Hopefully we can solve more of the Millennium Problems. Looking forward to the proof of the Riemann Hypothesis when it comes out... Whoever who solves any one of these problems deserves a Field's Medal.
2002年至2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼解决了庞加莱猜想中的一些瓶颈，被数学界公认为是庞加莱猜想的证明者。庞加莱猜想再次引起国际学术界的强烈关注。 2003年5月到6月份之间开始，曹怀东和朱熹平开始集中来证明庞加莱猜想，直到2005年的夏天基本完成，后面又有一些小修改。 2006年6月3日，朱熹平和曹懷東聲稱補全了佩雷爾曼對於龐加萊猜想證明中的漏洞，給出了完全證明。他們的證明運用了漢密爾頓和佩雷爾曼的理論，成功處理了猜想中奇異點的難題，以專刊的方式刊載在美國出版的《亞洲數學期刊》六月號。惟曹、朱二人在亞洲數學期刊的龐加萊猜想證明完全未經正常審核程序既逕發表，《紐約客》雜誌的文章《流形的命運》懷疑丘成桐以該期刊主編之便，發表利於自己團隊的成果；丘成桐與亞洲數學期刊的編輯群並未對此可能之弊端提出辯駁。佩雷爾曼表示曹、朱二人的證明『看不出新意』。 同年秋天，曹懷東與朱熹平的論文中，當中的內容，被發現與Bruce Kleiner及John Lott於2003年對佩雷爾曼第一篇論文預印本所做筆記，兩者之間有相當多段落逐字吻合。曹懷東與朱熹平宣稱當時忘記他們曾經把這些內容抄錄到他們的筆記中，在12月，他們發表一個修改後的論文版本《龐加萊猜想與幾何化猜想的漢米爾頓－佩雷爾曼證明》（Hamilton-Perelman's Proof of the Poicare Conjecture and the Geometrization Conjecture），不再宣稱他們給與完全證明，而只是對漢米爾頓－佩雷爾曼證明作出詳細闡述。
一段时间没看李老师，又开始自满，以为听得懂了🙂
老師上課講的好像我不懂中文一樣
今晚的睡眠质量又有保证了…
同感ヾ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ
老师的课听不懂，来留言区跟同学们抱团取暖了
你看看媽咪説……
这次的讲解，只有一部分我敢说自己百分百听懂了，那就是采蘑菇那一段😂
哈哈 关于四维空间的讲解 我也没次都听懂一维二维三维 然后就突然就啥都听不懂了 反复都听不懂
流形長什麼樣我是不知道，但有些倒楣鬼被丘比特射到眼睛很快就變成心形這我倒是看得出來
老哥你真行 挑了一段最难懂的 说你看懂了😉
超強
其他介紹這個猜想的主持人
只要講到這題目是要證明什麼時
基本上就是咳嗽兩聲就過去啦🤣
就李永樂老師 用筆+黑板解決😂
今天我认认真真地看完了，心里特别难过，难过自己懂中文却听不懂李老师所说的。
俺也是
@@银火龙 李老师的中文表达有严重问题。
他以为他说明白了，其实他没说明白。
听不懂很正常。那些自以为听懂的才应该难过。🤣🤣🤣
你确定他用的是中文？我一直怀疑
0:24 這小朋友問的問題難度太高了，把李老師嚇出一身汗了😨
其實我覺得有點可惜，Perelman使用的是Hamilton program裡的手法，但Hamilton在Ricci流上的工作，李老師簡單帶過了，雖然真的很難講，但只提Perelman的貢獻我也覺得對Hamilton不公平，這也是當初Perelman拒絕領受任何獎項的主要原因，他堅持，如果Hamilton沒有跟著獲獎，他絕對不會接受這些獎項，但又整天被記者追著跑，最後受不了才隱居的。如果不是這樣，說不定我們還可以看到Navier-Stokes方程式有許多重大進展，Perelman當年對這個題目也是深感興趣的，說不定他手上已經有不少成果，但他可能會等到過世才交由他人發表，或是乾脆永遠都不發表了也說不定。當然，只是猜測，說不定他對數學界失望後，開始隱居時就停止做研究了也說不定。
