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- เผยแพร่เมื่อ 20 ก.ค. 2024
- On ouvre une nouvelle série "Mais Qu'est-ce Donc ?" dans laquelle Alex vous expliquera des concepts mathématiques qui ne méritent pas d'être aussi obscurs !
Quoi de mieux pour ce premier épisode (niveau master) que de s'attaquer aux variétés différentielles, dont la définition fait presque une page dans les livres ?
0:00 Introduction
3:20 Définition et explications
7:15 Exemples
10:03 Que faire avec une variété ?
[Remarque : il manque deux hypothèses techniques dans la définition d'une variété topologique. Il faut que l'espace topologique en question soit séparé (pour éviter les "points doubles", comme la "droite avec deux origines") et à base dénombrable (pour éviter des espaces "trop gros" comme la "droite longue").]
Pour aller plus loin :
- premiers chapitres du merveilleux livre de John Baez et Javier Muniain "Gauge Fields, Knots and Gravity", Series on Knots and Everything Vol. 4, World Scientific, 1994
- site de Serge Mehl : serge.mehl.free.fr/anx/geodiff...
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Merci beaucoup, j'ai enfin une générale de ce qu'est une variété. J'espère qu'il y a en encore beaucoup de vidéo comme ceci à venir !
Super vidéo!
Petite astuce que j’ai apprise récemment : si vous voulez qur le chapitrage de la vidéo s’affiche dans la barre de défilement il faut ajouter un timestamp 0:00 dans la description de la vidéo :)
Oh super, merci beaucoup !!
cette vidéo m'a donné l'impression que je suis au CP des Mathématiques
La meilleure vidéo sur la définition d'une variété... en passe de devenir ma chaîne de maths préférée!
Merci, ça fait super plaisir !
Excellente vidéo!!!! D'habitude je ne comprends rien à la géométrie différentielle mais j'ai pris beaucoup de notes que je veux relire. C'est très accessible alors continue comme cela. Merci à toi et je m'abonne sans hésiter pour ne rien manquer !
C'est incroyable! Une chaîne extraordinaire, j'ai terminé toutes les videos de ElJj, j'aimerai terminer maintenant toute vos videos inchallah! Merci bcppp ❤❤❤❤❤❤.
Je vien de vous découvrir a partir d'un tweet de ElJj!
Merci fort ❤❤❤
Haha bienvenue !
Merci , c’est impressionnant vos explications. Poursuivrez
Incroyable vidéo merci beaucoup, ça me motive à m'accrocher pour finir mes études de maths de voir que derrière toutes ces notations et concepts il y a bien quelque chose de compréhensible et utile.
J'aime beaucoup
Super vidéo merci !
merci beaucoup pour cette super vidéo
Bravo !
Superrrrr continue 👍👍
Merci pour ce recollage de morceaux. C'est si fluide, maintenant j'ai les liens entre les différentes notions liées aux variétés différentielles ! :D Un petit *clap clap* de soutien pour les jeux de mots x)
Merci ! Mais euh... quels jeux de mots ? ^^'
@@Thomaths Descartes ("des cartes") sur la Terre pour parler de cartes sur une surface courbe :)
@@Thomaths J'ai abusé avec mon "les".
@@user-lo5us7dr2f Aaaah haha ça faisait longtemps que je l'avais pas vu j'avais oublié ^^ Oui ça c'est moi qui m'éclate au montage, Alex est pas toujours au courant et il le découvre à la fin hinhinhin
Merci beaucoup pour les vidéos , vous êtes vraiment pédagogue et vous simplifie les notions. SVP faire des vidéos sut les espaces tangent et les fibrés cotangent et leur propriétés et vraiment merci bcp bien cordialement
Bonjour, merci pour vos encouragements ! Je pense faire une introduction à la géométrie différentielle un jour, mais pas tout de suite. Bonne idée en tout cas. Restez connecté ! - Alex
@@Thomaths mrc
bonjour,
je découvre votre chaîne et franchement c'est super clair, le travail de montage aide beaucoup ainsi que les exemples bravo à vous 2 vous formez une belle équipe.
ça me rappelle les algèbres de hopf, la théorie des noeuds des graphes et plein d'autres choses d'il y a quelques années et c'est quand même mieux de pouvoir faire pause et repasser alors qu'en présentiel tu comprends pas ben tu peux pas faire pause et le cours continue haha
Nouvel abonné bien entendu 🙂
Merci beaucoup pour ce retour, bienvenue parmi nous :)
Un grand merci !
Merci beaucoup
Merci bcp :)
Meilleure vidéo sur le sujet et de très loin !!
Y aura-il une vidéo de ce genre sur les problèmes d'optimisation sur les variétés ?
Merci encore pour vos vidéos !!
