Ciao, sono il papà di un ragazzo ché frequenta il 3 anno di informatica, ti faccio i complimenti sei riuscito a farmi capire questi terribili numeri complessi a 52 anni con una spiegazione chiara e semplice grazie ancora
Ho 67 anni, sono laureato in chimica pura e ho lavorato nei laboratori dell'industria farmaceutica per tutta la mia vita. Peccato che nessuno mi ha mai insegnato la matematica così...quanta fatica inutile ho dovuto fare. Viva TH-cam e quelli che lo sanno utilizzare per fare cultura.
Non mi stupisce ci sia qualcuno, forse più di qualcuno, che si sia annoiato. Il video dura 50 minuti. Tantissime persone, forse troppe, non vogliono più e non sanno più gestire l'attenzione per più di un minuto. La chiarezza e la semplicità, può sembrare un paradosso, vanno a cazzotti con la velocità. La nostra società è ossessionata dalla velocità e dall'immediatezza....ma così la comprensione va letteralmente a farsi benedire. Io ho avuto la fortuna di fare i numeri complessi solo all'università dove mi sono stati spiegati esattamente così, mettendoci anche il triplo del tempo. Alla fine della spiegazione il tempo era volato e tutto mi era sembrato ovvio.
La chiarezza è una dote rarissima. Complementi molto sentiti per l'esposizione piacevolissima ed esaustiva! La simpatia dell'accento, penso emiliano, rende la chiacchierata ancora più godibile. Grazie!
- Riporto una discussione che lo stesso autore minacciava di cancellare. Siccome vengo accusato di volermi sentire solo dire "bravo" qui c'e' tutto il dialogo a dimostrare il contrario. Naturalmente l'atteggiamento minaccioso-tossico da social ne ha provocato il ban, ma ritengo comunque utile che rimanga il botta/risposta che lui stesso voleva autocensurarsi 🙄 rockessence 30:00 non capisco per quale astruso motivo, dopo aver parlato di vettori, dopo aver parlato di campi, tu non abbia introdotto la forma dei numeri complessi come semplice somma vettoriale di due coordinate complesso=reale+immaginario, introducendo qui il valore di i = (0;1). E andando così a definire il prodotto di due numeri complessi come semplice prodotto nella forma (real+imm)*(real+imm) per poterti così collegare tranquillamente a quella parte di matematica letterale che tutti conoscono, far comprendere così che i^2=-1 e quindi passare a spiegare (a+ib)*(c+id). Cioè, parti dal presupposto che i ragazzi dovrebbero capire meglio la matematica e poi gli appioppi una formula che se non compresa del suo significato originario dimenticheranno dopo mezz'ora dalla tua spiegazione non hai davvero reso chiaro perché i^2 = -1 e te ne esci con "fidatevi che è così" come uno qualsiasi dei professori che hai criticato all'inizio. Scusa ma mi sento preso in giro. Stavo cercando una spiegazione adatta per aiutare una persona in matematica, ma mi sa che faccio prima a spiegargliela io. ingegnereqbquantobasta 13 ore fa (modificato) Perché se li scrivi subito con la loro notazione algebrica ti rimane comunque un buco teorico e vai in loop: perché posso scrivere tutti i numeri come a+i*b? Se ti lamenti del mio "fidatevi" qui caschi in un superfidatevi. 😌 Per definirli tramite il concetto di spazio vettoriale (cosa che per altro non ho mai visto in nessun testo, quindi non so nemmeno se sia corretto farlo), si dovrebbe tirar fuori la definizione di spazio vettoriale, di lineare indipendenza tra i vettori e di base. E questo sarebbe necessario per far capire come mai con soli due vettori, combinati linearmente, si ottengono tutti gli altri. Non mi pare proprio la strada più semplice 🙄 Se vuoi partire da "a+ib", devi usare la definizione assiomatica che parte da i^2=-1, anzi, dal fatto che "i" sia soluzione di x^2+1=0, ma richiede cose troppo avanzate. L'ho sentita da una lezione di un docente in una facoltà di ingegneria, e lui stesso ad un certo punto ha tralasciato alcuni approfondimenti teorici perché non inerenti al corso 🤷 Non mi pareva dunque la strada giusta. Il "fidatevi che funziona" non ha certo pretese di rigorosità, semmai anticipa la parte rigorosa (la definizione vera e propria) che arriva dopo. In pratica è "aspettate un attimo e poi vedrete che funziona". 😌 Perché poi quella che do io è la definizione moderna, è rigorosa, ed è certamente quella più utilizzata. Ma mica dico che sia l'unica strada per capirli, dico solo che coi ragazzi che istruisco funziona sempre 🤷 rockessence le basi per apprendere il concetto ci sono eccome. Perché nei primi due anni di liceo scientifico che ho fatto (testo: corso di geometria e algebra, Lamberti Mereu Nanni) viene ampiamente introdotto il concetto di campo e in particolare di RxR, definendo proprio la composizione di un segmento come somma algebrica lineare di due componenti x e y, con anticipata spiegazione geometria e algebrica di somma pitagorica di due segmenti. Viene anche introdotto il teorema fondamentale dell'algebra, che oltretutto viene subito ripreso nel libro 1A (degli stessi autori) al terzo anno. Fidati che li sto ristudiando da zero proprio per poter essere competente nel dare spiegazioni ai liceali. L'errore che hai fatto è trattare l'argomento come completamente scollato dalla scuola superiore, come spesso vedo fare dai professori universitari. E poi tu non sei a una lezione universitaria con i tempi stretti e tutto. Hai la possibilità di rimandare a certi argomenti quando ti pare e soprattutto, se tempo non ce n'era per spiegare, allora mi devi spiegare perché ce n'era così tanto per fare tutti quei giri di parole inutili. ingegnereqbquantobasta Prima di tutto una precisazione: come ho gia' scritto in un altro commento, che i giri di parole siano inutili va dimostrato. Non ammetto affermazioni assolutistiche non dimostrate (e' scritto nelle linee guida per la partecipazione ai commenti). Poi, simpaticamente, "Fidati che", dopo che ti sei offeso per il mio "fidatevi" fa un po' ridere 😁 Poi c'e' un errore madornale: "viene ampiamente introdotto il concetto di campo e in particolare di RxR". R2 non e' un campo, e' "solo" uno spazio vettoriale. Gli manca la definizione di prodotto che lo faccia diventare tale, cosa che avviene appunto quando si definisce quel prodotto di cui ho parlato nel video, e che gli da' la struttura di campo, che poi viene chiamato C. Suggerisco di leggersi per bene il testo che hai citato...🙄 Inoltre il modo in cui ho trattato l'argomento non e' affatto scollato da cio' che si studia alle superiori (semmai rischia di esserlo il tuo, visto che di algebra lineare ai licei non ne ho mai vista la presenza, purtroppo): per capire la definizione proposta basta sapere cos'e' un numero reale e, per capire la rappresentazione dei complessi, basta avere un minimo di confidenza col piano cartesiano. Tutto qua. Niente algebra lineare, niente spazi vettoriali, niente combinazioni lineari, niente lineare indipendenza.🤷 A quel punto perche' non spiegare i polinomi partendo dallo spazio vettoriale degli stessi e definendoli come combinazione lineare della loro base canonica? Quello che chiami "giro di parole inutile" e' il mio tentativo di far capire ai ragazzi che quel salto concettuale che si fa passando da "vecchi numeri" a "nuovi numeri" e' gia' stato fatto piu' volte nel loro percorso scolastico, e non devono temere il nuovo. Preferisco quel giro di parole vagamente divulgativo rispetto all'introduzione di concetti nuovi. Non lo reputi necessario? Legittimo. E' assolutamente inutile: dimostralo. Tra l'altro non mi pare tu abbia ascoltato bene cio' che affermo: io detesto quando si parte da i^2=-1 e poi si parte subito a bomba con le operazioni, proprieta', rappresentazioni varie e cosi' via. Se altri adottano un altro percorso (completo e corretto) per spiegare quell'apparente assurdita' matematica, va benissimo! Evviva l'approccio assiomatico, evviva l'approccio vettoriale (se esiste, mai sentito, ma non possiedo lo scibile umano). Purche' i ragazzi capiscano. Col mio approccio capiscono, e se lo ritroveranno pure altrove, con altri approcci non lo so e non me la sento di rischiare. 😊 rockessence 32 minuti fa facciamo così, visto che ti piace sentirti solo dire che sei bravo, cercherò di non usare troppe parole. Fra 12 ore se non lo hai fatto tu, lo cancello io il messaggio. Mo devo pure dimostrare perché ti impelagavi in lungaggini che non erano indispensabili. Se lo hanno detto anche altri, mi pare che basti. Ma a quanto pare te vuoi l'analisi del testo con il conto delle parole mi sembra. Facciamo prima che ti dò ragione e buona vita. ingegnereqbquantobasta Mi piace talmente tanto sentirmi solo dire che sono bravo, che i commenti (pochi per fortuna) che mi criticano sono ancora li'. 😂 Quello che non accetto e' l'assolutismo: e' troppo facile arrivare e affermare "il video e' troppo lungo". Se sei in grado di argomentare la cosa bene, potrebbe pure essere utile a qualcuno e anche a me, ma le sentenze non servono a nessuno. Fermo restando che questa specie di ultimatum che hai dato non e' rispettoso ne' di me che ho pure impiegato tempo a risponderti, ne' di chi magari stava seguendo la discussione. Questo tipo di atteggiamento qui e' vietato.
Wow pazzesco. Sei bravissimo. Veramente chiarissimo. Ad averne avuti di professori come te al liceo. Io non li feci neanche i numeri complessi, frequentando il classico credo sia normale (?). Noi in particolare non arrivammo a definire neanche gli integrali ed in fisica neanche me lo ricordo dove finimmo, eppure la tua spiegazione mi è apparsa cristallina - nonostante appunto la mancanza di formalismo, che io credo possa dare una spinta di aumento della comprensione; formalismo supportato chiaramente dal lavoro "sul campo" di approfondimento, che permetta di "seguirlo"; i punti del video in cui tu difatti per la fluidità e non-pesantezza del discorso hai detto di "crederci, che funzionano". Grandissimo insomma. Non vedo l'ora di vedere altro. Auguri per il tuo canale!
Grazie mille davvero! 🥰 Si', e' normale non fare i numeri complessi al classico, non tanti anni fa si sono introdotti anche gli integrali, almeno nei ragazzi che ho avuto e che provenivano dal classico (non ricordo se ne facevano una sezione "sperimentale/potenziamento" pero'). La cosa "buffa" e' che in realta' il formalismo assolutamente rigoroso c'e', ed e' esattamente come si definiscono i numeri complessi in epoca moderna. Quando il formalismo e' adeguatamente introdotto, in questo caso con un bel "perche' si usano", a mio avviso aiuta ad assorbire meglio un argomento.
Pazzesco! Ho 37 anni e mi ricordo chiaramente quando in seconda superiore la professoressa introdusse i numeri complessi (con la parabola). Da quel momento i numeri complessi mi hanno sempre perplesso. Che spiegazione! Grazie mille!
27:29 tutto molto interessante (nel senso che apre domande sulla didattica) però messa in questo modo la definizione di moltiplicazione piove dal cielo senza un perché ...
Come detto in altri commenti, non e' la prima volta e non sara' l'ultima volta che una definizione piove dal cielo... In quel caso probabilmente e' solo un'eredita' del formalismo che ha preceduto la definizione moderna. Appena trovero' qualche conferma ci tornero' sopra!
@@ingegnereqbquantobasta In matematica quando trovo una operazione che non so fare la chiamo numero: 2 - 7 lo chiamo -5; 2:7 lo chiamo 2/7; se allo stesso modo √-1 lo lascio indicato e lo uso come un simbolo, mi trovo a lavorare con "polinomi" della forma a + √-1 b che danno luogo alle operazioni e al piano cartesiano che dici tu ...
@@GuzmanTierno Si', ma questo somiglia molto all'approccio assiomatico, che non amo particolarmente e confonde parecchio quelli che fino al giorno prima si sono visti urlare contro se scrivevano radici quadrate col radicando negativo (i ragazzi delle superiori). Preferisco la definizione moderna.
Vista la richiesta, lo metto in cantiere e spero di riuscire a realizzarla nei prossimi giorni (attualmente e' in lavorazione una serie sugli integrali) Preciso una cosa: da quello che dico al minuto indicato potrebbe nascere l'equivoco che faccia intendere che una struttura e' un campo. Diciamo meglio invece: un campo e' una struttura (algebrica), ma di strutture algebriche che non sono campi ce ne sono altre.
Grandissima lezione! Grazie per aver inquadrato con straordinaria chiarezza il ruolo e le caratteristiche dei numeri immaginari. Dopo tanti tentativi frustranti, ora ho chiaro il concetto.
Grazie mille per la spiegazione! Sono uni studente di quarta liceo e attualmente non sono ancora arrivato ai numeri complessi nel programma. Ho sentito tante volte l’esistenza dei numeri complessi e per curiosità sono andato a ricercare qualcosa a riguardo. Grazie a te e alla tua spiegazione ho finalmente capito cosa sono. Grazie mille ancora.
@@ingegnereqbquantobasta immagino, ma li uso nel mio lavoro, faccio sviluppo web 3D, computer grafica e cose così… ho pure un canale you tube dove faccio cose 😅
per ciò che riguarda i numeri irrazionali che si trovano nel piano cartesiano, lei ha fatto esempi in cui i due numeri quello sull’asse X era zero, se potesse fare un esempio in cui compaiono due numeri diversi da zero.
@@domenicobarbetta8846 Continuo a non capire la domanda 😭 Proviamo cosi': mi puoi indicare il minutaggio del video dove faccio questi esempi ai quali ti riferisci?
Complimenti! Finalmente una spiegazione chiara ad una notazione in se enigmatica che sottintende un bel po' di ragionamenti e deduzioni ... grazie davvero! (nel programma di liceo 50 aa fa non eravamo usciti dai reali , i complessi erano quelli musicali🙂 )
Grazie veramente per avermi appassionato con una spiegazione così semplice su un argomento che mi incuriosiva ma avevo paura solo di vederne un video! Grazie.
Grazie della lezione, interessantissima...ma a cosa servono nella pratica ? Sapevo che per studiare alcuni fenomeni fisici si ricorre ai numeri complessi...ma perchè?...
Grazie per l'apprezzamento! Nello studio dei fenomeni fisici appaiono in tutti i fenomeni ondulatori, perche' si riescono a rappresentare in maniera molto efficace e comoda, anche per farci i calcoli (ad esempio nelle grandezze elettriche). Per questo appaiono anche in meccanica quantistica (che e' una teoria basata sulle onde, infatti a volte e' anche chiamata meccanica ondulatoria). Ma non e' questo il solo motivo: escono proprio fuori perche' in qualche modo sono necessari per "mettere in collegamento" proprieta' importanti della meccanica classica al mondo quantistico (per esempio le leggi di conservazione e il loro collegamento con alcune trasformazioni geometriche).
Le più importanti teorie della matematica attuale si fondano su teoremi molto generali che spesso si basano sui numeri complessi. Questi teoremi sono talmente profondi e generali che sono necessari alla larga parte delle teorie scientifiche attuali. Benchè queste teorie matematiche possano apparire "complicate", senza i numeri complessi o non potrebbero proprio esistere o quantomeno sarebbero molto più complicate da scrivere. Quindi i numeri complessi risultano o solo necessari alle teorie o anche fortemente semplificanti. La teoria più "famosa" (almeno fra la maggior parte degli studenti universitari) in cui sono utili i numeri complessi sono le "trasformate di Fourier". Grazie a questa "macchinetta" molti problemi difficili da trattare in modo "classico" diventano molto più docili. Ma gli esempi sono molto più di questo.
Buongiorno, ieri sera mi sono gustato il tuo video. Insegno matematica in un istituto superiore in cui cerco, nei limiti del possibile, di rendere la materia più fruibile e divertente. Mi piace molto come hai introdotto l'argomento, perché, a volte, si dà per scontato che si conoscano perfettamente gli insiemi e le loro proprietà, ma già gettando le basi si dà un'idea di ciò che si sta per introdurre e raccontare. Trovo molto bella la spiegazione che parte dagli insiemi, passando per il piano cartesiano/piano di GAUSS, operazioni coi complessi e, finalmente, la dimostrazione del perché i²=-1. Se devo trovare un difetto, forse sta nel fatto che il video dura quasi un'ora (poco meno di 50 minuti), che può diventare davvero troppo. Ma, ripeto, è proprio dare la caccia al pelo nell'uovo. Detto ciò, se ti va, anch'io ho un piccolissimo canale TH-cam a tema matematica in cui ho dedicato un video a Rafael Bombelli, ideatore dei numeri immaginari e complessi (biografia). Ho anche dato inizio, un anno fa, a una serie di video di matematica, salvo poi fermarmi (al momento, non ho molto tempo da dedicare ai video). Se ti va, mi farebbe piacere sapere cosa ne pensi (non scriverò qui il link per non fare spam. Se vuoi, posso dartelo in privato, così da non pubblicarlo qui in cui non dirò neppure il nome del canale). Ciao e grazie ancora!