至於田剛跟曹懷東兩位教授，我覺得李老師很客氣地總結了他們的事情，不過這也算是數學界的一段軼事，讓它塵封了也好。
臭顯擺！你那麼懂，你怎麼不去做科普影片？就知道說風涼話。
笑死 樓主跟一樓有范進中舉的既視感
丘成桐带领弟子们抄袭
@@maniacklk8708別人只是補充了更多資料，哪裏有說風涼話？你內心有多憤怒和脆弱才會無緣無故向別人亂罵一頓
@@taodive2848 我完全不同意你的观点。邱成桐的学术成就公认是在Perelman现有已发表的成就之上的，他的学生曹淮东和朱熹平在Perelman的成果之上把遗漏的点补齐了。邱本人的说法是朱曹二人的工作是最完整的庞加莱猜想证明，并没有否认Perelman工作的原创性。朱曹二人事后的声明也重申了他们的工作是建立在Perelman的成果之上。科学的进化就是在既有知识上不断验证和查遗补缺，难道在别人基础之上做了改进就是抄袭了？不懂装懂，贻笑大方。
19:14 口误说错成庞加莱了，应该是佩雷尔曼
我是一名，
不懂數學的家庭主婦，
竟然把這節課，聽完了。
感覺，腦洞打開了一個维。🎉
不一定要聽懂，打發時間還是不錯的，還能充實一下見識至少知道有這個東西。
@@anchor9764 謝謝鼓勵，你的觀點很棒，我喜歡你所說的，至少知道有這個東西👍
23333
赞美好奇
赞同，感觉这样的科普很有意义，让我们这种数学圈外的人士也能长长见识@@anchor9764
不羁放纵爱自由
这句把我听笑了
这一集的那些解释用的插图做得挺不错的
插图质量很好！
真希望我也能每天到郊外采蘑菇🍄。
红伞伞白杆杆吃完躺板板
這問題在2006年被解決之後,真的是數學界的超級大事...在當時我差不多大四,在選修微分幾何學的時候,老師有特別花了一節課的時間跟我們講解這個問題............
所以你有沒有興趣再把老師講解一節的課程，在這裡用文字精簡的跟大家分享呢？【拉板等，打算坐下來聽】
你听懂了吗( ´ ▽ ` )ﾉ
我自我感觉良好，以为听懂了😂😂
你的老师也不简单
ㄟ 有個問題
想請問 所謂猜
想是不是就代表現
在還沒法證實壓 那
覺既然猜想無法證實 那
去證實這猜想到底對不對有
啥意義壓噗@@O
他是不是吃蘑菇吃出幻觉了才想到如何证明的？然后副作用就是不知道菲尔兹奖和100万美元是什么。要是告诉他菲尔兹就是一朵大蘑菇，100万可以买好多蘑菇，他估计能接受。😂😂😂
他不知道什么是“买”，他只知道蘑菇是要从森林中亲自采来的
超级马里奥
对于很多已经能温饱的人来说, 他们可能更注重精神生活.
每次看完李永乐老师的视频，总感觉自己听懂了，但过会仔细一思考就意识到自己又完全不懂🤣
以前还能通过现有的知识和想象听得一知半解，这次听得傻眼了，高纬度的物体太难去实体化想象了
李老师全身都是汗水，李老师辛苦了！
油管上李永乐起码也一年五十万块了，不买空调只能用葛解释
乳型很好
@@feifeishuishui你应该是少说了一个零
@@feifeishuishui一天吧
数学确实需要天分！它永远驱动着一切科学前行。
Hopefully we can solve more of the Millennium Problems. Looking forward to the proof of the Riemann Hypothesis when it comes out... Whoever who solves any one of these problems deserves a Field's Medal.