Merci pour le commentaire ! Une vidéo sur l'optimisation sur les variétés n'est pas prévue. Vous pensez à quelle méthode ? Je ne connais pas grand-chose en dehors des multiplicateurs de Lagrange. - Alex
@@ThomathsJe ne connais pas grand chose sur l'optimisation sur les manifolds non plus à l'heure actuelle (c'est justement mon sujet de mémoire/tfe pour juin 2024 haha). En tout cas, votre vidéo m'a bien donné une première intuition. Merci à vous.
Bravo et merci pour cette vidéo c'est vraiment bien expliqué! Par contre ça va très vite...
super
Tu peux parler de la variété Grassmanienne
Merci beaucoup, ça m'éclaire un peu plus sur un sujet que je trouve hyper abstrait pour l'instant ! Tu as prévu de revenir plus précisément sur les changement de cartes ? Super vidéo en tout cas !!
Bonsoir, merci pour ton retour. Je n'ai pas spécifiquement prévu de le faire, mais je t'invite à jeter un œil aux références (en particulier le livre de John Baez) si le sujet t'intéresse ! - Alex
@@Thomaths ok merci !
i didnt get the sphere example , why did you take that application ( v/v^2) , thank you!
I think you speak about the formula at 9.40, right? This is the result of computing the change of coordinates you need to glue the upper chart to the lower chart to obtain the sphere. It is a first example of a differentiable manifold, because the transition function you compute is differentiable.
I hope this helped. Best, Alex
Merci beaucoup pour la vidéo ! Vous êtes vraiment très pédagogue et en plus les animations aident beaucoup 👏👍
Est-ce qu'il existe des livres pour débutant que vous pouvez recommander s'il vous plaît ?
Bonjour, merci pour votre soutien ! Pour une introduction à la géométrie différentielle, essayez : Lee, "Introduction to smooth manifolds". Le livre est un peu gros mais il suffit de ne lire que quelques chapitres. Bon courage ! - Alex
@@Thomaths un petit truc en maths soit M une matrice dont ses coefficients sont des variables aléatoire covariantes. Son déterminant det(M) est aussi une variable aléatoire ?
L'idée que vous évoquez à la fin d'identifier à chaque point de la variété un espace vectoriel est bien une fibration ?
Oui, c'est bien cela, un fibré vectoriel. Merci pour votre intérêt ! - Alex
Très intéressant comme sujet!
Est-ce que cela à un rapport avec les espaces de Hilbert? Avec mes connaissances très limitées j'ai la vague impression que l'un est un cas particulier de l'autre.
Bonsoir,
les variétés et les espaces de Hilbert ne sont pas vraiment comparables, ce sont deux généralisations différentes des espaces vectoriels de dimension finie. Une variété est un objet "courbe" tandis qu'un espace de Hilbert est un espace vectoriel de dimension infinie (en plus avec un produit scalaire complet). On peut à la limite considérer un espace de Hilbert comme variété de dimension infinie.
Les variétés apparaissent en théorie de la relativité d'Einstein, tandis que les espaces de Hilbert jouent un rôle crucial en mécanique quantique. Unifier ces deux théories est justement le plus grand problème de la physique mathématique actuelle !
- Alex
@@Thomaths Merci pour cette réponse! Je ne savais pas du tout que réunifier ces deux concepts était un enjeu aussi important. Les espaces de dimension infinie ça à l'air déjà assez complexe en soi tout comme les variétés donc je n'imagine même pas ce que ça donnerait de réunir les deux.
Du coup maintenant j'espère qu'une vidéo sur les espaces de Hilbert est dans les cartons!
Merci pour ton travail!
Bonjour, premièrement, excellente vidéo ! Si j'ai bien compris, une carte, c'est un ouvert d'une variété qui est homéomorphe à Rn c'est bien ca ? Merci d'avance :D
Bonsoir, merci pour votre intérêt ! Oui c'est bien cela. Pour être un peu plus général, on peut dire qu'une carte est un ouvert de la variété qui est homéomorphe à un ouvert de R^n. - Alex
@@Thomaths Super ! Merci beaucoup :D
Bonjour, merci pour cette excellente vidéo. Pouvez-vous me donner une ou deux références de lecture sur la géométrie différentielle ?
Bonjour,
Merci pour votre intérêt. Dans la description de la vidéo, vous trouvez deux références : les premiers chapitres du merveilleux livre de John Baez et Javier Muniain "Gauge Fields, Knots and Gravity", Series on Knots and Everything Vol. 4, World Scientific, 1994 et le site de Serge Mehl.
- Alex
A 6'40", il faut prendre phi beta ○phi alpha -1 : phi alpha (Ualpha inter U beta) ---> phi beta -1( U alpha inter U beta)
Désolé pour les lettres grecques que je ne sais pas saisir.
En effet, il faudrait préciser les restrictions des applications considérées. Merci. - Alex
Bonjour, vos vidéos sont supers, merci beaucoup!
