J'adore la personnalité de ce prof,il est toujours optimiste et souriant ,ça me plaît beaucoup lorsque je regarde ses vidéos.Il sait très bien comment simplifier les choses qui paraissent un peu difficiles. Grand respect monsieur🌿
Vous êtes vraiment génial et très doué pour enseigner ! Votre force c’est que vous savez vous mettre à la place de celui qui vous écoute pour la première fois sur un sujet qu’il ne connaît pas . Si seulement j’avais pu vous connaître dans ma jeunesse...Ma vie professionnelle aurait été plus simple ! 🙏 Merci grand Monsieur.
Le gas il a toujours le sourire il prend du plaisir a expliquer clairement et ça se voit. D'ailleurs c'est comme la vidéo sur. Combien de bougies d'anniversaire depuis ta naissance. n×(n+1) ÷ 2. Merci beaucoup
Très bonne vidéo, les explications sont pertinentes et clairs. Je n’avais pas jamais fait le lien entre la modélisation d’un rectangle et cette formule auparavant et je trouve cette manière de démontrer très intuitive et intéressante. Tous les profs devraient s’appuyer sur cette vidéo afin de l’expliquer à leurs élèves car je pense que c’est un moyen simple et efficace de leur faire comprendre. Ce qui est dommage c’est que beaucoup de gens utilisent des formules mathématiques sans comprendre d’où elles sont tirés et surtout la manière dont elles ont été déduites. En effet, beaucoup connaissent seulement leurs fonctions, et dans quel contexte faut il les utiliser, ce que je trouve malheureux. C’est tellement beau d’exploiter l’une de ces expressions jusqu’à en trouver l’explication. Ce n’est que mon avis. Tout ça pour dire que votre vidéo vaut le détour, bravo ! 👌
Franchement merci beaucoup pour vos cours. J ai plus compris les maths en 10mn qu en quelques années. Merci bcp pour votre travail qui est très pédagogue
Sincèrement vous avez une méthode très intelligente .....dire que je suis ingénieur d'état ....bac+5 ....et après tant d'années j'ai pu comprendre l'esprit de la chose.... Merci beaucoup....
Je suis d'un âge avancé et j'essai d'apprendre les mathématiques. Merci pour votre vidéo, je viens de comprendre d'où venait le 2 au dénominateur dans le calcul d'une suite. encore merci.
Bonjour, tout d'abord MERCI pour vos vidéos géniales. J'aurais adoré avoir un prof de math comme vous. Pourriez-vous, s'il vous plait, refaire cette vidéo, mais en ajoutant le fait que cette somme tant vers -1/12. Cette démonstration me fascine à chaque fois que je l'entends. Bonne journée.
Mon prof de CM2 m'avait posé à l'époque cette énigme et je l'avais résolue en faisant des paires : (1+100) + (2+99) + (3+98)... ce qui donnait 50 couples de somme 101, N/2 couples de somme N+1. On en revient évidemment à la même solution. Peut-être un peu moins propre comme méthode mais j'étais content.
Merci bcp. J'ai du regarder la video 2-3 fois m'ai j'ai finis par comprendre et enregistrer Qq chose que j'avais pas compris tout au long de mes études.
J'adore tes petits défis! * * * * S = 1 + 2 + 3 + .. + (n-1) + n ; (on a donc n termes, avec n Entier > 1) on reformule S en décomposant chaque terme comme 3 sous-termes (que l'on présente en 3 'colonnes'): 1 + n - (n-0) + 1 + n - (n-1) + 1 + n - (n-2) + .. + 1 + n - (n - (n-2)) ; (= 1 + n + 2) + 1 + n - (n - (n-1)) ; (= 1 + n + 1) __________________________________ = n + n² - S (puisqu'on a n termes!.. + il faut juste remarquer que la somme des éléments de la 3ème 'colonne' correspond à S) Alors S = n + n² - S S = (n+n²)/2 ou S = n.(n+1)/2 c'est un cqfd!-)* .. ou ça manque de rigueur mathématique?? (ps: je suis content d'avoir galéré pour trouver cette astuce! ;-)
Somme des n premiers nombres entiers. Voici une démonstration très simple du calcul de la somme des n premiers nombres entiers, basée sur les propriétés de l'addition, de la multiplication, ainsi que sur les propriétés des égalités. S = 1+2+3+4+5+......(n-1)+n L'addition étant commutative on peut écrire aussi : S = n+(n-1)+.......5+4+3+2+1 On ajoute membre à membre ces deux égalités en remarquant que dans le second membre on peut grouper les termes (propriété d'associativité) par deux de telle sorte que leur somme soit (n+1). En effet on a : n+1 , puis 2+(n-1)=n+1, puis 3+(n-2)=n+1 etc....... et l'on peut former n groupements puisqu'il y a n nombres. Il s'ensuit que : S+S = 2S = n(n+1). S = n(n+1)/2
Ca c'est quand n tends vers l'infini... et effectivement dans ce cas -1/12 est un résultat de fait. Voir Le Hollandais Casimir Hendriks qui a mis ce résultat en évidence dans une expérience physique.
a l'epoque, j'avais trouvé une méthode plus bourrine, mais qui marche assez bien aussi: on cherche donc la somme de 0+1+2+3+4...+100. Il y a 50 "couples" de nombres qui additionnés font 100 (0+100, 1+99, 2+98...) et il reste le 50 tout seul. donc: (50*100)+50= 5050. Ca ne marche pas si on veut théoriser, mais de manière pratique, cette facon de penser m'a déjà sortit de pas mal d'embrouilles.