Grazie mille per il gentile riscontro, che provenendo da un docente non puo' che farmi piacere piu' del normale! Per quanto riguarda la durata: facciamo finta sia una lezione a scuola 😁 Mandami pure il link del tuo canale, lo metto in descrizione.
@@ingegnereqbquantobasta grazie! Mi diresti dove posso inviarti il link? Ti avevo risposto stamattina, ma, evidentemente, il mio cellulare non deve aver inviato la risposta.
Molto bello. Ricordo bene che toccò all'insegnante di elettro all'ITIS, introdurre con fatica questo argomento che forse lo fece sudare freddo. Ma credo che tutti, più o meno capimmo la necessità di usarne l'artificio teorico. Capire il concetto di ritardo, in un evento periodico, e scoprire che graficamente si può utilmente spiegare in tali termini, ha un fascino profondo, necessario a costruire un tipo di mentalità ad hoc, utilissima anche in tutti gli anni successivi a quel momento. Aggiungo che YT mi ha fatto conoscere solo oggi questo ottimo lavoro.
C'e' da dire che studiare e conoscere l'elettrotecnica puo' aiutare a dare un senso a questo nuovo oggetto, almeno se ne vede una delle tante applicazioni. Grazie mille per l'apprezzamento 😁
Ciao sono un prof di diritto ed economia (quindi due materie umanistiche) che si è appassionato tanto tempo fa alla matematica pur non essendo portato per essa. La didattica delle discipline scientifiche andrebbe rivoltata come un calzino. Bravo e grazie della rigorosa semplificazione all'osso, utile per andare avanti
Mi è piaciuto molto l'esempio delle scatole :-) Complimenti. Una spiegazione ancora più affascinante è quella mediante l'Identità di Eulero. Se "i=(0,1)=1*exp(j*pi/2)" è il versore dell'asse immaginario, allora "i*i=exp(j*pi/2)^2=cos(pi)=-1" è il medesimo versore, ma ruotato di +90°, e che quindi ricade nell'asse reale nel punto (-1,0).
Grazie 😁 Si' ovviamente e' molto bella l'identita' di Eulero, soprattutto se scritta in forma esponenziale (che poi e' appunto la base teorica del calcolo coi fasori)
Grazie per averci dedicato del tempo. Mi chiedo, ma se alla fine di calcoli complicati trovo come risultato un numero complesso, lo posso usare oppure so solo che esiste una soluzione, ma non la posso tramutare in una quantità "producibile" nella realtà? Mi spiego meglio... So che cosa è una mela, 2 mele, mezza mela ma 1 mela + 2 mele*i? Che ci faccio? Grazie mille.. saluti
Con un numero complesso di mele non ci si fa niente 😁 A volte le astrazioni matematiche non sono direttamente applicabili alle situazioni di tutti i giorni. Nemmeno pigreco mele, cioe' usare per contarle un numero irrazionale, avrebbe senso 😄 Pero' se deve calcolare la diagonale di una stanza potrebbero servire, anche se nessun geometra/architetto/ingegnereedilcivile presenterebbe mai un progetto con scritto "radicedidue metri". Diciamo che nella maggior parte delle applicazioni quotidiane, o meglio, nelle applicazioni quotidiane della maggior parte delle persone (le due frasi sono profondamente diverse!) bastano e avanzano le frazioni, somma, differenza, moltiplicazioni e divisioni. Ma se le sue occupazioni quotidiane prevedono l'elaborazione di nuove teorie per cercare la natura quantistica della gravita', le normali operazioni e i numeri che ci sono piu' familiari non bastano piu', perche' la realta' fisica che si tenta di descrivere e' talmente profonda che ci vuole ben altro.
perdonami la mancanza della base necessaria a evitare questa richiesta di chiarimento,ma perché visto che la moltiplicazione in questo contesto segue regole differenti da quelle classiche ,il concetto di quadrato di i viene usato in maniera classica? cioe il quadrato di un numero è il numero moltiplicato " normalmente " per se stesso,ma qui non è inteso cosi per cui perché lo si chiama quadrato? e geometricamente si potrebbe spiegare? probabilmente per chi è padrone della materia la domanda non ha senso..
Non c'e' nulla da perdonare su una richiesta di chiarimento, perche' una richiesta di chiarimento e' sempre apprezzata! Ma ci mancherebbe! 😊 Il quadrato di un numero e' sempre quello: moltiplicare due volte per se' stesso il numero. E' solo la moltiplicazione che e' definita in maniera differente, ma il significato di potenza e' sempre quello. Questo non ti deve stranire, perche' dopotutto anche in altri tipi di numeri le moltiplicazioni hanno definizioni differenti, ma l'elevamento al quadrato significa sempre moltiplicare un numero per se' stesso (e in generale rimane invariato anche il significato di potenza ad esponente naturale, la classica potenza insomma). Geometricamente, in sostanza, la moltiplicazione tra due complessi equivale a ruotare rispetto al centro del piano di Argand-Gauss (che e' sempre il piano cartesiano poi) i punti che rappresentano i numeri complessi. E se servono altri chiarimenti, o dei chiarimenti sui chiarimenti, non fatevi scrupoli a chiedere!!!
Mi permetto di fare un’integrazione alla spiegazione che viene data del prodotto tra numeri complessi attorno al minuto 27:00. Sappiamo che moltiplicare un numero per un numero reale significa “ripetere” il primo tante volte quanto vale il secondo; utilizzando la definizione che si è data di somma tra numeri complessi ne segue che (a,b)(c,0)=(ac,bc). Venendo all’interpretazione grafica che se ne dà nel video, significa partire dall’origine e muoversi c volte di (a,b) usando come riferimento l'asse reale. Siccome abbiamo detto che i numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali al di fuori della retta reale, viene naturale interpretare la moltiplicazione (a,b)(0,d) come movimento dall’origine di d volte (a,b) prendendo questa volta come riferimento l'asse immaginario (significa ruotare il foglio di 90° in senso orario). Ne segue che (a,b)(0,d)=(-bd,ad). Tutto è più chiaro facendo qualche disegno ;) Sfruttando il fatto che come diretta conseguenza della proprietà distributiva (a,b)(c,0)+(a,b)(0,d)=(a,b)[(c,0)+(0,d)]=(a,b)(c,d), combinando i due risultati ottenuti è immediato definire (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad).
L'approccio e' interessante, ma non sono sicuro che si possa partire dal concetto di "ripetere" il primo tante volte quanto vale il secondo per i numeri reali, dove le definizioni di moltiplicazioni tra essi sono piu' complicate.
Ci mancherebbe, il mio voleva semplicemente essere uno spunto per visualizzare graficamente il perché di quella formula: è sicuramente una spiegazione molto poco rigorosa. Ahimè il piano cartesiano è nato dopo i numeri complessi e credo che anche storicamente la formula del prodotto derivi proprio da i^2=-1. Sulla questione "ripetere", siccome per i numeri naturali il prodotto è davvero così definito, volendo essere un po' più rigorosi si potrebbe partire da numeri complessi (a,b) con a e b naturali e poi estendere il discorso ammettendo che possano essere reali.
Mi chiedo : se l'asse cartesiano dei numeri immaginari è una retta reale, posso immaginare che lo stesso vale per la retta che passa dall'origine e dal punto (a,b), allora (a,b) rappresenta un numero complesso o "soltanto" reale ?
Risposta parzialmente rigorosa: il numero (a,b) e' proprio un numero complesso "completo", perche' ha sia la parte reale che la parte immaginaria "mappata sull'asse verticale". Risposta rigorosa: l'elemento (a,b) di R^2 e' un numero complesso date le definizioni di somma e prodotto come raccontate nel video. L'equivoco nasce dal fatto che i numeri complessi partono come coppie di numeri reali nella definizione; potremmo dire, usando un linguaggio non rigoroso, che sono nuovi numeri definiti tramite numeri che esistono gia', e non nuovi numeri aggiunti come quando si passa dai razionali agli irrazionali. Perdonami il bisticcio detto, ma certi concetti e' veramente difficile esprimerli a parole 😅
@@ingegnereqbquantobasta Accetto l’idea che i numeri complessi servono a qualcosa (sono stato ingegnere QB anch’io). Ma rimanendo nel quadro della tua spiegazione non vedo perché la retta che passa e per (a,b complesso) sia diversa degli assi cartesiani che secondo quello che dici sono rete che « contengono » solo numeri reali. Dopotutto sistemi di riferimento non cartesiani (per ex. Riferimenti polari) esistono e sono utili. Grazie comunque per la risposta 🫢
@@riccardobrachi7768 Adesso la questione e' piu' chiara: dato che la definizione dei numeri complessi comincia dagli elementi di R^2, diciamo quindi semplicemente una coppia di numeri reali, allora qualunque punto del piano e' una coppia di numeri reali, qualunque retta che passi da qualunque punto e' fatta da coppie di numeri reali, cosi' come qualunque curva o altro luogo geometrico. Questa pero' e' l'interpretazione geometrico-visiva di R^2. Se lo consideri come semplice insieme allora l'interpretazione che ne dai e' quella classica da geometria piana/analitica. Quando pero' a quelle coppie appiccichi la definizione di somma/prodotto di cui parlo, quell'insieme non e' piu' R^2, ma C, i suoi elementi sono i numeri complessi e la struttura algebrica che assume e' diversa da R^2, tant'e' che lo stesso oggetto, cioe' due rette verticali orientate, si "deve" chiamare piano di Gauss (anzi, di Argand-Gauss). Insomma e' un po' come dire che H2O e' si' fatta da H e da O, pero' e' acqua, che e' un'altra cosa con proprieta chimico-fisiche differenti dai suoi costituenti presi da se' 😁
Bravissimo, grazie. Nessuno mi aveva mai spiegato questi meccanismi in modo così dettagliato. Ora manca solo la spiegazione del perché il prodotto tra numeri complessi ha quella formula. 😅
Grazie per l'apprezzamento. 😁 E' probabile che quella definizione di moltiplicazione derivi dal fatto che la definizione moderna (quella che ho fornito) si basa comunque sull'impostazione "vecchia", nella quale comunque si utilizzava il prodotto (a+ib)*(c+id) nella consueta forma algebrica, e che viene eseguito con la classica regola che c'e' tra i polinomi. Se non e' chiaro, approfondisco 😉
@@ingegnereqbquantobasta La definizione della moltiplicazione per numeri complessi è data come estensione di quella per i reali, e deve coincidere con quella già nota quando i due numeri complessi da moltiplicare siano reali
Il riassunto del video è: i numeri complessi possono nascere come estensione algebrica di R. Questa estensione si chiama C, è un campo e contiene R (per costruzione). PS: non tutti gli insiemi costruiti a partire da numeri reali tali che ci sia almeno un elemento i con la relazione i^2=-1 sono C (vedi i quaternioni o più banalmente gli interi di Gauss). Aggiungo per chi se lo stesse chiedendo che di solito non è possibile dare una spiegazione più "intuitiva" di quella data nel video perchè le esigenze "pratiche" (si fa per dire) da cui nascono questi numeri sono esse stesse teoriche e astratte. Per cui, benchè la spiegazione non sia tanto originale, trovo che sia ben fatta e la più "didattica" possibile per non matematici. I calcoli si imparano meccanicamente a scuola perchè i "numeri" complessi si prestano bene ad essere considerati appunto dei numeri e godono di proprietà di campo che estendono bene quelle di R al prezzo di una piccola regoletta da memorizzare i^2=-1. Si può fare di peggio (quaternioni) ma grosso modo siamo lì. Perchè si studiano solo i numeri complessi (dopo R) allora? Perchè si prestano bene per farci cose "utili" nelle applicazioni (vedi analisi di Fourier). Io credo che qualsiasi intuizione si possa avere dei numeri complessi non possa essere concreta o essere nella vita di tutti i giorni. Eventuali analogie con la vita di tutti i giorni sarebbero più complicate di quello che si prefiggono di semplificare.
Grazie per il commento! Non so se la mia spiegazione sia la piu' intuitiva possibile. Sicuramente la cosa buffa e' che, pur non essendo particolarmente originale, risulta tale a molti per via del fatto che non si parte dal solito i^2=-1...
@@ingegnereqbquantobasta il mio "non è originale" era da intendersi che non solo io non avrei saputo fare meglio, ma secondo me non sarebbe possibile proprio farlo. Quindi non come una mancanza. L'originalità spesso è considerata qualcosa di indispensabile ma questo è uno degli esempi (secondo me) dove la chiarezza è più che sufficiente e il suo video l'ho trovato molto chiaro. Come secondo me dovrebbe essere. Francamente non so come si potrebbe essere originali nello spiegare i numeri complessi e nemmeno me l'immagino.
@@awakedreamer1859 Avevo capito 😅 Intendevo dire che il mio modo poco originale in realta' lo diventa in confronto alle maniere astruse che spesso si adottano per introdurli ☺
@@ingegnereqbquantobasta immagino. Spesso si tende a considerare troppo poco perspicaci gli studenti e si evita di farli ragionare per non metterli alla prova. Però il tuo approccio obbliga lo studente a capire e può risultare "noioso" a qualcuno. Ma io credo nel tuo approccio ed è quello che faccio anche io. Per chi sa accoglierlo credo sia quello che dà più soddisfazioni intellettuali.
@@awakedreamer1859 Concordo in toto, e aggiungo che spesso mi pare che si eviti di farli ragionare anche per "pigrizia lavorativa". E' piu' facile e decisamente meno faticoso fare la lezioncina formalmente corretta: ce la si sbriga in pochi minuti e tecnicamente si e' inattaccabili...
Premetto che sono principiante nel campo, bensì mi affascini molto la matematica, ahimè mi rendo conto quanto sia difficile per me, ma mi permetti un'osservazione circa il calcolo dell'esempio prodotto di numeri C => 4*7=28 e 28-6= 22 o probabilmente sbaglio e non ho capito proprio nulla?
@@ingegnereqbquantobasta ok, devo farle però i complimenti per come spiega! ...e un video su studio di funzioni trascendenti lo potrebbe fare?= sarebbe top🙌
@@NunziaPerrotti-o4h Prima o poi arriveranno anche gli studi di funzione. C'e' da dire che e' impossibile scegliere una funzione che sia esaustiva di tutti gli aspetti che possono venire fuori per tracciare il suo grafico. In sostanza: non e' possibile fornire un esempio che copra tutti i casi possibili!
Sono un collega molto, ma molto più avanti negli anni di te. Accetta i miei più sinceri e grandi complimenti per il modo, didatticamente superlativo, in cui in questo video tratti i NUMERI COMPLESSI. Tra l'altro, prima della pensione, sono stato, per anni, tra i banchi delle classi terminali di un Istituto Tecnico Industriale come docente di ELETTROTECNICA e i numeri complessi erano lo strumento (ed il mezzo matematico) per rappresentare (e trattare) le "grandezze elettriche ALTERNATE". Ricordo il supporto a cui ero costretto per integrare le conoscenze matematiche degli alunni nelle lezioni introduttive dei circuiti in c.a.. Scusami lo sfogo, ma ho sentito il bisogno di felicitarmi con te. Chissà se i prof di matematica incontreranno questo tuo "illuminante" video e si soffermeranno sulla tua trattazione?. Di nuovo COMPLIMENTI!!!!!!!!
Salve prof. Accetto i complimenti con vero piacere, soprattutto da un collega che dimostra di non vedere "concorrenza" negli altri, ma solo supporto ❤ Grazie veramente per le belle parole 😊
Video eccellente e utilissimo, grazie, ne trarrò spunto quando spiego questo argomento. Un piccolo commento su quando dici che [19:35 circa] che hanno deciso di chiamare così la componente immaginaria "con un po' di fantasia". Penso che la ragione sia molto semplice: la componente reale rappresenta tutto quello che serve per descrivere una grandezza fisica concreta, misurabile in senso tradizionale, cioè quel che serve per rappresentare la "realtà", l'estensione immaginaria invece è un artificio meramente matematico. In fondo la matematica è un formalismo per rappresentare quello che esiste, e quello che esiste ha bisogno di solo quattro grandezze fondamentali per essere rappresentato: tutte e quattro sono grandezze "reali"; per contrasto quello che è fuori dalla retta "reale" è... "immaginario" (ho sentito usare anche "irreale").
