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f(x)=x³-4x²-2^n+8解と係数の関係よりα+β+γ＝4 …①αβ+βγ+γα=-2^n …②αβγ=-8 …③①よりβ+γ=4-α③よりβγ=-8/α (α≠0より)これを②に代入するとα(4-α)-8/α=-2^n…④④より-8/α=-2^n-α(4-α)右辺は整数なので、αは-8の約数である。よって、αは-1、-2、-4、-8のいずれかとなるα=-1のとき④に代入するとα(4-α)-8/α=--1(4+1)+8=3よって、α=-1は不適α=-2のときα(4-α)-8/α=--2(4+2)+4=-8=-2^nよりn=3よって、α＝-2はOKこのとき、β+γ=6、βγ=4よりβ、γはt²-6t+4=0の解(t-3)²=5よりt=3±√5β
受験生は注目してください❗️三次方程式の解と係数の関係の登場です。指数があっても、計算できますので、コメントをマネしてください。αは-8の約数であることに、注意して進めてください。ナイスなコメントをありがとうございます。そして、いつもありがとうございます(^^)
条件は「そのうち1つが負の整数」としか言っておらず、αが負の整数かどうかは初手ではわからない(βが負の整数の可能性がある)と思います。まずは解と係数の関係からα、β、γと0の大小関係を調べて、負の実数解がαのみであることから、条件を考慮してαが負の整数であると確認する必要があるだろうと思いました。
流石❗️おっしゃる通りです。ぺこり。負だけで、αと決めるのは早計ですし、ちゃんと、調べるべきですね。ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)
(1) f(x) は (x-α)(xの2次式) と因数分解できることから、因数定理を利用して x=±1,±2,±4,±8 に対して f(x)=0 となります。これらを丹念に計算すると n=1, 3 が求まり、このうちαが負の整数になるのは n=3 でした。
受験生は注目してください❗️因数定理により、解の候補が見つかります。次に、nを調べるという話です。この手順も大切です！ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)
毎日ご苦労様です。(1）f(ｘ）＝0の解と係数の関係より，α＋β＋γ＝4…①，αβ＋βγ＋γα＝－（2のｎ乗）…②，αβγ＝－8…③とします。与えられた条件と③より（α，βγ）＝（－1，8）（－2，4）（－4，2）（－8，1）となりますからこれらと①，②により，４つの場合分けを一つ一つ丁寧に潰していって答えを出しました。（2）先生と全く同じ解答です。如何にも計算ミスを誘うような問題ですね～この問題が第一問という事ですので，この問題は完答しないと合格するのは難しかったと思います。受験中の緊張状態で解くとしたら，結構タフな問題ですね～横国大の問題なので，極当たり前なのかも知れませんね～笑…
お気遣いありがとうございます。解と係数の関係ですね。流石です！4つの場合分けさえ間違えなければ解けますね。確かに、第1問ということもあり、計算ミスが発生しそうな感じはありますね〜完答して欲しいところです。ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)
高次方程式に整数問題の要素を入れて最後に定積分と色んな分野を複合した横国らしい問題ですね。(2)はt=x-3とか置いて偶関数・奇関数の性質使うのかな?って思ってましたが、動画の方がキレイなやり方ですね。ただ、試験場ではそこまでキレイなやり方は思いつかないかもしれませんし、4乗位ならあれこれ考えてるより気合で計算やり切る方が良いかもですね。
おっしゃる通り、複合してくるところは横国らしい問題です。次数が高い計算は工夫することも大切ですが、本番での根性の方が役に立つかもですね。ナイスなコメントを、ありがとうございます(^ ^)
x³-4x²-2^n·x+8=0解と係数の関係よりα+β+γ=4, αβγ=-8α³≡0 (mod2)よりαはα=-2,-4,-8 のいずれか。①α=-2 の時 β+γ=6, βγ=4 u²-6u+4=0より (β,γ)=(3-√5, 3+√5) -8-16+2^(n+1)+8=0 より n=3②α=-4 の時 β+γ=8, βγ=2 u²-8u+2=0より(β,γ)=(4-2√14,4+2√14) β
受験生は、注目してください❗️αを代入すると、各項の係数が2の倍数なので、mod2を導入して、αの候補が見つかります。上手いです！この後の、適不適の確認もとても丁寧な解答になってます。是非、マネしてください。ナイスなコメントをありがとうございます(^ ^)
(2)は、f(x)＝(x-3)^3+5(x-3)^2-5(x-3)-25に変形すれば簡単に計算できます。
なるほど。ナイスなコメントをありがとうございます。これからも、よろしくお願いします(^^)
