ขนาดวิดีโอ: 1280 X 720853 X 480640 X 360
แสดงแผงควบคุมโปรแกรมเล่น
เล่นอัตโนมัติ
เล่นใหม่
45年ぶりくらいに教養部の微分積分学の講義が腑に落ちました。感謝です。先生のような方に教わっていれば文系に変わらなかったかもしれません。今の人たちはインターネットで必要な知識が得られるのでうらやましいです。
今の人たちにおいても、当時で考えるところの講義だけではなく自主的に図書館で本を読む、といったタイプでない限りは調べないですよ気になったところって身体の痒みみたいなもので結局掻くんですよよ
昔より調べることのハードルが下がっているのは大きいですよ図書館へ移動したり高い書籍を買うことなく得られる知識の水準はかなり高まってますから、昔なら諦めていた疑問でも答えを得られるありがたみがありますmotohisa ochiaiさんが言っているのはそういうことだと思いますよ
@@Ryo-yh7bb 表現が絶妙笑
@@Ryo-yh7bbわかるようで分からん比喩だな。痒いところ書くんだったら、今の子は調べるってことだろ。(痒いところがある今の子は)まごの手って道具があって良いなあってことでしょ。(もし昔まごの手が存在しなかったとして)
微分のd/dxも、積分の∫〜dxもなんらかの数字ではなく記号ですと高校で教わってたから、理学部1年にして早くもこれでつまずいてたなあ。
高校では、dxの意味はいつか習うよで飛ばされたでも大学でもdxの意味も習わないまま現在に至る
それがまさに微分形式です
大学院で微分形式まで学習したときに、それまで別々だった色々なものが繋がって感動したことを思い出しました。
なんと全微分＝一次微分形式の線形結合だったのか。英語も学べるので最高です！！
私は工学畑の出身なのでいわゆる厳密な微分積分とは無縁で、'微分' も単純に「微小変化」のことであると理解してこれまで過ごしてきました。それで何の支障もなかったのです。しかし、同時に学生時代に眺めただけの「解析概論」の '微分' の説明がさっぱりわからず（何かいいわけがましい説明）、それがずっと気になっていたことも確かです。 '微分' dy、dx は関数でも数でもない。なのになぜ dy/dx は導関数になるのか？ このことが今もってさっぱりわかりません。工学者や物理学者の手になる微積分の教科書はほとんどもれなく '微分' の説明がありますが、その説明は直感的・素朴なものです。 そのせいか数学者の手になる微分積分の教科書には '微分' の概念を放り出しているものもあります。斎藤雅彦の「微分積分学」がそうで、1変数の微分はもちろんのこと、2変数でも全微分に触れていません。 難しいことを初等的に説明することは、それこそ至難の業とは思いますが、1次微分形式についてもう少し立ち入った説明が聞けたら幸いです。
d〇は単に「微小な〇の変化量」の意味で、dxは微小なxの変化量lim Δx→0 (Δx)の事だと習ったそしてd(関数)は「関数の変化量、だけど変数の変化量はΔ〇ではなくd〇が使われてますよ」の微小な関数の変化量？的なシンボルだと思ってただからf(x)の時、df＝f(x+dx)-f(x)2変数のf(x,y)の時、df＝f(x+dx,y)-f(x,y) + f(x,y+dy)-f(x,y) イメージは勾配のある平行四辺形っぽくでもこれだと計算しずらいから、それぞれdxとdyで割って偏微分の形を作りdf＝(∂f/∂x)dx＋(∂f/∂y)dyにしたんだと思ってた
微分形式については「数学的に厳密な定義」と「直感的な理解」を切り分けて解釈したほうがいいね。「接ベクトル空間の双対空間」という定義が与えられる前からdx,dyを用いた変数変換は直感的に行われていて、数学上の定義はあくまでそれらの直感操作を正当化するために後から作られたものにすぎないわけで。どちらか片方だけでは微分形式を理解したとは言えない
11:23 東京大学数学科では、微分形式と de Rahm コホモロジーを扱う学部 3, 4 年生向けの講義（選択必修）があります
今までの動画の中で、個人的には一番面白かったです
重積分の変数変換時のヤコビアンに 全微分が活躍したと思います。この辺まで拡大解説をお願いします。
大変分かりやすかったです！ありがとうございます！
わかりやすい！
全微分、技術職に進むと案外使うときが来るんですよね。高校では微分はdy/dxという分数の形で扱ったのに、大学に入って全微分が出てきて微分なのにdyだけを扱い始めるので面食らったな･･･。
