mi congratulo con lei prof., efficaci ed originali gli esempi delle fabbriche, polinomi, equazioni, ec..., con mia gran sorpresa ho appreso che i trascendenti non sono costruibili con riga compasso e ...davvero meraviglia che i trascendenti sono molto più (più densi nel sacchetto ) rispetto gli algebrici ma difficili da dimostrare ....non l'avrei mai pensato . Grazie grazie ed auguri
Molto interessante, complimenti e grazie. Se non ho capito male, la non trascendenza di un numero è un problema NP in quanto dato un numero qualunque (un punto su di una retta) é in generale difficile trovare l’equazione polinomiale che ha tale numero come propria soluzione, mentre data l’equazione é molto facile verificare che il numero sia algebrico. Giusto?
Certo, dato il numero è un generale difficile risalire all'eventuale equazione polinomiale a coefficienti interi (o razionali). Data un'equazione di quel tipo, le sue eventuali soluzioni sono algebriche per definizione. Grazie a lei per i complimenti.
Certamente. Nel video dico infatti che entrambe le equazioni riescono a "produrre" il 5 come soluzione. Non sono equivalenti, perché una delle due equazioni "produce" anche un'altra soluzione.
Anche gli irrazionali algebrici hanno la potenza del continuo. Al pari dei trascendenti essi non sono numerabili, non possono essere messi in corrrispondenza biunivoca con l' infinito degli interi. Radice di 2 è un irrazionale algebrico, non è numerabile, ed ha la potenza del continuo. Questo fatto non mi pare che sia messo in luce chiaramente.
L'insieme dei numeri algebrici è numerabile, perché l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e ognuno di questi polinomi ha un numero finito di soluzioni (che sono appunto numeri algebrici). Quindi, a maggior ragione, l'insieme degli irrazionali algebrici, che è un sottoinsieme di quello degli algebrici, non ha la potenza del continuo, ma soltanto quella del numerabile. Aggiungo che non ha senso affermare che la radice quadrata di 2 sia "non numerabile", perché le cardinalità sono proprietà degli insiemi e non dei numeri.
Correggo l' ultima affermazione che effettivamente è inesatta. Prendo una lista di sette irrazionali algebrici ,e li metto in corrispondenza biunivoca con i primi sette interi. Con il metodo diagonale di Cantor, sugli irrazionali algebrici, posso costruire, un numero che, differisce per una cifra da tutti gli altri e che, non appartiene al set degli irrazionali precedentemente dati. E ne posso costruire infiniti. Dunque gli irrazionali algebrici non sono numerabili , nel senso di Cantor ,ed hanno la potenza di C. Questa dimostrazione non me la sono inventata io. E su le scienze ( versione italiana di " scientific american" ) di alcuni anni fa. È vero che i sottoinsiemi di numeri algebrici , come i quadrati o cubi di interi, sono numerabili, che i razionali sono numerabili, ma questo non si estende agli irrazionali algebrici. Se lei dalla retta dei reali toglie la radice di due, o un qualsiasi altro irrazionale ,cosa ci mette al loro posto? Come fa una retta reale privata di questi numeri ad essere continua?
@@carlodercole486 Non è così, mi dispiace. Il procedimento al quale allude è quello che Cantor utilizzò per dimostrare che l'insieme dei numeri irrazionali (tutti, non solo quelli algebrici) ha la potenza del continuo. Ma se consideriamo il suo sottoinsieme formato dai soli irrazionali algebrici, il procedimento non funziona più, perché abbiamo a disposizione solo una parte di quei numeri e non tutti, e in generale non è possibile costruire un numero che abbia le caratteristiche desiderate. In sostanza, l'insieme dei numeri irrazionali ha la potenza del continuo "per colpa" del suo sottoinsieme formato dagli irrazionali trascendenti: la rimanente parte costituita dai numeri irrazionali algebrici ha infatti soltanto la potenza del numerabile. La dimostrazione della numerabilità dell'insieme dei numeri algebrici è (in forma semplificata) nel video e anche nel commento precedente. L'ultima sua affermazione (quella sulla retta reale privata di un punto) non l'ho francamente capita.
Il video che mancava.. 🎉 Grazie mille
Grazie! 😊
mi congratulo con lei prof., efficaci ed originali gli esempi delle fabbriche, polinomi, equazioni, ec..., con mia gran sorpresa ho appreso che i trascendenti non sono costruibili con riga compasso e ...davvero meraviglia che i trascendenti sono molto più (più densi nel sacchetto ) rispetto gli algebrici ma difficili da dimostrare ....non l'avrei mai pensato . Grazie grazie ed auguri
Grazie di cuore! 😀 In effetti il mondo dei numeri è spesso sorprendente.
Complimenti e grazie 🙏
Buon anno nuovo
Grazie a lei, e buon anno!