最初の不敵を調べる時、計算ミスしておられるかも？解放には、影響しませんが。
ご指摘ありがとうございます。計算ミスに気を付けていますが、気付かず投稿してしまうときがあります。お許しください。ぺこり。これからも、よろしくお願いします。
馬鹿な質問かもしれませんが、どうして積分結果がマイナスになるのでしょうか？
皆さんが思う疑問かもしれません。負を集めたら、結果が負なだけです。定積分と面積の違いに気を付けてください。ナイスな質問を、ありがとうございます(^^)
(2)はすこし計算を工夫してf(x)=x³-4x²-8x+8=(x+2)(x-β)(x-γ)=(x-β+2+β)(x-β)(x-γ)=(x-β)²(x-γ)+(2+β)(x-β)(x-γ)よって、∫f(x)dx x:β→γ = ∫((x-β)²(x-γ)+(2+β)(x-β)(x-γ))dx x:β→γ ∫(x-β)²(x-γ)dx x:β→γ = －(1/12)(γ-β)⁴∫(2+β)(x-β)(x-γ)dx x:β→γ = －(2+β)(1/6)(γ-β)³∴∫f(x)dx x:β→γ = －(1/12)(γ-β)³((γ-β)+2(2+β))=－(1/12)(γ-β)³(γ+β+4)=－(1/12)(2√5)³(6+4)=－(1/12)×20×2√5×10=－100√5/3おまけ∫(x-β)²(x-γ)dx x:β→γはx-β=tと置換するとx:β→γのときt:0→γ-β dx=dtより=∫t²(t+β-γ)dt t:0→γ-β=[t⁴/4-(γ-β)t³/3] t:0→γ-β=(γ-β)⁴/4-(γ-β)⁴/3=(-1/12)(γ-β)⁴ （1/12公式）同様に∫(x-β)(x-γ)dx x:β→γはx-β=tと置換するとx:β→γのときt:0→γ-β dx=dtより=∫t(t+β-γ)dt t:0→γ-β=[t³/3-(γ-β)t²/2] t:0→γ-β=(γ-β)³/3-(γ-β)³/2=(-1/6)(γ-β)³ （1/6公式）
受験生は、ちゃんとコメントを見てください❗️三次関数の積分で、文系では頻出の時期変形です！そして、瞬間積分も、お忘れなく！オマケの置換を使えば簡単です！
整数と整数の積で択を絞る奴、横国結構出すなあ
おっしゃる通りです！コメントありがとうございます。これからも、よろしくお願いします(^^)
説明がぶっきらぼうで聞いていて不快
f(x)=x³-4x²-2^n+8
解と係数の関係より
α+β+γ＝4 …①
αβ+βγ+γα=-2^n …②
αβγ=-8 …③
①よりβ+γ=4-α
③よりβγ=-8/α (α≠0より)
これを②に代入すると
α(4-α)-8/α=-2^n…④
④より-8/α=-2^n-α(4-α)
右辺は整数なので、αは-8の約数である。
よって、
αは-1、-2、-4、-8のいずれかとなる
α=-1のとき
④に代入すると
α(4-α)-8/α=--1(4+1)+8=3
よって、α=-1は不適
α=-2のとき
α(4-α)-8/α=--2(4+2)+4=-8=-2^nよりn=3
よって、α＝-2はOK
このとき、β+γ=6、βγ=4より
β、γはt²-6t+4=0の解
(t-3)²=5よりt=3±√5
β
受験生は注目してください❗️
三次方程式の解と係数の関係の登場です。
指数があっても、計算できますので、
コメントをマネしてください。
αは-8の約数であることに、注意して進めてください。
ナイスなコメントをありがとうございます。
そして、いつもありがとうございます(^^)
条件は「そのうち1つが負の整数」としか言っておらず、αが負の整数かどうかは初手ではわからない(βが負の整数の可能性がある)と思います。まずは解と係数の関係からα、β、γと0の大小関係を調べて、負の実数解がαのみであることから、条件を考慮してαが負の整数であると確認する必要があるだろうと思いました。
流石❗️おっしゃる通りです。
ぺこり。
負だけで、αと決めるのは早計ですし、
ちゃんと、調べるべきですね。
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)
(1) f(x) は (x-α)(xの2次式) と因数分解できることから、
因数定理を利用して x=±1,±2,±4,±8 に対して f(x)=0 となります。
これらを丹念に計算すると n=1, 3 が求まり、このうちαが負の整数になるのは n=3 でした。
受験生は注目してください❗️
因数定理により、解の候補が見つかります。
次に、nを調べるという話です。
この手順も大切です！
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)