Che i miei contenuti possano essere di ispirazione per altri docenti e' una notizia davvero meravigliosa, grazie! 🥰 Per quanto riguarda la nomenclatura "immaginaria": sono stati pessimisti, perche' in realta' anche gli immaginari sono rappresentativi della realta' fisica (stando attentissimi a cio' che si intende per realta' fisica, anche perche' ancora non e' chiaro...) 😅
Bho io ringrazio tanto tanto. Ho 53 anni e i numeri complessi sono una delle cose che non avevo mai capito veramente alle superiori. Poi la vita mi ha allontanato da questi temi. Adesso finalmente ho capito, più di 30 anni dopo. Appunto, grazie :-)
Mi permetto di aggiungere quanto segue. Per passare da un insieme di numeri al più piccolo di quelli che lo contengono si fa uso delle coppie ordinate: l'insieme Z è isomorfo NxN, Q è isomorfo ZxZ e C è isomorfo RxR. Il passaggio da Q a R è un po' più complicato perché si esce dagli insiemi numerabili.
@@AttilioLesilio A me si, soprattutto quando divaga. Sara' per quello che divago anche io, e qualcuno qui non lo sopporta: pazienza, a volte si impara piu' dalle divagazioni che dalla linea principale 😁
Pensi : non ho bisogno di spiegazioni io, 72enne, che al Liceo aveva sempre il 3/4 k in materia, con espresso di approfondimento universitario. Anche il tabù dei numeri complessi..l'ho risolto. A me Lei pare proprio un ottimo docente . Bravo
Grazie, finalmente mi sono chiarito le idee su questo aspetto della matematica. Un plauso alla chiarezza della spiegazione adatta anche ai comuni mortali.
Nooo, gli studenti sono bravissimi a inventarsene sempre di nuove!!! 😂😂😂 Il segreto sta nel dirottare la loro creativita' naturale verso cose piu' nobili.
Se ho capito.... Quando parlo di un numero complesso, parlo di un numero espresso da una parte immaginaria e una parte reale! Quindi devo sempre associare ad un reale un numero che esprime una variazione ad esso associato, magari negativo!
Piu' semplicemente, i numeri complessi, se vogliono essere un'estensione dei reali, devono estendersi nella seconda dimensione, perche' nella prima "il posto e' finito"
Buongiorno a lei, le scrivo per un dubbio che mi è sorto: ho notato che, graficamente, eseguire il prodotto (0;1) * (a;b) equivale a "ruotare nel piano, di 90° in senso antiorario", il numero complesso (a;b). Infatti (0;1) * (a;b) = (-b;a) [il numero complesso (a;b) ha "ruotato di 90° in senso antiorario] ora, moltiplicando ancora (0,1) per il numero complesso appena ottenuto (-b;a) si ottiene: (0;1)*(-b;a) = (-a;-b) [che è, ancora, graficamente, una ulteriore rotazione di 90° in senso antiorario, cioè una rotazione "totale" di 90°+90° = 180° antiorari], moltiplicando una terza volta (0;1) per il numero complesso precedentemente ottenuto (-a;-b) si ottiene:(0;1)*(-a;-b) = (b;-a) [che è, ancora una volta, graficamente, una rotazione di 90° antioraria: avendo fatto tre moltiplicazioni, ho ruotato, in totale (a;b) di 90°+90°+90°= 270° in senso antiorario] una quarta moltiplicazione (0;1) per l'ultimo numero complesso ottenuto (b;-a) ci dà: (0;1)*(b;-a) = (a;b), che ci "riporta" al punto di partenza. [d'altronde, avendo fatto quattro moltiplicazioni, ho ruotato (a;b), in totale, di 90°+90°+90°+90°= 360° in senso antiorario, cioè un angolo giro] Ora: tutto ciò è semplicemente un giochetto matematico o ha un qualche significato più profondo che, però, mi sfugge? E, se si, perché "ruota" in senso antiorario e non in senso orario? Per quanto riguarda la seconda domanda, ho pensato ad una possibile risposta: l'asse Imm si potrebbe intendere come un asse Re ruotato di 90° antiorari. Ho provato, allora, a far "puntare" l'asse Imm verso il basso, come se fosse l'asse Re ruotato di 90° orari ed, effettivamente, ora la moltiplicazione fa ruotare il numero complesso (a;b) in senso orario... Mi spiace averla importunata con tutto questo sproloquio, ma la colpa è anche "sua": io ero rimasto con "immaginiamo un numero che elevato al quadrato dia -1..." Grazie ancora e buone feste
Ci mancherebbe, nessun disturbo e buone feste anche da parte mia! Prima questione, parte prima: se si tratta di un giochino matematico o di una proprieta' e' anche questione di...interpretazione!! 🤣 Mi spiego meglio (ci provo!): i calcoli che ha fatto sono giusti, perche' veramente premoltiplicare un numero complesso per l'unita' immaginaria, il famoso (0;1), fa ruotare un qualsiasi punto del piano di 90° in senso antiorario. Si puo' far notare la cosa in due modi: 1) usare le equazioni delle trasformazioni in un piano, con le quali si vede che una rotazione di 90° in senso antiorario corrisponde alle equazioni x'=-y e y'=x, dove x e y sono le coordinate classiche di un punto (x;y), e dove x' e y' rappresentano le "coordinate trasformate". In pratica la "nuova x" diventa "la vecchia y del punto col segno opposto" e "la nuova y" diventa "la vecchia x del punto con lo stesso segno"; questo e' esattamente cio' che accade alle parti reali e immaginarie del numero complesso (a,b), che non sono altro che coordinate nel piano, se premoltiplicate appunto per (0;1). Come vede la nuova componente reale dal valore "a" diventa "-b" e la nuova componente immaginaria da "b" diventa "a", quindi il numero complesso (a,b) diventa, come anche dai calcoli che ha gia' fatto, (-b,a) 2) utilizzare la forma trigonometrica o la forma esponenziale di un numero complesso, moltiplicare i due numeri (0;1) e (a;b) utilizzando questa forma (tra l'altro e' molto piu' comodo...) e notare che una importantissima caratteristica dei numeri complessi, cioe' quello che si chiama Argomento, viene aumentata di 90 gradi. Cos'e' l'Argomento di un numero complesso? Nella definizione classicissima, e' l'angolo che il segmento che va dall'origine del piano al punto che rappresenta il numero complesso forma con l'asse Reale. Dopo questo calcolo si puo' notare che l'Argomento del numero che risulta dalla moltiplicazione, e' aumentato di 90° rispetto al "vecchio" numero (a,b). Cioe' il punto e' ruotato di 90° in senso orario. Prima questione: parte seconda. Perche' allora parlo di interpretazione? Perche' spesso le grandezze matematiche, e i """pastrocchi""" che ci si fanno sopra, vengono utilizzate per rappresentare cose che, magari, non erano certo nelle intenzioni dello scopritore del nuovo-oggetto-matematico 🤭 Una su tutte, che mi e' particolarmente cara: la rappresentazione di correnti e tensioni che oscillano (per i precisetti: rappresentazione di grandezze elettriche in regime sinusoidale) viene fatta usando i numeri complessi e le loro operazioni (non sembra ma e' comodissimo!). Quando hanno iniziato a rovistare nei numeri complessi a momenti non sapevano neanche che c'erano gli atomi, figuriamoci le grandezze elettriche associate a spostamenti di elettroni... 😏 Eppure tornano utilissimi proprio grazie a quel collegamento tra le loro operazioni e cio' che succede proprio a livello geometrico. Quando parti della matematica apparentemente "separate" si incontrano, i matematici si commuovono (e hanno ragione!). Seconda questione: perche' non in senso orario? La risposta sta nel punto 2 😁 Il tutto, come al solito, un pochettino romanzato e con nessuna pretesa di rigore "filologico".
viene un giro di 90 gradi solo perche i matematici anno deciso di prendere i²=-1, alcuni matematici per risolvere alcuni problemi matematici di numeri interi hanno usato il numero complesso n⁶=-1 in cui n=1/2+i•(√3/2), veniva n=30° e portava comunque
Ciao Flavio, hai colto dritto nel punto fondamentale per capire i numeri complessi. L'ingegnere ha fatto un gran lavoro ma si sarebbe semplificato di molto la vita se fosse partito dalle coordinate polari di un numero complesso P[r, alfa] dove r (coefficiente di dilatazione) è la lunghezza del segmento e alfa (argomento) è l'angolo che forma con la retta x del piano cartesiano. Tagliando corto: il prodotto tra due numeri complessi in forma polare vuol dire sommare gli argomenti e moltiplicare i coefficienti di dilatazione. Quindi: [1, 90°] * [1 ,90] = [1*1, 90+90] = [1,180°] che sarebbe il numero reale -1. Cioè i numeri reali sono i numeri che hanno argomento 0 o 180 gradi o un multiplo di 180 gradi
Ok, anzitutto ti ringrazio per la risposta, ma vorrei chiederti ancora se c'è la possibilità di arrivare a sapere/capire quale è stato il ragionamento che ha portato i matematici a definire quel prodotto in quel modo apparentemente dogmatico. Io purtroppo ho difficoltà a prenderlo per buono solo perché mi dicono che funziona, non mi piace l'idea di doverlo imparare a memoria, domani lo avrei già dimenticato, ho una memoria pessima.
Non c'e' da soprendersi, in matematica ci sono le definizioni assiomatiche. Pensa agli assiomi della geometria euclidea: si prendono per buoni principi di base non dimostrati, ma non e' un'eresia, mi creda. Semplicemente si pongono "le regole del gioco" 😁 Pero' prometto che faro' una ricerca in merito, ve lo devo 😊
I numeri non esistono. La matematica è una astrazione assoluta che parte da alcuni assiomi e sviluppa una teoria coerente con gli assiomi iniziali. Il dogma pretende di essere verità mentre l'assioma non pretende di essere verità. L'unico obiettivo della matematica è la coerenza logica. I fisici poi utilizzano la matematica per approssimare i fenomeni naturali attraverso dei modelli (matematici appunto).
Bravissimo nella spiegazione professore! Però purtroppo volevo solo sapere da cosa derivasse quella maledetta moltiplicazione...è da mesi che cerco una spiegazione ma non trovo nulla, neanche un motivo dietro quella "definizione". Aspetto comunque un vostro parere! Grazie in anticipo!
Potrebbe anche solo essere un "perche' funziona" 😂 Non saprei, ho provato a cercare qualcosa qua e la' ma non ho trovato molto. Dovro' approfondire perche' e' interessante.
Direi che deriva dalla rappresentazione in forma algebrica dei numeri complessi. Un numero complesso può essere scritto come: a+bi (forma algebrica), dove 'a' e 'b' sono numeri reali e 'i' è l'unitá immaginaria. Ora avendo due numeri complessi: a+bi, c+di, il prodotto è definito come segue: 1. (a + bi)*(c + di) 2. a*c + a*di + bi*c + bi * di [ prop. Distributiva ] 3. a*c + a*di + bi*c + (-1 * b*d) [ i*i = -1 ] 4. a*c + a*di + bi*c - b*d 5. a*c - b*d + a*di + bi*c [ prop. Commutativa ] 6. a*c - b*d + (a*d + b*c)i [ raccoglimento parziale ] Riportando in coordinate cartesiane: (a*c - b*d, a*d + b*c)
@@patrikcavina8994 perfetto,grazie! Quindi non è altro che un modo per far valere la prop distributiva e commutativa anche per i numeri complessi giusto?
Perché rende R^2 un campo (cioè un insieme con le due operazioni che verificano gli assiomi dell'algebra, commutatività, associatività e distributività); inoltre, questa operazione di moltiplicazione è l'unica che la rende un campo (non ne esistono altre che lo rendono tale).
Ciao, grazie del video, ho una domanda, sembra che moltiplicare per "i" ti porta dalla prima dimensione alla seconda, mi chiedo se si possa fare lo stesso per passare dalla seconda all terza poi dalla terza alla quarta e via così? Mi spiego meglio,, per uscire dalla prima dimensione (che è una linea R) abbiamo moltiplicato per "i" e geometricamente sul piano Gauss siamo girati di -90 gradi rispetto alla prima dimensione, quindi mi chiedo se si possa definire una nuova componente "j" "Immaginaria!" con cui moltiplicare allo stesso modo per definire la terza dimensione? che geometricamente sarà girata sempre di -90 gradi rispetto alla prima e la seconda dimensione? E la quarta dimensione non possiamo più interpretarla geometricamente, possiamo solo provare ad immaginare! tipo una retta che gira continuamente ed interrottamente attorno all'origine O della terna tridimensionale perché non trova una posizione dove è perpendicolare alle tre dimensione, e questa retta che rappresenta la quarta dimensione gira solo in un senso rispetto a ciascuna delle asse delle tre dimensioni , (antiorario come si fa quando si moltiplica per "i" , e per questo che nella dimensione del tempo andiamo solo in una direzione). Cosa ne dite?
Non hanno moltiplicato per i per introdurre la seconda dimensione, si sono semplicemente accorti che R2 poteva risolvere il problema del fatto che alcune funzioni polinomiali non avevano soluzioni in R. C in
Diciamo che moltiplicare per "i" non e' esattamente "ti porto nella seconda dimensione". E' solo un simbolo per un oggetto matematico che di dimensioni ne ha gia' due,e che ha conti fatti e' molto comodo nei calcoli usando la notazione algebrica. Magari ci faro' un video piu' avanti per spiegare perche' i complessi si definiscono in quel modo, ma di fatto si usano con altre notazioni. Per quanto riguarda la proposta di "andare in piu' dimensioni con altri numeri e altri simboli di unita' immaginaria", l'idea e' espressa in maniera un po naiv, ma non e' colossalmente lontana da quello che accade coi quaternioni (si salta direttamente a 4 dimensioni). Insomma a livello ultradivulgativosemplificatoalmassimodicendocoseperdaresolounavagaidea ci puo' stare, ma non di piu' 😆
Molto interessante, molto chiaro. Mi piacere solo approfondire il perchè le moltiplicazioni su numeri complessi si facciano proprio in quel modo... o come si sia arrivati a deciderlo.
Grazie mille! Al momento non ho trovato fonti che lo confermino, ma potrebbe essere semplicemente perche', nella loro primissima definizione, si era gia' definita la moltiplicazione di (a+ib)(c+id) tramite le regole di moltiplicazione di polinomi, e nella nuova definizione si sono mantenute il risultato della parte reale e di quella immaginaria.
Interessante video. Mi viene una domanda: esiste una qualche situazione nella quale i numeri complessi non saranno più sufficienti e sarà necessario aggiungere anche la 3a dimensione? Inutile dire, lo si capisce dalla domanda, che non sono certo un matematico!
Fantastico! Perchè non ti ho avuto alle superiori? :) Davvero, complimenti per queste spiegazioni, ho finalmente capito perchè i numeri complessi vengono usati poi nella fisica vettoriale, grazie!
Perche' sono troppo giovane per essere un prof! No scherzo, sara' colpa del destino 😂 Comunque grazie davvero per i complimenti e di essere stato utile😊
Ciao perchè la moltiplicazione deriva da quello? E come gli è venuto in mente di usarlo nei fasori? Sono uno studente di ingegneria e Sembra comodo ed intuitivo usare j\omega, però questa cosa della moltiplicazione sarei contenta di vederla approfondita
Per quanto riguarda la moltiplicazione: non ho ancora trovato fonti storiche confermate, ma probabilmente la spiegazione e' dovuta alla moltiplicazione dei complessi nella loro forma algebrica (a+ib)(c+id), dove appunto le parti reali e immaginarie vengono fuori ac-bd e ad+bc. Non dimentichiamo che quella che ho dato e' la definizione moderna, ma i complessi esistevano gia' da ben prima. Nel mondo dell'elettrotecnica (e quindi anche elettronica), si usano i fasori per rappresentare le grandezze sinusoidali sfruttando il fatto che moltiplicare per j equivale a ruotare di 90 gradi. E dato che correnti e tensioni nei condensatori e negli induttori sono sfasati di 90 gradi, risulta praticamente naturale rappresentare tensioni e correnti su di essi tramite i complessi. Questa e' la versione breve, la versione lunga la trovi in qualunque libro di elettrotecnica
Se avessi avuto un professore come te, al Liceo, oggi sarei kaureato in matematica, perché, pur non capendoci un tubo, sono sempre stato appassionato, anche se detto da un umanista può apparire strano. Complimenti, voglio iscrivermi alla tua pagina. 👍
Grazie per l'iscrizione e per i complimenti! Non e' affatto strano, ad esempio io di recente mi sto appassionando di filosofia; il sapere umano in realta' e' parecchio interconnesso 😁
@@Joe.Cash72 Ok chiaro. Vediamo se riesco a farci un video, pero' per darti una pre-risposta sulla questione, si puo' dire che un campo e' un insieme sugli elementi del quale definisci due operazioni (che chiamiamo tipicamente somma e prodotto), binarie (cioe' che vengono fatte tra due elementi dell'insieme), interne (cioe' il cui risultato e' ancora un elemento dell'insieme), e che godono delle classicissime proprieta' commutativa/associativa ecc e per i quali elementi esistono quelli che si chiamano: opposto, reciproco e elemento neutro, che sarebbero, nel caso dei classici insiemi numerici che ben conosciamo, 0 e 1, perche' sommando 0 non cambia nulla e perche' moltiplicando per 1 nemmeno.