@@brolydz5400 Ah bon ? et l'impératif présent du verbe aller c'est quoi? 😅👍🏻 Va te coucher aller je ne t'en veux pas... La prochaine fois réfléchis avant d'écrire ! 🤭
Merci mek t si j’ai mon bac c’est vraiment et uniquement grâce à toi (je suis en ES term du coup si ta envie de reparler du programme es hésite vraiment pas) demain j’ai ds sur le tvi et ta vidéo tvi me sauve la vie Ps: jmet mon commentaire ici comme ça je suis sur tu le vois
Merci pour ton retour. Il y a pas mal de vidéos pour Term ES, des playlists.. Un travail régulier, ne jamais te décourager, t'entraîner sur les exercices type, quelques visionnages de vidéos et tu devrais être plus serein en juin. Bon courage à toi
Super pédagogie, plaisir d'enseigner, bravo. Bon, on fait une critique? Après la phase expérimentale (avec 10, avec 100) qui permet de deviner l'astuce, il aurait fallu appliquer le principe de récurrence: formellement, montrer que la formule est valable pour n=2 puis montrer que si elle est vraie pour un n donné, alors elle est vraie pour n+1. Et là, on est bon, c'est poétique 🙂
j'ai mis en place un programme d'épargne . et j'aimerais savoir comment calculer le montant que j'aurais épargné au jour n sachant que chaque jour j'épargne un euro de plus que le jour precedent . tout en surposant que j'ai commencé avec un euro. dois je utiliser les suits 🤔🤔🤔 comment ?
J'aurais calculé pour 1,2,3,4,5. A partir de là, on peut soupçonner que la formule est n(n+1)/2 Reste ensuite à démontrer par récurrence : - ça marche pour 1 - si on suppose que ça marche pour n, on montre que ça marche pour n+1 : 1+2+3+...+(n+1)= n(n+1)/2+(n+1)= (n+1)(n/2+1)=(n+1)(n/2 + 2/2)= (n+1)(n+2)/2 Donc ça marche pour 1 et, quand ça marche pour n, ça marche pour n+1 Donc la formule est valable pour tous les entiers naturels.
Suis pas du tout matheux, mais à 71 ans, malgré mes immenses lacunes, j'ai fini par comprendre le truc, en regardant 2× la vidéo. Je crois savoir que Gauss avait opéré différemment. Il avait écrit le problème de cette façon. 1+ 2+ 3+...+100 + 100+99+98...+1 =101+101+101.. =101×100 = n ( n+1 ) =10100 Donc chaque ligne = 10100 : 2= 5050. Ce qui peut se résumer par: n ( n+1 ) / 2 Le problème pour moi qui suis perfectionniste est de comprendre comment le gamin a eu l'idée de superposer, puis d'additionner deux suites inversées. Comment il a eu le déclic en quelque sorte. Car là, il n'y a rien d'évident ... C'est sans doute ce que j'ai baptisé : l'intuition logique, procédé qui m'arrive régulièrement à moi le littéraire, sans que je sache l'expliquer la plupart du temps... Magie et mystère de la mécanique cérébrale... Quelque part cela relève du merveilleux et personnellement, j'aime voir du merveilleux dans le réel, notamment à travers la complexité de ce dernier ( ex les fractales dans le schéma d'une feuille d'arbre, d'un flocon de neige, les mandalas..) Salutations d'un littéraire un peu poète et néanmoins logique...
C'est tellement limpide. Je sais pas quoi faire avec maintenant... mais suis content d'avoir compris. Comment ai je pu rater mon année de math en seconde....???
Quand j'étais au lycée j'avais trouvé une solution plus simple : j'avais dessiné des bâtons de largeur 1 et de hauteur 1, 2, ..., n collés les uns aux autres. Puis j'avais dit que l'aire de mon graphique valait 1+2+....+n. J'ai ensuite tracé une diagonale qui passait pas le coin inférieur gauche du premier bâton et qui arrivait au coin supérieur droit du dernier. J'avais un triangle rectangle isocèle d'aire n²/2. Par contre mon triangle ne recouvrait pas entièrement les bâtons, pour chacun d'entre eux il restait un triangle rectangle isocèle d'aire 1/2. J'avais donc montré que 1+2+....+n=n²/2+n/2=n(n+1)/2.
Autrement : (4). + (5) + (6) 1+ 2+ 3+.… (n-2)+ (n-1)+ n Cette expression on l’ajoute en la retournant ! n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1 Et on obtient…. (n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+.(n+1)+(n+1) n (n+1) et on divise par deux ! (Puisqu’on additionne l’expression deux fois !) n (n+1) / 2 (Formule générale !) n = 75 ans ( ton âge ! ) 75 (75+1) / 2 75 (76) / 2 75 x 38 = 2850 Bougies ! Si n = 1 an 1 (1+1) / 2 1 (2) / 2 1 x 1 = 1 bougie ! Si n = 4 ans 4 (4+1) / 2 4 x 5 / 2 4 x 2,5 = 10 bougies ! 1+2+3+4 = 10 bougies ! Attention : Autre joli problème .. Si l'on connait le nombre de bougies = 2850 et que l'on aimerait connaître l'âge correspondant on doit résoudre une équation du 2ème degré !
Une façon plus rigeureuse( c est ce qu on a vu qd j étais au collège) : Poson An=1+..k+...n An=n+....+n-k+1+...1 ==> 2An=(n+1)+...+(n+1)+..(n+1) =(n+1)n Donc An=n(n+1)/2
On peut aussi faire l'addition en partant de n, puis n-1,n-2 et additionner la ligne 1+2+3...+n. On obtient n fois n+1 et on divise par 2 puisqu'on a doublé la somme.