私は学生なのですが、熱力学の範囲で山のように出現しました。技術職に就かれてらっしゃると思うのですが、やはりその分野の関係ですか？
@@日野富子-n6p 熱専門の仕事ではないです。ただ、熱って機械系職の多くで必要になるので、熱専門職でなくも熱力は使うことが多いです。機械系でなくても、三次元を扱う仕事だと全微分使うことになるかなと。
僕が習ったときは微分形式習ってないのに微分形式使うのはおかしいと先生が言ってフレシェ微分で定義されました
深すぎて笑いました
うわあ…おもしろい
dx = (∂x/∂z)dz +(∂x/∂w)dwdy = (∂y/∂z)dz +(∂y/∂w)dw の全微分の2式から、ヤコビアンを用いた変数変換の公式dxdy = ( (∂x/∂z)(∂y/∂w) - (∂x/∂w)(∂y/∂z) )dzdwが出て来ることを知ったときは、地味に鳥肌立ちましたね。
7:38 ここら辺からよくわからなくなった…
6:23ここまでは分かる。ここからはまじで何言ってるかわからんどうも工学部です。
全微分の公式に関する厳密な理由付けが存在する。たしかに、そうでないと納得できないかも。
コタンジェントバンドルて何？
私も、cotangent bundleがよくわからないので、続きとしてこの説明を聞きたいです
@@makoto399 多様体が分からない人になるべく分かりやすく言うと、今回のR^2の場合は、R^2のcotangent bundleはR^2の各点における接平面を全て非交和したものと考えて良いです。もっと一般に言うと、曲面が与えられたときに、各点において接平面が考えれて、さらにその接平面はベクトル空間なので双対空間が考えられます、その双対空間を全て非交和したものがcotangent bundleです。R^2の場合は、各点における上記の双対空間はその点における接空間と同一視していいです(Euclid軽量によって同一視する、この場合はとても簡単でx、y方向の単位ベクトルをdx、dyに写す同型写像を与えるだけであって視覚的にもx方向の単位ベクトルとdxが同じになるので分かりやすい、しかし一般の曲面はベクトル空間じゃないから視覚的に分かるような同一視はできない)。またR^2の場合は、点(p,q)において、接平面の基底は例えばdx_(p,q)、dy_(p,q)になります。そしてdf:R^2→T*(R^2)は(p,q)→df_(p,q)∈((p,q)における接平面)⊂T*(R^2)なんですね。
@@gisg9700 ありがとうございます！少し咀嚼には時間が必要になりますが、助かります！
曲面上の各点にベクトル空間をくれると思ってる。
20年前に習ったときに、なんじゃこれ？って思ったのが腑に落ちました。そうか、x軸、y軸への投影が先にあって、偏微分係数があっての、あの全微分の式なんすねぇ。物理だと全微分することはあんまりないし、もやもやしてたんですがスッキリしました。
n 変数関数がある点で微分可能という場合、その点で１次関数で近似できるということだと理解してるんですが、今回の話でいうと全微分できるということですかね？
スムージーの動画はいつですか？
ある意味dxってx軸を向かせるみたいな意味があるんでしょうか。
cotangent bundleさえ分かれば…！（非数学科）
dfはR^2からT^＊(R^2)への写像ではなく、fのグラフXという多様体からXのcotangent bundle T^＊(X)への写像ではないんですか？
って思ったけど、fのグラフXはR^2と明らかに微分同相だし、T^＊(X)も明らかにT^＊(R^2)と同一視できますね。。
同一視とかはなくても大丈夫です、ベクトル束の切断(section of vector bundles)で調べてみましょう
@@gisg9700 完全に勘違いでした。この場合だと、fはR^2上の関数なので、外微分したdfは明らかにR^2 上の1-formですね、、
充分に発達した数学は魔法と区別がつかない。x0, y0 のまわりに赤丸をぐりぐり描いた直後、fに赤丸が投影されて赤い楕円になって・・・と進むかと思ったら素っ飛ばしてどっか行って、完全に置いてきぼり食った。「1次微分形式」を知ってないと何を言ってるのかわからん動画だなあ。逆に、そこら辺りが理解のカギになるのかな。知らんけど。
最後の方で言われてるように院レベルの話なので数学科以外が理解するにはそれなりの準備が必要かもしれませんね
全微分の幾何学的意味や微分幾何学における全微分について、もう少し突っ込んで話して欲しいです。
多様体論を履修すれば学部でも習えると思います５