@@ingegnereqbquantobasta e per i complessi vale la definizione di campo ordinato? Non so se sia attinente questa domanda ad un insieme a due dimensioni
Arrivare a quasi 40anni per dare finalmente un senso alla i. Per come è stata spiegata a me, la si prendeva per buona e avanti col prossimo argomento. Grazie. Ma a questo punto sono curioso riguardo quei numeri che si estendono su altre dimensioni (come é stato accennato alla fine del video)
Eh eh eh... Purtroppo devo risponderti "non saprei". Al tempo in cui me la insegnarono non e' stato approfondito, e della cosa non me ne sono interessato. Faro' qualche ricerca, oppure spero che un matematico gentile passi da qui e ce lo spieghi 😁
Penso sia semplicemente stata inventata affinché i al quadrato facesse -1. Questo video segue il processo formale in cui si definiscono i numeri complessi, ma la matematica nasce quasi sempre “a rovescio”. Definisco concetti elementari leggermente astrusi in modo che diventino ricavabili le cose che mi sono familiari. Se vuoi farti una scorpacciata di esempi di questo tipo, vatti a vedere gli assiomi della teoria degli insiemi.
@@GianlucaUK insomma, un po' come dire "l'abbiamo inventata cosi' perche' funziona", cosa per altro che ho sempre sospettato, e, forse, e' sempre in agguato 😆 Grazie per il contributo!
@@ingegnereqbquantobasta Non ho scritto per fare il saputello. I numeri complessi sono un argomento molto affascinante perché pur essendo un’identità estremamente astratta (al contrario dei reali, che fanno parte della vita di tutti i giorni) riescono ad essere utili a risolvere problemi concreti. Ovviamente, sviluppando la teoria dei numeri complessi, si parte dagli assiomi e si arriva al teorema fondamentale dell’algebra. Proprio perché si tratta di un’entità astratta credo che in realtà si siano costruiti gli assiomi in modo da ottenere il teorema fondamentale dell’algebra. Leggendo su Wikipedia un articolo sulla storia dei numeri complessi, vedo che il nocciolo della questione iniziale erano le soluzioni delle equazioni polinomiali. Quello che è venuto dopo lo trovo straordinario, perché tutta la parte geometrica con l’introduzione della trigonometria e le relazioni che legano il numero di Nepero a pi greco è di una bellezza che sfocia quasi nel mistico :)
@@GianlucaUK beh insomma, anche gli irrazionali destano parecchia meraviglia la prima volta che si incontrano. Poi ci si abitua, come per i complessi. P.S. Non sospetto minimamente che tu voglia fare il saputello, qualunque contributo e' il benvenuto.
Naturalmente Geogebra prima o poi saltera' fuori in qualche video, purtroppo pero' mi son dovuto fermare nel produrre contenuti per causa di forza maggiore (molto lavoro e questioni gravi familiari). Spero di riprendere a fine scuola...
Non mi è chiaro del perchè servivano altri numeri e quindi si sono “inventati” i numeri complessi. Solo per rispondere alla domanda “quale numero elevato ad una potenza pari da un numero negativo”?
Naturalmente non e' questo il solo motivo della loro scoperta, ma...quasi! Naturalmente, come per altro tantissime parti della matematica, hanno trovato applicazioni successive in innumerevoli situazioni. Due su tutte: rappresentazione di grandezze elettriche e meccanica quantistica.
Il numero da elevare alla seconda, per esempio, per ottenere un numero negativo è appunto propio ì. Introdotto per risolvere equazioni del tipo : x^2+1=0. Ciao
per risolvere le equazioni di terzo grado con la loro formula si sono accorti che c'erano radici quadrate di numeri negativi in un passaggio ma che si eliminavano e portavano alla giusta soluzione...dunque facendole esistere si arrivava alla soluzione
Sono stati introdotti come entità appunto convenzionale, "immaginarie" , nel 400 per rappresentare i^2=-1 e servivano per risolvere equazioni... studiando poi i vettori e le carte a fine 700 ci si è resi conto che ruotare un versore nel piano di 90 gradi equivaleva a trovare un'entità che, in un senso ben preciso, era proprio la radice quadrata di -1... Da qui la formalizzazione di i e dei numeri complessi come numeri a 2 componenti... la questione cruciale sta qui e speravo fosse trattata nel video per dare l'idea intuitiva del PERCHÈ i=(-1)^1/2 In pratica se hai il vettore (1,0) e lo moltiplichi per -1 ottieni il suo opposto (0,-1) ruotato di 180 gradi. Se consideri invece il vettore (0,1) ruotato di 90 gradi ( antiorari) finisci sul punto (1,0) cioè sull'1 dell'asse y. Ruotando ancora quest'ultimo vettore di 90 gradi (antiorari) finisci in (-1,0). Ma se in (-1,0) ci finisci ruotando di 180 gradi cioè ruotando 2 volte di 90 gradi allora ruotando 1 sola volta il vettore (0,1) devi aver trovato un punto che è la radice quadrata di -1 sull'asse y: ecco che tale asse del piano reale fu collegato alla i convenzionale del 500 e divenne l'asse "immaginario" anche se da quel momento di immaginario c'era poco dato che si era ottenuta una chiara rappresentazione geometrica per cui la scrittura i^2=-1 aveva un senso... detto così non si capirà lo so, ma questa fu l'intuizione che portò alla costruzione del campo C 😅😂 ed ai suoi usi in fisica dovuti al genio di Eulero ( i numeri complessi sono collegati intimamente alle rotazioni, a seni e coseni tramite lo sviluppo in serie di e, quindi sono essenziali per descrivere fenomeni naturali caratterizzati da moti periodici... onde meccaniche, elettriche, molle... approssimazioni locali di punti di equilibrio stabile in campi potenziali scalari... )
14.48 circa a parte confondere terza dimensione con seconda, effettivamente se con i aggiungiamo una seconda dimensione ai numeri R nula vieta di immaginare di aggiungere una terza e poi si anche una quarta dimensione e poi ancora. un bellissimo spunto grazie
No non e' che io abbia confuso 2 o 3 dimensioni, e' che stavo veramente per partire per la tangente con discorsi di tipo relativistico e mi sono frenato appena in tempo, sbandando un po' 🤭 Naturalmente matematicamente non c'e' nessun problema a trattare con n dimensioni, pero' nella realta' fisica (classica) di tutti i giorni ci si muove in 3D, e se finiamo lo spazio in una stanza bisogna iniziare a riempirne un'altra (che non vuol dire andare nella quarta dimensione come qualcuno ha sostenuto 😁)
Forse e' un po' troppo divulgativa per un corso all'universita', ma qualche cenno al motivo per il quale sono stati introdotti e una piccola interpretazione non guasterebbe 😅 Dimenticavo: ovviamente grazie per i complimenti 😊
Ciao, scusami, ho aperto il video per vedere in che modo li spiegassi, ma essendo all'università, 50 minuti solo "per curiosità" sono decisamente troppi, ma vedendo i commenti sono sicuro li avrai spiegati in maniera egregia. Solo una domanda, nei primi secondi dici che è stata rotta la differenza di quadrati, perchè?
Se sei gia' all'universita' forse non hai bisogno di un video di questo tipo ☺ Dico che hanno rotto la differenza di quadrati per non dire che hanno rotto qualcos'altro... 😌
trovo particolarmente interessante il ragionamento in base a cui giungiamo alla conclusione che la rappresentazione dei numeri complessi richiede una dimensione in più per la loro rappresentazione grafica, in quanto questa cosa può avere delle implicazioni in fisica. Se vivessimo in un universo monodimensionale in base a tale ragionamento i suoi abitanti capirebbero che esiste una seconda dimensione a loro non accessibile. Viene ovviamente da chiedersi se noi che viviamo in un universo tridimensionale possiamo, con ragionamenti analoghi, giungere alla conclusione che esiste una dimensione aggiuntiva per noi non accessibile.... da questa prospettiva i numeri immaginari, più che immaginari andrebbero considerati come numeri extradimensionali
Attenzione che sul discorso "mondo a 1,2,3 dimensioni" si rischia di fare un po' di confusione su quello che si intende in maniera colloquiale e cio' che si intende a livello matematico. Ci sono delle analogie ma non sono la stessa cosa. I numeri complessi sono oggetti a due dimensioni, ma non sono direttamente collegati alle dimensioni geometriche per come le intendiamo nel quotidiano 🤗 Per altro noi viviamo in un mondo tridimensionale (trascuriamo il fatto che ci sarebbe anche il tempo, e trascuriamo pure le dimensioni previste da alcune teorie fisiche che arrivano tranquillamente a 26), ma non c'e' nessuna difficolta' a teorizzare spazi a piu' di tre dimensioni e pure a farci delle misure, solo che non sono percettibili dai nostri sensi, almeno, non nel senso comune (di nuovo) del termine
@@ingegnereqbquantobasta Talvolta è una equazione matematica, che correttamente interpretata e trasposta nel mondo reale ci dice cosa va a descrivere. L'universo parla il linguaggio della matematica, non sappiamo perchè è così ma è così
Sei veramente bravo! Potresti fare un video o più di uno in cui spieghi con lo stesso approccio i requisiti per affrontare l’esame di analisi nella facoltà di ingegneria?
Aiuto! Non saprei proprio da dove cominciare. Sai perche'? O richia di venire un video da 2 minuti con consigli veri ma tendenzialmente "ovvi" (tipo: studia e fai tanti esercizi! 😂) oppure una specie di minicorso dalla durata di svariate ore...che, ora che lo finisco, l'esame l'hai gia' passato. Non saprei, mi piacerebbe davvero aiutarti...forse potrebbe essere utile qualcosa che descriva i tipici esercizi che ti puoi aspettare in un compito di Analisi ad Ing. Anche se poi dipende molto dal professore...
Ciao, ti ho scoperto solo ora, bello il video che sto ancora guardando. Ti lancio una provocazione (premessa sono uno psicologo) Tre assi uno piano fisico piano mentale e piano spirituale Tre dimensioni, le tre del mondo in cui viviamo ( ignoriamo sebbene prevedibili altre dimensioni) Come la vedi?
Grazie al tuo video all'età che ho perché non lo so finalmente ho imparato a contare. Mo fammi andare a contare gli anni che ho che.. che poi te lo scrivo.
Ciao, sono il papà di un ragazzo ché frequenta il 3 anno di informatica, ti faccio i complimenti sei riuscito a farmi capire questi terribili numeri complessi a 52 anni con una spiegazione chiara e semplice grazie ancora
Grazie mille per le belle parole 😁
Complimenti per il video
Ho 67 anni, sono laureato in chimica pura e ho lavorato nei laboratori dell'industria farmaceutica per tutta la mia vita. Peccato che nessuno mi ha mai insegnato la matematica così...quanta fatica inutile ho dovuto fare. Viva TH-cam e quelli che lo sanno utilizzare per fare cultura.
Grazie davvero, e' un complimento bellissimo. 🥰
Super interessante, non capisco chi si sia annoiato. Semplice super chiaro e finalmente ho capito cosa vuol dire veramente un numero immaginario
È legittimo anche annoiarsi, ci mancherebbe.
Certo i pareri assoluti e senza argomentazione non mi garbano perché non servono a niente 😅
Non mi stupisce ci sia qualcuno, forse più di qualcuno, che si sia annoiato. Il video dura 50 minuti. Tantissime persone, forse troppe, non vogliono più e non sanno più gestire l'attenzione per più di un minuto. La chiarezza e la semplicità, può sembrare un paradosso, vanno a cazzotti con la velocità. La nostra società è ossessionata dalla velocità e dall'immediatezza....ma così la comprensione va letteralmente a farsi benedire. Io ho avuto la fortuna di fare i numeri complessi solo all'università dove mi sono stati spiegati esattamente così, mettendoci anche il triplo del tempo. Alla fine della spiegazione il tempo era volato e tutto mi era sembrato ovvio.
Finalmente una completa ed esaustiva introduzione ai numeri complessi. Grazie prof.
Grazie mille per l'apprezzamento 🙂
La chiarezza è una dote rarissima. Complementi molto sentiti per l'esposizione piacevolissima ed esaustiva! La simpatia dell'accento, penso emiliano, rende la chiacchierata ancora più godibile. Grazie!
Grazie mille per l'apprezzamento! L'accento e' romagnolo, ma e' normale confonderlo con l'emiliano se non si e' di queste zone 😁
Complimenti......bellissima spiegazione da utilizzare in tutte le superiori, per decreto 😊
Grazie mille 😊
- Riporto una discussione che lo stesso autore minacciava di cancellare. Siccome vengo accusato di volermi sentire solo dire "bravo" qui c'e' tutto il dialogo a dimostrare il contrario. Naturalmente l'atteggiamento minaccioso-tossico da social ne ha provocato il ban, ma ritengo comunque utile che rimanga il botta/risposta che lui stesso voleva autocensurarsi 🙄
rockessence
30:00 non capisco per quale astruso motivo, dopo aver parlato di vettori, dopo aver parlato di campi, tu non abbia introdotto la forma dei numeri complessi come semplice somma vettoriale di due coordinate complesso=reale+immaginario, introducendo qui il valore di i = (0;1). E andando così a definire il prodotto di due numeri complessi come semplice prodotto nella forma (real+imm)*(real+imm) per poterti così collegare tranquillamente a quella parte di matematica letterale che tutti conoscono, far comprendere così che i^2=-1 e quindi passare a spiegare (a+ib)*(c+id).
Cioè, parti dal presupposto che i ragazzi dovrebbero capire meglio la matematica e poi gli appioppi una formula che se non compresa del suo significato originario dimenticheranno dopo mezz'ora dalla tua spiegazione non hai davvero reso chiaro perché i^2 = -1 e te ne esci con "fidatevi che è così" come uno qualsiasi dei professori che hai criticato all'inizio.
Scusa ma mi sento preso in giro. Stavo cercando una spiegazione adatta per aiutare una persona in matematica, ma mi sa che faccio prima a spiegargliela io.
ingegnereqbquantobasta
13 ore fa (modificato)
Perché se li scrivi subito con la loro notazione algebrica ti rimane comunque un buco teorico e vai in loop: perché posso scrivere tutti i numeri come a+i*b?
Se ti lamenti del mio "fidatevi" qui caschi in un superfidatevi. 😌
Per definirli tramite il concetto di spazio vettoriale (cosa che per altro non ho mai visto in nessun testo, quindi non so nemmeno se sia corretto farlo), si dovrebbe tirar fuori la definizione di spazio vettoriale, di lineare indipendenza tra i vettori e di base. E questo sarebbe necessario per far capire come mai con soli due vettori, combinati linearmente, si ottengono tutti gli altri. Non mi pare proprio la strada più semplice 🙄
Se vuoi partire da "a+ib", devi usare la definizione assiomatica che parte da i^2=-1, anzi, dal fatto che "i" sia soluzione di x^2+1=0, ma richiede cose troppo avanzate. L'ho sentita da una lezione di un docente in una facoltà di ingegneria, e lui stesso ad un certo punto ha tralasciato alcuni approfondimenti teorici perché non inerenti al corso 🤷
Non mi pareva dunque la strada giusta.
Il "fidatevi che funziona" non ha certo pretese di rigorosità, semmai anticipa la parte rigorosa (la definizione vera e propria) che arriva dopo. In pratica è "aspettate un attimo e poi vedrete che funziona". 😌
Perché poi quella che do io è la definizione moderna, è rigorosa, ed è certamente quella più utilizzata.