J'ai démontré la formule par une autre méthode. 1+2+3+4+...+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n Si j'additionne les 2 termes aux extrémités, j'obtiens a chaque fois n+1 : 1+n=n+1 2+(n-1)=n+1 3+(n-2)=n+1 4+(n-3)=n+1 etc... Selon cette méthode, on peut réaliser (n/2) couples dont la somme fait (n+1). On retrouve donc bien la formule (n/2)×(n+1).
Ma façon de simplifier est la suivante. Le plus petit chiffre ajouter au plus grand car le résultat sera identique au 2eme plus petit plus le 2eme plus grand etc soit 101 (100+1 99+2 98+3...) multiplié par la moitié des nombres sachant que l ln à fait des groupes de 2, soit 101 par 50 soit 5050. Désolé pour le manque de clarté de ma démonstration
Avec cette réflexion, on déduit que 1+n est égal à 2+(n-1), 3+(n-2), etc. Donc en calculant 2 fois la somme des entiers de 1 à n, notée S : 2S = (n+1)+(n-1+2)+(n-2+3)... n fois 2S = n(n+1) S = n(n+1)/2 (Juste pour amener un peu plus de clarté :) )
Je viens de trouver autre méthode pour calculer tous les nombres entiers jusqu'à 100 (on peut le faire aussi avec d'autres nombres). La formule est la suivante : (nombre) = (Nombre x Moitié du nombre) + Moitié du nombre Ce qui donne : (100 x 50) + 50 = 5000 + 50 = 5050. Je pense que je viens de "raccourcir" le calcul de Gauss...
moi je connaissais en faisant 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ .......+n + n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+.......+1 --------------------------------------------------------- (n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+.......+(n+1)=n(n+1) donc 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ .......+n=n(n+1)/2 et ce truc marche avec beaucoup de suites.... mais je suis pas un sale Gauss.. j 'ai 10 ans et dare ta gueule à la récrée!
Mon prof me l'avait montré non sous forme de rectangle mais en partant du principe que l'addition recherchée, qu'on appellera A, était égale à 2A/2. Ainsi, en ajoutant à A à lui-même mais en partant de n, on obtient n+1 + n-1+2 + n-2+3 ..... + 1+n, donc n×(n+1). En bref, 2A=n(n+1), donc pour l'expression recherchée, A=n(n+1)/2
Pourquoi ne pas donner la démonstartion qui consiste à calculer : 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n + n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 On voit que 1+ n = n+1 2+(n-1) = n+1 etc... Donc on a n termes valant n+1 donc n x (n+1) or on a prios 2 fois la suite que l'on cherche donc 1+2+3+...+n = n(n+1)/2
Gauss avait remarqué que 50+51=101; 49+52=101; 48+53=101... jusqu'à 1+101=101. Et en fait, 1+2+3+4+...+100 est égal à 50x101, et c'est bien égal à 5050!
Pourtant si on calcule l'aire du triangle rectangle en faisant (base*hauteur)/2, on trouve (10*10)/2 = 50 et (100*100)/2 = 5000, au lieu de 55 et 5050. Ça m'intrigue. De plus, la formule marche pour tout n entier naturel, pas seulement pour n supérieur ou égal à 2, comme indiqué à la fin de la vidéo notamment. Toutefois, la manière d'expliquer est relativement originale et intéressante.
@@agazar9173 Oui oui je comprends. Mais je ne vois pas trop pourquoi l'aire du triangle constitué des billes rouges (100) n'est pas égale à celle de la moitié du rectangle (110) (Lorsque n = 10) !
En fait la vraie suite est 0+1+2+3...+n Ainsi la ligne graphique avec 0 boule rouge est justifiée sans altérer le résultat puisque 0 est l'élément neutre de l'addition.
Perso j’ai remarqué en 2 sec que les opposés faisait 101 tout le temps 100 et 1 99 et 2 …. Et jusqu’à 50 et 51 font 101 Donc 50 * 101 = 5050 Ça m’a pris 30 sec
personnellement pour faire ce problème j ai associé en binôme les nombres pour que leurs somme soit égal à cent Ex 99et 1ou encore 34 et 66. on se retrouve avec 50 binômes qui chacun égal à 100, plus 50 car il n'a pas de binôme donc 50 x 100 + 50 = 5050
Super proff Je suis triste 😔 en réalisant que je suis tombé sur des profs bon à rien pendant ma scolarité. Fallait bouffer des vérités toutes faites sans explication. Quel gâchis. Sûrement que la vie de beaucoup de gamins aurait pu être tout autre avec cette façon d'expliquer. Si ta chaîne fonctionne c'est pas pour rien... en espérant que d'autres enseignants en prennent de la graine...
J'ai plusieurs solutions à ce problème, peux-tu m'aider : Problème du type Tartaglia (mathématicien italien 1499-1557) Si 3 chats attrapent 3 souris en 3 minutes combien faut-il de chats pour attraper 12 souris en 12 minutes ?
