@@GeometriaValeriyKazakov дз тоже устно. Ма²+Мв²=5с²/4=5Мс². Из двух маленьких прямоугольных треугольников и, если вспомнить, что медиана проведенная к гипотенузе равна её половине.
Вы неправильно решили задачу - вы просто перемножили r1 и r2, что случайно совпало с правильным ответом. Если бы исходные данные были другими, например 5 и 12, то у вас бы получилась высота = 60, тогда как на самом деле 30.
@@GeometriaValeriyKazakov Оказалось, что та ячейка, где должна была у меня в голове храниться формула про сумму радиусов, опустела, или система поиска сбойнула... Про 5 за секунду управился, а вот со вторым действием...
Треугольники подобны, значит подобны их площади, значит подобны площади их вписанных/описанных окружностей, а значит радиусы. Следовательно радиус вписанной окружности в большой треугольник равен 5. А высота в а*в/с=r1*r2/r3 раза больше, то есть r1*r2=12.
Неплохо бы доказать, что треугольник АСВ возможен. У меня, например, нет такой убеждённости, При первом взгляде не сложилось, что катеты АС и ВС придут в одну точку С. Именно при фиксированном, известном заранее прямом угле С и известных радиусах 3 и 4.
@@GeometriaValeriyKazakov Так а что там сложного ? Зная соотношения сторон приравняем площади треугольников с одной стороны как произведение радиусов вписанных окружностей на полуперриметр, а с другой как половина произведения их катетов.
@@GeometriaValeriyKazakov Все треугольники в кадре подобны и все катеты три к четырем. ЗЫ буквы ё нет не только на раскладке мобилы но в старорусском языке - ее придумал Карамзин. До него писали ио или lо Скандинавы просто перечёркивают о по диагонали: ø что имхо отличная идея
Хотите за 2 секунды? В пифгоровом треугольнике со сторонами 3 4 5 радиус вписаной окружности равен 1, что слкдует из формулы площади S=pr. Если радиус 3 то все стороны соответственно увеличиваются в 3 раза Т. Е катет соответствующий 4 будет 12
Задачу можно решить с помощью тригонометрии. Одна проблема -- ее изучают в старших классах, а задача, видимо, для 8-9. 🤪 1) Пусть -- (.) О1 -- центр окружности радиуса r=3 -- (.) O2 -- центр окружности радиуса R=4 Угол ^ВАС=а Соединим вершину В с центрами окружностей. ВО1 и ВО2 -- биссектрисы углов ^АВН=а и ^НВС=90°-а Опустим перпендикуляры из центров окружностей О1 и О2 на ВН. Точки пересечения с ВН назовем К1 и К2 соответственно. ВК1=х, тогда по построению ВК2=х-1 2) Теперь можно записать -- tg(a/2)=r/x или tg(a/2)=3/x (2.1) -- tg(45-a/2)=R/(x-1) или tg(45-a/2)=4/(x-1) (2.2) 3) Для преобразования уравнения (2.2) используем тригонометрическую формулу *tg(x-y)=(tg(x)-tg(y))/(1+tg(x)tg(y))* (3) 4) С учётом формулы (3) левую часть уравнение (2.2) можно представить в виде: tg(45°-a/2)=[tg(45°)-tg(a/2)]/[1+tg(45°)tg(a/2)] или tg(45°-a/2)=[1-tg(а/2)]/[1+tg(а/2)] (4) 5) Теперь уравнение (2.2) с учётом формулы (4) можно записать в виде: [1-tg(а/2)]/[1+tg(а/2)]=4/(x-1) (5) 6) Решаем систему из 2-х уравнений: (2.1) и (5). Для этого подставим в уравнение (5) вместо tg(а/2) правую часть уравнения (2.1): (1-3/x)/(1+3/x)=4/(x-1) ➡️ x^2-8x-9=0 x1=(8+√8^2+4×9)/2=(8+10)/2=9 ☑️ x2=(8 - √8^2+4×9)/2=(8 - 10)/2=-1 ➖➖ 7) Т.к. по построению ВН=ВК1+r=ВК1+3, а ВК1=х, то ВН=х+3=9+3=12 ☑️☑️
Полезное видео. Спасибо за подробное решение.