Ma mica dico che sia l'unica strada per capirli, dico solo che coi ragazzi che istruisco funziona sempre 🤷
rockessence
le basi per apprendere il concetto ci sono eccome. Perché nei primi due anni di liceo scientifico che ho fatto (testo: corso di geometria e algebra, Lamberti Mereu Nanni) viene ampiamente introdotto il concetto di campo e in particolare di RxR, definendo proprio la composizione di un segmento come somma algebrica lineare di due componenti x e y, con anticipata spiegazione geometria e algebrica di somma pitagorica di due segmenti. Viene anche introdotto il teorema fondamentale dell'algebra, che oltretutto viene subito ripreso nel libro 1A (degli stessi autori) al terzo anno.
Fidati che li sto ristudiando da zero proprio per poter essere competente nel dare spiegazioni ai liceali.
L'errore che hai fatto è trattare l'argomento come completamente scollato dalla scuola superiore, come spesso vedo fare dai professori universitari.
E poi tu non sei a una lezione universitaria con i tempi stretti e tutto. Hai la possibilità di rimandare a certi argomenti quando ti pare e soprattutto, se tempo non ce n'era per spiegare, allora mi devi spiegare perché ce n'era così tanto per fare tutti quei giri di parole inutili.
ingegnereqbquantobasta
Prima di tutto una precisazione: come ho gia' scritto in un altro commento, che i giri di parole siano inutili va dimostrato. Non ammetto affermazioni assolutistiche non dimostrate (e' scritto nelle linee guida per la partecipazione ai commenti).
Poi, simpaticamente, "Fidati che", dopo che ti sei offeso per il mio "fidatevi" fa un po' ridere 😁
Poi c'e' un errore madornale: "viene ampiamente introdotto il concetto di campo e in particolare di RxR". R2 non e' un campo, e' "solo" uno spazio vettoriale. Gli manca la definizione di prodotto che lo faccia diventare tale, cosa che avviene appunto quando si definisce quel prodotto di cui ho parlato nel video, e che gli da' la struttura di campo, che poi viene chiamato C. Suggerisco di leggersi per bene il testo che hai citato...🙄
Inoltre il modo in cui ho trattato l'argomento non e' affatto scollato da cio' che si studia alle superiori (semmai rischia di esserlo il tuo, visto che di algebra lineare ai licei non ne ho mai vista la presenza, purtroppo): per capire la definizione proposta basta sapere cos'e' un numero reale e, per capire la rappresentazione dei complessi, basta avere un minimo di confidenza col piano cartesiano. Tutto qua. Niente algebra lineare, niente spazi vettoriali, niente combinazioni lineari, niente lineare indipendenza.🤷
A quel punto perche' non spiegare i polinomi partendo dallo spazio vettoriale degli stessi e definendoli come combinazione lineare della loro base canonica?
Quello che chiami "giro di parole inutile" e' il mio tentativo di far capire ai ragazzi che quel salto concettuale che si fa passando da "vecchi numeri" a "nuovi numeri" e' gia' stato fatto piu' volte nel loro percorso scolastico, e non devono temere il nuovo. Preferisco quel giro di parole vagamente divulgativo rispetto all'introduzione di concetti nuovi. Non lo reputi necessario? Legittimo. E' assolutamente inutile: dimostralo.
Tra l'altro non mi pare tu abbia ascoltato bene cio' che affermo: io detesto quando si parte da i^2=-1 e poi si parte subito a bomba con le operazioni, proprieta', rappresentazioni varie e cosi' via. Se altri adottano un altro percorso (completo e corretto) per spiegare quell'apparente assurdita' matematica, va benissimo!
Evviva l'approccio assiomatico, evviva l'approccio vettoriale (se esiste, mai sentito, ma non possiedo lo scibile umano). Purche' i ragazzi capiscano.
Col mio approccio capiscono, e se lo ritroveranno pure altrove, con altri approcci non lo so e non me la sento di rischiare. 😊
rockessence
32 minuti fa
facciamo così, visto che ti piace sentirti solo dire che sei bravo, cercherò di non usare troppe parole.
Fra 12 ore se non lo hai fatto tu, lo cancello io il messaggio.
Mo devo pure dimostrare perché ti impelagavi in lungaggini che non erano indispensabili. Se lo hanno detto anche altri, mi pare che basti.
Ma a quanto pare te vuoi l'analisi del testo con il conto delle parole mi sembra.
Facciamo prima che ti dò ragione e buona vita.
ingegnereqbquantobasta
Mi piace talmente tanto sentirmi solo dire che sono bravo, che i commenti (pochi per fortuna) che mi criticano sono ancora li'. 😂
Quello che non accetto e' l'assolutismo: e' troppo facile arrivare e affermare "il video e' troppo lungo". Se sei in grado di argomentare la cosa bene, potrebbe pure essere utile a qualcuno e anche a me, ma le sentenze non servono a nessuno.
Fermo restando che questa specie di ultimatum che hai dato non e' rispettoso ne' di me che ho pure impiegato tempo a risponderti, ne' di chi magari stava seguendo la discussione.
Questo tipo di atteggiamento qui e' vietato.
Wow pazzesco. Sei bravissimo. Veramente chiarissimo. Ad averne avuti di professori come te al liceo. Io non li feci neanche i numeri complessi, frequentando il classico credo sia normale (?). Noi in particolare non arrivammo a definire neanche gli integrali ed in fisica neanche me lo ricordo dove finimmo, eppure la tua spiegazione mi è apparsa cristallina - nonostante appunto la mancanza di formalismo, che io credo possa dare una spinta di aumento della comprensione; formalismo supportato chiaramente dal lavoro "sul campo" di approfondimento, che permetta di "seguirlo"; i punti del video in cui tu difatti per la fluidità e non-pesantezza del discorso hai detto di "crederci, che funzionano".
Grandissimo insomma. Non vedo l'ora di vedere altro. Auguri per il tuo canale!
Grazie mille davvero! 🥰
Si', e' normale non fare i numeri complessi al classico, non tanti anni fa si sono introdotti anche gli integrali, almeno nei ragazzi che ho avuto e che provenivano dal classico (non ricordo se ne facevano una sezione "sperimentale/potenziamento" pero').
La cosa "buffa" e' che in realta' il formalismo assolutamente rigoroso c'e', ed e' esattamente come si definiscono i numeri complessi in epoca moderna. Quando il formalismo e' adeguatamente introdotto, in questo caso con un bel "perche' si usano", a mio avviso aiuta ad assorbire meglio un argomento.
Bravissimo, a me avevano sempre detto alle superiori e all'università "prendeteli così"... e invece grazie a te ora c'è un senso ben preciso. Grazie.
Grazie per il commento 😊
Pazzesco! Ho 37 anni e mi ricordo chiaramente quando in seconda superiore la professoressa introdusse i numeri complessi (con la parabola). Da quel momento i numeri complessi mi hanno sempre perplesso. Che spiegazione! Grazie mille!
Grazie a te per l'apprezzamento 😊
27:29 tutto molto interessante (nel senso che apre domande sulla didattica) però messa in questo modo la definizione di moltiplicazione piove dal cielo senza un perché ...
Come detto in altri commenti, non e' la prima volta e non sara' l'ultima volta che una definizione piove dal cielo... In quel caso probabilmente e' solo un'eredita' del formalismo che ha preceduto la definizione moderna.
Appena trovero' qualche conferma ci tornero' sopra!
@@ingegnereqbquantobasta In matematica quando trovo una operazione che non so fare la chiamo numero:
2 - 7 lo chiamo -5;
2:7 lo chiamo 2/7;
se allo stesso modo √-1 lo lascio indicato e lo uso come un simbolo, mi trovo a lavorare con "polinomi" della forma
a + √-1 b
che danno luogo alle operazioni e al piano cartesiano che dici tu ...
@@GuzmanTierno Si', ma questo somiglia molto all'approccio assiomatico, che non amo particolarmente e confonde parecchio quelli che fino al giorno prima si sono visti urlare contro se scrivevano radici quadrate col radicando negativo (i ragazzi delle superiori).
Preferisco la definizione moderna.
Ho capito perfettamente i numeri complessi solo e soltanto grazie a questo video. Contributo a dir poco eccellente. GRAZIE ! ❤
Grazie mille, e' davvero un bel feedback
Hai pensato di fare un video, come proposto al min. 28.30, sul concetto che una struttura è un campo?
Grazie.
Vista la richiesta, lo metto in cantiere e spero di riuscire a realizzarla nei prossimi giorni (attualmente e' in lavorazione una serie sugli integrali)
Preciso una cosa: da quello che dico al minuto indicato potrebbe nascere l'equivoco che faccia intendere che una struttura e' un campo. Diciamo meglio invece: un campo e' una struttura (algebrica), ma di strutture algebriche che non sono campi ce ne sono altre.
grande Ing! nessuno me l'aveva mai spiegato in questo modo...grazie :-D
E' stato un piacere! Non c'e' di che! 😊
Grandissima lezione! Grazie per aver inquadrato con straordinaria chiarezza il ruolo e le caratteristiche dei numeri immaginari. Dopo tanti tentativi frustranti, ora ho chiaro il concetto.
Grazie mille!!!!
complimenti! Lei si è meritato la mia iscrizione al suo canale!
Grazie mille!
Ho avuto la pazienza di arrivare a metà video..... sono stato felice di apprezzare la seconda parte, scoprendo il significato di i! Grazie.
Grazie a te per l'apprezzamento! 😉
Grazie mille per la spiegazione! Sono uni studente di quarta liceo e attualmente non sono ancora arrivato ai numeri complessi nel programma. Ho sentito tante volte l’esistenza dei numeri complessi e per curiosità sono andato a ricercare qualcosa a riguardo. Grazie a te e alla tua spiegazione ho finalmente capito cosa sono. Grazie mille ancora.
Ciao! Felicissimo di esserti stato utile! 😁
Video bomba! Personalmente mi avevano sempre incuriosito ma allo stesso tempo spaventato. Grazie
E' colpa del nome!!! Grazie per l'apprezzamento 😬
@@ingegnereqbquantobasta eh si, forse è per quello! O anche per il fatto non mai capito cosa fosse un quaternione 😅
@@gianlucalomarco Quelli vengono dopo 😁
@@ingegnereqbquantobasta immagino, ma li uso nel mio lavoro, faccio sviluppo web 3D, computer grafica e cose così… ho pure un canale you tube dove faccio cose 😅
@@gianlucalomarco Ai miei studenti gamer refrattari allo studio della matematica diro' che per fare videogiochi occorre studiarla!
Può fare altri esempi oltre 0-1?
Non sono sicuro di aver capito la domanda, puoi approfondire?
per ciò che riguarda i numeri irrazionali che si trovano nel piano cartesiano, lei ha fatto esempi in cui i due numeri quello sull’asse X era zero, se potesse fare un esempio in cui compaiono due numeri diversi da zero.
@@domenicobarbetta8846 Continuo a non capire la domanda 😭 Proviamo cosi': mi puoi indicare il minutaggio del video dove faccio questi esempi ai quali ti riferisci?
Pardon ho visto male
@@domenicobarbetta8846 ok!
Complimenti! Finalmente una spiegazione chiara ad una notazione in se enigmatica che sottintende un bel po' di ragionamenti e deduzioni ... grazie davvero! (nel programma di liceo 50 aa fa non eravamo usciti dai reali , i complessi erano quelli musicali🙂 )
Grazie a te per i complimenti!
Grazie veramente per avermi appassionato con una spiegazione così semplice su un argomento che mi incuriosiva ma avevo paura solo di vederne un video! Grazie.
Ma ci mancherebbe, ringrazio io te per l'apprezzamento!
Grazie della lezione, interessantissima...ma a cosa servono nella pratica ? Sapevo che per studiare alcuni fenomeni fisici si ricorre ai numeri complessi...ma perchè?...
Grazie per l'apprezzamento!
Nello studio dei fenomeni fisici appaiono in tutti i fenomeni ondulatori, perche' si riescono a rappresentare in maniera molto efficace e comoda, anche per farci i calcoli (ad esempio nelle grandezze elettriche).
Per questo appaiono anche in meccanica quantistica (che e' una teoria basata sulle onde, infatti a volte e' anche chiamata meccanica ondulatoria). Ma non e' questo il solo motivo: escono proprio fuori perche' in qualche modo sono necessari per "mettere in collegamento" proprieta' importanti della meccanica classica al mondo quantistico (per esempio le leggi di conservazione e il loro collegamento con alcune trasformazioni geometriche).
Le più importanti teorie della matematica attuale si fondano su teoremi molto generali che spesso si basano sui numeri complessi. Questi teoremi sono talmente profondi e generali che sono necessari alla larga parte delle teorie scientifiche attuali.
Benchè queste teorie matematiche possano apparire "complicate", senza i numeri complessi o non potrebbero proprio esistere o quantomeno sarebbero molto più complicate da scrivere.
Quindi i numeri complessi risultano o solo necessari alle teorie o anche fortemente semplificanti.
La teoria più "famosa" (almeno fra la maggior parte degli studenti universitari) in cui sono utili i numeri complessi sono le "trasformate di Fourier". Grazie a questa "macchinetta" molti problemi difficili da trattare in modo "classico" diventano molto più docili. Ma gli esempi sono molto più di questo.
Finalmente qualcuno che spiega le cose in modo semplice e intuitivo 🔝🔝🔝
Se continuate cosi' iniziero' a crederci di brutto 🤣
Buongiorno, ieri sera mi sono gustato il tuo video. Insegno matematica in un istituto superiore in cui cerco, nei limiti del possibile, di rendere la materia più fruibile e divertente. Mi piace molto come hai introdotto l'argomento, perché, a volte, si dà per scontato che si conoscano perfettamente gli insiemi e le loro proprietà, ma già gettando le basi si dà un'idea di ciò che si sta per introdurre e raccontare.
Trovo molto bella la spiegazione che parte dagli insiemi, passando per il piano cartesiano/piano di GAUSS, operazioni coi complessi e, finalmente, la dimostrazione del perché i²=-1.
Se devo trovare un difetto, forse sta nel fatto che il video dura quasi un'ora (poco meno di 50 minuti), che può diventare davvero troppo. Ma, ripeto, è proprio dare la caccia al pelo nell'uovo.
Detto ciò, se ti va, anch'io ho un piccolissimo canale TH-cam a tema matematica in cui ho dedicato un video a Rafael Bombelli, ideatore dei numeri immaginari e complessi (biografia). Ho anche dato inizio, un anno fa, a una serie di video di matematica, salvo poi fermarmi (al momento, non ho molto tempo da dedicare ai video). Se ti va, mi farebbe piacere sapere cosa ne pensi (non scriverò qui il link per non fare spam. Se vuoi, posso dartelo in privato, così da non pubblicarlo qui in cui non dirò neppure il nome del canale).
Ciao e grazie ancora!
Grazie mille per il gentile riscontro, che provenendo da un docente non puo' che farmi piacere piu' del normale! Per quanto riguarda la durata: facciamo finta sia una lezione a scuola 😁
Mandami pure il link del tuo canale, lo metto in descrizione.
@@ingegnereqbquantobasta grazie! Mi diresti dove posso inviarti il link?
Ti avevo risposto stamattina, ma, evidentemente, il mio cellulare non deve aver inviato la risposta.
@@ananassomalvagio da qualche parte nelle info del canale dovrebbe esserci un bottone che mette in evidenza l'email
@@ingegnereqbquantobasta ti ho scritto ieri mattina prima di andare a scuola. Attendo una tua risposta :)
@@ananassomalvagio sto guardando proprio ora 😁
Complimenti, davvero una bella spiegazione. Grazie!
Ancora ho visto la prima metà. Interessante e molto utile. Grazie e complimenti
Ma ci mancherebbe, grazie per l'apprezzamento!
Molto bello. Ricordo bene che toccò all'insegnante di elettro all'ITIS, introdurre con fatica questo argomento che forse lo fece sudare freddo. Ma credo che tutti, più o meno capimmo la necessità di usarne l'artificio teorico. Capire il concetto di ritardo, in un evento periodico, e scoprire che graficamente si può utilmente spiegare in tali termini, ha un fascino profondo, necessario a costruire un tipo di mentalità ad hoc, utilissima anche in tutti gli anni successivi a quel momento. Aggiungo che YT mi ha fatto conoscere solo oggi questo ottimo lavoro.
C'e' da dire che studiare e conoscere l'elettrotecnica puo' aiutare a dare un senso a questo nuovo oggetto, almeno se ne vede una delle tante applicazioni.