説明が足りないのでわからない。
違う、自分で勉強しないからわからないそれだけ
45年ぶりくらいに教養部の微分積分学の講義が腑に落ちました。感謝です。
先生のような方に教わっていれば文系に変わらなかったかもしれません。
今の人たちはインターネットで必要な知識が得られるのでうらやましいです。
今の人たちにおいても、当時で考えるところの講義だけではなく自主的に図書館で本を読む、といったタイプでない限りは調べないですよ
気になったところって身体の痒みみたいなもので結局掻くんですよよ
昔より調べることのハードルが下がっているのは大きいですよ
図書館へ移動したり高い書籍を買うことなく得られる知識の水準はかなり高まってますから、昔なら諦めていた疑問でも答えを得られるありがたみがあります
motohisa ochiaiさんが言っているのはそういうことだと思いますよ
@@Ryo-yh7bb
表現が絶妙笑
@@Ryo-yh7bbわかるようで分からん比喩だな。
痒いところ書くんだったら、今の子は調べるってことだろ。
(痒いところがある今の子は)まごの手って道具があって良いなあってことでしょ。(もし昔まごの手が存在しなかったとして)
微分のd/dxも、積分の∫〜dxもなんらかの数字ではなく記号ですと高校で教わってたから、理学部1年にして早くもこれでつまずいてたなあ。
高校では、dxの意味はいつか習うよで飛ばされた
でも大学でもdxの意味も習わないまま現在に至る
それがまさに微分形式です
大学院で微分形式まで学習したときに、それまで別々だった色々なものが繋がって感動したことを思い出しました。
なんと全微分＝一次微分形式の線形結合だったのか。英語も学べるので最高です！！
私は工学畑の出身なのでいわゆる厳密な微分積分とは無縁で、'微分' も単純に「微小変化」のことであると理解してこれまで過ごしてきました。それで何の支障もなかったのです。しかし、同時に学生時代に眺めただけの「解析概論」の '微分' の説明がさっぱりわからず（何かいいわけがましい説明）、それがずっと気になっていたことも確かです。
'微分' dy、dx は関数でも数でもない。なのになぜ dy/dx は導関数になるのか？
このことが今もってさっぱりわかりません。工学者や物理学者の手になる微積分の教科書はほとんどもれなく '微分' の説明がありますが、その説明は直感的・素朴なものです。
そのせいか数学者の手になる微分積分の教科書には '微分' の概念を放り出しているものもあります。斎藤雅彦の「微分積分学」がそうで、1変数の微分はもちろんのこと、2変数でも全微分に触れていません。
難しいことを初等的に説明することは、それこそ至難の業とは思いますが、1次微分形式についてもう少し立ち入った説明が聞けたら幸いです。
d〇は単に「微小な〇の変化量」の意味で、dxは微小なxの変化量lim Δx→0 (Δx)の事だと習った
そしてd(関数)は「関数の変化量、だけど変数の変化量はΔ〇ではなくd〇が使われてますよ」の微小な関数の変化量？的なシンボルだと思ってた
だからf(x)の時、df＝f(x+dx)-f(x)
2変数のf(x,y)の時、df＝f(x+dx,y)-f(x,y) + f(x,y+dy)-f(x,y) イメージは勾配のある平行四辺形っぽく
でもこれだと計算しずらいから、それぞれdxとdyで割って偏微分の形を作り
df＝(∂f/∂x)dx＋(∂f/∂y)dyにしたんだと思ってた
微分形式については「数学的に厳密な定義」と「直感的な理解」を切り分けて解釈したほうがいいね。「接ベクトル空間の双対空間」という定義が与えられる前からdx,dyを用いた変数変換は直感的に行われていて、数学上の定義はあくまでそれらの直感操作を正当化するために後から作られたものにすぎないわけで。どちらか片方だけでは微分形式を理解したとは言えない
11:23 東京大学数学科では、微分形式と de Rahm コホモロジーを扱う学部 3, 4 年生向けの講義（選択必修）があります
今までの動画の中で、個人的には一番面白かったです
重積分の変数変換時のヤコビアンに 全微分が活躍したと思います。この辺まで拡大解説をお願いします。
大変分かりやすかったです！ありがとうございます！
わかりやすい！
全微分、技術職に進むと案外使うときが来るんですよね。
高校では微分はdy/dxという分数の形で扱ったのに、大学に入って全微分が出てきて微分なのにdyだけを扱い始めるので面食らったな･･･。
私は学生なのですが、熱力学の範囲で山のように出現しました。
技術職に就かれてらっしゃると思うのですが、やはりその分野の関係ですか？