mon prof à l'époque n'avait pas schématisé avec des billes mais c'était tout aussi bidon et sur exactement le même principe. il nous a mis la ligne 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 100 puis en dessous 100+99+98+97+......+1 soit exactement la même chose à l'envers on remarque que si on addition ces 2 lignes membres par membres on obtient 101+101+101+101....+101 et cela 100 fois donc on en revient très vite à 100*101=2fois la somme qu'on cherche. Puis il nous l'a étendu tout simplement à n
Perso j'avais trouvé la même chose mais différemment, j'ai essayé de calculer pour 10, 10 + 9+1+8+2+7+3+...+5 et j'ai vu que ça faisait 10 fois bah la moitié de 10 vu que tous les chiffres trouvent ce qui leur manque pour faire 10 plus la moitié de 10 car 5 est seul donc ça donne 10×(10/2)+10/2 Autrement dit (n²+n)/2 ou n(n+1)/2 donc ça marche non ? :)
Génial mais je me demande comment si on te demande de résoudre problème réussir à se dire qu’à la base la suite forme la moitié de l’air d’un rectangle c’est quasiment impossible de deviner ça à part si t’es un génie 😅
J’aime beaucoup ta chaîne et j’y apprend beaucoup mais je vit au United state for 11 I just wanna the all math this the same or ?? And I don’t understand one lesson it’s a pre calculus function
Salut, l'autre jour en ds quand j'avais fini je me suis posé la question et j'ai réussi à démontré sans rectangle en plaçant n dans tous les termes : A = 1+2+3...+n A = n + (n-1) + (n-2)... + (n-n) Donc A = n x n + n -1-2-3...-n A = n x n + n -A Donc A = n carré + n le tout sur 2 Comme ça ça tient en 5 lignes (PS : je suis pas en première, je suis en seconde ;) )
Yo, j'ai une question comment tu fais si on doit a chaque fois doublé le nombre .. Ex. 234 double double double etc... Juste ça doublé 25 fois. Ya pas un moyen plus simple xD ?
(Premier_terme_qui_y_est - premier_terme_qu_ y_est_pas) / (1 - la_aison) chez toi ca vaut (234 - 234^26) / (1-2) On appelle ca suite géometrique. Resultat connu et utilisé dans plein de demonstrations en particulirer si la raison est >0 et
Attention je donne ma façon de répondre à cette question ! Je me suis dit 1+99=100, 2+98=100, 3+97=100.... J'ai remarquer que les seul nombres avec les quels cela ne marché pas sont 50 et 100 (je les place de côté) . Il me reste donc 49 nombres en dessous de 50 et 49 nombres au dessus de 50. J'ai donc fait 49×100=4900 Je rajoute les nombres que j'ai mis de côté (50 et 100, 50+100=150) 4900+150=5050. Réponse : 1+2+3+.....+100=5050
J'adore la personnalité de ce prof,il est toujours optimiste et souriant ,ça me plaît beaucoup lorsque je regarde ses vidéos.Il sait très bien comment simplifier les choses qui paraissent un peu difficiles.
Grand respect monsieur🌿
Vous êtes vraiment génial et très doué pour enseigner ! Votre force c’est que vous savez vous mettre à la place de celui qui vous écoute pour la première fois sur un sujet qu’il ne connaît pas . Si seulement j’avais pu vous connaître dans ma jeunesse...Ma vie professionnelle aurait été plus simple ! 🙏 Merci grand Monsieur.
Le gas il a toujours le sourire il prend du plaisir a expliquer clairement et ça se voit. D'ailleurs c'est comme la vidéo sur. Combien de bougies d'anniversaire depuis ta naissance. n×(n+1) ÷ 2. Merci beaucoup
J'adore ce prof! Il me donne envie d'essayer de comprendre les maths. C'est toujours super clair. Merci encore pour ces vidéos.
Très bonne vidéo, les explications sont pertinentes et clairs. Je n’avais pas jamais fait le lien entre la modélisation d’un rectangle et cette formule auparavant et je trouve cette manière de démontrer très intuitive et intéressante. Tous les profs devraient s’appuyer sur cette vidéo afin de l’expliquer à leurs élèves car je pense que c’est un moyen simple et efficace de leur faire comprendre. Ce qui est dommage c’est que beaucoup de gens utilisent des formules mathématiques sans comprendre d’où elles sont tirés et surtout la manière dont elles ont été déduites. En effet, beaucoup connaissent seulement leurs fonctions, et dans quel contexte faut il les utiliser, ce que je trouve malheureux. C’est tellement beau d’exploiter l’une de ces expressions jusqu’à en trouver l’explication. Ce n’est que mon avis. Tout ça pour dire que votre vidéo vaut le détour, bravo ! 👌
C'est tellement clair ! Pourquoi n'ais-je pas eu un prof comme vous à l'époque ?
c'est le problème de tous.
@@Khalid_Sef Moi, j'ai eu un prof comme lui.
Franchement merci beaucoup pour vos cours. J ai plus compris les maths en 10mn qu en quelques années. Merci bcp pour votre travail qui est très pédagogue
Sincèrement vous avez une méthode très intelligente .....dire que je suis ingénieur d'état ....bac+5 ....et après tant d'années j'ai pu comprendre l'esprit de la chose.... Merci beaucoup....
Idem pour moi .. J'adore les vidéos de Hedacademy .. Toujours pertinentes, passionnantes, excellentes ..
Je suis d'un âge avancé et j'essai d'apprendre les mathématiques. Merci pour votre vidéo, je viens de comprendre d'où venait le 2 au dénominateur dans le calcul d'une suite. encore merci.
Et bien merci, après 40 ans à haïr les matchs, grâce à tes explications, j'ai l'impression du haut de mes 50 ans à commencer à les apprécier.
Pareillement, moi aussi je haïssais les maths avant de le découvrir hier soir!!!!😂😂😂😂
Bonjour, tout d'abord MERCI pour vos vidéos géniales. J'aurais adoré avoir un prof de math comme vous.
Pourriez-vous, s'il vous plait, refaire cette vidéo, mais en ajoutant le fait que cette somme tant vers -1/12. Cette démonstration me fascine à chaque fois que je l'entends.