Grazie mille per l'apprezzamento 😁
Ciao sono un prof di diritto ed economia (quindi due materie umanistiche) che si è appassionato tanto tempo fa alla matematica pur non essendo portato per essa. La didattica delle discipline scientifiche andrebbe rivoltata come un calzino. Bravo e grazie della rigorosa semplificazione all'osso, utile per andare avanti
@@blenxcacopardo499 Buongiorno Prof! Ricevere complimenti da un docente "ufficiale" è sempre estremamente piacevole. Grazie davvero ❤️
Sono ingegnere anch'io, sei troppo simpatico e bravissimo nello spiegare. Ah, quanti numeri complessi, nella mia vita!!!
Grazie mille anche per il simpatico, ci provo! 😆
Mi è piaciuto molto l'esempio delle scatole :-) Complimenti. Una spiegazione ancora più affascinante è quella mediante l'Identità di Eulero. Se "i=(0,1)=1*exp(j*pi/2)" è il versore dell'asse immaginario, allora "i*i=exp(j*pi/2)^2=cos(pi)=-1" è il medesimo versore, ma ruotato di +90°, e che quindi ricade nell'asse reale nel punto (-1,0).
Grazie 😁
Si' ovviamente e' molto bella l'identita' di Eulero, soprattutto se scritta in forma esponenziale (che poi e' appunto la base teorica del calcolo coi fasori)
Grazie per averci dedicato del tempo. Mi chiedo, ma se alla fine di calcoli complicati trovo come risultato un numero complesso, lo posso usare oppure so solo che esiste una soluzione, ma non la posso tramutare in una quantità "producibile" nella realtà? Mi spiego meglio... So che cosa è una mela, 2 mele, mezza mela ma 1 mela + 2 mele*i? Che ci faccio? Grazie mille.. saluti
Con un numero complesso di mele non ci si fa niente 😁
A volte le astrazioni matematiche non sono direttamente applicabili alle situazioni di tutti i giorni. Nemmeno pigreco mele, cioe' usare per contarle un numero irrazionale, avrebbe senso 😄
Pero' se deve calcolare la diagonale di una stanza potrebbero servire, anche se nessun geometra/architetto/ingegnereedilcivile presenterebbe mai un progetto con scritto "radicedidue metri".
Diciamo che nella maggior parte delle applicazioni quotidiane, o meglio, nelle applicazioni quotidiane della maggior parte delle persone (le due frasi sono profondamente diverse!) bastano e avanzano le frazioni, somma, differenza, moltiplicazioni e divisioni.
Ma se le sue occupazioni quotidiane prevedono l'elaborazione di nuove teorie per cercare la natura quantistica della gravita', le normali operazioni e i numeri che ci sono piu' familiari non bastano piu', perche' la realta' fisica che si tenta di descrivere e' talmente profonda che ci vuole ben altro.
Fai come con le scatole, sovrapponi le mele.
perdonami la mancanza della base necessaria a evitare questa richiesta di chiarimento,ma perché visto che la moltiplicazione in questo contesto segue regole differenti da quelle classiche ,il concetto di quadrato di i viene usato in maniera classica? cioe il quadrato di un numero è il numero moltiplicato " normalmente " per se stesso,ma qui non è inteso cosi per cui perché lo si chiama quadrato? e geometricamente si potrebbe spiegare? probabilmente per chi è padrone della materia la domanda non ha senso..
Non c'e' nulla da perdonare su una richiesta di chiarimento, perche' una richiesta di chiarimento e' sempre apprezzata! Ma ci mancherebbe! 😊
Il quadrato di un numero e' sempre quello: moltiplicare due volte per se' stesso il numero. E' solo la moltiplicazione che e' definita in maniera differente, ma il significato di potenza e' sempre quello. Questo non ti deve stranire, perche' dopotutto anche in altri tipi di numeri le moltiplicazioni hanno definizioni differenti, ma l'elevamento al quadrato significa sempre moltiplicare un numero per se' stesso (e in generale rimane invariato anche il significato di potenza ad esponente naturale, la classica potenza insomma).
Geometricamente, in sostanza, la moltiplicazione tra due complessi equivale a ruotare rispetto al centro del piano di Argand-Gauss (che e' sempre il piano cartesiano poi) i punti che rappresentano i numeri complessi.
E se servono altri chiarimenti, o dei chiarimenti sui chiarimenti, non fatevi scrupoli a chiedere!!!
Mi permetto di fare un’integrazione alla spiegazione che viene data del prodotto tra numeri complessi attorno al minuto 27:00.
Sappiamo che moltiplicare un numero per un numero reale significa “ripetere” il primo tante volte quanto vale il secondo; utilizzando la definizione che si è data di somma tra numeri complessi ne segue che (a,b)(c,0)=(ac,bc). Venendo all’interpretazione grafica che se ne dà nel video, significa partire dall’origine e muoversi c volte di (a,b) usando come riferimento l'asse reale. Siccome abbiamo detto che i numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali al di fuori della retta reale, viene naturale interpretare la moltiplicazione (a,b)(0,d) come movimento dall’origine di d volte (a,b) prendendo questa volta come riferimento l'asse immaginario (significa ruotare il foglio di 90° in senso orario). Ne segue che (a,b)(0,d)=(-bd,ad). Tutto è più chiaro facendo qualche disegno ;)
Sfruttando il fatto che come diretta conseguenza della proprietà distributiva (a,b)(c,0)+(a,b)(0,d)=(a,b)[(c,0)+(0,d)]=(a,b)(c,d), combinando i due risultati ottenuti è immediato definire (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad).
Mi devo prendere un attimo per valutare il calcolo :)
L'approccio e' interessante, ma non sono sicuro che si possa partire dal concetto di "ripetere" il primo tante volte quanto vale il secondo per i numeri reali, dove le definizioni di moltiplicazioni tra essi sono piu' complicate.
Ci mancherebbe, il mio voleva semplicemente essere uno spunto per visualizzare graficamente il perché di quella formula: è sicuramente una spiegazione molto poco rigorosa. Ahimè il piano cartesiano è nato dopo i numeri complessi e credo che anche storicamente la formula del prodotto derivi proprio da i^2=-1.
Sulla questione "ripetere", siccome per i numeri naturali il prodotto è davvero così definito, volendo essere un po' più rigorosi si potrebbe partire da numeri complessi (a,b) con a e b naturali e poi estendere il discorso ammettendo che possano essere reali.
Perfetto, come hai detto 30 min di questa spiegazione prima di iniziare con il classico programma sui numeri complessi può aiutare molti studenti
Grazie mille!!!
Complimenti! Argomento totalmente nuovo per me; ottima spiegazione
Grazie davvero!!! 😊
Grandissima spiegazione continua a fare video💪💪💪
Grazie mille! Certo che non smettero'! ☺
Sei stato fantastico!!
Grazie mille per l'apprezzamento!
Mi chiedo : se l'asse cartesiano dei numeri immaginari è una retta reale, posso immaginare che lo stesso vale per la retta che passa dall'origine e dal punto (a,b), allora (a,b) rappresenta un numero complesso o "soltanto" reale ?
Risposta parzialmente rigorosa: il numero (a,b) e' proprio un numero complesso "completo", perche' ha sia la parte reale che la parte immaginaria "mappata sull'asse verticale". Risposta rigorosa: l'elemento (a,b) di R^2 e' un numero complesso date le definizioni di somma e prodotto come raccontate nel video.
L'equivoco nasce dal fatto che i numeri complessi partono come coppie di numeri reali nella definizione; potremmo dire, usando un linguaggio non rigoroso, che sono nuovi numeri definiti tramite numeri che esistono gia', e non nuovi numeri aggiunti come quando si passa dai razionali agli irrazionali. Perdonami il bisticcio detto, ma certi concetti e' veramente difficile esprimerli a parole 😅
@@ingegnereqbquantobasta Accetto l’idea che i numeri complessi servono a qualcosa (sono stato ingegnere QB anch’io). Ma rimanendo nel quadro della tua spiegazione non vedo perché la retta che passa e per (a,b complesso) sia diversa degli assi cartesiani che secondo quello che dici sono rete che « contengono » solo numeri reali.
Dopotutto sistemi di riferimento non cartesiani (per ex. Riferimenti polari) esistono e sono utili. Grazie comunque per la risposta 🫢
@@riccardobrachi7768 Adesso la questione e' piu' chiara: dato che la definizione dei numeri complessi comincia dagli elementi di R^2, diciamo quindi semplicemente una coppia di numeri reali, allora qualunque punto del piano e' una coppia di numeri reali, qualunque retta che passi da qualunque punto e' fatta da coppie di numeri reali, cosi' come qualunque curva o altro luogo geometrico.
Questa pero' e' l'interpretazione geometrico-visiva di R^2. Se lo consideri come semplice insieme allora l'interpretazione che ne dai e' quella classica da geometria piana/analitica.
Quando pero' a quelle coppie appiccichi la definizione di somma/prodotto di cui parlo, quell'insieme non e' piu' R^2, ma C, i suoi elementi sono i numeri complessi e la struttura algebrica che assume e' diversa da R^2, tant'e' che lo stesso oggetto, cioe' due rette verticali orientate, si "deve" chiamare piano di Gauss (anzi, di Argand-Gauss).
Insomma e' un po' come dire che H2O e' si' fatta da H e da O, pero' e' acqua, che e' un'altra cosa con proprieta chimico-fisiche differenti dai suoi costituenti presi da se' 😁
Spiegazione meravigliosa!!!
Grazie mille davvero 😊
Complimenti e grazie per la spiegazione. É la prima volta che ho deciso di iscrivermi ad un canale.
Grazie mille, spero di non deludere in futuro allora 😆
Complimenti professore .
Grazie 😊
La lunghezza della spiegazione e stata necessaria per cancellare i pre concetti sui numeri complessi .
Ancora Grazie .....
@@claudiofrenner8807 Ma ci mancherebbe, grazie a te per l'attenzione!
Bravissimo, grazie. Nessuno mi aveva mai spiegato questi meccanismi in modo così dettagliato.
Ora manca solo la spiegazione del perché il prodotto tra numeri complessi ha quella formula. 😅
Grazie per l'apprezzamento. 😁
E' probabile che quella definizione di moltiplicazione derivi dal fatto che la definizione moderna (quella che ho fornito) si basa comunque sull'impostazione "vecchia", nella quale comunque si utilizzava il prodotto (a+ib)*(c+id) nella consueta forma algebrica, e che viene eseguito con la classica regola che c'e' tra i polinomi.
Se non e' chiaro, approfondisco 😉
@@ingegnereqbquantobasta La definizione della moltiplicazione per numeri complessi è data come estensione di quella per i reali, e deve coincidere con quella già nota quando i due numeri complessi da moltiplicare siano reali
@@sergiodorsi6457 Si' questo e' necessario ma non sufficiente
Il riassunto del video è: i numeri complessi possono nascere come estensione algebrica di R. Questa estensione si chiama C, è un campo e contiene R (per costruzione).
PS: non tutti gli insiemi costruiti a partire da numeri reali tali che ci sia almeno un elemento i con la relazione i^2=-1 sono C (vedi i quaternioni o più banalmente gli interi di Gauss).
Aggiungo per chi se lo stesse chiedendo che di solito non è possibile dare una spiegazione più "intuitiva" di quella data nel video perchè le esigenze "pratiche" (si fa per dire) da cui nascono questi numeri sono esse stesse teoriche e astratte. Per cui, benchè la spiegazione non sia tanto originale, trovo che sia ben fatta e la più "didattica" possibile per non matematici. I calcoli si imparano meccanicamente a scuola perchè i "numeri" complessi si prestano bene ad essere considerati appunto dei numeri e godono di proprietà di campo che estendono bene quelle di R al prezzo di una piccola regoletta da memorizzare i^2=-1. Si può fare di peggio (quaternioni) ma grosso modo siamo lì. Perchè si studiano solo i numeri complessi (dopo R) allora? Perchè si prestano bene per farci cose "utili" nelle applicazioni (vedi analisi di Fourier).
Io credo che qualsiasi intuizione si possa avere dei numeri complessi non possa essere concreta o essere nella vita di tutti i giorni. Eventuali analogie con la vita di tutti i giorni sarebbero più complicate di quello che si prefiggono di semplificare.
Grazie per il commento!
Non so se la mia spiegazione sia la piu' intuitiva possibile. Sicuramente la cosa buffa e' che, pur non essendo particolarmente originale, risulta tale a molti per via del fatto che non si parte dal solito i^2=-1...
@@ingegnereqbquantobasta il mio "non è originale" era da intendersi che non solo io non avrei saputo fare meglio, ma secondo me non sarebbe possibile proprio farlo. Quindi non come una mancanza. L'originalità spesso è considerata qualcosa di indispensabile ma questo è uno degli esempi (secondo me) dove la chiarezza è più che sufficiente e il suo video l'ho trovato molto chiaro. Come secondo me dovrebbe essere. Francamente non so come si potrebbe essere originali nello spiegare i numeri complessi e nemmeno me l'immagino.
@@awakedreamer1859 Avevo capito 😅
Intendevo dire che il mio modo poco originale in realta' lo diventa in confronto alle maniere astruse che spesso si adottano per introdurli ☺
@@ingegnereqbquantobasta immagino. Spesso si tende a considerare troppo poco perspicaci gli studenti e si evita di farli ragionare per non metterli alla prova. Però il tuo approccio obbliga lo studente a capire e può risultare "noioso" a qualcuno. Ma io credo nel tuo approccio ed è quello che faccio anche io. Per chi sa accoglierlo credo sia quello che dà più soddisfazioni intellettuali.
@@awakedreamer1859 Concordo in toto, e aggiungo che spesso mi pare che si eviti di farli ragionare anche per "pigrizia lavorativa". E' piu' facile e decisamente meno faticoso fare la lezioncina formalmente corretta: ce la si sbriga in pochi minuti e tecnicamente si e' inattaccabili...
Premetto che sono principiante nel campo, bensì mi affascini molto la matematica, ahimè mi rendo conto quanto sia difficile per me, ma mi permetti un'osservazione circa il calcolo dell'esempio prodotto di numeri C => 4*7=28 e 28-6= 22 o probabilmente sbaglio e non ho capito proprio nulla?
La correzione e' giusta! sono io che ho bevuto troppa grappa e ho fatto 4*7=11 😁
@@ingegnereqbquantobasta ok, devo farle però i complimenti per come spiega! ...e un video su studio di funzioni trascendenti lo potrebbe fare?= sarebbe top🙌
@@NunziaPerrotti-o4h Prima o poi arriveranno anche gli studi di funzione. C'e' da dire che e' impossibile scegliere una funzione che sia esaustiva di tutti gli aspetti che possono venire fuori per tracciare il suo grafico. In sostanza: non e' possibile fornire un esempio che copra tutti i casi possibili!
Sono un collega molto, ma molto più avanti negli anni di te. Accetta i miei più sinceri e grandi complimenti per il modo, didatticamente superlativo, in cui in questo video tratti i NUMERI COMPLESSI. Tra l'altro, prima della pensione, sono stato, per anni, tra i banchi delle classi terminali di un Istituto Tecnico Industriale come docente di ELETTROTECNICA e i numeri complessi erano lo strumento (ed il mezzo matematico) per rappresentare (e trattare) le "grandezze elettriche ALTERNATE". Ricordo il supporto a cui ero costretto per integrare le conoscenze matematiche degli alunni nelle lezioni introduttive dei circuiti in c.a.. Scusami lo sfogo, ma ho sentito il bisogno di felicitarmi con te. Chissà se i prof di matematica incontreranno questo tuo "illuminante" video e si soffermeranno sulla tua trattazione?. Di nuovo COMPLIMENTI!!!!!!!!
Salve prof. Accetto i complimenti con vero piacere, soprattutto da un collega che dimostra di non vedere "concorrenza" negli altri, ma solo supporto ❤
Grazie veramente per le belle parole 😊
Video eccellente e utilissimo, grazie, ne trarrò spunto quando spiego questo argomento. Un piccolo commento su quando dici che [19:35 circa] che hanno deciso di chiamare così la componente immaginaria "con un po' di fantasia". Penso che la ragione sia molto semplice: la componente reale rappresenta tutto quello che serve per descrivere una grandezza fisica concreta, misurabile in senso tradizionale, cioè quel che serve per rappresentare la "realtà", l'estensione immaginaria invece è un artificio meramente matematico. In fondo la matematica è un formalismo per rappresentare quello che esiste, e quello che esiste ha bisogno di solo quattro grandezze fondamentali per essere rappresentato: tutte e quattro sono grandezze "reali"; per contrasto quello che è fuori dalla retta "reale" è... "immaginario" (ho sentito usare anche "irreale").
