Waouh. Franchement je ne connaissais pas. Mon ignorance sur cet item est complet. C'est assez ardu quand même car je constate qu'il y a des pré-requis dont je ne perçois pas la substantique moelle. J'ai donc créé un dossier "analyse complexe" dans ma bibliothèque youtube. Vous tronez dedans désormais. Je suis abonné direct. À moi de prendre le temps de comprendre tout ceci.
Dans le théorème des résidus, il faut que l'image de ton lacet ne rencontre jamais un des pôles de la fonction. On peut donc bien prendre le chemin suivant les réels positifs car aucun réel positif puissance n égale -1. Mais sur ton schéma tu le fait passer par un pôle il me semble, ce qui peut être donc problématique. Il n'y a pas de faute dans tes calculs car les 2 premiers pôles ont pour argument pi/n et 3pi/n, donc comme 2pi/n est entre les deux il n'y a pas de souci. Super vidéo ceci dit !
Je ne le fais pas passer par un pôle, mais par une racine de l'unité ! e^(2pi i/n) n'est pas un pôle de la fonction z -> 1/(z^n +1), et c'est à cet argument que je trace ma diagonale. C'était peut être pas super clair sur le dessin, mais l'objectif c'est d'encadrer tout le secteur angulaire 0 < thêta < 2pi/n qui contient exactement un pôle
@@MathsEtoile ah excuse moi j'ai sûrement mal ecouté je pensais que tu traçais les pôles de la fonctions sur ton schéma. Si ce sont les racines de l'unité alors oui il n'y a en faite aucun problème ducoup, désolé !
Je revois en boucle tes vidéos sur l'analyse complexe pour être sûr de comprendre toutes les subtilités! Pour l'intégrale le long de gamma 2, les bornes ne devraient-elles pas être 0 et 2pi/n, en considérant la paramétrisation R.exp(it)?
Oui, j'ai pas du tout paramétré correctement, mais on peut facilement re-paramétrer mon truc pour que gamma_1 soit parcouru entre les temps 0 et 1/3, gamma_2 entre 1/3 et 2/3, et gamma_3 entre 2/3 et 1
Cela peut sembler innocent (je suis bien loin d'être en L3), mais pouvait-on voir l'intégration le long de gamma 3 comme l'opposé de l'intégration le long de gamma 1 après une rotation d'angle 2pi/n, ou bien le fait que l'on obtienne le coefficient -e^{\frac{i2\pi}{n}} n 'est qu'une coïncidence ? Plus largement quels conséquences peuvent avoir des transformations de gamma sur l'intégrale le long de celui-ci ?
J'espère que tu vas nous faire plein d'autres exemples comme cette belle vidéo, très bien expliquée! Le calcul d'intégrales réelles difficiles est-il le principal intérêt de l'analyse complexe, ou bien y'a t'il d'autres intérêts à ce domaine de l'analyse?
Plein d'autres trucs sympas en analyse complexe (qui arrivent dès que j'ai le temps hehe). Par exemple, il y a étonnament beaucoup d'applications arithmétiques
@@MathsEtoiled'ailleurs malgré quelques recherches (et sans doute aussi parce que je n'ai pas encore atteint le niveau d'étude nécessaire), je n'ai jamais tout à fait compris le lien profond qui existait entre les propriétés des entiers et celles du plan complexe (totalement différentes au premier abord), et qui expliquait donc la nécessité d'utiliser l'analyse complexe en arithmétique Est ce que tu aurais une vidéo prévue sur la question, une brève explication ou un ouvrage/site parlant du sujet ?
Mais le chemin gamma choisi pour appliquer le théorème des résidus, il dois être C² non ? ce qui ne semble pas être le cas ici De plus faut-il pas que gamma soit dérivable pour quue déjà l'intégrale soit bien définie ?
En fait, C^2 par morceaux suffit, les preuves faites plus tôt dans la série fonctionnent très bien avec des chemins C^2 par morceaux (essentiellement, on peut tout faire sur les morceaux C^2 et tout recoller ensuite avec Chasles) Dans la pratique, on fait rarement attention à ce que nos chemins aient la bonne régularité, dans le pire des cas on peut toujours approcher un chemin continu aussi finement qu'on veut par un chemin C infini
Merci beaucoup pour cet super série, serait t'il possible d'avoir une démonstration du théorème des nombres premiers, une sorte de fusion des séries sur l'analyse complexe et celle sur les nombres premiers, dans tous les cas merci pour ce contenu de qualité
Il y a quelque chose qui me perturbe. Le chemin gamma3 fait un angle 2pi/n par rapport à R mais il aurait pu faire n’importe quel angle du moment qu’il est supérieur à pi/n et inférieur à 3pi/n. On aurait pu prendre 1,5pi/n par exemple. Avec cet angle, le résultat ne se simplifie pas et notre intégrale réelle a une partie imaginaire: c’est gênant… Qu’est-ce qui m’a échappé?