@@日野富子-n6p 熱専門の仕事ではないです。ただ、熱って機械系職の多くで必要になるので、熱専門職でなくも熱力は使うことが多いです。
機械系でなくても、三次元を扱う仕事だと全微分使うことになるかなと。
僕が習ったときは微分形式習ってないのに微分形式使うのはおかしいと先生が言ってフレシェ微分で定義されました
深すぎて笑いました
うわあ…おもしろい
dx = (∂x/∂z)dz +(∂x/∂w)dw
dy = (∂y/∂z)dz +(∂y/∂w)dw の全微分の2式から、
ヤコビアンを用いた変数変換の公式
dxdy = ( (∂x/∂z)(∂y/∂w) - (∂x/∂w)(∂y/∂z) )dzdw
が出て来ることを知ったときは、地味に鳥肌立ちましたね。
7:38 ここら辺からよくわからなくなった…
6:23
ここまでは分かる。
ここからはまじで何言ってるかわからんどうも工学部です。
全微分の公式に関する厳密な理由付けが存在する。たしかに、そうでないと納得できないかも。
コタンジェントバンドルて何？
私も、cotangent bundleがよくわからないので、続きとしてこの説明を聞きたいです
@@makoto399 多様体が分からない人になるべく分かりやすく言うと、今回のR^2の場合は、R^2のcotangent bundleはR^2の各点における接平面を全て非交和したものと考えて良いです。もっと一般に言うと、曲面が与えられたときに、各点において接平面が考えれて、さらにその接平面はベクトル空間なので双対空間が考えられます、その双対空間を全て非交和したものがcotangent bundleです。R^2の場合は、各点における上記の双対空間はその点における接空間と同一視していいです(Euclid軽量によって同一視する、この場合はとても簡単でx、y方向の単位ベクトルをdx、dyに写す同型写像を与えるだけであって視覚的にもx方向の単位ベクトルとdxが同じになるので分かりやすい、しかし一般の曲面はベクトル空間じゃないから視覚的に分かるような同一視はできない)。またR^2の場合は、点(p,q)において、接平面の基底は例えばdx_(p,q)、dy_(p,q)になります。そしてdf:R^2→T*(R^2)は(p,q)→df_(p,q)∈((p,q)における接平面)⊂T*(R^2)なんですね。
@@gisg9700 ありがとうございます！少し咀嚼には時間が必要になりますが、助かります！
曲面上の各点にベクトル空間をくれると思ってる。
20年前に習ったときに、なんじゃこれ？って思ったのが腑に落ちました。そうか、x軸、y軸への投影が先にあって、偏微分係数があっての、あの全微分の式なんすねぇ。物理だと全微分することはあんまりないし、もやもやしてたんですがスッキリしました。
n 変数関数がある点で微分可能という場合、その点で１次関数で近似できるということだと理解してるんですが、今回の話でいうと全微分できるということですかね？
スムージーの動画はいつですか？
ある意味dxってx軸を向かせるみたいな意味があるんでしょうか。
cotangent bundleさえ分かれば…！（非数学科）
dfはR^2からT^＊(R^2)への写像ではなく、fのグラフXという多様体からXのcotangent bundle T^＊(X)への写像ではないんですか？
って思ったけど、fのグラフXはR^2と明らかに微分同相だし、T^＊(X)も明らかにT^＊(R^2)と同一視できますね。。
同一視とかはなくても大丈夫です、ベクトル束の切断(section of vector bundles)で調べてみましょう
@@gisg9700
完全に勘違いでした。この場合だと、fはR^2上の関数なので、外微分したdfは明らかにR^2 上の1-formですね、、
充分に発達した数学は魔法と区別がつかない。
x0, y0 のまわりに赤丸をぐりぐり描いた直後、fに赤丸が投影されて赤い楕円になって・・・と進むかと思ったら素っ飛ばしてどっか行って、完全に置いてきぼり食った。
「1次微分形式」を知ってないと何を言ってるのかわからん動画だなあ。
逆に、そこら辺りが理解のカギになるのかな。知らんけど。
最後の方で言われてるように院レベルの話なので数学科以外が理解するにはそれなりの準備が必要かもしれませんね
全微分の幾何学的意味や微分幾何学における全微分について、もう少し突っ込んで話して欲しいです。
多様体論を履修すれば学部でも習えると思います５
説明が足りないのでわからない。
違う、自分で勉強しないからわからない
それだけ