Che i miei contenuti possano essere di ispirazione per altri docenti e' una notizia davvero meravigliosa, grazie! 🥰
Per quanto riguarda la nomenclatura "immaginaria": sono stati pessimisti, perche' in realta' anche gli immaginari sono rappresentativi della realta' fisica (stando attentissimi a cio' che si intende per realta' fisica, anche perche' ancora non e' chiaro...) 😅
Bho io ringrazio tanto tanto.
Ho 53 anni e i numeri complessi sono una delle cose che non avevo mai capito veramente alle superiori. Poi la vita mi ha allontanato da questi temi.
Adesso finalmente ho capito, più di 30 anni dopo.
Appunto, grazie :-)
Felice di aver avuto questo effetto 🥰
Mi permetto di aggiungere quanto segue.
Per passare da un insieme di numeri al più piccolo di quelli che lo contengono si fa uso delle coppie ordinate: l'insieme Z è isomorfo NxN, Q è isomorfo ZxZ e C è isomorfo RxR. Il passaggio da Q a R è un po' più complicato perché si esce dagli insiemi numerabili.
C'e' una bella serie di video di Odifreddi sul tema "infinito" e cardinalita'
@@ingegnereqbquantobasta guarderò anche se O. non mi entusiasma per come spiega.
@@AttilioLesilio A me si, soprattutto quando divaga. Sara' per quello che divago anche io, e qualcuno qui non lo sopporta: pazienza, a volte si impara piu' dalle divagazioni che dalla linea principale 😁
@@ingegnereqbquantobasta io da Odifreddi ho imparato molto poco quando non ha divagato, figuriamoci dalle divagazioni. È troppo verboso.
@@AttilioLesilio Per te, per me no
Pensi : non ho bisogno di spiegazioni io, 72enne, che al Liceo aveva sempre il 3/4 k in materia, con espresso di approfondimento universitario. Anche il tabù dei numeri complessi..l'ho risolto. A me Lei pare proprio un ottimo docente . Bravo
Grazie davvero per le bellissime parole 🥰
Grazie a Lei, la seguirò ancora. Complimenti
Bravo da un insegnante. Quelli che si annoiano non devono guardarti perché non hanno voglia di apprendere. Bravo
@@mauroisor1692 grazie mille. L'apprezzamento da parte di un docente è particolarmente gradito e importante ❤️
Grazie, finalmente mi sono chiarito le idee su questo aspetto della matematica. Un plauso alla chiarezza della spiegazione adatta anche ai comuni mortali.
Grazie mille 🥰
Vorrei complimentarmi con Lei perché è riuscito a rendere molto semplici e comprensibili nozioni per me estremamente complesse
Grazie, ne sono felice ☺
grazie, Ing. Oggi gli studenti, con questi strumenti e queste lezioni online, non hanno più scuse! ;)
Nooo, gli studenti sono bravissimi a inventarsene sempre di nuove!!! 😂😂😂
Il segreto sta nel dirottare la loro creativita' naturale verso cose piu' nobili.
Se ho capito.... Quando parlo di un numero complesso, parlo di un numero espresso da una parte immaginaria e una parte reale! Quindi devo sempre associare ad un reale un numero che esprime una variazione ad esso associato, magari negativo!
Piu' semplicemente, i numeri complessi, se vogliono essere un'estensione dei reali, devono estendersi nella seconda dimensione, perche' nella prima "il posto e' finito"
Buongiorno a lei,
le scrivo per un dubbio che mi è sorto:
ho notato che, graficamente, eseguire il prodotto (0;1) * (a;b) equivale a "ruotare nel piano, di 90° in senso antiorario", il numero complesso (a;b).
Infatti (0;1) * (a;b) = (-b;a)
[il numero complesso (a;b) ha "ruotato di 90° in senso antiorario]
ora, moltiplicando ancora (0,1) per il numero complesso appena ottenuto (-b;a) si ottiene: (0;1)*(-b;a) = (-a;-b)
[che è, ancora, graficamente, una ulteriore rotazione di 90° in senso antiorario, cioè una rotazione "totale" di 90°+90° = 180° antiorari],
moltiplicando una terza volta (0;1) per il numero complesso precedentemente ottenuto (-a;-b) si ottiene:(0;1)*(-a;-b) = (b;-a)
[che è, ancora una volta, graficamente, una rotazione di 90° antioraria: avendo fatto tre moltiplicazioni, ho ruotato, in totale (a;b) di 90°+90°+90°= 270° in senso antiorario]
una quarta moltiplicazione (0;1) per l'ultimo numero complesso ottenuto (b;-a) ci dà: (0;1)*(b;-a) = (a;b), che ci "riporta" al punto di partenza.
[d'altronde, avendo fatto quattro moltiplicazioni, ho ruotato (a;b), in totale, di 90°+90°+90°+90°= 360° in senso antiorario, cioè un angolo giro]
Ora: tutto ciò è semplicemente un giochetto matematico o ha un qualche significato più profondo che, però, mi sfugge?
E, se si, perché "ruota" in senso antiorario e non in senso orario?
Per quanto riguarda la seconda domanda, ho pensato ad una possibile risposta: l'asse Imm si potrebbe intendere come un asse Re ruotato di 90° antiorari.
Ho provato, allora, a far "puntare" l'asse Imm verso il basso, come se fosse l'asse Re ruotato di 90° orari ed, effettivamente, ora la moltiplicazione fa ruotare il numero complesso (a;b) in senso orario...
Mi spiace averla importunata con tutto questo sproloquio, ma la colpa è anche "sua": io ero rimasto con "immaginiamo un numero che elevato al quadrato dia -1..."
Grazie ancora e buone feste
Ci mancherebbe, nessun disturbo e buone feste anche da parte mia!
Prima questione, parte prima: se si tratta di un giochino matematico o di una proprieta' e' anche questione di...interpretazione!! 🤣
Mi spiego meglio (ci provo!): i calcoli che ha fatto sono giusti, perche' veramente premoltiplicare un numero complesso per l'unita' immaginaria, il famoso (0;1), fa ruotare un qualsiasi punto del piano di 90° in senso antiorario.
Si puo' far notare la cosa in due modi:
1) usare le equazioni delle trasformazioni in un piano, con le quali si vede che una rotazione di 90° in senso antiorario corrisponde alle equazioni x'=-y e y'=x, dove x e y sono le coordinate classiche di un punto (x;y), e dove x' e y' rappresentano le "coordinate trasformate". In pratica la "nuova x" diventa "la vecchia y del punto col segno opposto" e "la nuova y" diventa "la vecchia x del punto con lo stesso segno"; questo e' esattamente cio' che accade alle parti reali e immaginarie del numero complesso (a,b), che non sono altro che coordinate nel piano, se premoltiplicate appunto per (0;1). Come vede la nuova componente reale dal valore "a" diventa "-b" e la nuova componente immaginaria da "b" diventa "a", quindi il numero complesso (a,b) diventa, come anche dai calcoli che ha gia' fatto, (-b,a)
2) utilizzare la forma trigonometrica o la forma esponenziale di un numero complesso, moltiplicare i due numeri (0;1) e (a;b) utilizzando questa forma (tra l'altro e' molto piu' comodo...) e notare che una importantissima caratteristica dei numeri complessi, cioe' quello che si chiama Argomento, viene aumentata di 90 gradi. Cos'e' l'Argomento di un numero complesso? Nella definizione classicissima, e' l'angolo che il segmento che va dall'origine del piano al punto che rappresenta il numero complesso forma con l'asse Reale. Dopo questo calcolo si puo' notare che l'Argomento del numero che risulta dalla moltiplicazione, e' aumentato di 90° rispetto al "vecchio" numero (a,b). Cioe' il punto e' ruotato di 90° in senso orario.
Prima questione: parte seconda. Perche' allora parlo di interpretazione? Perche' spesso le grandezze matematiche, e i """pastrocchi""" che ci si fanno sopra, vengono utilizzate per rappresentare cose che, magari, non erano certo nelle intenzioni dello scopritore del nuovo-oggetto-matematico 🤭
Una su tutte, che mi e' particolarmente cara: la rappresentazione di correnti e tensioni che oscillano (per i precisetti: rappresentazione di grandezze elettriche in regime sinusoidale) viene fatta usando i numeri complessi e le loro operazioni (non sembra ma e' comodissimo!). Quando hanno iniziato a rovistare nei numeri complessi a momenti non sapevano neanche che c'erano gli atomi, figuriamoci le grandezze elettriche associate a spostamenti di elettroni... 😏
Eppure tornano utilissimi proprio grazie a quel collegamento tra le loro operazioni e cio' che succede proprio a livello geometrico. Quando parti della matematica apparentemente "separate" si incontrano, i matematici si commuovono (e hanno ragione!).
Seconda questione: perche' non in senso orario? La risposta sta nel punto 2 😁
Il tutto, come al solito, un pochettino romanzato e con nessuna pretesa di rigore "filologico".
viene un giro di 90 gradi solo perche i matematici anno deciso di prendere i²=-1, alcuni matematici per risolvere alcuni problemi matematici di numeri interi hanno usato il numero complesso n⁶=-1 in cui n=1/2+i•(√3/2), veniva n=30° e portava comunque
Ciao Flavio, hai colto dritto nel punto fondamentale per capire i numeri complessi. L'ingegnere ha fatto un gran lavoro ma si sarebbe semplificato di molto la vita se fosse partito dalle coordinate polari di un numero complesso P[r, alfa] dove r (coefficiente di dilatazione) è la lunghezza del segmento e alfa (argomento) è l'angolo che forma con la retta x del piano cartesiano. Tagliando corto: il prodotto tra due numeri complessi in forma polare vuol dire sommare gli argomenti e moltiplicare i coefficienti di dilatazione. Quindi: [1, 90°] * [1 ,90] = [1*1, 90+90] = [1,180°] che sarebbe il numero reale -1. Cioè i numeri reali sono i numeri che hanno argomento 0 o 180 gradi o un multiplo di 180 gradi
@@gianpaolozanconato5012 Mi sarei semplificato la vita ma l'avrei complicata a chi non sa che cosa siano i numeri complessi 😅
al minuto 30.45: 2 * 3 - 4 * 7 = 6 - 28 = -22, Da dove viene 6 - 11?
In descrizione:
"NB Minuto 30 circa: Attenzione ad un piccolo refuso nei calcoli: il prodotto dà - 22 nella parte reale!!!"
Grazie Professore, chiarissimo
Grazie mille per l'apprezzamento 😊
Ottimo, complimenti!!😊
Grazie mille! 😁
Ok, anzitutto ti ringrazio per la risposta, ma vorrei chiederti ancora se c'è la possibilità di arrivare a sapere/capire quale è stato il ragionamento che ha portato i matematici a definire quel prodotto in quel modo apparentemente dogmatico. Io purtroppo ho difficoltà a prenderlo per buono solo perché mi dicono che funziona, non mi piace l'idea di doverlo imparare a memoria, domani lo avrei già dimenticato, ho una memoria pessima.
Non c'e' da soprendersi, in matematica ci sono le definizioni assiomatiche. Pensa agli assiomi della geometria euclidea: si prendono per buoni principi di base non dimostrati, ma non e' un'eresia, mi creda. Semplicemente si pongono "le regole del gioco" 😁
Pero' prometto che faro' una ricerca in merito, ve lo devo 😊
I numeri non esistono. La matematica è una astrazione assoluta che parte da alcuni assiomi e sviluppa una teoria coerente con gli assiomi iniziali. Il dogma pretende di essere verità mentre l'assioma non pretende di essere verità. L'unico obiettivo della matematica è la coerenza logica. I fisici poi utilizzano la matematica per approssimare i fenomeni naturali attraverso dei modelli (matematici appunto).
Bravissimo nella spiegazione professore! Però purtroppo volevo solo sapere da cosa derivasse quella maledetta moltiplicazione...è da mesi che cerco una spiegazione ma non trovo nulla, neanche un motivo dietro quella "definizione". Aspetto comunque un vostro parere! Grazie in anticipo!
Potrebbe anche solo essere un "perche' funziona" 😂
Non saprei, ho provato a cercare qualcosa qua e la' ma non ho trovato molto. Dovro' approfondire perche' e' interessante.
Direi che deriva dalla rappresentazione in forma algebrica dei numeri complessi.
Un numero complesso può essere scritto come: a+bi (forma algebrica), dove 'a' e 'b' sono numeri reali e 'i' è l'unitá immaginaria.
Ora avendo due numeri complessi:
a+bi, c+di, il prodotto è definito come segue:
1. (a + bi)*(c + di)
2. a*c + a*di + bi*c + bi * di [ prop. Distributiva ]
3. a*c + a*di + bi*c + (-1 * b*d) [ i*i = -1 ]
4. a*c + a*di + bi*c - b*d
5. a*c - b*d + a*di + bi*c [ prop. Commutativa ]
6. a*c - b*d + (a*d + b*c)i [ raccoglimento parziale ]
Riportando in coordinate cartesiane:
(a*c - b*d, a*d + b*c)
@@patrikcavina8994 perfetto,grazie! Quindi non è altro che un modo per far valere la prop distributiva e commutativa anche per i numeri complessi giusto?
Perché rende R^2 un campo (cioè un insieme con le due operazioni che verificano gli assiomi dell'algebra, commutatività, associatività e distributività); inoltre, questa operazione di moltiplicazione è l'unica che la rende un campo (non ne esistono altre che lo rendono tale).
Ciao, grazie del video, ho una domanda, sembra che moltiplicare per "i" ti porta dalla prima dimensione alla seconda, mi chiedo se si possa fare lo stesso per passare dalla seconda all terza poi dalla terza alla quarta e via così? Mi spiego meglio,, per uscire dalla prima dimensione (che è una linea R) abbiamo moltiplicato per "i" e geometricamente sul piano Gauss siamo girati di -90 gradi rispetto alla prima dimensione, quindi mi chiedo se si possa definire una nuova componente "j" "Immaginaria!" con cui moltiplicare allo stesso modo per definire la terza dimensione? che geometricamente sarà girata sempre di -90 gradi rispetto alla prima e la seconda dimensione?
E la quarta dimensione non possiamo più interpretarla geometricamente, possiamo solo provare ad immaginare! tipo una retta che gira continuamente ed interrottamente attorno all'origine O della terna tridimensionale perché non trova una posizione dove è perpendicolare alle tre dimensione, e questa retta che rappresenta la quarta dimensione gira solo in un senso rispetto a ciascuna delle asse delle tre dimensioni , (antiorario come si fa quando si moltiplica per "i" , e per questo che nella dimensione del tempo andiamo solo in una direzione).
Cosa ne dite?
Non hanno moltiplicato per i per introdurre la seconda dimensione, si sono semplicemente accorti che R2 poteva risolvere il problema del fatto che alcune funzioni polinomiali non avevano soluzioni in R. C in
Diciamo che moltiplicare per "i" non e' esattamente "ti porto nella seconda dimensione". E' solo un simbolo per un oggetto matematico che di dimensioni ne ha gia' due,e che ha conti fatti e' molto comodo nei calcoli usando la notazione algebrica. Magari ci faro' un video piu' avanti per spiegare perche' i complessi si definiscono in quel modo, ma di fatto si usano con altre notazioni.
Per quanto riguarda la proposta di "andare in piu' dimensioni con altri numeri e altri simboli di unita' immaginaria", l'idea e' espressa in maniera un po naiv, ma non e' colossalmente lontana da quello che accade coi quaternioni (si salta direttamente a 4 dimensioni). Insomma a livello ultradivulgativosemplificatoalmassimodicendocoseperdaresolounavagaidea ci puo' stare, ma non di piu' 😆
Grazie. Veramente splendida la spiegazione
Grazie davvero, uno dei migliori riscontri che potessi avere
bravissimo i numeri complessi sono affascinanti magici
Grazie mille 😊
Molto interessante, molto chiaro. Mi piacere solo approfondire il perchè le moltiplicazioni su numeri complessi si facciano proprio in quel modo... o come si sia arrivati a deciderlo.
Grazie mille!
Al momento non ho trovato fonti che lo confermino, ma potrebbe essere semplicemente perche', nella loro primissima definizione, si era gia' definita la moltiplicazione di (a+ib)(c+id) tramite le regole di moltiplicazione di polinomi, e nella nuova definizione si sono mantenute il risultato della parte reale e di quella immaginaria.
Grazie! Finalmente ' i ' ha un senso che non avevo mai capito. Mi era stato servito come un pasto da mangiare così com' è.
