Первый урок здесь: th-cam.com/video/CHP5FAb_XPc/w-d-xo.html Это последний урок первой части курса. Практические рекомендации по применению арифметики с плавающей запятой. Некоторые уже описанные особенности и новые моменты: потеря коммутативности, ассоциативности, неожиданные проявления так называемой «невозмутимости». И самый важный совет! Этот совет поможет вам избежать почти 100% всех ошибок в типовых неответственных задачах. Далее пойдёт обсуждение ошибки двойного округления, катастрофическая потеря значащих цифр: когда и как возникает. В общем, вся простая практика, не требующая высшей математики, описана в этом уроке. ✦ Сообщество ТГ: t.me/zealcomputing_rus ✦ Сообщество ВК: vk.com/zealcomputing
Я так понимаю, алгоритм суммирования массива на слайде 6:40 - это алгоритм Кэхэна (или Кэхэна-Бабушки) (Kahan summation algorithm). Однако этот алгоритм не даёт гарантии отсутствия потери точности, он только уменьшает величину ошибки. Есть модификации этого алгоритма - алгоритм Ньюмайера и алгоритм Клейна. Правильно ли я понимаю, что на сегодняшний день не существует алгоритма, который гарантировал бы суммирование ряда с получением всех правильных разрядов результата (естественно, с учётом ошибки округления)?
Привет, Сергей. Да, это алгоритм Кэхэна, и есть ряд других, более точных, часть из них описана в другом видео: th-cam.com/video/qi193h_dsyg/w-d-xo.html Там же показано, как алгоритм Кэхэна может работать хуже наивного сложения. Естественно, если мы попытаемся сложить самое большое и самое маленькое число из диапазона (например) double, то мы НИКАК вообще не получим точное значение, если не возьмём несколько десятков тысяч бит. Но из алгоритмов, описанных в указанном ролике можно построить сколько угодно длинный "каскад" по типу целочисленной длинной арифметики, но, как бы, в другую сторону. Абсолютная точность будет гарантирована, если число бит, которые у нас есть, больше чем нужно на хранение мантиссы. Иными словами, все эти алгоритмы основаны на простом приёме увеличения точности за счёт дополнительной переменной. Применяя это каскадно, мы можем взять 3, 4, 10, 1000 переменных и увеличивать точность покуда хотим. Вопрос лишь в объеме памяти и времени на вычисления. Это как длинная арифметика с целыми числами. Только как бы в другую сторону. Точность гарантируется, если мы не вылезаем за пределы возможного диапазона. То есть если число бит на точное представление мантиссы достаточное, всё будет точно.
По- моему Вы ошиблись на 14.46 сказав, что отличие одного числа от другого начинается, когда их разница становится меньше 0,005. По логике, если нас интересует точность до сотых , то если разность чисел меньше 0,005 то это одинаковые числа?
![Как изобретают/открывают математику? [3Blue1Brown]](/img/n.gif)
Прекрасный канал, доходчиво. Было бы интересно увидеть разбор принципов работы таких трюков, как быстрый обратный корень.
Первый урок здесь: th-cam.com/video/CHP5FAb_XPc/w-d-xo.html
Это последний урок первой части курса.
Практические рекомендации по применению арифметики с плавающей запятой. Некоторые уже описанные особенности и новые моменты: потеря коммутативности, ассоциативности, неожиданные проявления так называемой «невозмутимости». И самый важный совет! Этот совет поможет вам избежать почти 100% всех ошибок в типовых неответственных задачах. Далее пойдёт обсуждение ошибки двойного округления, катастрофическая потеря значащих цифр: когда и как возникает. В общем, вся простая практика, не требующая высшей математики, описана в этом уроке.
✦ Сообщество ТГ: t.me/zealcomputing_rus
✦ Сообщество ВК: vk.com/zealcomputing
Я так понимаю, алгоритм суммирования массива на слайде 6:40 - это алгоритм Кэхэна (или Кэхэна-Бабушки) (Kahan summation algorithm). Однако этот алгоритм не даёт гарантии отсутствия потери точности, он только уменьшает величину ошибки.
Есть модификации этого алгоритма - алгоритм Ньюмайера и алгоритм Клейна.
Правильно ли я понимаю, что на сегодняшний день не существует алгоритма, который гарантировал бы суммирование ряда с получением всех правильных разрядов результата (естественно, с учётом ошибки округления)?
Привет, Сергей. Да, это алгоритм Кэхэна, и есть ряд других, более точных, часть из них описана в другом видео: th-cam.com/video/qi193h_dsyg/w-d-xo.html
Там же показано, как алгоритм Кэхэна может работать хуже наивного сложения.
Естественно, если мы попытаемся сложить самое большое и самое маленькое число из диапазона (например) double, то мы НИКАК вообще не получим точное значение, если не возьмём несколько десятков тысяч бит. Но из алгоритмов, описанных в указанном ролике можно построить сколько угодно длинный "каскад" по типу целочисленной длинной арифметики, но, как бы, в другую сторону. Абсолютная точность будет гарантирована, если число бит, которые у нас есть, больше чем нужно на хранение мантиссы.
Иными словами, все эти алгоритмы основаны на простом приёме увеличения точности за счёт дополнительной переменной. Применяя это каскадно, мы можем взять 3, 4, 10, 1000 переменных и увеличивать точность покуда хотим. Вопрос лишь в объеме памяти и времени на вычисления.
Это как длинная арифметика с целыми числами. Только как бы в другую сторону. Точность гарантируется, если мы не вылезаем за пределы возможного диапазона. То есть если число бит на точное представление мантиссы достаточное, всё будет точно.
По- моему Вы ошиблись на 14.46 сказав, что отличие одного числа от другого начинается, когда их разница становится меньше 0,005. По логике, если нас интересует точность до сотых , то если разность чисел меньше 0,005 то это одинаковые числа?