J'ai du mal à comprendre quelque chose. Si le cercle peut être vue comme une variété différentielle (l'expl à 7:30), pourquoi est-ce que sa variable associée, theta, n'est pas une fonction?
En fait, je fais référence à Thomaths9 (3:42), où dtheta n'est pas exacte, car theta n'est pas une fonction. Je comprends bien que c'est un exemple classique, et qu'il suffit de dire que l'intégration de dtheta sur le cercle unité, n'étant pas nulle, alors automatiquement dtheta n'est pas exacte.
Mais, si le cercle unité est une variété différentielle 1D de variable theta, je ne vois pas comment la dérivée extérieure de la fonction qui à theta associe theta n'est pas une forme exacte sur cette variété.
Intégrer la forme dtheta sur la courbe paramétrée du cercle unité dans R^2, ou intégrer la dérivée extérieur de theta sur la variété associée au cercle unité n'est-il pas la même chose?
J'espère que ma question est claire..
Merci d'avance :)
Bonjour,
Le point subtil est que la fonction theta n'est pas une fonction lisse définie sur le cercle tout entier. Car quand vous faites un tour du cercle, on a augmenté theta de 2pi, mais la définition d'une fonction veut qu'on ne puisse associer qu'une seule valeur à un point. Pour décrire le cercle comme variété différentielle, vous avez justement besoin d'au moins deux cartes.
Ainsi vous ne pouvez pas intégrer dtheta sur le cercle tout entier, seulement localement. Au niveau local, dtheta est par définition la dérivée extérieure de theta donc l'intégration donne la même chose.
J'espère que j'ai répondu à votre question ! - Alex
@@Thomaths oui, merci!
"La Terre, qu'on recouvre AVEC DESCARTES" XD
Quel génie
Pouvez vous nous offre une vidéo pour l action de groupes
Excellente idée ! J'en parle un peu déjà dans la vidéo 2b que je vous invite à regarder, et j'en parlerai également dans La Perspective III qui sort bientôt. Mais je me note l'idée pour en parler plus en détail plus tard. - Alex
Super vidéo
J'avoue que j'ai regardé plusieurs fois, le lien entre les cartes canoniques de la sphère et ce qu'on a vu avant n'est pas intuitivement corrélé (on voit bien que ça rentre dans les définitions mais on a un peu du mal à imaginer les recollements)
Sur les plans tangeants j'ai compris la définition mais comment une fois qu'on a les plans tangeants sur les cartes (qui sont tous R^n ) peut on visualiser ces plans dans l'espace d'origine ?
A partir de 12:30 je décroche, faudrait que je revoie tout ça pour moi c'est même pas homogène la formule
Par contre à 10:43 on a 2 secondes pour intégrer ce qu'est une fonction lisse entre variétés ça m'a fait penser à une blague du joueur du grenier qui fait "esquive la balle"
th-cam.com/video/yDrS0inEmDw/w-d-xo.html
Bonsoir,
le recollement des deux copies du plan privé de l'origine pour donner la sphère n'est pas facile à imaginer, mais je t'encourage à essayer ! Commence avec un cercle comme recollement de deux copies de R, recollé le long de R* via l'application x → 1/x.
Pour 12:30, tu peux regarder la vidéo sur les formes différentielles : th-cam.com/video/_DwcTELLzq0/w-d-xo.html
La formule est bien homogène car alpha est une 1-forme différentielle (c'est la définition de alpha, donc c'est nécessairement homogène).
Les fonctions lisses entre variétés passent très vite, car c'est pas essentiel et je ne voudrais pas passer trop de temps dessus. Mais c'est probablement trop court, tu as raison, désolé !
- Alex
@@Thomaths merci de ta réponse, je réfléchis à tout ça :)
Bon j'aime les maths. Mais là le niveau s'est cranté d'un higt level. Abstrait et sans doute bac +3 ? Non ?
Bonjour, comme détaillé sur la présentation de notre chaîne, le nombre de tomates sur la miniature indique le niveau de la vidéo : 1 tomate = vulgarisation, 2 tomates = licence, 3 tomates = master. Donc oui, bac+4 voire bac+5. Bon courage quand même ! - Eve
Ln(🌩) = ⚡ln(☁️)
😇👍
1
= 1/sqrt(2π) ʃ exp(-x²/2)dx.
@@Thomathsah bon ?
Pouvez vous me le prouver avec un calcul ?
@@jamelbenahmed4788 C'est la fameuse intégrale de Gauss. Une jolie preuve passe par le carré et l'utilisation de coordonnées polaires. Voir l'article wikipédia par exemple. - Alex
rien compris
Bonjour, repérez le nombre de tomates pour connaître le niveau de la vidéo : 3 tomates signifie niveau licence / master. - Alex
Merci beaucoup