@@MathsEtoile je pense avoir compris. Il faut que le chemin soit C1. Les points de discontinuité (il y en a 3) peuvent être aménagés pour les rendre C1 mais leurs contributions dans le calcul de l’intégrale risquent d’être significatives. Cette difficulté disparaît si le chemin présente une symétrique par rapport au résidu. Il y a un intérêt d’une manière générale, me semble-t-il, de prendre des chemins symétriques par rapport au(x) résidu(s).
Ta méthode est une application conventionnelle de la méthode des résidus. La seule finesse qui mériterait d’être davantage développée et expliquée c’est le choix du chemin. Ta méthode, au final fonctionne bien, car tu as choisis le bon chemin, en particulier gamma3. L’élégance et la puissance de la méthode des résidus repose en particulier sur le choix d’un bon chemin. Ça ne me parait pas immédiat que le bon choix est le rayon d’argument 2pi/n, qui n’a, à priori rien à voir avec les pôles de la fonction. On peut aussi se poser les questions : pourquoi entourer un seul pôle, pourquoi celui-là, pourquoi pas 2 pôles, 3, tous ? Pour tous les pôles, on arrive au même résultat (ouf 😅) avec un soupçon de complexité en plus.
Les matheux du 19 eme siècles "s'amusaient beaucoup". L'interet de la chose , c'est que faut juste papier et crayon pour resoudre un certain nombre d'intégrales réelles. Par contre , il y a possibilité de se planter un million de fois dans les calculs. "Molo" dans les exercices, c'est "facile" si on a déja fait l'exercice et qu'on a bien compris le truc , mais en temps limité ca va faire très mal.
Waouh. Franchement je ne connaissais pas. Mon ignorance sur cet item est complet.
C'est assez ardu quand même car je constate qu'il y a des pré-requis dont je ne perçois pas la substantique moelle.
J'ai donc créé un dossier "analyse complexe" dans ma bibliothèque youtube. Vous tronez dedans désormais. Je suis abonné direct. À moi de prendre le temps de comprendre tout ceci.
Contenu UNIQUE sur youtube en Analyse complexe! Magnifique!
😁 ça me ramène 43 ans en arrière !
Très jolie démonstration!
Merci 🥂
Moi, un petit peu moins :))) Et avec grand plaisir.
Trois videos d analyse complexe en trois jours. Ca c est un beau cadeau pour la Saint Valentin!
Génial, passer par le plan complexe permet de résoudre une intégrale qui paraît de base compliquée.
Excellent comme d'habitude, continue
Merci beaucoup !
Dans le théorème des résidus, il faut que l'image de ton lacet ne rencontre jamais un des pôles de la fonction. On peut donc bien prendre le chemin suivant les réels positifs car aucun réel positif puissance n égale -1. Mais sur ton schéma tu le fait passer par un pôle il me semble, ce qui peut être donc problématique. Il n'y a pas de faute dans tes calculs car les 2 premiers pôles ont pour argument pi/n et 3pi/n, donc comme 2pi/n est entre les deux il n'y a pas de souci. Super vidéo ceci dit !
Je ne le fais pas passer par un pôle, mais par une racine de l'unité ! e^(2pi i/n) n'est pas un pôle de la fonction z -> 1/(z^n +1), et c'est à cet argument que je trace ma diagonale. C'était peut être pas super clair sur le dessin, mais l'objectif c'est d'encadrer tout le secteur angulaire 0 < thêta < 2pi/n qui contient exactement un pôle
@@MathsEtoile ah excuse moi j'ai sûrement mal ecouté je pensais que tu traçais les pôles de la fonctions sur ton schéma. Si ce sont les racines de l'unité alors oui il n'y a en faite aucun problème ducoup, désolé !
Je revois en boucle tes vidéos sur l'analyse complexe pour être sûr de comprendre toutes les subtilités!
Pour l'intégrale le long de gamma 2, les bornes ne devraient-elles pas être 0 et 2pi/n, en considérant la paramétrisation R.exp(it)?
Oui, j'ai pas du tout paramétré correctement, mais on peut facilement re-paramétrer mon truc pour que gamma_1 soit parcouru entre les temps 0 et 1/3, gamma_2 entre 1/3 et 2/3, et gamma_3 entre 2/3 et 1
Cela peut sembler innocent (je suis bien loin d'être en L3), mais pouvait-on voir l'intégration le long de gamma 3 comme l'opposé de l'intégration le long de gamma 1 après une rotation d'angle 2pi/n, ou bien le fait que l'on obtienne le coefficient -e^{\frac{i2\pi}{n}} n 'est qu'une coïncidence ? Plus largement quels conséquences peuvent avoir des transformations de gamma sur l'intégrale le long de celui-ci ?
A 11:30, pourrais-tu réexpliquer stp pourquoi il n'y a pas de termes en 1/z^2, 1/z^3...?
En quoi le pôle de f en exp(pi.i /n) est simple?
1+z^n à n racines deux à deux distinct et est de degré n donc toutes ses racines sont simples
@@eliasboudjella1141 Merci!
génial, c'est mon cours préféré analyse complexe :) bientôt une vidéo sur les applications conformes ?
Superbe vidéo Ferdinand
Haha merci !