前几天，海边度假还在想，古代海边的人，一定是最先意识到地球是球形的人。看了李老师，才知道自己浅薄了😅
确实是这样的，最先提出地球是圆形的是 古希腊的 毕达哥拉斯，然后亚里士多德，提出了三项观测做证明：海平面船先看见桅杆，北极星在人往南北移动时位置的的变化，和月食时地球在月亮上的投影。随后的埃拉托色尼 在夏至日正午时分，测量太阳在不同城市投影的角度，相当精确地测量了地球的周长。
要知道毕达哥拉斯 比 老子小一岁，亚里士多德 比庄子大15岁，而埃拉托色尼比孟子小13岁。
“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。看海时，观察到的弧度，所谓能认证地球是球体，是因为我们已经知道答案。
如楼上说的，最早是通过观察地球在月亮上的投影。说白了自己是观察不了自己容貌，只能通过镜子，等于外部角度观察。
最先領悟應該是觀天的人吧
A：你算个球＞＞
B：我算不算球不重要，反正我们都是同胚😂
A不是，我有洞啊...(手动狗头)
@@龙の巢 B有两个洞
上面在开车，可是我没证据😂
洞要通出去才行，大部分生物只有一个洞，其实我们都是甜甜圈。
😂😂😂😂今天唯一学到的东西，你算个球
如果地球是不是圆的都不重要，那么宇宙是什么形状毫无意义。
关于三维球体，大家不理解的可以这么想：地球是二维面组成的球体，所以你在二维表面上怎么走都走不出去。那么三维球体就是你在三维空间里上下左右随便飞都飞不出去。所以我们如果有近光速飞船，宇宙又是三维球体，环宇宙旅行就是随便朝着一个方向一直飞，最后会回到原点。
“宇宙又是三维球体，环宇宙旅行就是随便朝着一个方向一直飞，最后会回到原点”， 你是想说宇宙是四维球体吗？
@@fenggao3171 地球是2维球面结合，存在于3维空间，宇宙是三维球面，必须存在于四维以上空间。
@@TheXuism第四维是时间
丘成桐的特殊贡献是首先意识到了Hamilton 的工作可能邦助解决这个猜想 并且实际启动组织了这一轮攻关 以下为Hamilton 的一段记录：
“20世纪80年代初，在我刚完成具有正瑞奇（Ricci）曲率的三维流形瑞奇流的第一篇论文时，丘立刻意识到了它的重要性……早在当时，他就向我指出瑞奇流可以形成瓶颈（neck pinch）奇点，这些奇点会解决连通和分解的问题，这样就可以导致庞加莱猜想的一个证明。1985年，他把我、Rick Schoen（注：现Stanford大学数学系教授）和Gerhard Huisken（注：现德国马克斯－普朗克引力物理研究所所长）一起带到了加州大学圣地亚哥分校，我们四人形成了一个非常活跃且颇具成效的几何分析研究小组”
他们在几年内攻克了两类奇点问题 但被阻于第三类也是最后最困难的一类奇点 这最后由Perlman 独立解决。丘曾经在国内大力鼓励一线数学家学习Hamilton 湍流凼数 参与攻关 但和者廖廖 只有曹、朱响应。 曹、朱的工作和Michigan 大学的两位教授的工作类似 也有意义 把Perlman 的证明完整地写岀来了。只是丘氏在荣誉面前是不让的 而Perlman 的弃绝名利 又让这显得更突出。
呃，其實彭加萊猜想現在是一個尷尬著狀態，其中也涉及學術界的醜聞，為了credit歸誰已經混沌一片。。。有沒有被證明還存在技術細節的確定，然而已經沒什麼人想去搞了，這個故事其實是一個sad ending
没有的事。你这纯粹是中国人自娱自乐的想法。国际数学界才不这么看，庞加莱猜想早就改成庞加莱-佩瑞尔曼定理了。菲尔兹奖和克雷千禧奖都已颁给佩瑞尔曼，至于他自己不想领是他自己那一边的事，数学界官方这一边是毫无疑问承认佩瑞尔曼的成就的，根本就不存在什么“尷尬著狀態....混沌一片....有沒有被證明還存在技術細節的確定”，早TM在菲尔兹颁奖时就确定无疑了。
簡單說說？想聽
啊？这个猜想不是已经被证明了吗？
@@JCL7060 ㄏㄏㄏ，你google看看吧，會找到很多有趣的訊息
@@rnoro 看了wiki，大家都认为佩雷爾曼啊，这点没疑问，其他人只是补充证明
李老师，我是实在听不懂啊，但是还要坚持看完您的视频。😢
如果證明了龐加萊猜想以此來做大爆炸紅移來檢測宇宙年紀
那不就代表知道了宇宙大小?
