個人認為，用泰勒展開證明歐拉公式，沒有什麼不對，甚至比較理想。在這視頻，我們用這句話開始說明為什麼把 e^it 定義為 cos t + i sin t：假如 e^x 的微分公式用在複數時還是對的。這裡有個假設，所以得到結論是我們該把 e^it 作這定義。 但為什麼我們要做這假設？如果用泰勒展開開始，我們便會先說如果 x 是實數，e^x、sin x 和 cos x 有這樣的泰勒展開公式。之後我們就可以做這樣的假設：假如 e^x 的泰勒展開對於複數是對的。後面的事便可以想像：e^ix 的展開跟 cos x + i sin x 的展開一模一樣。 畢竟，在我們作定義之前，e^x 對於複數 x 並沒有意義，所以我們沒有理由說我們只能對實數的 e^x 作某種擴展。實際上，就是因為用不同的方式擴展 e^x，大部分時間結果都是同樣的歐拉公式，所以這個公式才會被信服。 最後，為什麼我比較喜歡用泰勒展開定義複數冪函數？因為這明顯不會出現矛盾。我就是把 1+z+z^2/2+z^3/3!+... 說是 e^z 的定義，你總不能說我錯，只能看我之後可以導出什麼結論。相反，說假如 e^x 的導數在 x=it 的情況下成立，我們還要想怎麼自圓其說，保證這樣不會在什麼奇怪的地方出現矛盾。 話雖如此，我跟我家（當時）十一歲的小孩說這事時，是先用導數定義的，因為當時他未懂泰勒展開！
I like the geometry proof. There are 2 small errors: Z=(i theta) should be Z=e^(i theta). Also [delta e^( i theta)] should be iZx(delta theta), not iZ .
从初中到现在高中毕业 ，从以前什么都不懂 ，默默看完 ，到现在大半部分都能理解但仍然震撼与数学的转换魅力 😂只能说 李老师太神 通俗易懂 .
谢谢您的肯定
只有站在更高的高度看所学的东西，才能融会贯通。李老师显然就这样的神人了~
其实，欧拉公式最让人迷惑的是e^iπ的含义，欧拉擅自将e^x的级数展开用ix取代了x，再对比sinx与cosx的的级数展开，就简单得到了欧拉公式，
结论虽然正确，但本质上回避了一个更基础的问题，即在实数域内推导成立的公式，凭什么认为在复数域内一样适用？（其实复变函数论有这个定理，但证明需要的前置定理很多）
欧拉公式严格的证明，需要先定义出e^z（z为复数）的含义，实数域下，e的含义极为明确，即自然常数，数值为2.71828……
但复数域下，很多人大概不知道，也最容易出现认知误区的，是e作为底数以e^z形式出现时，是没有2.71828这个数值含义的，它甚至不是一个数，
e^z在复数域下仅代表了一种关于z的运算法则，维基百科的欧拉证明定义e^z=lim（1+z/n）^n，同济高数下册定义e^z为一个类似e^x展开式的无穷级数，
不管哪种定义，目的只有一个，即推广实数域的e^x到复数域的e^z时，其优秀的求导和积分性质要保持住，（毕竟复数的重要应用留数，是为了解决实域复杂积分的）
初等函数从实域推广到复域，为了保持微积分性质，都多多少少付出了代价，丧失了一些原本的性质，
如e^z丧失了e的含义，只满足加法定理，不满足乘法定理，sinz，cosz丧失了有界性，而根值，对数，反三角，甚至变成了恼人的多值函数！
曾经，我也惊叹于最美公式，e^iπ+1=0，但当我知道这里面的e其实根本就不是e时，我其实很失望……
你应该感到庆幸在这个时空里e是e
没错！我听李老师推导时就卡在那一步了！就是欧拉假设实数的求导法则适用于复数的话，我就满脑子问号:为什么符合？感觉那才是问题的关键，不然就相当于构造了一个方便的性质继续往下推了。。。
欧拉感觉是用半径为1的这个圆周运动加上假定复数也是实数运算规则 这两条凑出来的欧拉公式。
我的看法是，e的定义，就是一个指数函数，它的指数无论是实数，虚数，还是复数，这个函数的导数都是它本身，这个底就是e。
这个世界就是复数定义的，所谓实数只不过是一种特殊的复数。所以不存在扩展，只要复数世界的运算法则没有矛盾，那就是真相。所以你不需要怀疑各种公式为什么扩展到复数域还能成立。
@@loriwan4635 可以看3blue1brown的视频 群论与欧拉公式。
指数函数相乘，就是指数相加。于是相加群和相乘群构成了一个对应关系。指数的实数指数就是这个定义的。
然后复数的相加群和复数相乘群，同样有一个对应关系。指数函数的复数指数就是由这个定义的。
