだろうか
解説を聞いているだけだと理解できてしまう
これ球の4点の内一点を1番上と考えると残り３点のみの通りを考えるだけですむ（球は回せる為）頂点から1番下を結んだ軸Aと交わる残り３点で作った底面と、1番上の点を結んで中心を通るのは、どんな軸でどう回転させても1/2となる。（下側の半球にできたもの）
底面が軸Aを通るなら1/2という事で、軸Aと交わる底面の三角形がどれだけの確率で出るか求める。下側の半球を真上から見ると軸Aが平面上の中心となっている。そこに円のどこかの３点（円周上とは限らない）で出来た三角形が軸Aの点（以下点O）を含む確率を考える。まず一点と点Oを通る直線Bをとる。三角形の残り２点を結んだ線分Cが直線Bと交わるとき、先に決めた１点と結んで出来た三角形が中心を含む確率は1/2となる。（先に決めた１点の反対側の半円内に出来たもの）
線分Cが直線Bと交わるなら1/2という事で、次は一点の反対側の半円で線分Cがどれだけの確率で直線Bと交わるかを求める。半円内に一点をとり半円を二等分する直線Bがある。先にとった１点からみて、最後の点が直線Bをまたいだ先にくる確率と同じ側にくる確率は同様に確からしいので線分Cが直線Bと交わる確率は1/2となる。
したがって1/2の1/2の1/2で1/8となる。
中学生のたわごとです。優しくてくれ、伝えるの難しい。疲れてきて雑になってます。言いたい事だけ伝わって
間違ってそうならしてきはしてきてね
指摘だけに？
この解き方すごいですね！👏
ちょっと気になっただけですが、確率1/2というのは、求める確率とその余事象の確率が等しいから、ということですかね？
最初の議論で言うと、
「軸Aの1番上とそれ以外の3点を結んだ四面体が球の中心を通る確率P」の余事象
「軸Aの1番上とそれ以外の3点を結んだ四面体が球の中心を通らない確率」が、
「軸Aの1番下とそれ以外の3点を結んだ四面体が球の中心を通る確率」と等しく、
P=1-Pが成り立つから、P=1/2ということですか？
@@ontamaudon 解き方としては条件を絞った時どんな確率で成立するか、条件通りになる確率はどれだけかを求めた感じです。
確率が1/2になるのはP=1-P P=1/2という解釈で大丈夫だと思います。
まとまってない長文なのにわざわざ理解しようとしてくれて嬉しいです
@@geno410 お返事ありがとうございます！この解き方は僕には思いつかないので、年上ながら尊敬します
@@ontamaudon 紳士ダァ
お褒めに預かり光栄です
中３です！！
まじで全くわかんない！
2次元で考えて、平均を出す時に、お？もしかしたらちょっとだけ分かるんじゃね？って思ったけど、全然無理だった！
人間ってすごいなあ
動画見た後→なんか分かった気がする
改めて問題見る→なんやこれ??
点Pが味方になる日が来るなんて...
こう言うの面白くてマジで好き
ええチャンネルみっけ
面白すぎる
美しい
こういう問題を解決できるような人が日常生活で発生する問題に対してどういう見方をしてるのかが気になる
直線上で1/2、平面上で1/4、だから立体上1/8かなと直感的にしか分からん(;ω;)
仮にだが、同じような問題を四次元上で考えると、もしかして1/16になるのかなぁ？
1/16でしょう。
・直線上＝１次元なので1/(2^1)＝1/2
・平面上＝２次元なので1/(2^2)＝1/4
・立体上＝３次元なので1/(2^3)＝1/8
・四次元＝1/(2^4)=1/16
平面の三角形でこの長さではなく角度(鈍角があるかないか)で考えてしまった、もう進める気がしない笑
東工大、京大数学味を感じる…いつかいい感じにアレンジされて出て来たりして。
7:26 ここになった瞬間にピンと来て、その場で「すげええええ！！」って、声が出た。やっぱ高校の時数学もっと勉強しとけば良かったなぁ、ガチ後悔してる。
ベリーエレガント！！（ヘンダーソン
この動画を見たこと自体が最大の難問である。
暗殺教室の学力試験の最終問題みたいでめっちゃいい
あああやられたあああ
同様に確からしいって偉大だなぁ
自分はまず2次元に落としてから区分求積法でゴリ押すところまでは良かった(？)んですが、3次元になった瞬間その努力が消し飛びましたｗ
π君かわいい
こちらの1/8という回答、切り出してきた三角錐の表面に球の中心点が乗ってしまっている場合、それを「三角錐は球の中心点を含んでいる」としてカウントしているのですか？
三角錐の表面に球の中心点がぴったり乗ってしまう確率ってゼロじゃないですよね？
ということは、三角錐表面に中心点が乗っているパターンを「三角錐に含まれる」とカウントするのかしないのかで、確率って若干変わりますよね？
(恐らく、表面に乗ってるだけでは含む扱いにしないよという場合の方が確率は低くなりますよね。球の中心点からしてみれば、ギリギリ表面には乗ってるのですが含む扱いにしてくれませんかというのを、ダメですと排除してることになるので)
であれば、この1/8という回答がこのどちらの場合の確率を指しているのかを言及しなければこの動画の回答は不完全ではないですか？
言い方を変えれば、
確率A(中心点が完全に三角錐に含まれる確率)+確率B(中心点が三角錐の表面に乗っている確率)=確率C(三角錐の表面上も含めて中心点が三角錐に含まれている確率)
という話だと思うので、この3つの確率について言及してあげた上で、この1/8という値が上記の確率Aと確率Cのどちらなのかという話をしなければこの完答ではなくないですか？
少なくとも三角錐の表面に球の中心がのる確率は0だね
実際に試行をしてのることはあるかもしれないけど、その極限は0になる…、というより確率はある条件を満たす積分で定義させるんだけど、おそらく上の確率は点の積分になるから0
だからあなたの疑問で問題の解答は変わらないはず
ご返信ありがとうございました。
三角錐の表面に球の中心点が乗る確率はゼロと考えるというのは、不思議ですね。
(例えば、x軸y軸X軸の原点(0,0,0)が球の中心点だったとして、最初の3点が(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)となった場合、4点目が(-1,0,0)や(0,-1,0)とかであると三角錐の表面に乗りますよね。正確には辺上ですが、4点目がうまくずれれば表面上に乗るパターンは結構あるように思えます。)
実際にはそれより内側に完全に含まれるパターンがずっと多いから表面上に乗るパターンは無視できるということなのだと思うのですが、こういった起こり得るレアな例外も起こる確率0として考えるというところが興味深いなと思いました。ありがとうございました。
よって今日のお昼はお蕎麦になりました
ありがとうございました
ひとまず解説見る前のメモ
球の表面積を1と置く。
球の表面に点Aを置き、残りのb,c,d点がどうなっていれば4面体が球の中心を含むか考える。
すると、b,c,d点はそれぞれ最初に取ったA点を中心とした半球に位置すれば良い。
よって計算は、3点が全て半球に位置する確率だから、
（1/2）^3 = 1/8
確率は1/8
どうだろうか。
数学をある程度極めてる人が受けても中央値2点て…
作問者どんな脳してるんだろ
革命が起きた
言ってる事は分かるけど、数式に直すなんてオレには不可能だなww
すげええ
コイントスのところめちゃくちゃ鳥肌たった
7:30
リアルに「う〜わ...！！！」って声出た
すみません、どなたかこの動画の一番初めから流れている、ピアノの音色の綺麗なBGMのタイトルを、教えていただけないでしょうか…
すごいなこれ
どんな脳ミソしてんの