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Sen(2x)/2 = 2/5 Sen(2x)=4/5. Desenha o triangulo, ele vai ter co de 4, h de 5, e o ca vai ser de √(25-16)=√9=3 Assim, a tg(2x)=4/3. Tg(2x)=2tg(x)/(1-tg²(x)) 2tg(x)/(1-tg²(x))=4/3 6tg(x)=4-4tg²(x) 2tg²(x)+3tg(x)-4=0. Oq q eu fiz de errado?
tentei fazer sen2x = 4/5 --> cos2x = 3/5 assim, tg2x = 4/3 e aplicando a formula ficaria tg2x = 2tgx/(1-tg²x) = 4/3 3tgx + 2tg²x - 2 = 0 porém, pelas relações de girrad: soma das raízes = -1 [c/a (c = - 2 e a = 2)] produto = 3/2 [ -b/a ( b = 3 e a = 2)] alguém pode me dizer onde errei?
Cara, eu acredito que seja quando tu assume cos 2x = 3/5 , cos 2x > 0 , porque pra isso acontecer x ∈[0,π/4] , ou seja, tu só pega os valores de " x " nesse intervalo ( Se tu desenhar fica melhor de ver ) Aí se tu for rebater no 3Q, tu vê que faltou analisar os outros intervalo, que são ]π/4 , π/2[ U ]5π/4 , 3π/2[
@@neewww entendi o que quis dizer irmão, mas se consideramos 2x como um arco ∆ qualquer, já que sabemos que sen∆ = 4/5, necessariamente o cos∆ = +- 3/5, assim recaindo pra tg∆ = +-4/3, em um dos caso, o negativo, o produto coincide com a resposta, mas a soma segue como 3/2, então mesmo assumindo a possibilidade dec cos2x < 0 recai em uma equação de segundo grau com tgx como incógnita em que uma das respostas pedidas na questão não encaixa
Usar as relações de Girard nesse caso é um caminho sem saída, pq uma das raízes da equação é negativa (e você acaba acidentalmente desconsiderando também uma das possibilidades de valor de tan(2x)). Segue a explicação do porque: i) sin(2x) = 4/5, portanto, cos(2x) pode ser ou 3/5, ou -3/5. ii) tan(2x), portanto, poderá ser ou 4/3, ou -4/3. Lembre-se disso, pois você considerou que tan(2x) assume apenas o valor 4/3. iii) aqui rola a armadilha que você (e eu) caiu, então leia com calma: o produto sin(x)cos(x) nos dá um número positivo (2/5), e para isso, temos duas situações: ou ambos sin(x) e cos(x) são positivos, ou ambos são negativos. (mais com mais dá mais, menos com menos dá mais) então, a tangente tan(x) deverá ser estritamente positiva, pois esta será ou a razão de dois números positivos, ou dois números negativos. Por isso, utilizar as relações de girard nesse caso constitui um erro, pois uma das raízes da equação em que você chegou é negativa, algo que não é admitido para esse exercício. Sabemos pela fórmula tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan²x), que embora tan(x) seja estritamente positivo, tan(2x) ainda pode ser negativo caso tan²x > 1. Por isso, não se deve desconsiderar o caso em que a tangente possa ser -4/3. Avancemos para a primeira possibilidade da etapa ii) tan(2x) = 4/3 = 2tan(x)/(1 - tan²x) caímos novamente na equação: 3tan(x) + 2tan²x - 2 = 0 Esta equação tem como raízes 1/2 e -2, porém, como sabemos, tan(x) é estritamente positivo, então a raiz -2 será desconsiderada, e ficaremos só com 1/2. Avancemos agora para a segunda possibilidade da etapa ii) tan(2x) = -4/3 = 2tan(x)/(1 - tan²x) caímos agora na equação: - 3tan(x) + 2tan²x -2 = 0 Esta equação tem como raízes 2 e -1/2, porém, novamente, tan(x) é estritamente positivo, então a raiz -1/2 será desconsiderada, e ficaremos somente com 2. Como último passo, é só somar e multiplicar as duas possibilidades que restaram: 2*1/2 = 1 2 + 1/2 = 5/2
O engraçado é que para quem conhece essa transformação do quadrado da secante a resolução fica tão imediata quanto se vc fosse pela transformação do seno do arco duplo.
Vão dar dois arcos complementares, logo o produto é 1. E ambos no 1o Quadrante, cos(x), sen(x) e tan(x) miores ou iguais a zero. cos(2x)=3/5 ou cos(2x)=-3/5. 2*[cos(x1)]^2-1=3/5==> cos(x1)=2/raiz(5) ...sen(x1)=1/raiz(5)... tan(x1)=1/2 x1+x2=Pi/2 ==> tan(x2)=1/tan(x1)=2 logo a soma é 2,5. Letra B.
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Uma solução mais imediata:
senxcosx = 2/5 --> tgx = 2/5cos²x -->1/cos²x = 5tgx/2
Temos que tg²x + 1 = 1/cos²x ---> tg²x+1 = 5tgx/2 ---> tg²x-5tgx/2+1 = 0. Soma 5/2 e produto 1
Sen(2x)/2 = 2/5
Sen(2x)=4/5.
Desenha o triangulo, ele vai ter co de 4, h de 5, e o ca vai ser de √(25-16)=√9=3
Assim, a tg(2x)=4/3.
Tg(2x)=2tg(x)/(1-tg²(x))
2tg(x)/(1-tg²(x))=4/3
6tg(x)=4-4tg²(x)
2tg²(x)+3tg(x)-4=0.
Oq q eu fiz de errado?