所以数学底层逻辑是群论，实数复数的各种计算公式是由群定义的。
16:26 謝謝老師，我可以跟小學生解釋為甚麼負負得正了
好狠XDDD
笑死 小學生會哭吧
國小生聽完就去做8+9了
我就说李老师一定不会放过这个题材，感动！
哈哈懂我
我就说这个火柴人视屏会引起轰动😂
12分钟讲解图像和圆周运动那段 虽然不是推理 但还有个漏洞 就是 SEI TA(发音)的含义从自变量变成了夹角。 而且那个圆周的横坐标也不是SEI TA 是函数值 纵坐标是导数值 这样才能画成一个圆。
😂😂😂
第一次这么前，蹲着李永乐老师来解释火柴人这个视频了哈哈。这可以说是数学科普类的一场狂欢了
高中物理老师总是画火柴人和小方块什么的，那时候开始就想做个高中物理或者数理化相关的火柴人动画。但，十几年过去了，连画画都不会呢😂。唉，从这件事上我悟出来三个道理：1，我的大部分想法并没有那么特殊那么万中无一。2，只要我拖延拖得够久，曾经的幻想都会被别人一一实现。3，今天是星期一……😮
4.明天是星期二
@@可達鴨-d2yn. n 天後 是星期 n mod 7
上課老師教的：-1=0-1我會了😊❤
考試考的題目：證明-1=e^in 😢💔
男同學的快樂：歐拉歐拉⋯ ✊🗿
木大木大木大！
e ^i（pi）+ 1 = 0，== 泰勒展開（簡單科普：用這個來讓這個東西有個實際的數字（估計值））的那個東東
李老師：小朋友@我說有兩個地方看不不懂......
我：我幾乎全部都看不懂怎麼辦.....
最前面還是很好懂的
高中的时候学三角函数超级头疼，而且觉得没用，感觉代数应用得好就够了。结果第一份工作跟几何设计有关，发现三角函数在几何方面的应用非常广泛，然后就蒙圈了！因为三角函数真的需要理解记忆，而不是死记硬背能记住的！😅
讲得简单明了！我最喜欢的数学老师，没有之一！
感觉重大的数学突破很多时候都起源于 "但是仔细看X, 这不正好就是Y吗?" 这样一个简单的发现; 感觉突破性的人才很多时候不是一个领域一个科目里资历最深厚的人, 而是在不同专业, 或者同个专业不同科目里都有一定钻研的人, 这些人有突破条条框框, 看透事物本质和内在联系的能力和机会.
个人水平有限, 完全听不懂, 但还是津津有味完整看完.
这是一种很神奇的体验....数学之美.
從不同角度來說，這似乎有點不合時宜，但我堅持要引起廣大市民注意，因爲我們大家都在經歷一個整體的核心通脹問題，我們大家不能只顧政府，更不能對每天擺在我們面前的政治宣傳視而不見。 現在正是我們研究不同收入流以使我們保持獨立的時候了。 特別是在當前全球經濟危機的情況下。
加密比特幣，ETH…股票-AMZ，TSL…和房地產一直是一個很好的救濟和更好的投資選擇，無論高收入者和低收入誰希望走出經濟衰退。
我將始終建議公衆開始，學習和參加這個投資選項的輔導。❤
據我所知，市場上有幾個股票經紀人，但我如何確定應該和誰一起投資。
雖然每天在TH-cam上通過不同的頻道進行宣傳,但很多人並不瞭解數字貨幣及其運作方式。
請告訴我怎麼聯繫她。 這不是我第一次聽說她的事。
我也和Lori Jean夫人一起投資，我第一次投資她的時候，我的利潤就超過25,000美元，自從她從未失敗過，我甚至可以說她是我見過的最真誠的經紀人。 九龍城萬歲🇭🇰
她是我家人的私人經紀人，也是美國許多家庭的私人經紀人，她是持照人和FINRA代理。 她在ABC新聞上播出了她有利可圖的投資和交易消息後，我的家人與她取得了聯繫。 她太了不起了，我家現在債務都還清了。
想看這個主題好久了，還特地去找其他數學老師。
一定看完！
李老師這個髮型好帥，這視頻不分國界，還蠻感動與熱血。
尊敬的李老師🍀🌸👋
第四點也可以看作是雙曲正弦和雙曲餘弦（sinh&cosh）
温故而知新。
每次听李永乐讲解，无论是否曾经执导，再听一遍，总是有些新的收获。
終於等到李老師講解這影片了~~真的是千呼萬喚始出來
我找回上數學課的眼淚了(快睡著還努力撐著的眼淚)
好有缘！今天在领英刚刚刷到火柴人就又在油管看到李老师的详细解释了❤
謝謝老師治好我的失眠
希望李老师多出这种深析,看得很过瘾
我根本不知道讲什么，但是就喜欢听。❤❤❤
It's worth noting that the meaning of multiplication has changed here. Think about it unless you are lucky enough not to realize that.