J'espère que tu vas nous faire plein d'autres exemples comme cette belle vidéo, très bien expliquée!
Le calcul d'intégrales réelles difficiles est-il le principal intérêt de l'analyse complexe, ou bien y'a t'il d'autres intérêts à ce domaine de l'analyse?
Plein d'autres trucs sympas en analyse complexe (qui arrivent dès que j'ai le temps hehe). Par exemple, il y a étonnament beaucoup d'applications arithmétiques
@@MathsEtoile cool!
@@MathsEtoiled'ailleurs malgré quelques recherches (et sans doute aussi parce que je n'ai pas encore atteint le niveau d'étude nécessaire), je n'ai jamais tout à fait compris le lien profond qui existait entre les propriétés des entiers et celles du plan complexe (totalement différentes au premier abord), et qui expliquait donc la nécessité d'utiliser l'analyse complexe en arithmétique
Est ce que tu aurais une vidéo prévue sur la question, une brève explication ou un ouvrage/site parlant du sujet ?
@@marcus8120Il y a une vidéo d'Axel Arno sur la conjecture de Riemann qui est sympa
Je vais m atteler à cette histoire de résidus que je connaissais pas
Mais le chemin gamma choisi pour appliquer le théorème des résidus, il dois être C² non ? ce qui ne semble pas être le cas ici
De plus faut-il pas que gamma soit dérivable pour quue déjà l'intégrale soit bien définie ?
En fait, C^2 par morceaux suffit, les preuves faites plus tôt dans la série fonctionnent très bien avec des chemins C^2 par morceaux (essentiellement, on peut tout faire sur les morceaux C^2 et tout recoller ensuite avec Chasles)
Dans la pratique, on fait rarement attention à ce que nos chemins aient la bonne régularité, dans le pire des cas on peut toujours approcher un chemin continu aussi finement qu'on veut par un chemin C infini
@@MathsEtoile Ah oui, effectivement, merci !
Merci beaucoup pour cet super série, serait t'il possible d'avoir une démonstration du théorème des nombres premiers, une sorte de fusion des séries sur l'analyse complexe et celle sur les nombres premiers, dans tous les cas merci pour ce contenu de qualité
C'est un peu l'objectif inavoué de cette série 🤫
Donc oui, on va y venir ;)
Par rapport à la notation de la dérivée, quitte à être approximatif, autant écrire d/dz. Non ?
En tout cas, beau travail d'explication !
Oui j'y ai pas pensé effectivement :)
Nice !!!
Je vais me coucher moins bête ce soir!
Il est bon de noter que la formule se généralise à un exposant réel n>1.
effectivement !
Il y a quelque chose qui me perturbe. Le chemin gamma3 fait un angle 2pi/n par rapport à R mais il aurait pu faire n’importe quel angle du moment qu’il est supérieur à pi/n et inférieur à 3pi/n. On aurait pu prendre 1,5pi/n par exemple. Avec cet angle, le résultat ne se simplifie pas et notre intégrale réelle a une partie imaginaire: c’est gênant…
Qu’est-ce qui m’a échappé?
On a besoin que le chemin fasse un angle de 2pi/n pour que le (z e^{2\pi/n} )^n du dénominateur soit égal au z^n qu'on a sur l'intégrale réelle !
@@MathsEtoile je pense avoir compris.
Il faut que le chemin soit C1. Les points de discontinuité (il y en a 3) peuvent être aménagés pour les rendre C1 mais leurs contributions dans le calcul de l’intégrale risquent d’être significatives. Cette difficulté disparaît si le chemin présente une symétrique par rapport au résidu.
Il y a un intérêt d’une manière générale, me semble-t-il, de prendre des chemins symétriques par rapport au(x) résidu(s).
Ta méthode est une application conventionnelle de la méthode des résidus. La seule finesse qui mériterait d’être davantage développée et expliquée c’est le choix du chemin. Ta méthode, au final fonctionne bien, car tu as choisis le bon chemin, en particulier gamma3. L’élégance et la puissance de la méthode des résidus repose en particulier sur le choix d’un bon chemin. Ça ne me parait pas immédiat que le bon choix est le rayon d’argument 2pi/n, qui n’a, à priori rien à voir avec les pôles de la fonction. On peut aussi se poser les questions : pourquoi entourer un seul pôle, pourquoi celui-là, pourquoi pas 2 pôles, 3, tous ? Pour tous les pôles, on arrive au même résultat (ouf 😅) avec un soupçon de complexité en plus.
Qu'est-ce qui est arrivé à ta main ?
Feynman/Leibniz technique c'est efficace aussi
Quelles sont les étapes pour résoudre cette intégrale avec ce genre de technique ?
🍿
Les matheux du 19 eme siècles "s'amusaient beaucoup".
L'interet de la chose , c'est que faut juste papier et crayon pour resoudre un certain nombre d'intégrales réelles.
Par contre , il y a possibilité de se planter un million de fois dans les calculs.
"Molo" dans les exercices, c'est "facile" si on a déja fait l'exercice et qu'on a bien compris le truc , mais en temps limité ca va faire très mal.