然後又說宇宙大小一直在變大
實際上跟你沒辦法環繞宇宙一樣?
於是我只能自許成為比光更快的人
突然想起来个很有恶趣味的笑话。。
人和甜甜圈也是同胚的
我喜欢你的视频，当你讲道一百万的奖金的时候，我两眼放光，看到了数学的未来。
我就喜歡這種知識洗腦我骯髒的思想 卻不留一下一點痕跡
我認為
一維的線連成二維球面的邊界
區分了二維球面的內與外
二維球面的面連成了三維球面的體
也是區分了三維球面的內與外
同時我們還注意到一個共通點就是
連成了二維球面的線跟連成三維球面的面
本身的內外關係都會在高一個維度下變得毫無意義
因為一維的邊界會在三維的球體上消失，同時二維的面也會變成三維球體的邊界
同理我們可以推論出
這時候二維的面會在四維的球裡消失，而三維的球體會變成四維球的邊界
同時三維球體的內與外會消失
這不就是兩顆互相包裹的球嗎
只是相接的點都是彼此的外部邊界
也就是說這樣的形狀在三維空間下並不存在
又或者說四維的球體同時保留了三維空間的外在屬性跟內在屬性
達成了宇宙的外面還是宇宙
同時宇宙的內面會消失
這似乎等於球體的無邊界被作用在整個三維空間中
變成一個類似於無限三維空間的意思
為什麼
因為我們很明白自己處在一個球的外邊
那如果球的外邊跟外邊合在一起的話
我們在哪裡?
我們應該會交雜在一個四維空間下的三維空間中才對
就好像三維球體的表面是二維的球面，並且一維的線消失一樣
在宇宙的三維空間中二維的面也消失
不存在內外的分別
也就是說在更高維度的情況下一個線段確實不存在打結的情況
因為沒有內外還有三維邊界的問題
就好像你在空氣裡面任一點繞一個圈都不會打結
而三維的空氣就好像是四維的球一樣
不存在內外關係，所以繩子不會打結
原子就是在四维理的另一个三维球面，它的表面和星球在四维中连在了一起。
更深刻的故事在《流形的命運》（Manifold Destiny）記載
片中的曹懷東和朱熹平稱自己是證明龐加萊猜想第一人
後來, 被揭學術剽竊行為, 被外界質疑中國學術水平
這大概老師不敢說得太清楚
@@imobile108 这是给学生科普的频道，说这些怕是不合适
2002年至2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼解决了庞加莱猜想中的一些瓶颈，被数学界公认为是庞加莱猜想的证明者。庞加莱猜想再次引起国际学术界的强烈关注。
2003年5月到6月份之间开始，曹怀东和朱熹平开始集中来证明庞加莱猜想，直到2005年的夏天基本完成，后面又有一些小修改。
2006年6月3日，朱熹平和曹懷東聲稱補全了佩雷爾曼對於龐加萊猜想證明中的漏洞，給出了完全證明。他們的證明運用了漢密爾頓和佩雷爾曼的理論，成功處理了猜想中奇異點的難題，以專刊的方式刊載在美國出版的《亞洲數學期刊》六月號。惟曹、朱二人在亞洲數學期刊的龐加萊猜想證明完全未經正常審核程序既逕發表，《紐約客》雜誌的文章《流形的命運》懷疑丘成桐以該期刊主編之便，發表利於自己團隊的成果；丘成桐與亞洲數學期刊的編輯群並未對此可能之弊端提出辯駁。佩雷爾曼表示曹、朱二人的證明『看不出新意』。
同年秋天，曹懷東與朱熹平的論文中，當中的內容，被發現與Bruce Kleiner及John Lott於2003年對佩雷爾曼第一篇論文預印本所做筆記，兩者之間有相當多段落逐字吻合。曹懷東與朱熹平宣稱當時忘記他們曾經把這些內容抄錄到他們的筆記中，在12月，他們發表一個修改後的論文版本《龐加萊猜想與幾何化猜想的漢米爾頓－佩雷爾曼證明》（Hamilton-Perelman's Proof of the Poicare Conjecture and the Geometrization Conjecture），不再宣稱他們給與完全證明，而只是對漢米爾頓－佩雷爾曼證明作出詳細闡述。