Bonne journée.
th-cam.com/video/xqTWRtNDO3U/w-d-xo.html&ab_channel=Micka%C3%ABlLaunay
Belle modélisation mathématique de la somme de n premiers nombres naturels : génial !!!⚘👍
Merci chef, très clair et très bien expliqué, la formule paraissait complexe à comprendre mais je ne savais pas que c'était aussi simple que ça
Quand Gauss a répondu le prof s'est dit: "sale Gauss"
PTDRRRRRRR
élu meilleure commentaire
@Theobabac prends des notes
Ça marche pas en allemand
Remarquables vos vidéo. Un régale d apprendre ce que j ai jamais réussi à comprendre étant plus jeune.
Merci
Magnifique, j'aime bien votre méthode. Une façon trés intélegente de faire aimer les mathématiques au gens.... Merci.
Si je t'avais eu comme prof de math, ma vie ne serait pas là même. Merci ❤️
Cool, A 50 ans j'avais oublié le truc. L'explication avec la démonstration est génial. Merci.
Avec des profs comme toi tu les élèves seraient des extraterrestres bravo bravo bravo,
Merci beaucoup vous expliquez beaucoup mieux que mon prof de 1ère vous sauvez mon dst de demain. Merci
🤯💪🧠👍🤓
L'impression que mon cerveau se débloque.
Merci 💞😘😍
Les explications sont claires et amusantes.
Super j'ai tout compris!
Merci professeur.
Sa m'tue il parle fort et tout d'un coup il chuchote 🤣
Wow!!! Dommage que je ne sois pas tombée sur vos vidéos avant, c'est A1
Mon souhait je veux d'être un professeur comme vous.c'est clair ce que vous nous Montrez.
Mon prof de CM2 m'avait posé à l'époque cette énigme et je l'avais résolue en faisant des paires : (1+100) + (2+99) + (3+98)... ce qui donnait 50 couples de somme 101, N/2 couples de somme N+1. On en revient évidemment à la même solution. Peut-être un peu moins propre comme méthode mais j'étais content.
C'est un souvenir que j'ai, l'anecdote de Gauss sur l'addition de suite... Quel souvenir !
Merci je Reviens voir cette vidéo à chaque fois que je dois utiliser cette méthode
Merci bcp. J'ai du regarder la video 2-3 fois m'ai j'ai finis par comprendre et enregistrer Qq chose que j'avais pas compris tout au long de mes études.
c'est incroyable cette façon de calculer c'est génial ! tu me fais aimer les maths ^^
J'adore tes petits défis! * * * *
S = 1 + 2 + 3 + .. + (n-1) + n ; (on a donc n termes, avec n Entier > 1)
on reformule S en décomposant chaque terme comme 3 sous-termes (que l'on présente en 3 'colonnes'):
1 + n - (n-0)
+ 1 + n - (n-1)
+ 1 + n - (n-2)
+ ..
+ 1 + n - (n - (n-2)) ; (= 1 + n + 2)
+ 1 + n - (n - (n-1)) ; (= 1 + n + 1)
__________________________________
= n + n² - S
(puisqu'on a n termes!.. + il faut juste remarquer que la somme des éléments de la 3ème 'colonne' correspond à S)
Alors S = n + n² - S
S = (n+n²)/2 ou S = n.(n+1)/2
c'est un cqfd!-)* .. ou ça manque de rigueur mathématique??
(ps: je suis content d'avoir galéré pour trouver cette astuce! ;-)
Très amusant de retrouver ces démonstrations!!! J'espère que vous avez beaucoup de jeunes adeptes car vos explications sont très claires!!
Somme des n premiers nombres entiers.
Voici une démonstration très simple du calcul de la somme des n premiers nombres entiers, basée sur les propriétés de l'addition, de la multiplication, ainsi que sur les propriétés des égalités.
S = 1+2+3+4+5+......(n-1)+n
L'addition étant commutative on peut écrire aussi :
S = n+(n-1)+.......5+4+3+2+1
On ajoute membre à membre ces deux égalités en remarquant que dans le second membre on peut grouper les termes (propriété d'associativité) par deux de telle sorte que leur somme soit (n+1).
En effet on a :
n+1 , puis 2+(n-1)=n+1, puis 3+(n-2)=n+1 etc.......
et l'on peut former n groupements puisqu'il y a n nombres.
Il s'ensuit que :
S+S = 2S = n(n+1).
S = n(n+1)/2
Enfin une vraie explication de cette chose qui n'arrive pas à l'improbable -1/12
Ca c'est quand n tends vers l'infini... et effectivement dans ce cas -1/12 est un résultat de fait. Voir Le Hollandais Casimir Hendriks qui a mis ce résultat en évidence dans une expérience physique.
a l'epoque, j'avais trouvé une méthode plus bourrine, mais qui marche assez bien aussi: on cherche donc la somme de 0+1+2+3+4...+100. Il y a 50 "couples" de nombres qui additionnés font 100 (0+100, 1+99, 2+98...) et il reste le 50 tout seul. donc: (50*100)+50= 5050. Ca ne marche pas si on veut théoriser, mais de manière pratique, cette facon de penser m'a déjà sortit de pas mal d'embrouilles.
Merci bcp bonne explication que dieu te protège merci.
l'ecole laïque tu connais? 😡
@@v.mauboussin Vas rager ailleurs
@@brolydz5400 Et toi va ouvrir un Bescherelle 😁👍
@@v.mauboussin J'ai fais aucune faute.
@@brolydz5400 Ah bon ? et l'impératif présent du verbe aller c'est quoi? 😅👍🏻
Va te coucher aller je ne t'en veux pas... La prochaine fois réfléchis avant d'écrire ! 🤭
Parfaitement bien illustré !!!!