从中间开始跟不上，仿佛回到了高三的课堂，老师的每个字都听得懂但是连在一起就是不知道什么意思😂
感谢李老师一直以来的授业，and 头发似乎有点长了~
没上过高中，初中的也忘记了，听着跟不上~唉~不过还是感谢李老师用心做的视频。
這邊從一開始就是高中的了，甚至以上，不過肯放心思還是可以明白的
讚啦 學數學就該搭配可視化與良師
老师讲解清楚，易明，到位！感谢老师❤
感谢老铁
酷哦，看着动画和解析都非常过瘾
用歐拉公式來解釋負負得正，太狠了
個人認為，用泰勒展開證明歐拉公式，沒有什麼不對，甚至比較理想。在這視頻，我們用這句話開始說明為什麼把 e^it 定義為 cos t + i sin t：假如 e^x 的微分公式用在複數時還是對的。這裡有個假設，所以得到結論是我們該把 e^it 作這定義。
但為什麼我們要做這假設？如果用泰勒展開開始，我們便會先說如果 x 是實數，e^x、sin x 和 cos x 有這樣的泰勒展開公式。之後我們就可以做這樣的假設：假如 e^x 的泰勒展開對於複數是對的。後面的事便可以想像：e^ix 的展開跟 cos x + i sin x 的展開一模一樣。
畢竟，在我們作定義之前，e^x 對於複數 x 並沒有意義，所以我們沒有理由說我們只能對實數的 e^x 作某種擴展。實際上，就是因為用不同的方式擴展 e^x，大部分時間結果都是同樣的歐拉公式，所以這個公式才會被信服。
最後，為什麼我比較喜歡用泰勒展開定義複數冪函數？因為這明顯不會出現矛盾。我就是把 1+z+z^2/2+z^3/3!+... 說是 e^z 的定義，你總不能說我錯，只能看我之後可以導出什麼結論。相反，說假如 e^x 的導數在 x=it 的情況下成立，我們還要想怎麼自圓其說，保證這樣不會在什麼奇怪的地方出現矛盾。
話雖如此，我跟我家（當時）十一歲的小孩說這事時，是先用導數定義的，因為當時他未懂泰勒展開！
突然發現實際案例，原來這不只是個人喜好。數學不會停在複數，我們進一步拓展到四元數。這裡加法和乘法都有合理定義，而且都有identity，就是正常的0和1。加法和乘法都有逆，只是乘法沒有交換律：不同的四元數相乘不可對調，同樣除法要指明逆是在前面還是後面乘。這樣把實數的泰勒公式拓展，是可以定義冪函數的，而且非常有用，旋轉公式用的都是這個冪函數的結果。但是這函數微分是沒有意義的，因為你不知道所需的除法（除以delta x）是在前面還是在後面除。
當然，四元數還可以繼續拓展，那些什麼克里福德數、甚至矩陣，都可以用實數的泰勒公式造出冪函數，而且相當有用，只是沒法當成實數微分。
李老师太强了，比西交和华中那两个ppt课强太多了，什么时候能够出一期复变函数的课程😍
阿呀！原本還以為老師會當作沒這件事的，
畢竟一個畫火柴的懂啥算數，大概率是經不起驗證的。
都別勸，我得跪著看兩期。
哇！！果然来了！！辛苦老师了！
李永樂老師可以講解看看臺灣房價永不跌落穩賺不賠的原因嗎？
I learned so much to prove negative*negative equals positive.
感謝分享和講解
I like the geometry proof. There are 2 small errors: Z=(i theta) should be Z=e^(i theta). Also [delta e^( i theta)] should be iZx(delta theta), not iZ .
动画中并没有少写一个i，那里的i在分母。分子分母同时乘以i即可
李老师能详细的介绍下哪个火柴人动画吗，我觉得里面将抽象数学和其演变过程形象化的做了演示，算是触碰到了原理层面吧，比如为什么会有乘法和除法，又为什么没有其他什么x法等等。
1:02 我只是打個瞌睡
醒來畫面就變成 20:00
難怪有人說數學學到後面
整個黑板上會沒有幾個數字
喜歡數學公式拆解分析
老师，请讲一下如何画E^（a+bi)，觉得又不会画了。
這系列原來是複變線上課程
我剛抽塔羅牌占卜：化學身.愛.生產.整合.協議（逆位），看準不準？？只有協議這張是逆位，代表...............電影：92人皮燈籠+王牌神棍的騙法也出來了
對不起我又彭漲了，竟以為能聽得懂…🙏🙏🙏老師威武🎉
这个好，当时学物理时候就没学明白😊
正在上大学的小朋友听懂了🤩
支持李永樂老師
请问，e的i*theta次方的模，也就是那个圆的半径为什么是1？
如果李老師是我的高中數學老師的話，我高中數學一定會很好。
实数是物体，虚数是影子
話說我在看激光武器一直射來射去的時候一直想到李老師之前交的視頻😅
一脸懵逼的我确定，当年的我上的是虚拟高中
李永乐老师，求求您讲一集飞蚊症吧，被折磨的快死了。而且对于这个病，整个科学领域没有什么求证的原理和有效的措施，您有如此强大的知识储备，汇集和搬运能力。求求您讲一集飞蚊症吧，救救孩子！救救孩子吧！
這種題目能看完的人都不簡單啊！
👌
李老师好☺️
帥
amazing!