@@VictorBian-oj2pk 一群賊
当时央视新闻还报道了这俩人证明了庞加莱猜想的，算重大丑闻了
曹和朱从来没说过自己是证明龐加萊猜想第一人，你在任何权威文章或正式报道里都找不到这句话，这句话是你自己添加的，只此一点就证明你说谎，所以你的这段话一点价值都没有
我觉得李老师应该把“ 连通”两个字深入解释清楚，现在听起来似懂非懂，也许写英语词更易理解，就像你说的“致密”，英文词可能用的compact。谢谢分享。
如果粒子的位置和质量一样是一个量，那宇宙不是就没有形状了，空间是意识对位置量的感知。
看完了，但我还是不知道宇宙是什么形状
與三維球體同胚
@@Headphones.on.Seals. 不是 命题是假设他单连通。。。并不是说宇宙单连通
@@pengchen2864胡亂猜想：宇宙大爆炸理論間接證實單聯通
我们这个世界的量子就是就是4维的表面，量子纠缠在我们的3维中，无论相距多远，只不过是量子在4维表面的一个点
李老师讲得认真 汗流浃背 衬衫背后都浸湿了
拓撲 幾何
坚持到三分半，痛心换台
宇宙還有很多未知，繼續等著科學家們找出答案。
但宇宙是否是單連通的人類應該還不知道吧
宇宙如此之大，也许人类永远无法证实。可观测宇宙可能只是宇宙很小的一部分。
看这个视频之前并不知道什么是庞加莱猜想，但想过同样的问题。我认为哈勃和韦伯可能已经观测到了过去银河系，说不定某一张的深空照片里就有早年时期的银河系，只是我们无法分辨、确认而已。
確定腦袋是三維球，因爲他打結了。😂
球体是三维，包括内部，球面是扭曲的二维面。若球体都可以扭曲呢，三维空间发生了扭曲。因为扭曲的三维空间无法画出来，科学家用扭曲二维平面图案表达一个扭曲的三维空间。
可以用簡單概念："輻射對稱"
你可以在球面上找任何一個點，它必與四周對稱，從任何方向走回原點距離相同
相同地，你也能在三維空間(無限循環的有限空間)中定任一個點為中心點，往任何方向(不論任何角度)走都會回原位置
如果有人說量子力學是最玄的玄學 那他一定沒學過拓撲學
哈哈哈哈哈 有才
那是因为你没学过广义相对论
学过概率还把量子力学当成玄学的，估计是脑回路被马克思主义之类的决定论烧坏了。
不同層次，拓樸學是難以求解，量子力學是難以理解(顛覆以往的物理學基礎)
@@HenOOXX 精闢
這真的是全人類最團結的時刻 ...
其實看著看著滿感動的，全世界的人都為了解決同一個問題而絞盡腦汁的去思考，且不計利益。
偶是覺利益不
見得是物質上低
如果絞盡腦汁的去
思考對某人來說覺粉
有趣低話 那覺說不定
也能算是種無形低利益也
不一定壓ㄎ@@O
看到这种大得吓人的宇宙空间，地球上的人是如此的孤立又无助，瞬间觉得政治宗教国家种群之间的冲突和争吵实在是太原始和可笑了，即便全人类能够团结起来分享自己所有的思想、知识、方法和文化，也未必使得人类生存的时间能超过爬行类动物，但斗争却要贯穿整个人类的文明直至灭亡，想来也非常的悲痛
可以认为三维球面就是四维球的表面了，四维就是从空间一点能做出四条互相垂直的线，我们无法感知也无法画出来。
谁证明了宇宙是单连通的呢？
各位能理解到哪
我是到里奇流那就覺得
Wtf你膨脹一個結構可以說是球
然後又可以把這結構切段？？
永远值得向带领人类去往更高深认知的天才献上膝盖！
为什么要隐藏引用视频的credit？
三维球面无法找到生活实例，非一般人可以理解。