Merci. C'était plus simple ici de sortir du cadre abstrait des maths comme tu disais :)
@@hedacademy CQFD !!! 😊😉
Merci mek t si j’ai mon bac c’est vraiment et uniquement grâce à toi (je suis en ES term du coup si ta envie de reparler du programme es hésite vraiment pas) demain j’ai ds sur le tvi et ta vidéo tvi me sauve la vie
Ps: jmet mon commentaire ici comme ça je suis sur tu le vois
Merci pour ton retour. Il y a pas mal de vidéos pour Term ES, des playlists..
Un travail régulier, ne jamais te décourager, t'entraîner sur les exercices type, quelques visionnages de vidéos et tu devrais être plus serein en juin.
Bon courage à toi
Super pédagogie, plaisir d'enseigner, bravo. Bon, on fait une critique? Après la phase expérimentale (avec 10, avec 100) qui permet de deviner l'astuce, il aurait fallu appliquer le principe de récurrence: formellement, montrer que la formule est valable pour n=2 puis montrer que si elle est vraie pour un n donné, alors elle est vraie pour n+1. Et là, on est bon, c'est poétique 🙂
j'ai mis en place un programme d'épargne . et j'aimerais savoir comment calculer le montant que j'aurais épargné au jour n sachant que chaque jour j'épargne un euro de plus que le jour precedent . tout en surposant que j'ai commencé avec un euro. dois je utiliser les suits 🤔🤔🤔 comment ?
J'avais tellement galéré avec les suites ! Pourquoi on ne m'avait pas montré ce rectangulaire ? 😭
Pareil ;-)
Tu assurés mec 👍
merci mon prof prefere bonne continuation mercccci
Tres Bonne explication
J'aurais calculé pour 1,2,3,4,5.
A partir de là, on peut soupçonner que la formule est n(n+1)/2
Reste ensuite à démontrer par récurrence :
- ça marche pour 1
- si on suppose que ça marche pour n, on montre que ça marche pour n+1 :
1+2+3+...+(n+1)= n(n+1)/2+(n+1)= (n+1)(n/2+1)=(n+1)(n/2 + 2/2)= (n+1)(n+2)/2
Donc ça marche pour 1 et, quand ça marche pour n, ça marche pour n+1
Donc la formule est valable pour tous les entiers naturels.
Belle démonstration
Suis pas du tout matheux, mais à 71 ans, malgré mes immenses lacunes, j'ai fini par comprendre le truc, en regardant 2× la vidéo. Je crois savoir que Gauss avait opéré différemment. Il avait écrit le problème de cette façon.
1+ 2+ 3+...+100
+
100+99+98...+1
=101+101+101..
=101×100 = n ( n+1 )
=10100
Donc chaque ligne = 10100 : 2= 5050.
Ce qui peut se résumer par: n ( n+1 ) / 2
Le problème pour moi qui suis perfectionniste est de comprendre comment le gamin a eu l'idée de superposer, puis d'additionner deux suites inversées. Comment il a eu le déclic en quelque sorte. Car là, il n'y a rien d'évident ... C'est sans doute ce que j'ai baptisé : l'intuition logique, procédé qui m'arrive régulièrement à moi le littéraire, sans que je sache l'expliquer la plupart du temps... Magie et mystère de la mécanique cérébrale... Quelque part cela relève du merveilleux et personnellement, j'aime voir du merveilleux dans le réel, notamment à travers la complexité de ce dernier ( ex les fractales dans le schéma d'une feuille d'arbre, d'un flocon de neige, les mandalas..) Salutations d'un littéraire un peu poète et néanmoins logique...
Vous êtes super....merci beaucoup
Compréhensible parfait quoi!
Merci beaucoup super vidéo
Franchement cette chaine est ma decouverte YT xd l'annee...
Faut la partager en masse
C'est tellement limpide. Je sais pas quoi faire avec maintenant... mais suis content d'avoir compris. Comment ai je pu rater mon année de math en seconde....???
Quand j'étais au lycée j'avais trouvé une solution plus simple : j'avais dessiné des bâtons de largeur 1 et de hauteur 1, 2, ..., n collés les uns aux autres. Puis j'avais dit que l'aire de mon graphique valait 1+2+....+n. J'ai ensuite tracé une diagonale qui passait pas le coin inférieur gauche du premier bâton et qui arrivait au coin supérieur droit du dernier. J'avais un triangle rectangle isocèle d'aire n²/2. Par contre mon triangle ne recouvrait pas entièrement les bâtons, pour chacun d'entre eux il restait un triangle rectangle isocèle d'aire 1/2. J'avais donc montré que 1+2+....+n=n²/2+n/2=n(n+1)/2.
Autrement : (4). + (5) + (6)
1+ 2+ 3+.… (n-2)+ (n-1)+ n
Cette expression on l’ajoute en la retournant !
n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1
Et on obtient….
(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+.(n+1)+(n+1)
n (n+1) et on divise par deux ! (Puisqu’on additionne l’expression deux fois !)
n (n+1) / 2 (Formule générale !)
n = 75 ans ( ton âge ! )
75 (75+1) / 2
75 (76) / 2
75 x 38 = 2850 Bougies !
Si n = 1 an
1 (1+1) / 2
1 (2) / 2
1 x 1 = 1 bougie !
Si n = 4 ans
4 (4+1) / 2
4 x 5 / 2
4 x 2,5 = 10 bougies !
1+2+3+4 = 10 bougies !
Attention :
Autre joli problème ..