毎日ご苦労様です。(1）f(ｘ）＝0の解と係数の関係より，α＋β＋γ＝4…①，αβ＋βγ＋γα＝－（2のｎ乗）…②，αβγ＝－8…③とします。与えられた条件と③より（α，βγ）＝（－1，8）（－2，4）（－4，2）（－8，1）となりますからこれらと①，②により，４つの場合分けを一つ一つ丁寧に潰していって答えを出しました。（2）先生と全く同じ解答です。如何にも計算ミスを誘うような問題ですね～この問題が第一問という事ですので，この問題は完答しないと合格するのは難しかったと思います。受験中の緊張状態で解くとしたら，結構タフな問題ですね～横国大の問題なので，極当たり前なのかも知れませんね～笑…
お気遣いありがとうございます。
解と係数の関係ですね。流石です！
4つの場合分けさえ間違えなければ解けますね。
確かに、第1問ということもあり、計算ミスが発生しそうな感じはありますね〜
完答して欲しいところです。
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)
高次方程式に整数問題の要素を入れて最後に定積分と色んな分野を複合した横国らしい問題ですね。
(2)はt=x-3とか置いて偶関数・奇関数の性質使うのかな?って思ってましたが、動画の方がキレイなやり方ですね。ただ、試験場ではそこまでキレイなやり方は思いつかないかもしれませんし、4乗位ならあれこれ考えてるより気合で計算やり切る方が良いかもですね。
おっしゃる通り、複合してくるところは横国らしい問題です。次数が高い計算は工夫することも大切ですが、本番での根性の方が役に立つかもですね。
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^ ^)
x³-4x²-2^n·x+8=0
解と係数の関係より
α+β+γ=4, αβγ=-8
α³≡0 (mod2)よりαはα=-2,-4,-8 のいずれか。
①α=-2 の時 β+γ=6, βγ=4
u²-6u+4=0より (β,γ)=(3-√5, 3+√5)
-8-16+2^(n+1)+8=0 より n=3
②α=-4 の時 β+γ=8, βγ=2
u²-8u+2=0より(β,γ)=(4-2√14,4+2√14)
β
受験生は、注目してください❗️
αを代入すると、各項の係数が2の倍数なので、mod2を導入して、αの候補が見つかります。上手いです！
この後の、適不適の確認もとても丁寧な解答になってます。
是非、マネしてください。
ナイスなコメントをありがとうございます(^ ^)
(2)は、f(x)＝
(x-3)^3+5(x-3)^2-5(x-3)-25に変形すれば簡単に計算できます。
なるほど。
ナイスなコメントをありがとうございます。
これからも、よろしくお願いします(^^)
最初の不敵を調べる時、計算ミスしておられるかも？
解放には、影響しませんが。
ご指摘ありがとうございます。
計算ミスに気を付けていますが、気付かず投稿してしまうときがあります。
お許しください。ぺこり。
これからも、よろしくお願いします。
馬鹿な質問かもしれませんが、どうして積分結果がマイナスになるのでしょうか？
皆さんが思う疑問かもしれません。
負を集めたら、結果が負なだけです。
定積分と面積の違いに気を付けてください。
ナイスな質問を、ありがとうございます(^^)
(2)はすこし計算を工夫して
f(x)=x³-4x²-8x+8=(x+2)(x-β)(x-γ)
=(x-β+2+β)(x-β)(x-γ)
=(x-β)²(x-γ)+(2+β)(x-β)(x-γ)
よって、
∫f(x)dx x:β→γ = ∫((x-β)²(x-γ)+(2+β)(x-β)(x-γ))dx x:β→γ
∫(x-β)²(x-γ)dx x:β→γ = －(1/12)(γ-β)⁴
∫(2+β)(x-β)(x-γ)dx x:β→γ = －(2+β)(1/6)(γ-β)³
∴
∫f(x)dx x:β→γ = －(1/12)(γ-β)³((γ-β)+2(2+β))
=－(1/12)(γ-β)³(γ+β+4)
=－(1/12)(2√5)³(6+4)
=－(1/12)×20×2√5×10
=－100√5/3
おまけ
∫(x-β)²(x-γ)dx x:β→γは
x-β=tと置換すると
x:β→γのときt:0→γ-β dx=dtより
=∫t²(t+β-γ)dt t:0→γ-β
=[t⁴/4-(γ-β)t³/3] t:0→γ-β
=(γ-β)⁴/4-(γ-β)⁴/3
=(-1/12)(γ-β)⁴ （1/12公式）
同様に
∫(x-β)(x-γ)dx x:β→γは
x-β=tと置換すると
x:β→γのときt:0→γ-β dx=dtより
=∫t(t+β-γ)dt t:0→γ-β
=[t³/3-(γ-β)t²/2] t:0→γ-β
=(γ-β)³/3-(γ-β)³/2
=(-1/6)(γ-β)³ （1/6公式）
受験生は、ちゃんとコメントを見てください❗️
三次関数の積分で、文系では頻出の時期変形です！
そして、瞬間積分も、お忘れなく！
オマケの置換を使えば簡単です！
整数と整数の積で択を絞る奴、横国結構出すなあ
おっしゃる通りです！
コメントありがとうございます。
これからも、よろしくお願いします(^^)
説明がぶっきらぼうで聞いていて不快