Да, устная задача. Коэффициент подобия 4/3. Справа египетский треугольник со сторонами 4х, 3х, 5х. Радиус его 4, значит х=4. Высота равна 3*4=12.
Отлично.
@@GeometriaValeriyKazakov дз тоже устно. Ма²+Мв²=5с²/4=5Мс². Из двух маленьких прямоугольных треугольников и, если вспомнить, что медиана проведенная к гипотенузе равна её половине.
Верно@@viktorviktor5820
Так же решила. Спасибо за задачу и свойство.
Вы неправильно решили задачу - вы просто перемножили r1 и r2, что случайно совпало с правильным ответом. Если бы исходные данные были другими, например 5 и 12, то у вас бы получилась высота = 60, тогда как на самом деле 30.
Да, этого свойства я не знала. Отмечу себе. Спасибо. Быстрое решение.
Спасибо.
Секундомер взял, приготовился кнопку нажимать и увидел, что ролик больше восьми минут. Отложил хронометр. Слушаю внимательно
Спасибо. Отлично. И укак?
@@GeometriaValeriyKazakov Оказалось, что та ячейка, где должна была у меня в голове храниться формула про сумму радиусов, опустела, или система поиска сбойнула... Про 5 за секунду управился, а вот со вторым действием...
Треугольники подобны, значит подобны их площади, значит подобны площади их вписанных/описанных окружностей, а значит радиусы. Следовательно радиус вписанной окружности в большой треугольник равен 5. А высота в а*в/с=r1*r2/r3 раза больше, то есть r1*r2=12.
Спасибо.
О(1)-центр окружности r=3, O(2)-центр окружности r=4.
Проведём АО(1)-биссектриса угла ∠А, ВО(2)-биссектриса угла ∠В,
НО(1)-биссектриса ∠АНС, РО(2)-биссектриса ∠ВНС.
Проведём отрезок О(1)О(2),
∠О(1)НО(2)=90◦, ⊿О(1)НО(2)-прямоугольный. НО(1)=3√2, НО(2)=4√2, О(1)О(2)=5√2.
О(2)М⊥СН, О(1)Р⊥AН, СО(2)-биссектриса ∠BСН,
∠BСН=∠A, ∠О(2)СМ=∠О(1)AР, ⊿О(1)AP∾⊿О(2)CРM СН=h, MH=4, CM=h-4, AH=x, AP=x-3,
(x-3)/3=(h-4)/4, x=(3/4)*h,
B ⊿ACH, tg∠A=CH/AH, tg∠A=h/((3/4)*h)=4/3,
B ⊿O(1)HO(2), tg∠HO(1)O(2)=HO(2)/HO(1), tg∠HO(1)O(2) =(4√2)/(3√2)=4/3,
∠A=∠HO(1)O(2)=2𝜶, ⊿ACH∾⊿HO(1)O(2), sin2𝜶=(4√2)/(5√2)=4/5, cos2𝜶=3/5.
sin𝜶=√((1-3/5)2)=√5/5, cos𝜶=(2√5)/5,
B ∆AHO(1), ∠AHO(1)=45◦, sin∠AO(1)H=sin(180◦-(𝜶+45◦))=sin(𝜶+45◦),
sin(𝜶+45◦)=sin𝜶*cos45◦+cos𝜶*sin45◦=(√2/2)*((√5/5)+(2√5/5))=(√2/2)*(3√5/5)=3√10/10, sin∠AO(1)H=3√10/10.
AH/sin∠AO(1)H=HO(1)/sin𝜶, AH/((3√10/10)=(3√2)/(√5/5), AH=9.
AH/HO(1)=CH/HO(2), 9/(3√2)=h/(4√2), h=12.
Ответ: h=12.
Отлично!