Si l'on connait le nombre de bougies = 2850 et que l'on aimerait connaître l'âge correspondant on doit résoudre une équation du 2ème degré !
Une façon plus rigeureuse( c est ce qu on a vu qd j étais au collège) :
Poson An=1+..k+...n
An=n+....+n-k+1+...1
==> 2An=(n+1)+...+(n+1)+..(n+1)
=(n+1)n
Donc An=n(n+1)/2
On peut aussi faire l'addition en partant de n, puis n-1,n-2 et additionner la ligne 1+2+3...+n.
On obtient n fois n+1 et on divise par 2 puisqu'on a doublé la somme.
I love your Channel.
Et que vaut cette somme si n tend vers + l'infini?
J'ai appris l'autre méthode. Faire 100+1 + 99+2 +... Et on retrouve la même règle. Mais cette méthode présentée dans la vidéo me plaît bien.
J'ai démontré la formule par une autre méthode.
1+2+3+4+...+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n
Si j'additionne les 2 termes aux extrémités, j'obtiens a chaque fois n+1 :
1+n=n+1
2+(n-1)=n+1
3+(n-2)=n+1
4+(n-3)=n+1
etc...
Selon cette méthode, on peut réaliser (n/2) couples dont la somme fait (n+1). On retrouve donc bien la formule (n/2)×(n+1).
Ma façon de simplifier est la suivante. Le plus petit chiffre ajouter au plus grand car le résultat sera identique au 2eme plus petit plus le 2eme plus grand etc soit 101 (100+1 99+2 98+3...) multiplié par la moitié des nombres sachant que l ln à fait des groupes de 2, soit 101 par 50 soit 5050. Désolé pour le manque de clarté de ma démonstration
Avec cette réflexion, on déduit que 1+n est égal à 2+(n-1), 3+(n-2), etc.
Donc en calculant 2 fois la somme des entiers de 1 à n, notée S :
2S = (n+1)+(n-1+2)+(n-2+3)... n fois 2S = n(n+1) S = n(n+1)/2
(Juste pour amener un peu plus de clarté :) )
Je viens de trouver autre méthode pour calculer tous les nombres entiers jusqu'à 100 (on peut le faire aussi avec d'autres nombres).
La formule est la suivante : (nombre) = (Nombre x Moitié du nombre) + Moitié du nombre
Ce qui donne : (100 x 50) + 50
= 5000 + 50 = 5050.
Je pense que je viens de "raccourcir" le calcul de Gauss...
moi je connaissais en faisant
1+ 2+ 3+ 4+ 5+ .......+n
+
n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+.......+1
---------------------------------------------------------
(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+.......+(n+1)=n(n+1)
donc
1+ 2+ 3+ 4+ 5+ .......+n=n(n+1)/2
et ce truc marche avec beaucoup de suites....
mais je suis pas un sale Gauss.. j 'ai 10 ans et dare ta gueule à la récrée!
Super ! Mais comment expliquer que la suite 1 + 2 + 3 + 4... jusque + l'infini soit paraît-il égale à -1/12 ?
Pourrais-tu expliquer cela aussi stp ? 🙂
Ramanujan, sors de ce corps !
Et Casimir aussi, d'ailleurs ! 😝
th-cam.com/video/xqTWRtNDO3U/w-d-xo.html
Mickaël Launay l'explique bien ! th-cam.com/video/xqTWRtNDO3U/w-d-xo.html :)
You are genius
Mon prof me l'avait montré non sous forme de rectangle mais en partant du principe que l'addition recherchée, qu'on appellera A, était égale à 2A/2. Ainsi, en ajoutant à A à lui-même mais en partant de n, on obtient n+1 + n-1+2 + n-2+3 ..... + 1+n, donc n×(n+1). En bref, 2A=n(n+1), donc pour l'expression recherchée, A=n(n+1)/2
3amarni xft xi ostad nadi bhalk kml wrak mnwr
Sympa merci pour le cours en fait c était juste ca .
Mes encouragements.
super démonstration et d'une clarté! Par contre les contradicteurs ne vous arrivent pas à la cheville pour démontrer leurs brouillons! 🤣😂😉😜
Problème : quand n est l'infinie, la somme vaut -1/12.
Génial
Pourquoi ne pas donner la démonstartion qui consiste à calculer :
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
+ n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1
On voit que 1+ n = n+1
2+(n-1) = n+1
etc...
Donc on a n termes valant n+1 donc n x (n+1) or on a prios 2 fois la suite que l'on cherche donc 1+2+3+...+n = n(n+1)/2
j'adore ;-)
Gauss avait remarqué que 50+51=101; 49+52=101; 48+53=101... jusqu'à 1+101=101. Et en fait, 1+2+3+4+...+100 est égal à 50x101, et c'est bien égal à 5050!
mrc bcp bonne expl j ai bien compris
Les pouces en bas sont des profs de math qui se font détester de leurs élèves 🤪🤣
Pourtant si on calcule l'aire du triangle rectangle en faisant (base*hauteur)/2, on trouve (10*10)/2 = 50 et (100*100)/2 = 5000, au lieu de 55 et 5050. Ça m'intrigue. De plus, la formule marche pour tout n entier naturel, pas seulement pour n supérieur ou égal à 2, comme indiqué à la fin de la vidéo notamment. Toutefois, la manière d'expliquer est relativement originale et intéressante.
101*100, il y a plus 1 dans la largeur
@@agazar9173 Dans le cas n = 10, je compte 10 boules rouges en longueur et 10 boules rouges en largeur aussi.