最近看了許多李老師的影片後我得到了一個結論。就是現在的小朋友怎麼都這麼聰明⋯⋯⋯
以前完全不知道拓樸學在幹嘛
看完了還是不知道XD
學過理工確實會發現數學為科學之母
李老师可以把这些才想都一一介绍一下吗😊
黎曼猜想之前好像讲过
你真以为介绍了你能听懂吗？🤣
一维球面已经把我卡住了，球是三维概念，球面降为一维，什么情况。。。。😢
可以做個特輯，把餘下的六個問題介紹😀
不能把複雜的事簡化，還是不合格~ 最後連宇宙是什麼形狀都沒解釋清楚。
紧致的单连通的三维球体，全篇证明的就是这个😢
為了科學期刋的銷售量，不能开估、不能劇透、不能講答案。
只好大家一路猜、一路買。
李老师出了好多汗，辛苦了李老师
老师最近胖了不少
老师好.最近食用盐的话题吵得很厉害,有一个问题一直困扰了我很久希望老师可以有时间讲一下.圣经里面耶稣说盐如果不咸还有什么方法让它再咸
李老师，为什么马拉松跑者说后撩腿在相同速度下可以节省体力，这里面的物理原理是什么？
五维人好可怜，连想给绳子打个结都不能。😢
今天的我值得驕傲,竟然能夠指出李老師的口誤(17:45->是2002年)
不是口误，是你听错了😆
@@龙の巢 沒錯吧,寫的是2002,但字幕跟口述都是2022
在数学和物理领域，与紧致性对立的是松弛性。宇宙加速膨胀，越来越松弛
4:00 如何描述你的星球
我：單連通緊緻無界的二維流形
誰使我們的李老師這麼熱，跟它拼了
我感觉根据各种图片表示，宇宙没有形状，形状只是鉴于物体，而宇宙是很多天体和星辰组合，可以分裂所以代表了宇宙可以是任何形状
黎曼猜想 我曾和图灵一起证明过 只是有点瑕疵就没公布出来
地球，太阳，月亮和星星都是单体结构。在N平方为单数正方体方格的时候，我们把数字从1到它的乘积总数。在它的方格中做数独填空。它的行，列，斜方格数字相加都有一个“定数”值。洛书，九宫格里它的定数是15。5平方格，1至25数它的定数值是65。依次类推。单数N越大，它的定数值就越大。当N为双数时，如4.6.8...等等的平方方格数字结构为双体或多体数字结构。太阳系中名个绕着太阳转的天体就构成多体数字结构。在方格中它的数字排列同样有一个定数值，并且行，列，斜方格的数字相加也相等。河图就是星河的天体结构图。如果我们将方格中两条对角线的交点看作太阳，周边方格各个数看作绕太阳公转的天体。在这个方格里它的数字相加也是行，列，斜互相对称，平衡稳定的。如果我们将方格水平方向压缩，垂直方向方格拉高。就看到物体高纵入云。如果将垂直方向压缩，水平方向拉大，就如由普通电影变成宽銀模电影一样的校果。地球也有它的地心，单体方格两条对角线的交点方格和数字就是它的核心，最外层方格就是它的地表，有高山，平地，深海的不同之处，地球中行，列，斜质量相加是相等的，它是地球平稳运转的重要组成部分。这是我从洛书到无穷大方格数字填空的认识。不管N平方方格多大，从1到它的乘积数字范围我都有办法把它们排列出来。每一种方格和它的数字都是以数独填空的形式分别表现出来。一理通，百理用。
😅你字多，顶你好了
佩雷尔曼为什么拒绝那么多荣誉，与世隔绝。恐怕身为中国人不好讲。事实上那几位所谓的教授作弊，诬陷佩雷尔曼。
是的，那群人中还有邱成桐，李老师匆匆带过，竟无半句责备。
一边是保持纯粹的数学心灵如佩雷尔曼/哈密尔顿/陶哲轩，另一边是剽窃并侵占他人成果的华人之耻。
有兴趣的人，可看Masha Gessen写的【消失的天才】
丘成桐
你們兩人造成今天的！
若沒有他的出現她面前，不可能再等待！
無論，選擇是誰！但，你們兩人這樣的做事，誰都不會高興，尤其你，你還再檔兄妹到我面前？