Complimenti! ...Un video Didattico con la D maiuscola
molto interessante.
Grazie di cuore! 😀
Grazie Prof., e buon 2024! 🎉🍾🙋🏻♂️
Grazie, ricambio gli auguri.
Molto interessante, complimenti e grazie.
Se non ho capito male, la non trascendenza di un numero è un problema NP in quanto dato un numero qualunque (un punto su di una retta) é in generale difficile trovare l’equazione polinomiale che ha tale numero come propria soluzione, mentre data l’equazione é molto facile verificare che il numero sia algebrico. Giusto?
Certo, dato il numero è un generale difficile risalire all'eventuale equazione polinomiale a coefficienti interi (o razionali). Data un'equazione di quel tipo, le sue eventuali soluzioni sono algebriche per definizione. Grazie a lei per i complimenti.
Spiegazioni sempre chiare
Grazie mille, la chiarezza è un obiettivo per me fondamentale. Sono contento che lei mi confermi che qui è stato raggiunto.
Interessantissimo.
Grazie! 😀
Se questa è una vertigine, e lo è, per i numeri non calcolabili è l'abisso.
È verissimo! E anticipo che proprio i numeri non calcolabili potrebbero costituire l'argomento della prossima puntata di "Numeri straordinari".
Rispondimi grazie
A quale domanda dovrei rispondere? 😊 Be', comunque ho risposto...
Se vuoi capire i numeri fratello, studia ebraico e kabbalah
שלום
Mah.. X^2 - 25 = 0 per X=5 ma anche per X= - 5..
Certamente. Nel video dico infatti che entrambe le equazioni riescono a "produrre" il 5 come soluzione. Non sono equivalenti, perché una delle due equazioni "produce" anche un'altra soluzione.
@@PaoloAlessandriniMatematica Ho capito grazie
Anche gli irrazionali algebrici hanno la potenza del continuo. Al pari dei trascendenti essi non sono numerabili, non possono essere messi in corrrispondenza biunivoca con l' infinito degli interi. Radice di 2 è un irrazionale algebrico, non è numerabile, ed ha la potenza del continuo. Questo fatto non mi pare che sia messo in luce chiaramente.
L'insieme dei numeri algebrici è numerabile, perché l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e ognuno di questi polinomi ha un numero finito di soluzioni (che sono appunto numeri algebrici). Quindi, a maggior ragione, l'insieme degli irrazionali algebrici, che è un sottoinsieme di quello degli algebrici, non ha la potenza del continuo, ma soltanto quella del numerabile.
Aggiungo che non ha senso affermare che la radice quadrata di 2 sia "non numerabile", perché le cardinalità sono proprietà degli insiemi e non dei numeri.
Correggo l' ultima affermazione che effettivamente è inesatta. Prendo una lista di sette irrazionali algebrici ,e li metto in corrispondenza biunivoca con i primi sette interi. Con il metodo diagonale di Cantor, sugli irrazionali algebrici, posso costruire, un numero che, differisce per una cifra da tutti gli altri e che, non appartiene al set degli irrazionali precedentemente dati. E ne posso costruire infiniti. Dunque gli irrazionali algebrici non sono numerabili , nel senso di Cantor ,ed hanno la potenza di C. Questa dimostrazione non me la sono inventata io. E su le scienze ( versione italiana di " scientific american" ) di alcuni anni fa. È vero che i sottoinsiemi di numeri algebrici , come i quadrati o cubi di interi, sono numerabili, che i razionali sono numerabili, ma questo non si estende agli irrazionali algebrici. Se lei dalla retta dei reali toglie la radice di due, o un qualsiasi altro irrazionale ,cosa ci mette al loro posto? Come fa una retta reale privata di questi numeri ad essere continua?
@@carlodercole486 Non è così, mi dispiace. Il procedimento al quale allude è quello che Cantor utilizzò per dimostrare che l'insieme dei numeri irrazionali (tutti, non solo quelli algebrici) ha la potenza del continuo.
Ma se consideriamo il suo sottoinsieme formato dai soli irrazionali algebrici, il procedimento non funziona più, perché abbiamo a disposizione solo una parte di quei numeri e non tutti, e in generale non è possibile costruire un numero che abbia le caratteristiche desiderate.
In sostanza, l'insieme dei numeri irrazionali ha la potenza del continuo "per colpa" del suo sottoinsieme formato dagli irrazionali trascendenti: la rimanente parte costituita dai numeri irrazionali algebrici ha infatti soltanto la potenza del numerabile.
La dimostrazione della numerabilità dell'insieme dei numeri algebrici è (in forma semplificata) nel video e anche nel commento precedente.
L'ultima sua affermazione (quella sulla retta reale privata di un punto) non l'ho francamente capita.