Você tem de considerar que
para sen(2x) = 4/5,
Temos que
Tg(2x) = {4/3 , -4/3}
Pois apesar de
sen(2x) > 0
A possibilidade de
cos(2x) = -3/5
Logo, terá
tg(2x) = -4/3
Também é valido resaltar que:
2/5 = sen(x)cos(x) > 0
Implica:
tg(x) = sen(x)/cos(x) > 0
Desenvolvendo, temos:
Pela equação encontrada para
tg(2x) = 4/3,
2tg²(x) + 3tg(x) - 2 = 0
Logo: tg(x) = { -2, 1/2}
Como tg(x) > 0, descartamos o -2
E para tg(2x) = -4/3, temos:
2tg(x) / [1-tg²(x)] = -4/3
=> 2tg²(x) - 3tg(x) - 2 = 0
Portanto tg(x) = { -1/2, 2}
Como tg(x) > 0, descartamos -1/2
Por fim, considerando que:
Tg(x) = {1/2 , 2}
1/2 × 2 = 1
1/2 + 2 = 5/2.
tentei fazer
sen2x = 4/5 --> cos2x = 3/5
assim, tg2x = 4/3
e aplicando a formula ficaria
tg2x = 2tgx/(1-tg²x) = 4/3
3tgx + 2tg²x - 2 = 0
porém, pelas relações de girrad:
soma das raízes = -1 [c/a (c = - 2 e a = 2)]
produto = 3/2 [ -b/a ( b = 3 e a = 2)]
alguém pode me dizer onde errei?
Também cheguei nisso...
Cara, eu acredito que seja quando tu assume cos 2x = 3/5 , cos 2x > 0 , porque pra isso acontecer x ∈[0,π/4] , ou seja, tu só pega os valores de " x " nesse intervalo
( Se tu desenhar fica melhor de ver )
Aí se tu for rebater no 3Q, tu vê que faltou analisar os outros intervalo, que são ]π/4 , π/2[ U ]5π/4 , 3π/2[
@@neewww entendi o que quis dizer irmão, mas se consideramos 2x como um arco ∆ qualquer, já que sabemos que sen∆ = 4/5, necessariamente o cos∆ = +- 3/5, assim recaindo pra tg∆ = +-4/3, em um dos caso, o negativo, o produto coincide com a resposta, mas a soma segue como 3/2, então mesmo assumindo a possibilidade dec cos2x < 0 recai em uma equação de segundo grau com tgx como incógnita em que uma das respostas pedidas na questão não encaixa
@@neewww obrigado pelo comentário irmão
Usar as relações de Girard nesse caso é um caminho sem saída, pq uma das raízes da equação é negativa (e você acaba acidentalmente desconsiderando também uma das possibilidades de valor de tan(2x)). Segue a explicação do porque:
i) sin(2x) = 4/5, portanto, cos(2x) pode ser ou 3/5, ou -3/5.
ii) tan(2x), portanto, poderá ser ou 4/3, ou -4/3. Lembre-se disso, pois você considerou que tan(2x) assume apenas o valor 4/3.
iii) aqui rola a armadilha que você (e eu) caiu, então leia com calma:
o produto sin(x)cos(x) nos dá um número positivo (2/5), e para isso, temos duas situações: ou ambos sin(x) e cos(x) são positivos, ou ambos são negativos. (mais com mais dá mais, menos com menos dá mais)
então, a tangente tan(x) deverá ser estritamente positiva, pois esta será ou a razão de dois números positivos, ou dois números negativos. Por isso, utilizar as relações de girard nesse caso constitui um erro, pois uma das raízes da equação em que você chegou é negativa, algo que não é admitido para esse exercício.
Sabemos pela fórmula tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan²x), que embora tan(x) seja estritamente positivo, tan(2x) ainda pode ser negativo caso tan²x > 1. Por isso, não se deve desconsiderar o caso em que a tangente possa ser -4/3.
Avancemos para a primeira possibilidade da etapa ii)
tan(2x) = 4/3 = 2tan(x)/(1 - tan²x)
caímos novamente na equação: 3tan(x) + 2tan²x - 2 = 0
Esta equação tem como raízes 1/2 e -2, porém, como sabemos, tan(x) é estritamente positivo, então a raiz -2 será desconsiderada, e ficaremos só com 1/2.
Avancemos agora para a segunda possibilidade da etapa ii)
tan(2x) = -4/3 = 2tan(x)/(1 - tan²x)
caímos agora na equação: - 3tan(x) + 2tan²x -2 = 0
Esta equação tem como raízes 2 e -1/2, porém, novamente, tan(x) é estritamente positivo, então a raiz -1/2 será desconsiderada, e ficaremos somente com 2.
Como último passo, é só somar e multiplicar as duas possibilidades que restaram:
2*1/2 = 1
2 + 1/2 = 5/2
sen x × cos x = 2/5 ÷ (cos x)
tg x = 2/(5×cos² x)
5 tg x = 2 × ( 1 + tg² x)
2tg² x - 5 tg x + 2 = 0
P = 1 e S = 5/2
O engraçado é que para quem conhece essa transformação do quadrado da secante a resolução fica tão imediata quanto se vc fosse pela transformação do seno do arco duplo.
Mel 🍯
Questão fácil, convenhamos.
Trivial
Vão dar dois arcos complementares, logo o produto é 1. E ambos no 1o Quadrante, cos(x), sen(x) e tan(x) miores ou iguais a zero.
cos(2x)=3/5 ou cos(2x)=-3/5.
2*[cos(x1)]^2-1=3/5==> cos(x1)=2/raiz(5) ...sen(x1)=1/raiz(5)... tan(x1)=1/2
x1+x2=Pi/2 ==> tan(x2)=1/tan(x1)=2 logo a soma é 2,5. Letra B.
tg(x) = 1/2 ou 2
tg(x) = 1/2 ?
trivial
1/2 facilimo