Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A

Zobaczcie, jak wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A. Policzymy wyznacznik macierzy. Wyznaczymy macierz dopełnień algebraicznych, stworzymy macierz dołączoną następnie macierz odwrotną. Wyjaśniam sposób krok po kroku. Przykład będzie pomocny dla studentów.
Polecenie do naszego zadania to: Wyznaczyć macierze odwrotne do macierzy
Przykład pochodzi ze skryptu MATEMATYKA studia stacjonarne Liczby zespolone Algebra liniowa Geometria analityczna autorstwa Ireneusz A. WINNICKI. matrix array determiner determinant

[@holyshit922]

Jeżeli chodzi o inne metody wyznaczana macierzy odwrotnej to można skorzystać np z
eliminacji Gaussa, twierdzenia Cayleya-Hamiltona
przy czym równanie charakterystyczne można otrzymać albo licząc wyznacznik macierzy
(Wymagałoby to obliczeń symbolicznych a tego kalkulatory mogą nie potrafić)
albo licząc ślad kolejnych potęg macierzy
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Niech Ax=λx
gdzie λ jest skalarem (rzeczywistym bądź zespolonym),
A macierzą kwadratową ,
x niezerowym wektorem
Ax=λx
Ax - λx = 0
(A - λI)x = 0
Skoro x jest niezerowym wektorem to
macierz A-λI nie może być odwracalna mamy zatem warunek
det(A-λI)=0
Z tego warunku otrzymujemy wielomian charakterystyczny
Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wiemy że macierz A spełnia swoje równanie charakterystyczne
Równanie charakterystyczne można otrzymać też w sposób następujący
Przyjmijmy następującą hipotezę za prawdziwą
tr(A^m) = \sum_{k=1}^{n}λ_{k}^{m}
gdzie tr(A) to ślad macierzy a λ_{k} to skalar spełniający równanie Ax=λx
Otóż suma \sum_{k=1}^{n}λ_{k}^{m} jest funkcją symetryczną i może być przedstawiona za pomocą funkcyj symetrycznych podstawowych
Istnieją wzory Newtona-Girarda które pozwalają przedstawić sumę jednakowych potęg za pomocą funkcyj symetrycznych podstawowych
Wzory Vieta pozwalają natomiast wyrazić funkcje symetryczne podstawowe za pomocą współczynników wielomianu