Неплохо бы доказать, что треугольник АСВ возможен. У меня, например, нет такой убеждённости, При первом взгляде не сложилось, что катеты АС и ВС придут в одну точку С. Именно при фиксированном, известном заранее прямом угле С и известных радиусах 3 и 4.
Спасибо. Возмите тр-к 15, 20, 25. И все сбудется!
То есть, радиусы могут быть только 3 и 4?@@GeometriaValeriyKazakov
С другой стороны ясно что треугольники АСН и ВСН подобны в соотношении 3:4. Всё ! - задача решена. Остальное дело техники.
В этой технике все и дело.
@@GeometriaValeriyKazakov Так а что там сложного ? Зная соотношения сторон приравняем площади треугольников с одной стороны как произведение радиусов вписанных окружностей на полуперриметр, а с другой как половина произведения их катетов.
Радиус вписанной в египетский треугольник окружности 1.
Ответ 12.
Две секунды ..
Спасибо. А где этот египетский?
@@GeometriaValeriyKazakov
Все треугольники в кадре подобны и все катеты три к четырем.
ЗЫ буквы ё нет не только на раскладке мобилы но в старорусском языке - ее придумал Карамзин. До него писали ио или lо Скандинавы просто перечёркивают о по диагонали: ø что имхо отличная идея
Хотите за 2 секунды? В пифгоровом треугольнике со сторонами 3 4 5 радиус вписаной окружности равен 1, что слкдует из формулы площади S=pr. Если радиус 3 то все стороны соответственно увеличиваются в 3 раза
Т. Е катет соответствующий 4 будет 12
Супер!
Задачу можно решить с помощью тригонометрии. Одна проблема -- ее изучают в старших классах, а задача, видимо, для 8-9. 🤪
1) Пусть
-- (.) О1 -- центр окружности радиуса r=3
-- (.) O2 -- центр окружности радиуса R=4
Угол ^ВАС=а
Соединим вершину В с центрами окружностей. ВО1 и ВО2 -- биссектрисы углов ^АВН=а и ^НВС=90°-а
Опустим перпендикуляры из центров окружностей О1 и О2 на ВН. Точки пересечения с ВН назовем К1 и К2 соответственно.
ВК1=х, тогда по построению ВК2=х-1
2) Теперь можно записать
-- tg(a/2)=r/x или
tg(a/2)=3/x (2.1)
-- tg(45-a/2)=R/(x-1) или
tg(45-a/2)=4/(x-1) (2.2)
3) Для преобразования уравнения (2.2) используем тригонометрическую формулу
*tg(x-y)=(tg(x)-tg(y))/(1+tg(x)tg(y))* (3)
4) С учётом формулы (3) левую часть уравнение (2.2) можно представить в виде:
tg(45°-a/2)=[tg(45°)-tg(a/2)]/[1+tg(45°)tg(a/2)] или
tg(45°-a/2)=[1-tg(а/2)]/[1+tg(а/2)] (4)
5) Теперь уравнение (2.2) с учётом формулы (4) можно записать в виде:
[1-tg(а/2)]/[1+tg(а/2)]=4/(x-1) (5)
6) Решаем систему из 2-х уравнений: (2.1) и (5). Для этого подставим в уравнение (5) вместо tg(а/2) правую часть уравнения (2.1):
(1-3/x)/(1+3/x)=4/(x-1) ➡️
x^2-8x-9=0
x1=(8+√8^2+4×9)/2=(8+10)/2=9 ☑️
x2=(8 - √8^2+4×9)/2=(8 - 10)/2=-1 ➖➖
7) Т.к. по построению ВН=ВК1+r=ВК1+3, а ВК1=х, то
ВН=х+3=9+3=12 ☑️☑️
супер.
А откуда известно, что r=(a+b-c)/2
?
Это основная формула радиуса вписанной для прямоугольного. Все школьник знают.
РЕШЕНИЕ В 2 ХОДА! А при чем здесь Пифагор?
Повторение - мать учения.
Не буду ворошить прошлое.
Обобщенная теорема Пифагора сейчас в 8 классе.
Извините, но сие мне неведомо😄@@GeometriaValeriyKazakov