Obiettivo raggiunto!
Gran bel video !!!!!
Grazie mille davvero ☺
Ma il -(meno) nella moltiplica da dove arriva?
Occorre una domanda piu' precisa 🙄
Interessante video. Mi viene una domanda: esiste una qualche situazione nella quale i numeri complessi non saranno più sufficienti e sarà necessario aggiungere anche la 3a dimensione? Inutile dire, lo si capisce dalla domanda, che non sono certo un matematico!
Fantastico! Perchè non ti ho avuto alle superiori? :)
Davvero, complimenti per queste spiegazioni, ho finalmente capito perchè i numeri complessi vengono usati poi nella fisica vettoriale, grazie!
Perche' sono troppo giovane per essere un prof! No scherzo, sara' colpa del destino 😂
Comunque grazie davvero per i complimenti e di essere stato utile😊
Ciao cosa usi per scrivere?
Il Remarkable versione 1
Ciao perchè la moltiplicazione deriva da quello? E come gli è venuto in mente di usarlo nei fasori? Sono uno studente di ingegneria e Sembra comodo ed intuitivo usare j\omega, però questa cosa della moltiplicazione sarei contenta di vederla approfondita
Per quanto riguarda la moltiplicazione: non ho ancora trovato fonti storiche confermate, ma probabilmente la spiegazione e' dovuta alla moltiplicazione dei complessi nella loro forma algebrica (a+ib)(c+id), dove appunto le parti reali e immaginarie vengono fuori ac-bd e ad+bc. Non dimentichiamo che quella che ho dato e' la definizione moderna, ma i complessi esistevano gia' da ben prima.
Nel mondo dell'elettrotecnica (e quindi anche elettronica), si usano i fasori per rappresentare le grandezze sinusoidali sfruttando il fatto che moltiplicare per j equivale a ruotare di 90 gradi.
E dato che correnti e tensioni nei condensatori e negli induttori sono sfasati di 90 gradi, risulta praticamente naturale rappresentare tensioni e correnti su di essi tramite i complessi.
Questa e' la versione breve, la versione lunga la trovi in qualunque libro di elettrotecnica
Ti ringrazio. Non sono un cultore, ma mi è piaciuto e mi è servito.
Grazie a te 😊
Se avessi avuto un professore come te, al Liceo, oggi sarei kaureato in matematica, perché, pur non capendoci un tubo, sono sempre stato appassionato, anche se detto da un umanista può apparire strano. Complimenti, voglio iscrivermi alla tua pagina. 👍
Grazie per l'iscrizione e per i complimenti!
Non e' affatto strano, ad esempio io di recente mi sto appassionando di filosofia; il sapere umano in realta' e' parecchio interconnesso 😁
Anche se non è importante ai fini della spiegazione al minuto 30:30 il valore non è -5 ma -22
Segnalato tempo fa nei commenti e in descrizione, ma bravi che siete attenti! 😊
ottima spiegazione, finalmente, grazie
Grazie per l'apprezzamento 😁
Salve, intanto complimenti per la spiegazione semplice, ed esaustiva. Se possibile vorrei chiederle una lezione sul valore assoluto. Grazie.
Va bene, lo metto "in cantiere". Hai qualche richiesta particolare? Equazioni, disequazioni...?
@@ingegnereqbquantobasta disequazioni. Grazie
@@mauriziofacoltoso2825 metto in cantiere 😉
Bravo! Ha un altro iscritto. Comunque -22 e non -5 :-)
Mi dice qual è il video a cui faceva riferimento quando parlava di "Campo"?.
Grazie
Mi piacciono i nuovi iscritti attenti 😁
Mi puoi dare un riferimento al minuto per rispondere alla domanda?
@@ingegnereqbquantobasta 28' 36" quello a cui mi riferivo. Comunque riascoltandolo il video sul "campo" devi ancora farlo. Saluti
@@Joe.Cash72 Ok chiaro. Vediamo se riesco a farci un video, pero' per darti una pre-risposta sulla questione, si puo' dire che un campo e' un insieme sugli elementi del quale definisci due operazioni (che chiamiamo tipicamente somma e prodotto), binarie (cioe' che vengono fatte tra due elementi dell'insieme), interne (cioe' il cui risultato e' ancora un elemento dell'insieme), e che godono delle classicissime proprieta' commutativa/associativa ecc e per i quali elementi esistono quelli che si chiamano: opposto, reciproco e elemento neutro, che sarebbero, nel caso dei classici insiemi numerici che ben conosciamo, 0 e 1, perche' sommando 0 non cambia nulla e perche' moltiplicando per 1 nemmeno.
@@ingegnereqbquantobasta e per i complessi vale la definizione di campo ordinato? Non so se sia attinente questa domanda ad un insieme a due dimensioni
@@Joe.Cash72 La domanda ha senso: un campo e' tale anche se non e' presente una relazione d'ordine, ma C non e' un campo ordinato in quel senso.
Complimenti. Spiegazione molto chiara
Grazie mille!!! 🤗
Arrivare a quasi 40anni per dare finalmente un senso alla i. Per come è stata spiegata a me, la si prendeva per buona e avanti col prossimo argomento. Grazie.
Ma a questo punto sono curioso riguardo quei numeri che si estendono su altre dimensioni (come é stato accennato alla fine del video)
Purtroppo non ritengo al momento di avere la giusta competenza per raccontarveli, magari in futuro 😁
Grazie Prof. Bravissimo, forse un po' ripetitivo, ma nel complesso :-) molto bravo. Ancora grazie. Ora non mi resta che approfondire
Repetita iuvant! 😅
Grazie dell'apprezzamento!
Bravissimo! Grazie 🙏
Ma di nulla, e' stato un piacere avere tanti riscontri positivi
Sei un grande
PS non per far prima ma semplicemente perché lo ignorano!
Grazie mille davvero
Da dove viene fuori quella definizione di moltiplicazione?
Eh eh eh... Purtroppo devo risponderti "non saprei". Al tempo in cui me la insegnarono non e' stato approfondito, e della cosa non me ne sono interessato.
Faro' qualche ricerca, oppure spero che un matematico gentile passi da qui e ce lo spieghi 😁
Penso sia semplicemente stata inventata affinché i al quadrato facesse -1. Questo video segue il processo formale in cui si definiscono i numeri complessi, ma la matematica nasce quasi sempre “a rovescio”. Definisco concetti elementari leggermente astrusi in modo che diventino ricavabili le cose che mi sono familiari. Se vuoi farti una scorpacciata di esempi di questo tipo, vatti a vedere gli assiomi della teoria degli insiemi.
@@GianlucaUK insomma, un po' come dire "l'abbiamo inventata cosi' perche' funziona", cosa per altro che ho sempre sospettato, e, forse, e' sempre in agguato 😆
Grazie per il contributo!
@@ingegnereqbquantobasta Non ho scritto per fare il saputello. I numeri complessi sono un argomento molto affascinante perché pur essendo un’identità estremamente astratta (al contrario dei reali, che fanno parte della vita di tutti i giorni) riescono ad essere utili a risolvere problemi concreti.
Ovviamente, sviluppando la teoria dei numeri complessi, si parte dagli assiomi e si arriva al teorema fondamentale dell’algebra. Proprio perché si tratta di un’entità astratta credo che in realtà si siano costruiti gli assiomi in modo da ottenere il teorema fondamentale dell’algebra. Leggendo su Wikipedia un articolo sulla storia dei numeri complessi, vedo che il nocciolo della questione iniziale erano le soluzioni delle equazioni polinomiali.
Quello che è venuto dopo lo trovo straordinario, perché tutta la parte geometrica con l’introduzione della trigonometria e le relazioni che legano il numero di Nepero a pi greco è di una bellezza che sfocia quasi nel mistico :)
@@GianlucaUK beh insomma, anche gli irrazionali destano parecchia meraviglia la prima volta che si incontrano.
Poi ci si abitua, come per i complessi.
P.S. Non sospetto minimamente che tu voglia fare il saputello, qualunque contributo e' il benvenuto.
Wooow, finalmente mi è tutto più chiaro!!!
Ottimo!!!!! 😁
Mi piacerebbe (e mi servirebbero al più presto) vedere i contenuti matematici attraverso Geogebra spiegati da lei!
Naturalmente Geogebra prima o poi saltera' fuori in qualche video, purtroppo pero' mi son dovuto fermare nel produrre contenuti per causa di forza maggiore (molto lavoro e questioni gravi familiari). Spero di riprendere a fine scuola...
Video molto interessante e ben fatto!
Grazie moltissime!!!
Grazie, molto interessante e ben fatto.
Mille grazie 😊
Non mi è chiaro del perchè servivano altri numeri e quindi si sono “inventati” i numeri complessi. Solo per rispondere alla domanda “quale numero elevato ad una potenza pari da un numero negativo”?
Naturalmente non e' questo il solo motivo della loro scoperta, ma...quasi! Naturalmente, come per altro tantissime parti della matematica, hanno trovato applicazioni successive in innumerevoli situazioni. Due su tutte: rappresentazione di grandezze elettriche e meccanica quantistica.
Il numero da elevare alla seconda, per esempio, per ottenere un numero negativo è appunto propio ì. Introdotto per risolvere equazioni del tipo : x^2+1=0. Ciao
per risolvere le equazioni di terzo grado con la loro formula si sono accorti che c'erano radici quadrate di numeri negativi in un passaggio ma che si eliminavano e portavano alla giusta soluzione...dunque facendole esistere si arrivava alla soluzione
Sono stati introdotti come entità appunto convenzionale, "immaginarie" , nel 400 per rappresentare i^2=-1 e servivano per risolvere equazioni... studiando poi i vettori e le carte a fine 700 ci si è resi conto che ruotare un versore nel piano di 90 gradi equivaleva a trovare un'entità che, in un senso ben preciso, era proprio la radice quadrata di -1...
Da qui la formalizzazione di i e dei numeri complessi come numeri a 2 componenti... la questione cruciale sta qui e speravo fosse trattata nel video per dare l'idea intuitiva del PERCHÈ i=(-1)^1/2
In pratica se hai il vettore (1,0) e lo moltiplichi per -1 ottieni il suo opposto (0,-1) ruotato di 180 gradi.
Se consideri invece il vettore (0,1) ruotato di 90 gradi ( antiorari) finisci sul punto (1,0) cioè sull'1 dell'asse y.
Ruotando ancora quest'ultimo vettore di 90 gradi (antiorari) finisci in (-1,0).
Ma se in (-1,0) ci finisci ruotando di 180 gradi cioè ruotando 2 volte di 90 gradi allora ruotando 1 sola volta il vettore (0,1) devi aver trovato un punto che è la radice quadrata di -1 sull'asse y: ecco che tale asse del piano reale fu collegato alla i convenzionale del 500 e divenne l'asse "immaginario" anche se da quel momento di immaginario c'era poco dato che si era ottenuta una chiara rappresentazione geometrica per cui la scrittura i^2=-1 aveva un senso...
detto così non si capirà lo so, ma questa fu l'intuizione che portò alla costruzione del campo C 😅😂 ed ai suoi usi in fisica dovuti al genio di Eulero ( i numeri complessi sono collegati intimamente alle rotazioni, a seni e coseni tramite lo sviluppo in serie di e, quindi sono essenziali per descrivere fenomeni naturali caratterizzati da moti periodici... onde meccaniche, elettriche, molle... approssimazioni locali di punti di equilibrio stabile in campi potenziali scalari... )
@@Altalex988 grazie! Bell'approfondimento 😍
Spiegazione super. La matematica dovrebbe essere sempre spiegata cosi
Grazie mille davvero!!!!! Faccio festa dopo questo commento 🤣
14.48 circa a parte confondere terza dimensione con seconda, effettivamente se con i aggiungiamo una seconda dimensione ai numeri R nula vieta di immaginare di aggiungere una terza e poi si anche una quarta dimensione e poi ancora. un bellissimo spunto grazie
No non e' che io abbia confuso 2 o 3 dimensioni, e' che stavo veramente per partire per la tangente con discorsi di tipo relativistico e mi sono frenato appena in tempo, sbandando un po' 🤭
Naturalmente matematicamente non c'e' nessun problema a trattare con n dimensioni, pero' nella realta' fisica (classica) di tutti i giorni ci si muove in 3D, e se finiamo lo spazio in una stanza bisogna iniziare a riempirne un'altra (che non vuol dire andare nella quarta dimensione come qualcuno ha sostenuto 😁)
Complimenti per la spiegazione... Dovrebbe essere introdotta pari pari al corso di analisi III in ingegneria elettronica. Grazie ancora
Forse e' un po' troppo divulgativa per un corso all'universita', ma qualche cenno al motivo per il quale sono stati introdotti e una piccola interpretazione non guasterebbe 😅
Dimenticavo: ovviamente grazie per i complimenti 😊
Ciao, scusami, ho aperto il video per vedere in che modo li spiegassi, ma essendo all'università, 50 minuti solo "per curiosità" sono decisamente troppi, ma vedendo i commenti sono sicuro li avrai spiegati in maniera egregia.
Solo una domanda, nei primi secondi dici che è stata rotta la differenza di quadrati, perchè?
Se sei gia' all'universita' forse non hai bisogno di un video di questo tipo ☺
Dico che hanno rotto la differenza di quadrati per non dire che hanno rotto qualcos'altro... 😌
trovo particolarmente interessante il ragionamento in base a cui giungiamo alla conclusione che la rappresentazione dei numeri complessi richiede una dimensione in più per la loro rappresentazione grafica, in quanto questa cosa può avere delle implicazioni in fisica. Se vivessimo in un universo monodimensionale in base a tale ragionamento i suoi abitanti capirebbero che esiste una seconda dimensione a loro non accessibile. Viene ovviamente da chiedersi se noi che viviamo in un universo tridimensionale possiamo, con ragionamenti analoghi, giungere alla conclusione che esiste una dimensione aggiuntiva per noi non accessibile.... da questa prospettiva i numeri immaginari, più che immaginari andrebbero considerati come numeri extradimensionali
Attenzione che sul discorso "mondo a 1,2,3 dimensioni" si rischia di fare un po' di confusione su quello che si intende in maniera colloquiale e cio' che si intende a livello matematico. Ci sono delle analogie ma non sono la stessa cosa.
I numeri complessi sono oggetti a due dimensioni, ma non sono direttamente collegati alle dimensioni geometriche per come le intendiamo nel quotidiano 🤗
Per altro noi viviamo in un mondo tridimensionale (trascuriamo il fatto che ci sarebbe anche il tempo, e trascuriamo pure le dimensioni previste da alcune teorie fisiche che arrivano tranquillamente a 26), ma non c'e' nessuna difficolta' a teorizzare spazi a piu' di tre dimensioni e pure a farci delle misure, solo che non sono percettibili dai nostri sensi, almeno, non nel senso comune (di nuovo) del termine
@@ingegnereqbquantobasta Talvolta è una equazione matematica, che correttamente interpretata e trasposta nel mondo reale ci dice cosa va a descrivere. L'universo parla il linguaggio della matematica, non sappiamo perchè è così ma è così
Spiegazione molto chiara. Complimenti.
Grazie mille 🤗
Sei veramente bravo! Potresti fare un video o più di uno in cui spieghi con lo stesso approccio i requisiti per affrontare l’esame di analisi nella facoltà di ingegneria?
Aiuto! Non saprei proprio da dove cominciare. Sai perche'? O richia di venire un video da 2 minuti con consigli veri ma tendenzialmente "ovvi" (tipo: studia e fai tanti esercizi! 😂) oppure una specie di minicorso dalla durata di svariate ore...che, ora che lo finisco, l'esame l'hai gia' passato.
Non saprei, mi piacerebbe davvero aiutarti...forse potrebbe essere utile qualcosa che descriva i tipici esercizi che ti puoi aspettare in un compito di Analisi ad Ing.
Anche se poi dipende molto dal professore...
Ciao, ti ho scoperto solo ora, bello il video che sto ancora guardando.
Ti lancio una provocazione (premessa sono uno psicologo)
Tre assi uno piano fisico piano mentale e piano spirituale
Tre dimensioni, le tre del mondo in cui viviamo ( ignoriamo sebbene prevedibili altre dimensioni)
Come la vedi?
Molto filosofico con spunti di Platone 😁
Fantastico!
Grazie mille 🥰
Grande chiarimento. Adesso so cosa è i. 🤩
Un grande grazie!
Grazie al tuo video all'età che ho perché non lo so finalmente ho imparato a contare. Mo fammi andare a contare gli anni che ho che.. che poi te lo scrivo.
Complimenti!