@@Gabi_09 c'est pas l'aire du triangle mais du coup la moitié de l'aire du rectangle
@@agazar9173 Oui oui je comprends. Mais je ne vois pas trop pourquoi l'aire du triangle constitué des billes rouges (100) n'est pas égale à celle de la moitié du rectangle (110) (Lorsque n = 10) !
En fait la vraie suite est 0+1+2+3...+n
Ainsi la ligne graphique avec 0 boule rouge est justifiée sans altérer le résultat puisque 0 est l'élément neutre de l'addition.
Perso j’ai remarqué en 2 sec que les opposés faisait 101 tout le temps 100 et 1
99 et 2 …. Et jusqu’à 50 et 51 font 101
Donc 50 * 101 = 5050
Ça m’a pris 30 sec
Moi j’avais trouvé 5000 en faisant 50* 100 (j’y étais presque 😅)
personnellement pour faire ce problème j ai associé en binôme les nombres pour que leurs somme soit égal à cent Ex 99et 1ou encore 34 et 66. on se retrouve avec 50 binômes qui chacun égal à 100, plus 50 car il n'a pas de binôme donc 50 x 100 + 50 = 5050
Super proff
Je suis triste 😔 en réalisant que je suis tombé sur des profs bon à rien pendant ma scolarité. Fallait bouffer des vérités toutes faites sans explication. Quel gâchis. Sûrement que la vie de beaucoup de gamins aurait pu être tout autre avec cette façon d'expliquer.
Si ta chaîne fonctionne c'est pas pour rien... en espérant que d'autres enseignants en prennent de la graine...
S'il vous plaît est ce que vous pouvez m'expliquer {les suites numériques la somme des n ième nombre premier.}
J'ai plusieurs solutions à ce problème, peux-tu m'aider : Problème du type Tartaglia (mathématicien italien 1499-1557) Si 3 chats attrapent 3 souris en 3 minutes combien faut-il de chats pour attraper 12 souris en 12 minutes ?
Il te faut le même nombre de chat puisque tu quadruple le temps de capture, ce qui permet aux chat d attraper 4x plus de souris, c est à dire 12
5;45 pk n supperieur ou égal à 2 ? 1x2=2 et 2 divisé par 2 égale1
j'ai retenu !!
Chapeau
Wooooooow 🤯🤯
mon prof à l'époque n'avait pas schématisé avec des billes mais c'était tout aussi bidon et sur exactement le même principe.
il nous a mis la ligne 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 100
puis en dessous 100+99+98+97+......+1 soit exactement la même chose à l'envers
on remarque que si on addition ces 2 lignes membres par membres on obtient
101+101+101+101....+101 et cela 100 fois donc on en revient très vite à 100*101=2fois la somme qu'on cherche. Puis il nous l'a étendu tout simplement à n
Comment trouver le nombre chronologique d un nombre premier?
Ex n.p5 est le 3eme
Merci
j'ai 12 ans j'ai réussi 1 plus 2 plus 3 plus 4 ... 100
en quelque seconde
cool ta vie
On apprend ça à l'école. Ah ! jeunesse. Comme elle est loin !
Perso j'avais trouvé la même chose mais différemment, j'ai essayé de calculer pour 10, 10 + 9+1+8+2+7+3+...+5 et j'ai vu que ça faisait 10 fois bah la moitié de 10 vu que tous les chiffres trouvent ce qui leur manque pour faire 10 plus la moitié de 10 car 5 est seul donc ça donne 10×(10/2)+10/2
Autrement dit (n²+n)/2 ou n(n+1)/2 donc ça marche non ? :)
Bonjour, pourquoi n doit il être supérieur ou égal à 2?
Euh sinon ça fait 1=1 ou 0=0 c'est pas très passionnant ...
Génial mais je me demande comment si on te demande de résoudre problème réussir à se dire qu’à la base la suite forme la moitié de l’air d’un rectangle c’est quasiment impossible de deviner ça à part si t’es un génie 😅
J’aime beaucoup ta chaîne et j’y apprend beaucoup mais je vit au United state for 11 I just wanna the all math this the same or ??
And I don’t understand one lesson it’s a pre calculus function
Salut, l'autre jour en ds quand j'avais fini je me suis posé la question et j'ai réussi à démontré sans rectangle en plaçant n dans tous les termes :
A = 1+2+3...+n
A = n + (n-1) + (n-2)... + (n-n)
Donc A = n x n + n -1-2-3...-n
A = n x n + n -A
Donc A = n carré + n le tout sur 2
Comme ça ça tient en 5 lignes
(PS : je suis pas en première, je suis en seconde ;) )
Yo, j'ai une question comment tu fais si on doit a chaque fois doublé le nombre ..
Ex.
234 double double double etc... Juste ça doublé 25 fois.
Ya pas un moyen plus simple xD ?
(Premier_terme_qui_y_est - premier_terme_qu_ y_est_pas) / (1 - la_aison)
chez toi ca vaut
(234 - 234^26) / (1-2)
On appelle ca suite géometrique. Resultat connu et utilisé dans plein de demonstrations en particulirer si la raison est >0 et
Attention je donne ma façon de répondre à cette question
!
Je me suis dit
1+99=100,
2+98=100,
3+97=100....
J'ai remarquer que les seul nombres avec les quels cela ne marché pas sont 50 et 100 (je les place de côté) .
Il me reste donc 49 nombres en dessous de 50 et 49 nombres au dessus de 50.
J'ai donc fait 49×100=4900
Je rajoute les nombres que j'ai mis de côté (50 et 100, 50+100=150)
4900+150=5050.
Réponse :
1+2+3+.....+100=5050
Merci
Paradoxalement cette règle est valable quand n est déterminé. Mais elle change complètement quand n vire vers l'infinie