20:15 第1次看到
原來老師也有看3bule！🤣
如果只是为了证明exp(iθ)是个圆的话，通过共轭是不是更简单？ 模exp(iθ)是exp(iθ)*exp(-iθ) = exp(0) =1，所以exp(iθ)是个圆。
请教e ^ （a + b i）如何画？
@@xwluo5124 exp(a)exp(bi)， exp(a)是个常数，所以应该就是一个以exp(a)为半径的圆。
@xwluo5124 我記得是： 長度 = (根號 a ² + b² ) , 由cos 、 sin 得出角度，cos(?)= （a / 長度）, sin （?） = (b / 長度），剛剛查了大概是這樣沒錯
數學課真是複雜
國中來講解釋負負得正應該是相反數的概念
3Blue1Brown梦幻联动
被你发现了！
來了來了 大家立正坐好(?)
a*e^(i*b) 就是 a 绕原点旋转角度 b
这个好
突然想到李老師之前的拉普拉斯妖還沒講😂😂
有點好奇那到底是什麼，麻煩老師了
热爱数学的美
高中当年觉得非常简单，20多年没碰了，跟听天书一样😂
20:14 分母有i欸
的確要有 因為一個是cos的表示方法 另外一個是sin的表示方法
@@陳謹揚-q7e 那應該是維基寫錯了吧，影片和維基一模一樣
30年前，这些我都会！
就在等着种解析了
老師或各位朋友 有人能協助解釋為何√2e^i(π/4+2kπ)=1+i or 1-i
想知道天坑是如何形成的
复分析基础
科研管理，或應多學華為
李永乐要是当我当年高中老师,我应该可以拿90分以上🤣
李老师可否讲一下日本排放核污水的影响。是不是真的海产品不能再吃了？
我也想了解
@@雪林-u1y 日本廢水經過東芝的過濾設備，當初的64種放射污染物最後只剩一種無法除去。按現在人類對這種放射性物質的認知，是沒有影響的。 即使以後證明極其微量也會造成傷害，這個鍋也不應該由福島來背。 中國每一座核電站放出來的，都是福島的幾十倍，而歐美更是高達百倍。 當然前面説這些的前提，是日本公佈出來的數據是真實的。我個人傾向於認爲他們的數據是可信的，因爲這東西沒法造假，很輕易被監測到。他們不會愚蠢到造假。
@@jptuangoujptuangou7108 日本相關部門的負責人只要當眾喝一杯，所有質疑也就迎刃而解了，然而這麼簡單回應質疑的方式，就是沒人站出來做
@@kimyostory 當眾喝一杯，除非劑量太大馬上死，不然看不出來有沒有長期影響
@@snorlaxmunchlax1886 當場死不死不重要，喝一杯主要是展現態度，就跟路邊攤小商販做的食品如果她自己小孩也吃你就不會覺得不乾淨一樣
靠前开心
好，下次姪子問我為什麼負負會得正我就傳這個影片給他看
咦，新发型
李老师一度时间减肥效果很明显 最近反弹了
李老师还看3blue1brown 哈哈……
正正为什么不可以得负？因为两个大男人做生孩子的事，无论如何做到天荒地老，最后都得不来孩子，有的话，必定是肿瘤。
第一次这么靠前
現在有火柴人vs幾何
高中的回憶又回來了
我最後還是不懂為何會缺少一個 i，可否有人可以解釋，感恩！
因為歐拉公式用三角方式展開 cos的前面沒有i 而sin的前面有i 因此在最後計算純cos的公式下面不用除以i
我後來是做計算發現不管後項有沒有i都沒關系，因為sin(180度）都會是0，因此後項的乘積都會是0，因此有無i都不重要了，我是這樣認為。
每次看都嘆為觀止
我第一排
人有點多我就坐地上了不好意思
我都看不明白, 要來上課了 😅
我就知道李永樂一定看這個
3b1b 大推~
i 就是 imaginary的缩写
老师又不务正业了，数学老师已失业。😂