這是五年的問題，真正問題所在！我絕對不要再扛任何責任，也不要再有缺憾！我已經充分傳達文字多次！！！
想請問老師拓樸學如何定義莫比烏斯環
身體細胞糖化嚴重
四肢肌肉及核心肌群，流失加速
甲狀腺功能受糖化損害
肝臟周圍脂肪堆積擠壓內臟
腎臟受損，血管堵塞，血壓升高
（糖中毒），將因為其加深程度，伴隨著嚴重的飢餓感與口渴感，
建議你（斷絕一切含糖食物，飲料，加工品）（別吃任何水果）
兩年後你便能回復健康，
希望你的節目能長久下去，
李老师说的是中文语言吧？ 听着好费力，一脸懵懂地进来，一脸懵逼出去。
数学真的很奇妙，小学让你建立信心，初中锻炼你，高中逐渐加压，大学及往后让你见识到数学的恐怖。只有极少数人能跨过了那道坎，能理解数学的美，能够看到前人开辟的风景，以及独自探险的能力。（希望未来的ai能够彻彻底底具象化地理解数学的全部，然后请植入我的脑瓜里，让我感受一下冲击😂😂）
其實即使跨不了那個坎 偶爾這樣看看永樂老師的視頻也能一窺數學的美 真的很佩服永樂老師以及那些科學家
讚歎~小朋友
歌頌~小朋友
對未來充滿希望了！而不是消極的想到高消費高房價，映對著財團之資本主義社會。
打不贏就加入它，怎麼加入資本集團？
知識！
动画做得很棒👍如果没这个动画完全理解不了😅
ㄟ 有個問題
想請問 所謂猜
想是不是就代表現
在還沒法證實壓 那
覺既然猜想無法證實 那
去證實這猜想到底對不對有
啥意義壓噗@@O
simply connected, compactness, unbounded, two-dimensional manifold, 拓扑与微分流形，数学系的快乐与痛苦之源
我要睡觉前看一下李永乐老师的视频有助眠作用😂真是当年落下的毛病😅😅😅
超喜歡李老師的物理課，就是老師的黑板字有點太醜了😂實在很難看懂啊～如果我的老師這樣寫，我肯定要哭了
一生 二生三 三生万物， 一维二维三维，都可以能过规律得出，但是四维不是这样得出来的，就像一是一横，二是两横 ，三是三横，那么四就是四横吗？显然不是，三之后是万物，和之前的都没有关系。
我也爱采蘑菇，不过这视频的问题搞不😂！
三围球到底长什么样子的？有没有厉害的给画一个。弄个带传送阵或空间压缩什么的都行。一张图片肯定不行；用连贯的视频去阐述一张静态的画面应该可以吧？
身為一個數學程度停留在高中的平民 我只覺得這些數學家在玩腦補自嗨遊戲...
抱歉!我看錯了!龐加菜為何價值百萬美元...我進來看看啥菜這麼貴.....對不起!
我是小学生，李老师让我想起了最近在TH-cam看到的 一个叫 《outside in》 的视频。
與李永樂老師有緣份，這次看到的主題，恰巧跟我在七月三號首稿的歌詞不謀而合，或許是緣份吧？
凝望宇宙，太空星光閃礫，又猜想怎創造，令我倍添假想 。
回望世上，滿山青葱翠色，藍海中魚暢游，遇到小虾蹦跳……。
歌名:人們處世間相親相愛。粤語❤😊🎉🎉
阁下也是大部分没有听懂 不过有一段我敢肯定有99.99%人都没有听懂 那就是采蘑菇🍄🟫那一段…
來報道 老師又要講解這種難題了。
你怎么胖了，李老师
如果是這樣的話，是不是只要找對了方向就能看到過去的自己，還能知道宇宙的大小😮
把两个三维球体一一对应, 接在一起.....太超出认知了, 大脑瞬间爆炸....有木有?
老師辛苦了，但脖子歪了，很明顯，去看個骨科醫生吧～祝健康，平安!
我印象中基本群同构的话两个拓扑空间好像是同伦等价吧。想进而说明两个拓扑空间同胚好像并不容易。
只知道我跟這些數學家不是一個維度的😂
三个不要脸的
听完还是想象不出来三维球是什么样子
有沒有機會講一下費馬最後定理的故事啊？很想聽聽老師會怎麼解釋。